互功率谱法模态参数识别
1 引言
互功率谱法是一种最为简单快捷的环境振动情况下的模态参数频域识别方法，由峰值法发展而来，它最初是基于结构自振频率在其频响函数上会出现峰值，峰值的出现成为特征频率的良好估计。对于环境振动，由于此时频响函数失去意义，将由环境振动响应与参考点响应间的自互功率谱来取代频率响应函数[76]，此时，固有频率仅由平均正则化了的功率谱密度曲线上的峰值来确定，振型分量由传递函数在特征频率处的值确定。值得注意的是，对环境振动实验，传递函数并非响应与输入的比值，因为此时输入是不知道的，而是所测响应相对于参考点响应的比值。因此，每一传递函数相对于参考点就会给出一个振型分量。这里假定共振时的动力响应仅仅是由一种模态决定的，如果模态可以很好的分离且阻尼较低，这种假定是完全能够满足的。
2 理论依据
互功率谱法是在激励未知的情况下，基于输入信号和结构本身的一系列理想化的假定，利用结构的响应点输出的自功率谱以及与参考点输出之间的互功率谱幅值、相位、相干函数、传递率等来识别系统的模态参数[9]。下面就具体证明该方法在理论上的可行性。
互功率谱法由基于频响函数的峰值法发展演化而来，为了更好的说明互功率谱法的理论基础，有必要对峰值法的基本原理作一些简要的论述与推导。 激励力可测时的峰值法通常以激励点的力信号为输入，以各个响应点的振动响应为输出，建立起力和响应之间的频响函数，通过线性动力系统模型的假设进行曲线拟合和参数识别。
对于一个实模态系统，由激励和响应之间的关系，可得出频响函数为：
        （3.1）
在结构的响应可测、激励力不可测的情况下，可以假想结构上某一参考点的响应为输入(运动激励)，其他测点的响应与此点响应有某种线性相关性，建立起响应点与参考点之间的传递函数来进行系统识别。在结构上取一固定参考点 P，则传递率为：
     （3.2）
对于一些有意义的频率点ωl，序列αi (ω)就是结构相应频率ω下的运行工作模态。对于结构上任意一点i的动态位移响应xi (ω)可用 K点的激励力fk (ω)和结构系统的传递函数 hik (ω)表示为：
假定试验的结构为实模态系统，且具有小阻尼比或比例阻尼，此时频响函数如式(3.1)所示。实模态一般是比例阻尼，有振型和驻波，实际工程中的模态分析和参数识别也都是建立在实模态的基础上。与之相对应的是复模态，无振型和驻波，当然也不会有固有频率。
又假定给结构所施加的激励力信号为平直谱信号，它的功率谱密度函数在覆盖结构全部模态的频率范围内为近似的均匀分布，则结构各点的激励力满足：
式中C1 为常数。 
式(3.3)可写成：
式中hi(ω)为集总频响函数。
   由(3.5)式可知，结构的响应谱xi(ω)与结构系统的集总频响函数 hi (ω) (实模态)等价，因此可以直接由响应谱xi (ω)得到结构的固有频率。将式(3.5)代入式(3.2)可得：
式中C2为常数。
由(3.8)式可知，通过直接读取测试曲线 αi(ω)在ωr处的值(幅值和相位)就可得到频率为ωr时结构的工作挠曲线，把它近似的看作结构的第r阶振型。
由经典的功率谱估计方法周期图法的计算公式：
由式(3.11)可知，集总传递函数的极点数值与响应点的位置无关，再由式(3.9)、(3.10)相似的形式可知， pi（ω）与 pip (ω) 具有相同的极点，所以也可以用响应点与参考点之间的互功率谱的幅值图代替集总传递函数的幅值图。
综上所述，在实际的工程应用中，环境激励如风、海浪的冲击或者车辆行人形成的地面脉动都可以近似的看成平稳的白噪声，其功率谱是平直的。同时对于大型的桥梁结构，模态稀疏且阻尼较小，这就基本满足了前面的三点假定：
（1）对象结构为实模态系统； 
（2）激励信号为平直谱信号； 
（3）对象结构的模态不密集且阻尼比较小。 
因此，对于以上的一些工程应用，互功率谱法在理论上是完全可行的。
3 频率识别 
对于环境振动，特征频率由平均正则化了的功率谱密度（ANPSDs）曲线上的峰值来确定，但由于测量噪声和激励谱的影响，结构反应自功率谱的峰值处不一定是模态频率，可依据下列原则由结构反应频谱特征判别结构模态频率： 
（1）结构反应各测点的自功率谱峰值位于同一频率处；
 （2）模态频率处各测点间的相干函数较大； 
（3）各测点在模态频率处具有近似同相位或反相位的特点。
4 阻尼比识别
互功率谱法主要是用半功率带宽法来识别系统的阻尼比。半功率带宽法识别系统阻尼比，是利用自功率谱的共振峰寻找系统的固有频率，再根据功率谱曲线求得系统阻尼。在纵坐标上寻找半功率点，即取峰值的
，并过此值作一条水平线，它与功率谱曲线的交点称为半功率点，两个半功率点对应的频率分别为ωa 和ωb 。则求得该系统该阶模态阻尼比ζi 为：
式中ωi为第i阶峰值频率。
此方法简单易用，在工程中应用极广，但是在小阻尼的情况下，在低频段如果峰值频率即使有很小的误差，计算出的阻尼误差也较大，而且当频率分辨率不是很高的情况下，利用半功率带宽法需要采用插值，因此该方法识别的系统模态阻尼比不是很可靠。
5 振型识别
由前面 3.2.1 节互功率谱法的理论可知，固有频率点处的传递率可近似代替振型，所以由传递函数的幅值响应曲线即可得到系统的固有振型，由于是用工作挠度曲线近似替代系统模态振型，对于实模态，模态振型是实矢量，它的各个分量都是实数，只是幅值的差别，相位则仅是同相反相之分。那么相位则可以根据测点信号和参考点信号的互功率谱实部的正负来决定。
当ω=ωi时，会出现共振峰值。由实模态理论，系统作固有频率振动时，各坐标点同时达到最大的极限位移，并同时通过平衡位置，振型呈固定形状。互谱实部如下式所示：
基于以上理论可以得到模态振型识别的如下算法： 
（1）选定合适的参考点，参考点的位置不应在感兴趣模态的节点上； 
（2）求所有测点和参考点的响应之间的互谱，做出互谱的幅频图和相频图； 
（3）对所有的谱峰进行模态频率识别，剔除虚假模态频率； 
（4）在模态频率位置，不同测点（自由度）互谱幅值的比构成模态振型； 
（5）模态振型各分量的符号由该测点和参考点的相位差确定，相位差在O°附近的为正号，相位差在±180°附近的为负号。
《来源科技文献，经本人分析整理，以技术会友，广交天下朋友》

参考文章：百度文库文章

但是该文章有很多部分，不知是matlab更新了还是咋地，有错误，踩了很多坑，仅做参考。
产生高斯白噪声的方法在“信号处理”专栏中有写，其时域和频域图如下：



用matlab中求自（互）相关的xcorr函数，参考帮助文档
[r,lags]=xcorr(z,'biased');

其中z是上述高斯白噪声，r是自相关函数，lags是时间偏移量（索引），尤其注意’biased’参数，这是调试了半天才发现的问题。

帮助文档里描述如下：



相当于算出来的r除以了样本数，这是离散自相关函数计算步骤。

如果不加这个参数，自相关函数值会变得很大。

算出自相关函数之后，根据维纳辛钦定理，信号的功率谱密度和信号的自相关函数是一个傅里叶变换对。使用fft函数求自相关函数的傅里叶变换：
pdv=fft(r);
pdv=abs(fftshift(pdv))./length(pdv);

fftshift是频谱矫正函数，将fft后的结果以中心为分界，两边分别做镜像，得出来的结果再除以样本数，即双边频谱图。

而这个频谱图就是原信号的功率谱密度。
plot((0:length(pdv)-1)*L/length(pdv)-L/2,pdv)

注意这里横坐标是频率，需要做映射处理，L为样本数量


高斯白噪声其实看不出来啥，下面用一个没加噪声的纯信号来展示：
y=12*cos((2*pi)*100.*t)+15*cos((2*pi)*150.*t)+18*cos((2*pi)*210.*t)+10;




上面的功率谱是由双边频谱的平方（除直流）计算出来的，下面的是用维纳辛钦定理计算出来的，可以看到功率谱几乎相同。

信号的自相关函数如下：



编者水平有限，很多知识点都是似懂非懂，如有错误欢迎指出！

附代码：
fs=1000;%采样频率hz
T_N=1.5;%总时间s
t=1/fs:1/fs:T_N;%时间向量
L=T_N*fs;%样本长度
y=12*cos((2*pi)*100.*t)+15*cos((2*pi)*150.*t)+18*cos((2*pi)*210.*t)+10;%信号
subplot(2,1,1);
plot(t,y);
xlabel("时间/s")
ylabel("幅度/v")
title("时域")
fft_y=fft(y);%快速傅里叶变换
P = abs(fft_y/L);%取幅频特性，除以L
P = P(1:L/2+1);%截取前半段
P(2:end-1)=2*P(2:end-1);%单侧频谱非直流分量记得乘以2
f = fs*(0:(L/2))/L;%频率，最多到一半（奈奎斯特采样定理）
subplot(2,1,2);
plot(f,P);
xlabel("频率/Hz")
ylabel("幅度/v")
title("单边频谱")

figure(4)
[r,lags]=xcorr(y,'biased');%得到自相关函数的幅度和偏移量
subplot(2,1,1)
plot(lags,r)
xlabel("时间偏移/s")
ylabel("相关程度")
title("（自相关函数）")

fft_y=fftshift(fft_y);%频谱矫正
powerpu=abs(fft_y./L).^2;%双边功率谱
% subplot(2,1,1)
% plot((1:size(powerpu,2))-751,powerpu)
% xlabel("频率/Hz")
% ylabel("功率/W")
% title("功率谱")

pdv=fft(r,size(r,2));%对自相关函数快速傅里叶变换
pdv=abs(fftshift(pdv));%频谱矫正，让正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称，得到双边谱
subplot(2,1,2)
plot((1:length(pdv))*L/length(pdv)-L/2,pdv./length(powerpu))
xlabel("频率/Hz")
ylabel("功率谱W/Hz")
title("（功率谱）")

% z1=0.1*randn(1,201);%产生方差N(0,0.12)高斯白噪声
% [r1,lags]=xcorr(z1,'unbiased');%自相关函数的估计
% plot(lags,r1);
% f1=fft(r1);
% f2=fftshift(f1);%频谱校正
% l1=((0:length(f2)-1)*200/length(f2)-100);%功率谱密度x轴
% y4=abs(f2);
% figure(2)
% plot(l1,y4);

总述

一、区分信号类型
根据式$E=\int_{-\infty }^{\infty }{{{s}^{2}}\left( t \right)}dt$计算信号能量（作用在单位电阻上的电压信号 释放的能量）可以将信号分为：

功率信号：能量无限，不能用能量表示，所以用平均功率表示；
能量信号：能量有限，平均功率为0；

二、功率信号的分析

频谱（离散）：$C\left( n{{f}_{0}} \right)=\frac{1}{{{T}_{0}}}\int_{-T/2}^{T/2}{s\left( t \right){{e}^{-j2\pi n{{f}_{0}}t}}dt}$（单位：V）

含义：

周期功率信号幅值（频率为${{f}_{0}}$ ）经过傅里叶级数展开，被多个离散倍频$n{{f}_{0}}$表征，各频点的幅值$C\left( n{{f}_{0}} \right)$也即该频点的贡献权系数。

参考网上一张经典的解释图：


功率谱密度（连续）：$P\left( f \right)={{\sum{\left| C\left( f \right) \right|}}^{2}}\delta \left( f-n{{f}_{0}} \right),C\left( f \right)=\left\{ \begin{matrix}
C\left( n{{f}_{0}} \right),f=n{{f}_{0}}  \\
0,  \\
\end{matrix} \right.$

含义：


将信号的功率按照频点贡献铺在频谱之上；
因其能量是无穷的，所以不能把能量铺上去，只能用有限的功率；
对功率谱密度进行积分，能得到局部频段承载的功率；
相比功率信号的频谱突出各频点对功率信号的信号幅值的贡献，功率谱密度突出各频点对功率信号的功率的贡献。

三、能量信号的分析

频谱密度（连续）：$S\left( f \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{s\left( t \right){{e}^{-j2\pi ft}}dt}$（单位：V/Hz）

含义：


通过傅里叶变换将能量信号转换到连续频域上；
但因能量有限，不能使用离散贡献频点权系数（几乎为0），只能使用频谱密度来表征。


能量谱密度：$G\left( f \right)={{\left| S\left( f \right) \right|}^{2}}$（单位：J/Hz）

含义：


将信号能量铺在频谱之上；
对能量谱密度进行局部积分，能得到局部频段承载的能量；
相比能量信号的频谱密度突出连续频点对功率信号的信号幅值的贡献，能量谱密度突出连续频点对能量信号的能量的贡献。

四、相关函数

自相关函数  ：$R\left( \tau  \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{s\left( t \right)s\left( t+\tau  \right)}dt$

含义：表征信号自己与自己的相似关系，根据公式也能看出，原信号不变，拿着一个复制信号先进行时移再乘积积分（卷积操作），就是在求信号内时间维的相似性，$\tau =0$ 时肯定最相似，周期信号肯定有很多相似点（自相关函数峰值）。

特点：


互相关函数：${{R}_{1,2}}\left( \tau  \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{{s}_{1}}\left( t \right){{s}_{2}}\left( t+\tau  \right)}dt$

含义：表征两信号的相似关系

特点也同上表

注：上文具体公式推导见樊昌信的《通信原理》第六版P17-33

互相关函数的信号傅里叶变换形式表达以及推导
1.我们要实现怎样的目标？
如果有两个复信号，

连续信号表示为$y_1(t)$和 $y_2(t)$;

离散信号表示为$y_1(n)$和$y_2(n)$；

两个信号的互相关函数表示为$R_{y_1y_2}(\tau)$；

两个信号的傅里叶变换分别表示为$Y_1(w)$和$Y_2(w)$；

两个信号的互功率谱表示为$P_{y_1y_2}(w)$；

两个信号的卷积表示为$y_1*y_2$；

两个信号的共轭分别表示为$y_1^*$和$y_2^*$。
使用两个信号的傅里叶变换$Y_1(w)$和$Y_2(w)$来表示两个信号之间的互相关函数$R_{xy}(\tau)$，则可表示为：
对于连续信号：
$R_{y_1y_2}(\tau)$ =$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
对于离散信号：
$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
我们的目标是：

（1）完成公式$(1-1)$推导

（3）在推导过程中，了解互相关函数，互功率谱、卷积和共轭之间的关系
2.一些基本知识的铺垫
在进行公式推导前，我们需要进行一些基础知识的铺垫。
2.1 什么是互相关函数？什么是实信号的互相关函数？
在2.1小节，我们都是讨论实信号，在2.2小节，我们再讨论复信号。
实信号$y_1(n)$和$y_2(n)$的互相关函数，简单的来说，就是把其中一个信号（假如是$y_2(n)$）平移一段距离$\tau$，看它和另外一个信号($y_1(n)$)的相似程度。
互相关函数就是描述这个相似程度的高低，互相关函数是平移距离的函数，也就是说互相关函数随着平移距离$\tau$的变化而变化。
那么互相关函数采用什么形式来描述这种相似程度呢？
对于连续型信号，我们使用平方积分来描述这种相似程度:

$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(t)y_2(t+\tau)dt}$

如果$y_2(t)$平移一段距离$\tau$后，和$y_1(t)$越相似，那么它们的乘积再积分一定越大。
对于离散信号，我们使用平方求和来描述这种相似程度：

$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1(n)y_2(n+\tau)}$

如果$y_2(t)$平移一段距离$\tau$后，和$y_1(t)$越相似，那么它们的乘积再求和一定越大。
以上的互相关函数的描述形式是基于信号平方可积或平方可和（即有限能量）的前提下才成立。
假如$y_1(t)$和$y_2(t)$（或者$y_1(n)$和$y_2(n)$）是“永远持续”的信号，那么无论是乘积积分，还是乘积求和，互相关函数都无法表示。那么对于永远持续”的信号如何描述它们之间的相似性呢？

永远持续”的信号被处理成随机过程，对于宽平稳随机过程，自相关函数定义为：
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$E[y_1(t)y_2(t+\tau)]$
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$E[y_1(n)y_2(n+\tau)]$
在实际的操作中，上述通过期望求互相关函数往往被处理成：

$R_{y_1y_2}(\tau)$=$E[y_1(t)y_2(t+\tau)]$

=$\displaystyle \lim_{T\to -\infty}{\frac{1}{T}}$$\displaystyle \int^{T}_{0}$${y_1(t)y_2(t+\tau)dt}$
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$E[y_1(n)y_2(n+\tau)]$
=$\displaystyle \lim_{N\to -\infty}{\frac{1}{N}}$$\displaystyle \sum^{ N-1}_{n=0}{y_1(n)y_2(n+\tau)}$
2.2什么是复信号的互相关函数？
为什么复信号要使用共轭相乘？
当$y_1(t)$和$y_2(t)$（或者$y_1(n)$和$y_2(n)$）是复信号时，互相关函数描述复信号的相似程度，这时若直接采用两个复信号相乘形式，起不到相似度叠加的效果，所以一般会取其中任一信号的共轭形式，然后在与另一信号相乘，所以互相关函数表示为:
(1)基于信号平方可积或平方可和(即有限能量)的互相关函数表达形式
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t+\tau)dt}$
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1^*(n)y_2(n+\tau)}$
(2)当复信号为“永久持续”的信号时
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$E[y_1^*(t)y_2(t+\tau)]$
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$E[y_1^*(n)y_2(n+\tau)]$
2.3什么是信号的互功率谱？互相关函数和互功率谱之间的关系？
互功率谱就是对互相关函数的傅里叶变换。

对于连续信号：

$P_{y_1y_2}(w)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$

所以互相关函数和互功率谱实际是一对傅里叶变换对，由此

$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}$
对于离散信号：

$P_{y_1y_2}(w)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}}$
$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}$
2.4卷积和两个信号卷积的傅里叶变换？
两个信号的卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。

若

$Y_1(w)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$

$Y_2(w)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$

则

$Y_1(w)$$Y_2(w)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$
3.使用两个信号的傅里叶变换表示两个信号之间的互相关函数
3.1若$y_1(t)$和$y_2(t)$为连续信号，且满足信号平方可积
则由2.1节知：
两个复信号之间的互相关函数为：
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t+\tau)dt}$
但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数，那么可以如何表示呢？

我们首先给出表达形式如下，然后进行推导。
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
因为:
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(t)y_2(t+\tau)dt}$
令$t=-t^{'}$,$t^{'}=-t$则
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{y_1^*(-t^{'})y_2(-t^{'}+\tau)d-t^{'}}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{y_1^*(-t^{'})y_2(-t^{'}+\tau)d-t^{'}}$
$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-t^{'})y_2(-t^{'}+\tau)dt^{'}}$

$\quad\quad\quad\quad$=$y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)$
由2.3节知：
$P_{y_1y_2}(w)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$
由2.4节知：
$P_{y_1y_2}(w)$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}d\tau}\times \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}d\tau}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}d\tau}\times Y_2(w)$
令$\tau=-\tau^{'}$,$\tau^{'}=-\tau$，则
$P_{y_1y_2}(w)$=$\displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{y_1^*(\tau^{'})e^{jw\tau^{'}}d(-\tau^{'})}\times Y_2(w)$

$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(\tau^{'})e^{jw\tau^{'}}d\tau^{'}}\times Y_2(w)$

$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1^*(\tau^{'})e^{jw\tau^{'}}d\tau^{'}}\times Y_2(w)$

$\quad\quad\quad\quad$=$(\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{y_1(\tau^{'})e^{-jw\tau^{'}}d\tau^{'}})^*\times Y_2(w)$
$\quad\quad\quad\quad$=$Y_1^*(w)Y_2(w)$
由2.3知：
$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
由此我们完成了连续信号的互相关函数的推导过程。
令$w=-w^{'}$,$w^{'}=-w$，则
$R_{y_1y_2}(\tau)$ =$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{-\infty}_{+\infty}{Y_1^*(-w^{'})Y_2(-w^{'})e^{-jw^{'}\tau}d(-w^{'})}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(-w^{'})Y_2(-w^{'})e^{-jw^{'}\tau}d(w^{'})}$
若$y_1(t)$和$y_2(t)$是实信号，则由实信号的共轭对称性得：
$Y_1^*(-w^{'})$=$Y_1(w^{'})$
$Y_2(-w^{'})$=$Y_2^*(w^{'})$
所以当$y_1(t)$和$y_2(t)$是实信号时，
$R_{y_1y_2}(\tau)$ =$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1^*(-w^{'})Y_2(-w^{'})e^{-jw^{'}\tau}dw^{'}}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1(w^{'})Y_2^*(w^{'})e^{-jw^{'}\tau}dw^{'}}$

$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}{Y_1(w)Y_2^*(w)e^{-jw\tau}dw}$
3.2 若$y_1(n)$和$y_2(n)$为离散信号，且满足信号平方可和
则由2.1节知：
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1(n)y_2(n+\tau)}$
但现在我们要用两个信号的傅里叶变化来表示它们的互相关函数，那么可以如何表示呢？

我们首先给出表达形式如下，然后进行推导。
$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
因为：
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{n =-\infty}{y_1(n)y_2(n+\tau)}$
令$n=-n^{'}$,$n^{'}=-n$,则:
$R_{y_1y_2}(\tau)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{n^{'} =-\infty}{y_1(-n^{'})y_2(-n^{'}+\tau)}$
$\quad\quad\quad\quad$=$y_1^*(-\tau)*y_2(\tau)$
由2.3节知：
$P_{y_1y_2}(w)$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{R_{y_1y_2}(\tau)e^{-jw\tau}}$
$\quad\quad\quad\quad$=$\displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{y_1^*(-\tau)e^{-jw\tau}} \times \displaystyle \sum^{ +\infty}_{\tau =-\infty}{y_2(\tau)e^{-jw\tau}}$
$\quad\quad\quad\quad$=$Y_1^*(w)Y_2(w)$
由2.3节知：
$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{P_{y_1y_2}(w)e^{jw\tau}dw}$
$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
若$y_1(n)$和$y_2(n)$为实信号，同理可得：
$R_{y_1y_2}(\tau)$ = $\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1^*(w)Y_2(w)e^{jw\tau}dw}$
$\quad\quad\quad\quad$=$\frac{1}{2\pi}\displaystyle \int^{2\pi}_{0}{Y_1(w)Y_2^*(w)e^{-jw\tau}dw}$