https://blog.csdn.net/weixin_42612518/article/details/93491303

参考文章：百度文库文章
 但是该文章有很多部分，不知是matlab更新了还是咋地，有错误，踩了很多坑，仅做参考。
 
产生高斯白噪声的方法在“信号处理”专栏中有写，其时域和频域图如下：
 
 用matlab中求自（互）相关的xcorr函数，参考帮助文档
 
[r,lags]=xcorr(z,'biased');
 
其中z是上述高斯白噪声，r是自相关函数，lags是时间偏移量（索引），尤其注意’biased’参数，这是调试了半天才发现的问题。
 帮助文档里描述如下：
 
 相当于算出来的r除以了样本数，这是离散自相关函数计算步骤。
 如果不加这个参数，自相关函数值会变得很大。
 算出自相关函数之后，根据维纳辛钦定理，信号的功率谱密度和信号的自相关函数是一个傅里叶变换对。使用fft函数求自相关函数的傅里叶变换：
 
pdv=fft(r);
pdv=abs(fftshift(pdv))./length(pdv);
 
fftshift是频谱矫正函数，将fft后的结果以中心为分界，两边分别做镜像，得出来的结果再除以样本数，即双边频谱图。
 而这个频谱图就是原信号的功率谱密度。
 
plot((0:length(pdv)-1)*L/length(pdv)-L/2,pdv)
 
注意这里横坐标是频率，需要做映射处理，L为样本数量
 

 高斯白噪声其实看不出来啥，下面用一个没加噪声的纯信号来展示：
 
y=12*cos((2*pi)*100.*t)+15*cos((2*pi)*150.*t)+18*cos((2*pi)*210.*t)+10;
 
 

 上面的功率谱是由双边频谱的平方（除直流）计算出来的，下面的是用维纳辛钦定理计算出来的，可以看到功率谱几乎相同。
 信号的自相关函数如下：
 
 编者水平有限，很多知识点都是似懂非懂，如有错误欢迎指出！
 附代码：
 
fs=1000;%采样频率hz
T_N=1.5;%总时间s
t=1/fs:1/fs:T_N;%时间向量
L=T_N*fs;%样本长度
y=12*cos((2*pi)*100.*t)+15*cos((2*pi)*150.*t)+18*cos((2*pi)*210.*t)+10;%信号
subplot(2,1,1);
plot(t,y);
xlabel("时间/s")
ylabel("幅度/v")
title("时域")
fft_y=fft(y);%快速傅里叶变换
P = abs(fft_y/L);%取幅频特性，除以L
P = P(1:L/2+1);%截取前半段
P(2:end-1)=2*P(2:end-1);%单侧频谱非直流分量记得乘以2
f = fs*(0:(L/2))/L;%频率，最多到一半（奈奎斯特采样定理）
subplot(2,1,2);
plot(f,P);
xlabel("频率/Hz")
ylabel("幅度/v")
title("单边频谱")

figure(4)
[r,lags]=xcorr(y,'biased');%得到自相关函数的幅度和偏移量
subplot(2,1,1)
plot(lags,r)
xlabel("时间偏移/s")
ylabel("相关程度")
title("（自相关函数）")

fft_y=fftshift(fft_y);%频谱矫正
powerpu=abs(fft_y./L).^2;%双边功率谱
% subplot(2,1,1)
% plot((1:size(powerpu,2))-751,powerpu)
% xlabel("频率/Hz")
% ylabel("功率/W")
% title("功率谱")

pdv=fft(r,size(r,2));%对自相关函数快速傅里叶变换
pdv=abs(fftshift(pdv));%频谱矫正，让正半轴部分和负半轴部分的图像分别关于各自的中心对称，得到双边谱
subplot(2,1,2)
plot((1:length(pdv))*L/length(pdv)-L/2,pdv./length(powerpu))
xlabel("频率/Hz")
ylabel("功率谱W/Hz")
title("（功率谱）")

% z1=0.1*randn(1,201);%产生方差N(0,0.12)高斯白噪声
% [r1,lags]=xcorr(z1,'unbiased');%自相关函数的估计
% plot(lags,r1);
% f1=fft(r1);
% f2=fftshift(f1);%频谱校正
% l1=((0:length(f2)-1)*200/length(f2)-100);%功率谱密度x轴
% y4=abs(f2);
% figure(2)
% plot(l1,y4);

 功率谱密度
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 缩写：PSD
 
  
 定义：单位频率间隔的光功率或者噪声功率
 
  
 在光学中，功率谱密度（有时称为功率密度）会以下面两种形式出现：
 
  
光功率谱密度，定义为单位频率（或者波长）间隔的光功率，例如，单位为 mW/THz或者 mW/nm。
噪声功率密度，定义为某一个量涨落的功率谱密度，例如光功率或者相位，这里频率指的是噪声频率（而不是光频）
 
  
 下面会对讨论以上两个量。
 
  
 
 
 
  
 光功率谱密度
 
  
 当采用光谱分析仪来测量一些激光光源的光功率谱分布情况时，结果通常是功率谱密度（单位为 mW/nm或者 dBm/nm，其中dBm是分贝毫瓦，是相对于1mW的分贝值）或者给定测量带宽的功率。
 
  
 考虑功率谱密度时，有许多相关的量。主要考虑两个问题：
 
  
任何情况下，都存在处于某些波长或者频率范围的能量、功率和强度等。相应的，积分量具有的单位分别为焦耳、瓦特和瓦特每平方厘米等。
光功率谱密度可以是单位频率间隔（THz）的光功率，也可以是单位波长间隔（nm）的光功率。如果积分量的单位为瓦特，得到的功率密度为 W/THz或者 W/nm。它们之间转化时需要注意，因为转化因子与波长相关，频率和时间间隔为极小量时，应该根据 dν = (c / λ2) dλ进行转化。这表明波长越短时，每nm对应更多的THz。这导致的结果是光谱的峰值位置与功率谱密度采用频率间隔或波长间隔有关。如果忽视这一问题就会出现混淆或者得到的功率谱密度有错误。参看图1和图2。
 
  
 
 
 
  
 图1：不同温度黑体的功率谱密度，由普朗克定律得到，功率谱密度采用频率间隔表示。
 
  
 
 
  
 图2：与图1相同，功率谱密度采用波长间隔表示。这样改变了峰值位置。例如温度为6000K时，峰值为483nm，对应的频率为621 THz，而在上图中该温度下的峰值为353 THz.
 
  
 需要采用光功率谱密度给出脉冲形状光谱图。在这种情况下，功率谱密度是从一些窗口方程中提取一些数据在有限时间内进行傅里叶变换得到。
 
  
 
 
 
  
 噪声功率谱密度
 
  
 噪声PSD是指单位噪声频率（而不是光学频率）的平均功率。这一噪声PSD存在于几乎任何光学或者电子信号中。可以结合光功率（参阅强度噪声）一起使用，也会与相位噪声，频率噪声，脉冲时间噪声，脉冲能量或锁模激光器中的时间抖动一起讨论。类似的，PSD适用于电压或者电流中。
 
  
 
 
  
 图3：固体激光器的强度噪声光谱。这里显示的是功率谱密度相对于散粒噪声的曲线。
 
  
 PSDs可以定义为关注量傅里叶变换的模平方，但是这一直接方法仅仅当有限时间间隔内方程不为0 的情况。而常见的情形是方程在某一个平均值附近涨落（例如，考虑激光器功率或者相位涨落时），定义为：
 
  
 
 
  
 可以适用于X(t)变化情况时的PSD。这里，积分限制在一个有限时间间隔（因此得到的积分值是收敛的），傅里叶变换的模平方需要除以时间间隔T。最后计算当时间间隔T很长时的结果。这一定义意义非常清晰，但有时不方便（尤其是解析计算时）。因此可以采用Wiener-Khinchin理论，即
 
  
 
 
  
 其中
 
  
 
 
  
 是X(t)的自相关函数。
 
  
 在任何情况下，功率谱密度都是统计测量结果，可以对测量得到的真实数据取平均估计其值。简单测量一个轨迹只能得到粗略的PSD。
 
  
 功率谱密度可以表示为单边方程，即频率只取大于0的值，或者表示为两边方程，频率可正可负。通常采用光谱分析仪得到的光功率密度是单边的。工程理论中的噪声PSDs也都是单边的，而在物理理论中则是双边的。噪声功率密度由电子光谱分析仪测量，然后计算在时间域得到的数据。相对强度噪声表示为 dBc/Hz（相对于带宽为1 Hz的载流子的dB值），或者表示相位噪声为rad2/Hz。有时需要指明功率密度的平方根，单位为rad/√Hz。
 
  
 在一定噪声频率范围内的关注量（例如，光相位）的方差由PSD的积分得到：
 
  
 
 
  
 其平方根等于均方根值。然而，这一积分不总是收敛（例如，当PSD存在f=0的奇点时）。而相位噪声中，发散对应的是有限线宽。噪声积分用于计算信噪比。
 
  
 然而，测量或者计算功率谱密度容易出现很多错误。一些常见错误为：
 
  
混淆单边或者双边PSDs，或者没有弄清楚采用哪种
电子光谱分析仪设置错误，例如，考虑探测器模式和平均方法
没有在电子光谱分析仪得到的数据中添加纠正因子（例如，有效噪声带宽）
当由时间域的数据计算PSDs时没有选择合适的窗口消除错误
 
  
 在实验环境中正确处理功率谱密度需要在数学基础，物理原理和电子光谱分析仪方面进行充足的培训。
 
  
 
 
 
  
 
 
  
 
   
在统计里，两个随机变量X，Y的相关函数定义如下：
 
  
 
  

   
  
 
  
 
   
也就是两个随机变量协方差除以标准差之积。
 
   
如果X是一个时间的随机变量序列，将不同时间起始点的两个序列Xt和Xs看成两个随机变量，上面的相关函数则可表示为：
 
  
 
  
 
   

    
   
  如果Xt是一个二阶稳态过程，即均值和方差不随时间而变化。，此时相关函数只是时间差
   τ=s-t的一个函数，则上式可重写为：
  
 
  
 
   

    
   
  这就是统计学上的
   自相关函数。
  
 
  
 
  
就这么个玩意，表达了个什么意思呢？
 
  
让我们把期望展开来看，也就是当随机变量序列有样本点时：
 
   
  
  
 
   
  
 
   
而向量内积计算结果，是两个向量间夹角的余弦值。当两个向量相同时，夹角为0，而余弦值，即自相关函数取值为1。
 
   
所以，自相关函数在统计上，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。
 
   
而在信号处理中，一个信号的自相关函数以卷积的形式表达：
 
  
 
  

    
   
  
 
  
 
   
可以看出同统计中的形式相似，所以，信号处理中的自相关函数，同样也反映同一个信号在不同时刻取值间的相关程度。若信号呈周期性，则当τ取相应的周期值时，自相关函数可取得最大值。所以，可以通过自相关函数来分析函数周期性。
 
   
 
   
在图像处理里，常应用到的是标准化互相关函数（Normalized Cross-Correlation，NCC）。比如，NCC在图像模板匹配时可用于度量匹配距离。NCC表达形式，或本质和统计里的相关函数一致。
 
   
 
   

    
   
 图像减掉均值，就具有了亮度不变性，然后再除以标准差，就具有了对比度不变性。就是说，NCC度量距离具有在亮度和对比度变化下的稳定性。 
   
相关函数，就说到这里，现在开始由相关函数引到功率谱上。
 
   
 
   
功率谱或有时叫能量谱（power spectrum），或又叫功率密度谱（power density spectrum），或叫谱密度（spectral density或power spectral density），虽然 名字很多，但总还是靠谱。
 
   
 
   

    
   
  即对所有频率下的能量积分或求和，就是信号的总能量。从这里也可以看出，功率谱表达的是信号某个频率下所拥有的能量。事实上，功率谱和直方图有很大的相似性。当直方图用于统计一个信号，每个频率区间中的能量时，其意义就和功率谱一致。 
   
如何计算信号的功率谱呢？维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchine Theorem）给出了一种计算方法:
 
   首先用文字表述，一个信号的
   功率谱密度就是该信号自相关函数的傅里叶变换
   。 
   
 
   

    
   
 所以，当知道一个信号的傅里叶变换时，也可以直接求出该信号的功率谱。
  
 
  

   
 
  
 
  

   
 
  
 
  

   
 
  
 
  
 
   
 随机过程的自相关函数与功率谱PPT    http://max.book118.com/html/2011/1013/630938.shtm
 
   
 
  
 
  
 
 
 

 
第九讲互功率谱、性质,相干函数白噪声5
 
* * * * * 3、白噪声 1、互功率谱密度 2、自功率谱、互谱的应用 第十讲 * 四、联合平稳的随机信号的互功率谱 1、样本函数的互功率谱 互功率谱： 2、联合平稳的随机信号的互功率谱密度 若 及 为实函数 * 3、互功率谱密度的第二种定义(P68) 可用来描述两个随机过程的在各频率点相关性 若 及 联合平稳， 绝对可积，有 * 与 是?的奇函数； 是?的偶函数； 与 若不相关，则 4、互功率谱密度的性质： 若 与 正交，则 * 6、相干函数 可用来描述来两个信号在各频率处的相关程度 两个平稳随机过程 的相干函数定义为： 相干函数可以确定输出信号 有多大程度来自于输入信号 。当 ，说明与输出完全来自于输入，且系统必为线性系统；若 ，对于线性系统表明在频率点 处，输出谱 有多少成分来自于输入谱 ，其余部分可能来自于另外的信号源或噪声；若 ， 和 完全不相干。 * 五、功率谱的应用 周期性检测 语音频谱分析 1、自谱应用 国际音标a：的时域波形与功率谱 * 五、功率谱的应用 脑电图分析 左右脑电信号的相干函数 衡量滤波器的特性 衡量系统的噪声系数 * 2、互谱的应用 估计线性系统频响函数(系统辨识) 若两个信号分别是一个线性系统的输入和输出信号： 滞后时间的测量： 代表了系统对频率 的相位延迟，本质上是系统的滞后时间 * 3、相干函数的应用 系统辨识的精度(下一章P128) 噪声源(振动源)分析 系统分析 1)系统不是线性的 2)输入端混有其它输入信号 3)输出有外界干扰信号 ，有三种可能情况： 若 自谱 互谱 相干函数 放大器 放大器 * 1、(理想)白噪声 若平稳过程的均值为零，功率谱密度 在整个频率轴上均匀分布，即满足： 六、白噪声与白噪声序列 白噪声的功率谱密度 ) ( w X G 2 / 0 N w 0 “白”是借用了光学中“白光”这一术语。任意的非白噪声被定义为色噪声 1)定义 * 白噪声相关系数： 2)白噪声自相关函数和相关系数： ) ( t X R t 0 ) ( 2 0 t d N * 3)白噪声的特点和意义 理想化的数学模型 任意两个相邻时刻的状态都不相关。时域中白噪声的 样本函数变化极快。 功率谱无限宽，平均功率无限大 * 数学上有很好的运算性质 把信号与白噪声一起分析，运算非常方便 可以作为重要噪声的模型 自然界许多重要的噪声过程，具有近似均匀的谱密度， 如通信系统的热噪声 可以代替实际应用中的宽带噪声 只要噪声在比有用信号的频带宽的多的范围内 具有近似平坦的功率谱，都可看作白噪声 * 电路中各电阻内电子热运动(布朗运动)产生的随机起伏 电压(电流) 阻值为R的电阻两端的噪声电压 功率谱密度为 高斯分布 2、热噪声 ，其均方值为 平坦功率谱： 且 热噪声建模为高斯白噪声 * 热噪声是限制接收机灵敏度的主要因素。 接收机输入端：信号+噪声，理论上希望接收机系统本身 不在引入额外的噪声(信噪比恒定)，实际上任何电阻元 件都引入噪声，衡量一个系统性能的特征量： 射电天文学和卫星通信，达到F=1.1 3、噪声系数和噪声温度 分贝表示： 理想系统：F=1 噪声系数(指数)： * 噪声温度(系统内部热噪声的等效温度) 如一个高频头， 为系统本身的噪声温度，与噪声系数的关系： 外部噪声源 微弱信号接收的主要障碍已不是接收机噪声，而是由天 线引入的外部输入噪声 ，一般采用噪声温度 其中， * 4、白序列 白序列 的自相关函数满足： 与连续的白噪声过程对应的随机序列是白序列(实际存在)，也可以看作是白噪声等间隔抽样得到： 由计算机仿真得到的白序列是近似的，称为伪随机序列 MATLAB产生：高斯白噪声 均匀分布的白噪声 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *