精华内容
下载资源
问答
  • OFDM完整仿真过程及解释(MATLAB)

    万次阅读 多人点赞 2019-04-19 17:03:45
    在接收端则用同样的码进行相关同步接收、解扩及恢复所传信息数据” 根据香农定理,带宽和信噪比可用互换,扩频扩展了带宽,则对信噪比的要求可降低。 4.5 导频 导频不携带信息,导频是双方已知的数据,是用来做信道...

    因为是复制过来,如果出现图片显示不完整以及需要源程序请点击下面链接查看原文:

    OFDM完整仿真过程及解释(MATLAB) - 子木的文章 - 知乎

    点击这里访问原文

    后面的更新没有同步,点上面链接可以看更新部分。

     

    目录:

    一、说明

    二、ofdm总体概述

    三、基本原理

    四、过程中涉及的技术

    五、OFDM基本参数的选择

    六、OFDM的MATLAB仿真程序

     

    一、说明

    0.能找到这篇文章,说明对ofdm已经有一点了解,所以其原理就不再赘述,这篇代码的目的只是希望能对ofdm整个过程有一个理解;

    1.看书上ofdm介绍挺简单的,自己来仿真才发现很多知识点都不知道;

    2.花了很长时间才理清整个ofdm过程,网上的程序都是一段一段的,不能直接理解整个过程。所以想着自己来做一个完整过程的仿真,加深理解;

    3.基带信号能完成整个过程,但是想加进频带传输这一部分,就完整了;

    4.信道部分想用瑞利信道的,程序写出来了,但是误差和信道估计这一块还不是很明白,所以就先用的高斯信道;

    5.不足之处欢迎指正。。。。

    二、概述

    OFDM是一种特殊的多载波传输方案,它可以被看作是一种调制技术,也可以被当作一种复用技术。

    简单来说:OFDM是一种多载波的传输方法,它将频带划分为多个子信道并行传输数据,将高速数据流分成多个并行的低速数据流,然后调制到每个信道的子载波上进行传输。由于它将非平坦衰落无线信道转化成多个正交平坦衰落的子信道,从而可消除信道波形间的干扰,达到对抗多径衰落的目的。

    正交频分复用(OFDM)是对多载波调制(MCM)的一种改进,在。它的特点是:各子载波相互正交,所以扩频调制后的频谱可以相互重叠,不但减少了子载波间的相互干扰,还大大提高了频谱利用率。

    选择OFDM的一个很大的原因是该系统能够很好的对抗频率选择性衰落和窄带干扰。在单载波系统中,一次衰落或者干扰会导致整个链路失效,但是在多载波系统中,某一时刻只会有少部分的子信道受到深衰落的影响。

    三、基本原理

    3.1 OFDM系统收发机的典型(根据实际需要可添/删部分)框图如下:

    OFDM收发机框图

    其中,上半部分对应于发射机链路,下半部分对应于接收机链路。

    发送端将被传输的数字信号转换成子载波幅度和相位的映射,并进行离散傅里叶变换(IDFT),将数据的频谱表达式变到时域上。IFFT和IDFT变换的作用相同,只是有更高的计算效率,所以适用于所有的应用系统。接收端进行与发送端相反的操作,用FFT变换分解,子载波的幅度和相位最终转换回数字信号。

    这里理解为传输的频域信号是因为IFFT是从频域到时域,实际上这里IFFT充当的是一个实现子载波正交的作用,具体可以推导其DFT公式。知乎里公式编辑太麻烦了。

     

    3.2 OFDM调制与解调

    一个OFDM符号之内包括多个经过调制的子载波的合成信号,其中每个子载波都可以收到psk(相移键控)和qam(正交幅度调制)的调制。

    OFDM发射机将信息比特流映射成一个psk或qam符号序列,之后将串行的符号序列转换为并行符号流。每N个经过串并转换的符号被不同的子载波调制。

    OFDM符号是N个并行符号的复合信号,若单个串行符号的传输时间(周期)是Ts,则一个OFDM符号的持续时间(周期)Tsym=N*Ts。

    频域调制信号X[k]的频率为:fk=k/Tsym,子载波数量为N,则k=0,1,2.....N-1。(由DFT原理推导)

    四、过程中涉及的技术

    为什么要用?怎么用?

    4.1 保护间隔

    多径信道会对OFDM符号造成ISI影响,破坏了子载波间的正交性。故需要采取一些方法来消除多径信道带来的符号间干扰(ISI)影响,即插入保护间隔。

    保护间隔有两种插入方法:一种是补零(zp),即在保护间隔中填充0;另一种是插入循环前缀(cp)或循环后缀(cs)实现OFDM的循环扩展(为了某种连续性)。

    zp是在保护间隔内不插入任何信号,但是在这种情况下,由于多径传播的影响,会产生载波间干扰(ICI),即不同的子载波间会产生干扰。

    一般采用cp。cp是将OFDM后部的采样复制到前面,长度为Tcp,故每个符号的长度为Tsym=Tsub+Tcp,Tsub为数据部分子载波数。Tcp大于或等于多径时延,符号间的ISI影响将被限制在保护间隔中,因此不会影响下一个OFDM的FFT变换。

    4.2交织

    交织的作用是将突发错误转换为随机错误,有利于前向纠错码的译码,提高了整个通信系统的可靠性。交织由两个变换过程组成。第一次变换保证了相邻的编码比特被映射到不相邻的子载波上。第二次变换保证了相邻的编码比特被分别映射到星座图的重要和非重要比特上,避免出现长时间的低比特位映射。

    交织块的长度Ncbps,对qpsk、16qam、64qam分别为2、4、6,s=Ncbps/2,d=16。

    4.3信道编码

    由于移动通信存在干扰和衰落,在信号传输过程中将出现差错,故对数字信号必须采用纠、检错技术,即纠、检错编码技术,以增强数据在信道中传输时抵御各种干扰的能力,提高系统的可靠性。

    这里的信道编码一般采用卷积编码,Viterbi译码。

    卷积编码是现代数字通信系统中常见的一种前向纠错码,区别于常规的线性分组码,卷积编码的码字输出不仅与当前时刻的信息符号输入有关,还与之前输入的信息符号有关。

    4.4 扩频

    “扩频通信技术是一种信息传输方式,其信号所占有的频带宽度远大于所传信息必需的最小带宽;频带的扩展是通过一个独立的码序列来完成,用编码及调制的方法来实现的,与所传信息数据无关;在接收端则用同样的码进行相关同步接收、解扩及恢复所传信息数据”

    根据香农定理,带宽和信噪比可用互换,扩频扩展了带宽,则对信噪比的要求可降低。

    4.5 导频

    导频不携带信息,导频是双方已知的数据,是用来做信道估计的。

    在接收机中,虽然利用接收到的段训练序列、长训练序列可以进行信道均衡、频率偏差校正,但符号还会存在一定的剩余偏差,且偏差会随着时间的累积而累积,会造成所有子载波产生一定的相位偏移。因此,还需要不断地对参考相位进行跟踪。要能实现这个功能,需要在52个非0子载波中插入导频符号。

    4.6 RF(射频)调制

    OFDM调制器的输出产生了一个基带信号,将此基带信号与所需传输的频率进行混频操作,利用模拟技术或数字上变频可完成。由于数字调制技术提高了处理I、Q信道之间的匹配性和数字IQ调制器相位的准确性,将会更加精确。

    五、OFDM基本参数的选择

    5.1 各种OFDM参数的选择就是需要在多项要求冲突中进行折衷考虑。通常来说,首先要确认3个参数:带宽、比特率、及保护间隔。

    5.1.1 按照惯例,保护间隔的时间长度应该为应用移动环境信道的时延扩展均方根值的2~4倍。

    5.1.2 确定保护间隔之后,则OFDM符号周期长度就确定了。为了最大限度的减少由于插入保护比特所带来的信噪比的损失,OFDM符号周期长度远远大于保护间隔长度。但是符号周期又不能任意大,否则就需要更多的子载波,带宽不变,子载波间隔就变小,系统的实现复杂度就提高了,而且还加大了系统的峰值平均功率比,同时系统对频率偏差更加敏感。因此,一般选择符号周期长度是保护间隔的5倍,这样,由于插入保护比特所造成的信噪比损耗只有1dB左右。

    5.1.3 确定保护间隔和符号周期长度之后,子载波的数量可由-3dB带宽除以子载波间隔(即去掉保护间隔之后的符号周期的倒数)得到。或者可由所要求比特速率除以每个子信道的比特速率来确定子载波的数量。每个信道中所传输的比特速率可由调制类型、编码速率、和符号速率来确定。

    5.2 有用符号持续时间T

    T对子载波之间间隔、译码的等待周期都有影响,为了保持数据的吞吐量,子载波数目和FFT的长度要有相对较大的数量,这就导致符号持续时间变长。总之,符号周期长度的选择以保证信道的稳定为前提。

    5.3 子载波数

    N=1/T

    其数值与FFT处理过的复数点数相对应,需适应数据速率和保护间隔的要求。

    5.4 调制模式

    OFDM系统的调制模式基于功率和频谱利用率来选择,可采用qam、psk。

    为了使所有的点有相同的平均功率,二进制序列映射后的复数要归一化。(BPSK\QPSK\16QAM\64QAM分别对应乘以1、1/根号2、1/根号10、1/根号42),解调的时候再变回去。

    5.5 以具体实例说明;

    要求:(1)比特率为25Mbit/s(2)可容忍的时延扩展为200ns(3)带宽小于18MHz。

    1)由200ns时延扩展得保护间隔为800ns;

    2)由保护间隔800ns得符号周期长度6*800ns=4.8us;

    3)子载波的间隔选取4.8-0.8=4us的倒数,即250KHz;

    4)由所要求的比特速率与OFDM符号速率的比值,每个符号需要传送的比特:25Mbit/s)/(1/4.8us)=120bit。

    5)为了完成上面120bit/符号,有两种选择:利用16QAM和码率为1/2的编码方法,这样每个子载波携带2bit的有用信息,因此需要60个子载波;另一种是利用QPSK和码率为3/4的编码方法,每个子载波携带1.5bit信息。因此需要80个子载波,然而80个子载波意外着带宽:80*250KHz=20MHz,大于所给带宽要求,故取第一种,即60个子载波。可利用64点IFFT来实现,剩余4个子载波补0.

    六、OFDM的MATLAB仿真主程序

    clc;
    clear;
    
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    %q1:ifft点数难道不是应该等于子载波数吗?子载波数与ifft点数的关系?
    %a:ifft点数等于子载波数
    %q2:对矩阵进行fft?
    %a:y可以是一向量或矩阵,若y为向量,则Y是y的FFT,并且与y具有相同的长度。若y为一矩阵,则Y是对矩阵的每一列向量进行FFT。
    %q3:怎么对ofdm信号上变频
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    
    %% 参数设置
    
    N_sc=52;      %系统子载波数(不包括直流载波)、number of subcarrier
    N_fft=64;            % FFT 长度
    N_cp=16;             % 循环前缀长度、Cyclic prefix
    N_symbo=N_fft+N_cp;        % 1个完整OFDM符号长度
    N_c=53;             % 包含直流载波的总的子载波数、number of carriers
    M=4;               %4PSK调制
    SNR=0:1:25;         %仿真信噪比
    N_frm=10;            % 每种信噪比下的仿真帧数、frame
    Nd=6;               % 每帧包含的OFDM符号数
    P_f_inter=6;      %导频间隔
    data_station=[];    %导频位置
    L=7;                %卷积码约束长度
    tblen=6*L;          %Viterbi译码器回溯深度
    stage = 3;          % m序列的阶数
    ptap1 = [1 3];      % m序列的寄存器连接方式
    regi1 = [1 1 1];    % m序列的寄存器初始值
    
    
    %% 基带数据数据产生
    P_data=randi([0 1],1,N_sc*Nd*N_frm);
    
    
    %% 信道编码(卷积码、或交织器)
    %卷积码:前向纠错非线性码
    %交织:使突发错误最大限度的分散化
    trellis = poly2trellis(7,[133 171]);       %(2,1,7)卷积编码
    code_data=convenc(P_data,trellis);
    
    
    %% qpsk调制
    data_temp1= reshape(code_data,log2(M),[])';             %以每组2比特进行分组,M=4
    data_temp2= bi2de(data_temp1);                             %二进制转化为十进制
    modu_data=pskmod(data_temp2,M,pi/M);              % 4PSK调制
    % figure(1);
    scatterplot(modu_data),grid;                  %星座图(也可以取实部用plot函数)
    
    %% 扩频
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    %扩频通信信号所占有的频带宽度远大于所传信息必需的最小带宽
    %根据香农定理,扩频通信就是用宽带传输技术来换取信噪比上的好处,这就是扩频通信的基本思想和理论依据。
    %扩频就是将一系列正交的码字与基带调制信号内积
    %扩频后数字频率变成了原来的m倍。码片数量 = 2(符号数)* m(扩频系数)
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    
    code = mseq(stage,ptap1,regi1,N_sc);     % 扩频码的生成
    code = code * 2 - 1;         %将1、0变换为1、-1
    modu_data=reshape(modu_data,N_sc,length(modu_data)/N_sc);
    spread_data = spread(modu_data,code);        % 扩频
    spread_data=reshape(spread_data,[],1);
    
    %% 插入导频
    P_f=3+3*1i;                       %Pilot frequency
    P_f_station=[1:P_f_inter:N_fft];%导频位置(导频位置很重要,why?)
    pilot_num=length(P_f_station);%导频数量
    
    for img=1:N_fft                        %数据位置
        if mod(img,P_f_inter)~=1          %mod(a,b)就是求的是a除以b的余数
            data_station=[data_station,img];
        end
    end
    data_row=length(data_station);
    data_col=ceil(length(spread_data)/data_row);
    
    pilot_seq=ones(pilot_num,data_col)*P_f;%将导频放入矩阵
    data=zeros(N_fft,data_col);%预设整个矩阵
    data(P_f_station(1:end),:)=pilot_seq;%对pilot_seq按行取
    
    if data_row*data_col>length(spread_data)
        data2=[spread_data;zeros(data_row*data_col-length(spread_data),1)];%将数据矩阵补齐,补0是虚载频~
    end;
    
    %% 串并转换
    data_seq=reshape(data2,data_row,data_col);
    data(data_station(1:end),:)=data_seq;%将导频与数据合并
    
    %% IFFT
    ifft_data=ifft(data); 
    
    %% 插入保护间隔、循环前缀
    Tx_cd=[ifft_data(N_fft-N_cp+1:end,:);ifft_data];%把ifft的末尾N_cp个数补充到最前面
    
    %% 并串转换
    Tx_data=reshape(Tx_cd,[],1);%由于传输需要
    
    %% 信道(通过多经瑞利信道、或信号经过AWGN信道)
     Ber=zeros(1,length(SNR));
     Ber2=zeros(1,length(SNR));
    for jj=1:length(SNR)
        rx_channel=awgn(Tx_data,SNR(jj),'measured');%添加高斯白噪声
        
    %% 串并转换
        Rx_data1=reshape(rx_channel,N_fft+N_cp,[]);
        
    %% 去掉保护间隔、循环前缀
        Rx_data2=Rx_data1(N_cp+1:end,:);
    
    %% FFT
        fft_data=fft(Rx_data2);
        
    %% 信道估计与插值(均衡)
        data3=fft_data(1:N_fft,:); 
        Rx_pilot=data3(P_f_station(1:end),:); %接收到的导频
        h=Rx_pilot./pilot_seq; 
        H=interp1( P_f_station(1:end)',h,data_station(1:end)','linear','extrap');%分段线性插值:插值点处函数值由连接其最邻近的两侧点的线性函数预测。对超出已知点集的插值点用指定插值方法计算函数值
    
    %% 信道校正
        data_aftereq=data3(data_station(1:end),:)./H;
    %% 并串转换
        data_aftereq=reshape(data_aftereq,[],1);
        data_aftereq=data_aftereq(1:length(spread_data));
        data_aftereq=reshape(data_aftereq,N_sc,length(data_aftereq)/N_sc);
        
    %% 解扩
        demspread_data = despread(data_aftereq,code);       % 数据解扩
        
    %% QPSK解调
        demodulation_data=pskdemod(demspread_data,M,pi/M);    
        De_data1 = reshape(demodulation_data,[],1);
        De_data2 = de2bi(De_data1);
        De_Bit = reshape(De_data2',1,[]);
    
    %% (解交织)
    %% 信道译码(维特比译码)
        trellis = poly2trellis(7,[133 171]);
        rx_c_de = vitdec(De_Bit,trellis,tblen,'trunc','hard');   %硬判决
    
    %% 计算误码率
        [err,Ber2(jj)] = biterr(De_Bit(1:length(code_data)),code_data);%译码前的误码率
        [err, Ber(jj)] = biterr(rx_c_de(1:length(P_data)),P_data);%译码后的误码率
    
    end
     figure(2);
     semilogy(SNR,Ber2,'b-s');
     hold on;
     semilogy(SNR,Ber,'r-o');
     hold on;
     legend('4PSK调制、卷积码译码前(有扩频)','4PSK调制、卷积码译码后(有扩频)');
     hold on;
     xlabel('SNR');
     ylabel('BER');
     title('AWGN信道下误比特率曲线');
    
     figure(3)
     subplot(2,1,1);
     x=0:1:30;
     stem(x,P_data(1:31));
     ylabel('amplitude');
     title('发送数据(以前30个数据为例)');
     legend('4PSK调制、卷积译码、有扩频');
    
     subplot(2,1,2);
     x=0:1:30;
     stem(x,rx_c_de(1:31));
     ylabel('amplitude');
     title('接收数据(以前30个数据为例)');
     legend('4PSK调制、卷积译码、有扩频');
    

    七、能看到这里,如果有丢丢帮助的话,emmmm点个赞~呗

    原文:

    整个过程

    本来对每一步都有讲解注释的,但是程序编辑多了感觉不美观,就删掉了。比如扩频,其原理、作用、如何实现~

    三、代码及说明

    1.尽量把每一句程序都注释,能达到初学者拿到程序就能懂的程度;

    2.下面这段程序是上变频之前的,包含了画图,对ofdm信号有一个直观的感受(与上面图片中的流程可能冲突,这里仅仅是为了画图解释,所以这也是最开始学容易绕晕的地方)

    clear;
    %% 参数设置
    sub_carriers=2048;%子载波数
    T = 1 / sub_carriers;
    time = [0:T:1-T];% Nifft份,每份相隔T
    
    Lp=4984;
    P_Tx=(rand(1,Lp)>0.5);%(bits)%产生1个长为Lp的数据包:
    conv_out=convolutional_en(P_Tx);%(卷积编码):
    interleave_table = interleav_matrix(ones(1,2*(Lp+8)));
    interleav_out = interleaving(conv_out ,interleave_table);%(交织器)
    
    x=qpsk(interleav_out);%(4QAM 调制)
    L=length(x);%信号长度
    
    s=48;
    symbol_used_len=L/s;%把输入分为S个符号,每个符号长为symbol_used_len
    %循环前缀的长度
    cp=256;
    %每一个OFDM符号的抽样值应补‘0’个数zeros_pad
    zeros_pad=sub_carriers-symbol_used_len;
    %每一个OFDM符号一侧应该补‘0’个数zeros_pad_side
    zeros_pad_side=zeros_pad/2;
    
    %对输入信号进行分割,分割为s个符号,再对每个符号进行FFT运算,实现OFDM解调,并保证能量不变
    time_domain_x_link=[];
    for I=0:(s-1)
        %对输入进行分割 
        x_temp=x(I*symbol_used_len+1:I*symbol_used_len+symbol_used_len);
        %对每个分割的部分进行补零操作,使其长为sub_carriers
        x_temp_pad=[zeros(1,zeros_pad_side),x_temp,zeros(1,zeros_pad_side)];
        %对每个符号进行IFFT运算
        time_domain_x_temp=ifft(x_temp_pad)*sqrt(sub_carriers);
        %对每个符号添加循环前缀
        time_domain_x_cp_temp=[time_domain_x_temp(sub_carriers-cp+1:sub_carriers),time_domain_x_temp];
        %将符号连接成为串行数据流
        time_domain_x_link=[time_domain_x_link,time_domain_x_cp_temp];
    
    end
    sum_xI = real(time_domain_x_link);
    sum_xQ = imag(time_domain_x_link);
    
    figure;
    num=1000;%画出前num个点  
    xaxis   = zeros(length(time(1:num)));
    plot(time(1:num), sum_xI(1:num), 'b:', time(1:num), sum_xQ(1:num), 'g:', time(1:num), abs(sum_xI(1:num)+j*sum_xQ(1:num)), 'k-', time(1:num), xaxis, 'r-');
    ylabel('y'),xlabel('t'),
    title(['前', num2str(num),'个点经ifft的QAM符号实部之和虚部之和以及实部与虚部的绝对值波形']),
    legend('实部之和','虚部之和', '绝对值');

    3.与上面图片流程相符的代码

    代码前面的问题也是我在这个过程中遇到的,困扰了好久,可以带着问题看看。欢迎讨论。

    clc;
    clear;
    
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    %q1:fft点数难道不是应该等于子载波数吗?子载波数与ifft点数的关系?
    %q2:对矩阵进行fft?
    %q3:怎么对ofdm信号上变频
    %q4:基带速率是多少?怎么实现?
    %q5传输频带是多少?怎么实现?
    %q6子载波间隔是多少?怎么实现?
    %q7符号周期是多少?怎么实现?
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    
    %% 参数设置
    
    N_sc=52;      %系统子载波数(不包括直流载波)、number of subcarrier
    N_fft=64;            % FFT 长度
    N_cp=16;             % 循环前缀长度、Cyclic prefix
    N_symbo=N_fft+N_cp;        % 1个完整OFDM符号长度
    N_c=53;             % 包含直流载波的总的子载波数、number of carriers
    M=4;               %4PSK调制
    SNR=0:1:25;         %仿真信噪比
    N_frm=10;            % 每种信噪比下的仿真帧数、frame
    Nd=6;               % 每帧包含的OFDM符号数
    P_f_inter=6;      %导频间隔
    data_station=[];    %导频位置
    L=7;                %卷积码约束长度
    tblen=6*L;          %Viterbi译码器回溯深度
    stage = 3;          % m序列的阶数
    ptap1 = [1 3];      % m序列的寄存器连接方式
    regi1 = [1 1 1];    % m序列的寄存器初始值
    
    
    %% 基带数据数据产生
    P_data=randi([0 1],1,N_sc*Nd*N_frm);
    
    
    %% 信道编码(卷积码、或交织器)
    %卷积码:前向纠错非线性码
    %交织:使突发错误最大限度的分散化
    trellis = poly2trellis(7,[133 171]);       %(2,1,7)卷积编码
    code_data=convenc(P_data,trellis);
    
    
    %% qpsk调制
    data_temp1= reshape(code_data,log2(M),[])';             %以每组2比特进行分组,M=4
    data_temp2= bi2de(data_temp1);                             %二进制转化为十进制
    modu_data=pskmod(data_temp2,M,pi/M);              % 4PSK调制
    % figure(1);
    scatterplot(modu_data),grid;                  %星座图(也可以取实部用plot函数)
    
    %% 扩频
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    %扩频通信信号所占有的频带宽度远大于所传信息必需的最小带宽
    %根据香农定理,扩频通信就是用宽带传输技术来换取信噪比上的好处,这就是扩频通信的基本思想和理论依据。
    %扩频就是将一系列正交的码字与基带调制信号内积
    %扩频后数字频率变成了原来的m倍。码片数量 = 2(符号数)* m(扩频系数)
    %————————————————————————————————————————————————————————%
    
    code = mseq(stage,ptap1,regi1,N_sc);     % 扩频码的生成
    code = code * 2 - 1;         %将1、0变换为1、-1
    modu_data=reshape(modu_data,N_sc,length(modu_data)/N_sc);
    spread_data = spread(modu_data,code);        % 扩频
    spread_data=reshape(spread_data,[],1);
    
    %% 插入导频
    P_f=3+3*1i;                       %Pilot frequency
    P_f_station=[1:P_f_inter:N_fft];%导频位置(导频位置很重要,why?)
    pilot_num=length(P_f_station);%导频数量
    
    for img=1:N_fft                        %数据位置
        if mod(img,P_f_inter)~=1          %mod(a,b)就是求的是a除以b的余数
            data_station=[data_station,img];
        end
    end
    data_row=length(data_station);
    data_col=ceil(length(spread_data)/data_row);
    
    pilot_seq=ones(pilot_num,data_col)*P_f;%将导频放入矩阵
    data=zeros(N_fft,data_col);%预设整个矩阵
    data(P_f_station(1:end),:)=pilot_seq;%对pilot_seq按行取
    
    if data_row*data_col>length(spread_data)
        data2=[spread_data;zeros(data_row*data_col-length(spread_data),1)];%将数据矩阵补齐,补0是虚载频~
    end;
    
    %% 串并转换
    data_seq=reshape(data2,data_row,data_col);
    data(data_station(1:end),:)=data_seq;%将导频与数据合并
    
    %% IFFT
    ifft_data=ifft(data); 
    
    %% 插入保护间隔、循环前缀
    Tx_cd=[ifft_data(N_fft-N_cp+1:end,:);ifft_data];%把ifft的末尾N_cp个数补充到最前面
    
    %% 并串转换
    Tx_data=reshape(Tx_cd,[],1);%由于传输需要
    
    %% 信道(通过多经瑞利信道、或信号经过AWGN信道)
     Ber=zeros(1,length(SNR));
     Ber2=zeros(1,length(SNR));
    for jj=1:length(SNR)
        rx_channel=awgn(Tx_data,SNR(jj),'measured');%添加高斯白噪声
        
    %% 串并转换
        Rx_data1=reshape(rx_channel,N_fft+N_cp,[]);
        
    %% 去掉保护间隔、循环前缀
        Rx_data2=Rx_data1(N_cp+1:end,:);
    
    %% FFT
        fft_data=fft(Rx_data2);
        
    %% 信道估计与插值(均衡)
        data3=fft_data(1:N_fft,:); 
        Rx_pilot=data3(P_f_station(1:end),:); %接收到的导频
        h=Rx_pilot./pilot_seq; 
        H=interp1( P_f_station(1:end)',h,data_station(1:end)','linear','extrap');%分段线性插值:插值点处函数值由连接其最邻近的两侧点的线性函数预测。对超出已知点集的插值点用指定插值方法计算函数值
    
    %% 信道校正
        data_aftereq=data3(data_station(1:end),:)./H;
    %% 并串转换
        data_aftereq=reshape(data_aftereq,[],1);
        data_aftereq=data_aftereq(1:length(spread_data));
        data_aftereq=reshape(data_aftereq,N_sc,length(data_aftereq)/N_sc);
        
    %% 解扩
        demspread_data = despread(data_aftereq,code);       % 数据解扩
        
    %% QPSK解调
        demodulation_data=pskdemod(demspread_data,M,pi/M);    
        De_data1 = reshape(demodulation_data,[],1);
        De_data2 = de2bi(De_data1);
        De_Bit = reshape(De_data2',1,[]);
    
    %% (解交织)
    %% 信道译码(维特比译码)
        trellis = poly2trellis(7,[133 171]);
        rx_c_de = vitdec(De_Bit,trellis,tblen,'trunc','hard');   %硬判决
    
    %% 计算误码率
        [err,Ber2(jj)] = biterr(De_Bit(1:length(code_data)),code_data);%译码前的误码率
        [err, Ber(jj)] = biterr(rx_c_de(1:length(P_data)),P_data);%译码后的误码率
    
    end
     figure(2);
     semilogy(SNR,Ber2,'b-s');
     hold on;
     semilogy(SNR,Ber,'r-o');
     hold on;
     legend('4PSK调制、卷积码译码前(有扩频)','4PSK调制、卷积码译码后(有扩频)');
     hold on;
     xlabel('SNR');
     ylabel('BER');
     title('AWGN信道下误比特率曲线');
    
     figure(3)
     subplot(2,1,1);
     x=0:1:30;
     stem(x,P_data(1:31));
     ylabel('amplitude');
     title('发送数据(以前30个数据为例)');
     legend('4PSK调制、卷积译码、有扩频');
    
     subplot(2,1,2);
     x=0:1:30;
     stem(x,rx_c_de(1:31));
     ylabel('amplitude');
     title('接收数据(以前30个数据为例)');
     legend('4PSK调制、卷积译码、有扩频');

    4.上面就是整个基带传输过程,其实上变频和下变频也很简单,将信号分为IQ路,分别乘cos和-sin即可,关于这一步,可以参考我另一篇8PSK调制的文章,在那篇文章里有相似的原理。链接:https://blog.csdn.net/qq_41687938/article/details/89514982和贼详细的8PSK调制与解调详细过程 - 子木的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/47258287

    5.本来打算解释解释原理的,但是想着网上资料很多,就不献丑了,想打王者了~

    展开全文
  • 计算机组成原理期末复习【超实用】

    万次阅读 多人点赞 2019-08-14 00:07:42
    鉴于我用公式写易误导大家,我上传书上原解如下: 4.4 辅助存储器 1. 若某磁盘有两个记录面,每面80个磁道,每磁道18扇区,每扇区存512字节,计算该磁盘的容量是多少? 解: 18×512×80×2B=1440KB 举个栗子( o=...

    计算机组成原理(第二版)唐朔飞  编著(课本有些地方还不错,可以下载电子版看看)

    b站2小时讲解链接 https://www.bilibili.com/video/BV1x4411q7Fz/初次录讲解视频,各种差错和画音不同步请各位谅解,我录到后面都想放弃了,只当是做做博文的推广,想着知识点都写得挺明白了,我个人看博文比看视频效率高,实在没想到挺多人宁愿看视频。我后台还看到有些人说听不懂,如果全都听不懂的话,我建议你们另寻高人指点。我和你们一样是学生,我也有很多没搞明白为什么的,只知道大概怎么算、怎么画。还有,大家别再问我要word文档了,我发到CSDN上的底稿全都删了,可能在你们看来是混课设和考试的救命稻草,在我看来只是一堆再无用处的垃圾。

    五道解答题30‘=9’(9个知识点)+6’+6’+4’+5’ 橙色题号的是当年我遇到的考试题,后面计算题记不清楚确切考了哪些,但掌握了做题技巧就问题不大了。

    我依据老师的考题范围手动整理,有什么问题or想添加的知识点请在评论下方留言!实时更新,助诸位共进步!

    一、解答题

    1. 影响流水线性能的因素主要有哪几种?请简要加以说明。P348

        结构相关:是当多条指令进入流水线后,硬件资源满足不了指令重叠执行的要求时产生的。不同指令争用同一功能部件产生资源冲突。

        数据相关:是指令在流水线中重叠执行时,当后继指令需要用到前面指令的执行结果时发生的。可能改变对操作数的读写访问顺序。

        控制相关:是当流水线遇到分支指令和其它改变PC值的指令时引起的。

    2. 为了保证DRAM的存储信息不遭破坏,必须在电荷漏掉前就进行充电,称为刷新。常见的刷新方式有哪三种,试分析它们间的区别。P86

        集中刷新:是在规定的一个刷新周期内,对全部存储单元集中一段时间逐行进行刷新,此刻必须停止读/写操作。

        分散刷新:是指对每行存储单元的刷新分散到每个存储周期内完成。

        异步刷新:是前两种方式的结合,既可缩短“死时间”,又充分利用最大刷新间隔2ms的特点。

    3. 说明计算机九大寻址方式及有效地址EA计算方法。P311

        立即寻址:无需寻址        隐含寻址:无需寻址       直接寻址:EA=A        间接寻址:EA=(A)         相对寻址:EA=(PC)+A

        基址寻址:EA=(BR)+A    变址寻址:EA=(IX)+A    寄存器寻址:EA=Rj    寄存器间接寻址:EA=(Rj)

    4. 按传输信息的不同,系统总线可分为哪几类?并加以简单描述。P43

        数据总线:用来传输各种功能部件间的数据信息,是双向传输总线,其位数与机器字长、存储字长有关,一般为8/16/32位。

        地址总线:主要用来指出数据总线上的源数据或目的数据在主存单元的地址或I/O设备的地址。

        控制总线:用来发送各种控制信号的传输线,通常对任意控制线而言,它的传输是单向的。

    5. 试说明具有Cache-主存结构的计算机,CPU在访问存储器时的工作流程。P110

        CPU欲读取主存某字时,有两种可能:一种是所需要的字已经在缓存中,即可直接访问Cache;另一种是所需的字不在Cache内,此时需将该字所在的主存整个字块一次调入Cache中(Cache与主存之间是字块传输)。当Cache未满时,主存块可被调入缓存块中,称该主存块与缓存块建立了联系。当Cache已满时,无法接收来自主存块的信息,就由Cache内的替换机构按一定的算法从Cache内移除哪块返回主存,并把新的主存块调入Cache中。

    6. 在写操作时,要考虑Cache和主存的数据一致性的问题,试说明写回法和写直达法的区别。P113

        写回法(拷回法):写操作时只把数据写入Cache而不写入主存(减少了主存的写操作次数),写操作时间=访Cache时间。但当(读操作且Cache已满时)Cache数据被替换出来时才写回主存,增加了Cache复杂性。

         写直达法(存直达法):写操作时数据既写入Cache又写入主存,写操作时间=访存时间,它能随时保证主存与Cache的数据始终一致,但增加了访存次数。(读操作时不涉及对主存的写操作,更新策划较容易实现。)

    7. 说明补码定点加减运算,判断溢出的两种方法。P239-240

         一位符号位判断溢出:参加操作的两个数(减法时即为被减数和“求补”后的减数)符号相同,其结果的符号与原操作数的符号不同,即为溢出。

         两位符号位判断溢出:若结果双符号位相同,则未溢出;若双符号位不同,则溢出。最高符号位为真结果符号。

    8. 说明Cache-主存的地址映像有哪三种方式,说明他们的基本映像原理。P117

        直接映射:将主存空间按Cache的尺寸分区,每区内相同的块号映像到Cache中相同的块位置。优:实现简单;缺:不够灵活

        全相连映射:主存中的每一个字块可映射到Cache任何一个字块位置上,当访问一个块中的数据时,块地址要与Cache块表中的所有地址标记进行比较以确认是否命中。

        组相连映射:是直接映射和全相连映射的一种折中方案,这种方案将存储空间分为若干组,各组间是直接映射,而组内各块间是全相连映射。

    9. 试说明指令周期,机器周期,时钟周期之间的关系。P386

         一个指令周期包含若干个机器周期,一个机器周期又包含若干个时钟周期(节拍),每个指令周期内的机器周期数可以不等,每个机器周期内的节拍数也可以不等。

    10. 试说明单译码方式(线选法)和双译码方式(重合法)的区别。P75

          存储芯片内的地址译码器有两种方式:一种是线选法,适用于地址线较少的芯片。地址信号只需经过一个方向的译码器就可以选中某一存储单元的所有位,结构较简单。

          另一种是重合法,适用于地址线较多的芯片。地址线分为两组,分别经行地址译码器和列地址译码器,通过两者“与”选中存储单元才能进行读/写。

    11. 分别说明一下名词MAR,MDR,CU,IR,PC的中文名称及该器件的主要功能。P14-16

         MAR是存储器地址寄存器,用来存放欲访问的存储单元的地址,其位数对应存储单元的个数。

         MDR是存储器数据寄存器,用来存放从存储体某单元取出or存入的代码,其位数与存储字长相等。

    如4K × 8位的存储芯片,有log2(4K)=12条地址线,8条数据线

         CU是控制单元,用来分析当前指令所需完成的操作,并发出各种微操作命令序列,用以控制所有被控对象。

         IR是指令寄存器,用来存放当前指令,IR的内容来自MDR。

         PC是程序计数器,用来存放当前欲执行指令的地址,它与主存的MAR间有一条直接通道且具有自动加1功能,即可自动形成下一条指令的地址。

    12. 计算机的五大基本组成是什么?P9

          运算器:用来完成算术运算和逻辑运算,并将运算的中间结果暂存在运算器里。

          存储器:用来存放数据和程序。

          控制器:用来控制、指挥程序和数据的输入、运行以及处理运算的结果。

          输入设备:用来将人们熟悉的信息形式转换为机器能识别的信息形式,常见的有键盘、鼠标等。

          输出设备:可将机器运算结果转换为人们熟悉的信息形式,如打印机输出等。

    13. 设某计算机采用微程序控制器,试说明微程序控制器的基本工作原理(即CPU执行指令时的操作过程)。P405

          首先将用户程序的首地址送到PC,然后进入

          取指阶段:①将取指周期微程序首地址M→CMAR

                            ②取微指令:将对应控存M地址单元中的第一条微指令读到控存数据寄存器中,记为CM(CMAR)→CMDR

                            ③产生微操作指令:第一条微指令的操作控制字段中为“1”的各位发出控制信号,如PC→MAR、I→R,命令主存    接收程序首地址并进行读操作。

                            ④形成下一条微指令的地址:此微指令的顺序控制字段指出了下一条微指令的地址为M+1,将M+1送至CMAR,即Ad(CMDR)→CMAR

                            ⑤取下一条微指令:将对应控存M+1地址单元中的第二条微指令读到CMDR中,即CM(CMAR)→CMDR

                            ⑥产生微操作指令:由第二条微指令的操作控制字段中对应“1”的各位发出控制信号,如M(MAR)→MDR使对应主存2000H地址单元中的第一条机器指令从主存中读出,送至MDR中。

                            ⑦形成下一条微指令地址:将第二条微指令下地址字段指出的地址M+2送至CMAR,即Ad(CMDR)→CMAR

          执行阶段:①取数指令微程序首地址的形成:当取数指令存入IR后,其操作码OP(IR)直接送到微地址形成部件,该部件的输出即为取数指令微程序的首地址P,且将P送至CMAR,记作OP(IR)→微地址形成部件→CMAR

                            ②取微指令:将对应控存P地址单元中的微指令读到CMDR中,记为CM(CMAR)→CMDR

                            ③产生为操作命令:由微指令操作控制字段中对应“1”的各位发出控制信号,如Ad(IR)→MAR、I→R,命令主存读操作数。

                            ④形成下一条微指令地址:将此条微指令下地址字段指出的P+1送至CMAR,即Ad(CMDR)→CMAR

    14. 试说明汉明码的校验原理(即如何生成汉明码,以及汉明码的检验原理),默认偶校验。P110

         汉明码的生成步骤:①确定校验位的位数 2^k ≥ n + k +1

                                         ②确定校验位的位置

                                         ③分组

                                         ④生成校验位的值

                                         ⑤得出结论

          检验原理:将已知的汉明码按照前三步正常进行,到第四步时,用H接收P和D一起异或,然后把H倒序排列,若都为0,即无错。否则,该序列对应的二进制位置出错。

    15. 试说明循环冗余校验码的校验原理。P144

           循环冗余校验码的生成步骤:①确定校验位的位数 r

                                                          ②写出信息多项式 M(x)

                                                          ③将信息多项式左移 r 位,得到 M(x)·x^r

                                                          ④用 M(x)·x^r 除以生成多项式 G(x),得到 r 位校验位

                                                          ⑤M(x)·x^r+R(x) 得到CRC码

         检验原理:根据余数判出错位,取反纠错。

    二、计算题

    第6章  运算方法和运算部件

    定点原码一位乘:符号位单独计算,运算数取绝对值参与计算。

    定点原码两位乘:提高了乘法速度,但仍基于重复相加和移位的思想,且随着乘数位数的↗,重复次数↗,仍影响乘法速度。计算较复杂,不常考,自行看书!

    并行阵列乘法器:可大大提升乘法速度。(拓展)

    定点补码一位乘:分校正法比较法(Booth法)。校正法中被乘数符号任意,乘数分正、负两种情况。若乘数为正,则按原码一位乘的算法计算,符号位不用另外计算,被乘数的符号位参与计算若乘数为负,则按原码一位乘的算法计算,被乘数和乘数取绝对值参与计算,最后加上 [-x]补 校正。虽然可将乘数和被乘数互换,使乘数保持+,不必校正,但当两数均为-时必须校正。∵Booth的运算规则不受乘数符号的约束 ∴控制线路较简明,在计算机中普遍使用,常考!

    定点补码两位乘:自行看书!

    区别:补码乘法中,乘积得符号位是在运算过程中自然形成的。而原码乘法中,符号位与数值部分分开计算。

    困扰作者得问题是:被乘数和乘数互换位置的其它情况在此不一 一列举,以上三个例子,两个源于书本,同一组数据,书上的校正法却不能全部适用。望指点!

    P8应=1,感谢网友指正

    较复杂,不怎么考,在此不赘述!

    第四章  主存储器

            

    第七章  指令系统

    教材P324

    第3篇  中央处理器

    教材P384

    看下方!!

        ←参考P412例10.6,上题改正为

    已确定是对的!

    第四章  存储系统

    书上P122原题!

    鉴于我用公式写易误导大家,我上传书上原解如下:

    4.4  辅助存储器

    1. 若某磁盘有两个记录面,每面80个磁道,每磁道18扇区,每扇区存512字节,计算该磁盘的容量是多少?

    解:         18×512×80×2B=1440KB

    举个栗子( o=^•ェ•)o

    如果对你有帮助,可以给点小赏。记得关注我呦!

    展开全文
  • 文章目录#傅里叶变换##基本性质##drac−deltadrac-deltadrac−delta函数(单位冲激函数)##卷积#LaplaceLaplaceLaplace变换##基本性质##卷积##公式大全##求拉氏逆变换###公式法###留数法 欢迎纠错 #傅里叶变换 ##...

    欢迎纠错


    #傅里叶变换

    ##傅里叶级数

    https://blog.csdn.net/lafea/article/details/115756741

    ##基本性质

    F ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ = F [ f ( t ) ]   f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) e j ω t d ω = F − 1 [ F ( ω ) ] F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\mathcal{F}[f(t)]\\\ \\ f(t)= \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\mathcal F^{-1}[F(\omega)] F(ω)=+f(τ)ejωτdτ=F[f(t)] f(t)=2π1+F(ω)ejωtdω=F1[F(ω)]
    1. 线 性 性 质 :   F [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] = α F 1 ( ω ) + β F 2 ( ω )   2. 位 移 性 质 :   F [ f ( t ± t 0 ) ] = e ± j ω t 0 F ( ω )   F [ e ± j ω t 0 f ( t ) ] = F ( ω ∓ ω 0 ) 1.线性性质:\\\ \\ \mathcal{F}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\\\ \\ 2.位移性质:\\\ \\ \mathcal{F}[f(t\pm t_0)]=e^{\pm j\omega t_0} F(\omega)\\\ \\ \mathcal{F}[e^{\pm j\omega t_0}f(t)]=F(\omega\mp\omega_0) 1.线 F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω) 2. F[f(t±t0)]=e±jωt0F(ω) F[e±jωt0f(t)]=F(ωω0)
    3. 微 分 性 质   F [ f ( n ) ( t ) ] = ( j ω ) n F ( ω )   F [ t f ( t ) ] = j d F ( ω ) d ω   F [ t n f ( t ) ] = 1 ( − j ) n d n F ( ω ) d ω n   4. 积 分 性 质 :   F [ g ( t ) ] = 1 j ω F ( ω )   3.微分性质\\\ \\ \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n F(\omega)\\\ \\ \mathcal{F}[tf(t)]=j\frac{dF(\omega)}{d\omega}\\\ \\ \mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{1}{(-j)^n}\frac{d^nF(\omega)}{d\omega^n}\\\ \\ 4.积分性质:\\\ \\ \mathcal{F}[g(t)]=\frac{1}{j\omega}F(\omega)\\\ \\ 3. F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω) F[tf(t)]=jdωdF(ω) F[tnf(t)]=(j)n1dωndnF(ω) 4. F[g(t)]=jω1F(ω) 
    5. 相 似 性 质 :   F [ f ( a t ) ] = 1 ∣ a ∣ F ( ω a )   5.相似性质:\\\ \\ \mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac \omega a)\\\ \\ 5. F[f(at)]=a1F(aω) 

    ## d r a c − d e l t a drac-delta dracdelta函数(单位冲激函数)

    单 位 阶 跃 函 数 u ( t ) 的 导 数 为 δ ( t )   筛 选 性 : ∫ − ∞ + ∞ δ ( t − t 0 ) f ( t ) d t = f ( t 0 )   F [ δ ( t − t 0 ) ] = e − j ω t 0   F [ u ( t ) ] = 1 j ω + π δ ( ω )   f ( t ) δ ( t ) = f ( 0 ) δ ( t ) 单位阶跃函数u(t)的导数为\delta(t)\\\ \\ 筛选性: \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0)\\\ \\ \mathcal F[\delta(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}\\\ \\ \mathcal F[u(t)]=\frac 1 {j\omega} +\pi\delta(\omega)\\\ \\ f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) u(t)δ(t) +δ(tt0)f(t)dt=f(t0) F[δ(tt0)]=ejωt0 F[u(t)]=jω1+πδ(ω) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
    c h a i n : 1 2 π ⇒ F δ ( t ) ⇒ F 1 ⇒ F 2 π δ ( t ) chain:\frac 1 {2\pi} \stackrel{\mathcal F}\Rightarrow \delta{(t)} \stackrel{\mathcal F}\Rightarrow 1 \stackrel{\mathcal F}\Rightarrow2\pi\delta(t) chain:2π1Fδ(t)F1F2πδ(t)

    ##卷积

    f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ   交 换 律 : f 1 ∗ f 2 = f 2 ∗ f 1   结 合 律 : f 1 ∗ ( f 2 ∗ f 3 ) = ( f 1 ∗ f 2 ) ∗ f 3   分 配 律 : f 1 ∗ ( f 2 + f 3 ) = f 1 ∗ f 2 + f 1 ∗ f 3   f ( t ) ∗ δ ( t ) = f ( t )   a [ f 1 ∗ f 2 ] = [ a f 1 ] ∗ f 2   d [ f 1 ∗ f 2 ] d t = d f 1 d t ∗ f 2 f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\\\ \\ 交换律:f_1*f_2=f_2*f_1\\\ \\ 结合律:f_1*(f_2*f_3)=(f_1*f_2)*f_3\\\ \\ 分配律:f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3\\\ \\ f(t)*\delta(t)=f(t)\\\ \\ a[f_1*f_2]=[af_1]*f_2\\\ \\ \frac{d[f_1*f_2]}{dt}=\frac{df_1}{dt}*f_2 f1(t)f2(t)=+f1(τ)f2(tτ)dτ f1f2=f2f1 f1(f2f3)=(f1f2)f3 f1(f2+f3)=f1f2+f1f3 f(t)δ(t)=f(t) a[f1f2]=[af1]f2 dtd[f1f2]=dtdf1f2
    卷 积 定 理 :   F [ f 1 ∗ f 2 ] = F 1 ( ω ) ⋅ F 2 ( ω )     F [ f 1 ⋅ f 2 ] = 1 2 π F 1 ( ω ) ∗ F 2 ( ω )   f ( t ) ∗ δ ( t − t 0 ) = f ( t − t 0 ) 卷积定理:\\\ \\ \mathcal F[f_1*f_2]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\\ \\\ \mathcal F[f_1\cdot f_2]=\frac 1 {2\pi}F_1(\omega) * F_2(\omega)\\\ \\ f(t)*\delta(t-t_0)=f(t-t_0)  F[f1f2]=F1(ω)F2(ω)  F[f1f2]=2π1F1(ω)F2(ω) f(t)δ(tt0)=f(tt0)

    # L a p l a c e Laplace Laplace变换

    ##基本性质

    F ( s ) = ∫ 0 + ∞ f ( τ ) e − s τ d τ = L [ f ( t ) ]   f ( t ) = 1 2 π j ∫ β − j ∞ β + j ∞ F ( s ) e s t d s = L − 1 [ F ( s ) ] F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(\tau)e^{-s\tau}d\tau=\mathcal{L}[f(t)]\\\ \\ f(t)= \frac 1 {2\pi j} \int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty} F(s)e^{st}ds=\mathcal L^{-1}[F(s)] F(s)=0+f(τ)esτdτ=L[f(t)] f(t)=2πj1βjβ+jF(s)estds=L1[F(s)]

    1. 线 性 性 质 :   L [ α f 1 ( t ) + β f 2 ( t ) ] = α F 1 ( s ) + β F 2 ( s )   2. 位 移 性 质 :   L [ e ± a t f ( t ) ] = F ( s ∓ a )   3. 延 迟 性 质 :   L [ f ( t − t 0 ) ] = e − s t 0 F ( s )   L − 1 [ e − s t 0 F ( s ) ] = f ( t − t 0 ) ⋅ u ( t − t 0 ) 1.线性性质:\\\ \\ \mathcal{L}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)\\\ \\ 2.位移性质:\\\ \\ \mathcal L[e^{\pm at}f (t)]=F(s\mp a)\\\ \\ 3.延迟性质:\\\ \\ \mathcal L[f(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s)\\\ \\ \mathcal L^{-1}[e^{-st_0}F(s)]=f(t-t_0)\cdot u(t-t_0) 1.线 L[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(s)+βF2(s) 2. L[e±atf(t)]=F(sa) 3. L[f(tt0)]=est0F(s) L1[est0F(s)]=f(tt0)u(tt0)

    4. 微 分 性 质   L [ f ′ ( t ) ] = s F ( s ) − f ( 0 )   L [ f ′ ′ ( t ) ] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 )   L [ f ( n ) ( t ) ] = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 )   L [ t f ( t ) ] = − F ′ ( s )   L [ t n f ( t ) ] = ( − 1 ) n F ( n ) ( s )   L [ t f ′ ( t ) ] = − F ( s ) − s F ′ ( s )   L [ t f ′ ′ ( t ) ] = − ( 2 s F ( s ) + s 2 F ′ ( s ) − f ( 0 ) ) 4.微分性质\\\ \\ \mathcal L[f'(t)]=sF(s)-f(0)\\\ \\ \mathcal L[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\\\ \\ \mathcal L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\\ \\ \mathcal L [tf(t)] =-F'(s)\\\ \\ \mathcal L[t^nf(t)]=(-1) ^nF^{(n)}(s)\\\ \\ \mathcal L[tf'(t)]=-F(s)-sF'(s)\\\ \\ \mathcal L[tf''(t)]=-(2sF(s)+s^2F'(s)-f(0)) 4. L[f(t)]=sF(s)f(0) L[f(t)]=s2F(s)sf(0)f(0) L[f(n)(t)]=snF(s)sn1f(0)sn2f(0)f(n1)(0) L[tf(t)]=F(s) L[tnf(t)]=(1)nF(n)(s) L[tf(t)]=F(s)sF(s) L[tf(t)]=(2sF(s)+s2F(s)f(0))
    5. 积 分 性 质 :   L [ ∫ 0 t f ( t ) d t ] = 1 s F ( s )   L [ ∫ 0 t ∫ 0 t ∫ 0 t ⋯ n   t i m e s f ( t ) d t ] = 1 s n F ( s )   L [ f ( t ) t ] = ∫ s ∞ F ( s ) d s   ⋆ ∫ 0 + ∞ f ( t ) t e − s t d t = ∫ s ∞ F ( s ) d s 取 s = 0 ∫ 0 + ∞ f ( t ) t d t = ∫ 0 ∞ F ( s ) d s 5.积分性质:\\\ \\ \mathcal L[\int_0^tf(t)dt]=\frac 1 s F(s)\\\ \\ \mathcal L[\int_0^t\int_0^t\int_0^t\stackrel{n\space times}\cdots f(t)dt]=\frac 1 {s^n} F(s)\\\ \\ \mathcal L[\frac{f(t)} t]=\int _s^\infty F(s)ds\\\ \\ \star \int_0^{+\infty}\frac{f(t)} t e^{-st}dt=\int_s^\infty F(s) ds \\取s=0\\ \int_0^{+\infty}\frac{f(t)} t dt=\int_0^\infty F(s) ds 5. L[0tf(t)dt]=s1F(s) L[0t0t0tn timesf(t)dt]=sn1F(s) L[tf(t)]=sF(s)ds 0+tf(t)estdt=sF(s)dss=00+tf(t)dt=0F(s)ds

    ##卷积

    卷 积 定 理 :   L [ f 1 ∗ f 2 ] = F 1 ( s ) ⋅ F 2 ( s )     f 1 e a t ∗ f 2 e a t = e a t f 1 ∗ f 2 卷积定理:\\\ \\ \mathcal L[f_1*f_2]=F_1(s)\cdot F_2(s)\\\ \\\ f_1e^{at}*f_2e^{at}=e^{at}f_1*f_2  L[f1f2]=F1(s)F2(s)  f1eatf2eat=eatf1f2

    ##公式大全

    L [ e b t u ( t − a ) ] = e − a ( s − b ) s − b \mathcal L[e^{bt}u(t-a)]=\frac{e^{-a(s-b)}}{s-b} L[ebtu(ta)]=sbea(sb)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    ##求拉氏逆变换

    ###公式法

    直接套用公式 / 化简后套用公式 / 有理分式拆开后套用公式

    ###留数法

    -留数计算规则
    f ( t ) = ∑ k = 1 n R e s [ F ( s ) e s t , s k ] f(t)=\sum_{k=1}^n Res[F(s)e^{st}, s_k] f(t)=k=1nRes[F(s)est,sk]
    分母要化为首一标准型,s前系数为1

    展开全文
  • 积分变换的公式推导以及例子

    千次阅读 2021-02-09 14:49:35
    如果一个以为周期的函数在 上满足狄利克雷条件,即: 1.除去有限个第一类间断点外,处处连续 ...在电子通信领域,常常利用欧拉公式: 所以: 令: 得到fourier级数的复指数形式: ...

    如果一个以T为周期的函数f(x)

    \bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]

    上满足狄利克雷条件,即:

    1.除去有限个第一类间断点外,处处连续

    2.分段单调,单调区间的个数有限

    f(x)的fourier级数表示为:

    f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]

    \bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]

    上处处收敛,且在f(x)的连续点处收敛于f(t), 其中,

    \omega_0 =\frac{2\pi}{T}

    对上式两边求积分:

    \\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg) dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}dt\\=\frac{a_0}{2}\cdot T

    所以:

    a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt

    对于\\ (m=1,2,3,\cdots)

    \\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)cos(m\omega_0t) dt\\=0+a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}cos^2(n\omega_0t)dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1+cos(2n\omega_0t)}{2}dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{a_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}+\frac{a_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=a_n\cdot \frac{T}{2}+0

    所以:

    \\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

    \\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)sin(m\omega_0t) dt\\=0+b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}sin^2(n\omega_0t)dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1-cos(2n\omega_0t)}{2}dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt -b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt - b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{b_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}-\frac{b_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=b_n\cdot \frac{T}{2}+0

    所以:

    \\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

    综上:


    a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt

    \\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

    \\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)


    在电子通信领域,常常利用欧拉公式:

    cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}

    sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}

    所以:

    \\f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0 t)\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n}{2}(e^{in\omega_0 t}+e^{-in\omega_0 t})-i\cdot \frac{b_n}{2}(e^{in\omega_0 t}-e^{-in\omega_0 t})\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]

    令:

    c_0=\frac{a_0}{2}

    c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}

    c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}

    得到fourier级数的复指数形式:

    \\f(t)\approx\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]\\= c_0+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg(c_ne^{in\omega_0 t} + c_{-n}e^{-in\omega_0 t}\bigg)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega_0 t}

    这里面:

    C_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt

    \\C_n=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\bigg[\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt-i\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega _0 t)dt\bigg] \\=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\bigg[cos(n\omega_0 t)-isin(n\omega_0 t)\bigg]dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)

    同理:

    C_{-n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)

    上面的C_0, C_{-n},C_n写为统一的形式为:

    C_{n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)

    \omega _n=n\omega_0 \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)

    则综合上面各式,可得:

    \mathbf{f(t)\approx\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty }^{\infty}\bigg[ \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\omega _nt}dt\bigg]e^{i\omega _n t}}


    拆分后得到傅里叶级数形式:

    \\\mathbf{ F(n )=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n \in Z)}

    \\\mathbf{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}\quad (n \in Z)}


    傅里叶级数推导出非周期信号的傅里叶变换:

    \\f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}

    T\rightarrow \infty时,周期信号变为非周期信号,由于\omega_0 =\frac{2\pi}{T}, 傅里叶级数为:

    \\ \lim_{T \to \infty }f(t)=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\cdot \omega_0

    T\rightarrow \infty时候,\Delta \omega =n\omega_0 - (n-1)\omega_0=\omega_0\rightarrow 0

    根据微积分的微元法,外面的累加可以看成求底边为\omega_0,高为

    \bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}

    的图形的面积:

    \\ \lim_{T \to \infty }f(t)=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\cdot \omega_0\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\bigg[\int_{-\infty }^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\bigg]e^{i\omega t}d\omega \qquad (-\infty<\omega< \infty )

    所以:


    F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \qquad (-\infty<\omega< \infty )

    f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega \qquad (-\infty<\omega< \infty )


    一个例子从傅里叶级数到傅里叶变换:

    此函数的解析式是:

    f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \qquad x>-\frac{T}{2}\ and \ x < -\tau \\ 1 \qquad \ \ x >-\tau \ and \ x < \tau\\ 0 \qquad \ \ \ \ x > \tau \ and \ x < \frac{T}{2} \end{matrix}\right.

    \\ a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx =\frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx = \frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx\\=\frac{1}{T}\bigg|^{\tau}_{-\tau}=\frac{2\tau}{T}

    \\ b_n =0

    \\ a_n =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}}f(x)cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx=\frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx \\=\frac{T}{2n\pi}\cdot \frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)d(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)=\frac{1}{n\pi}sin(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)\bigg|_{-\tau}^{\tau}=\frac{2sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}

    函数图形为:

     python代码:

    
    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Mon Feb  1 13:57:21 2021
    @author: czl
    """
    from pylab import *
     
    x = mgrid[-20:20:0.01]
     
    def fourier_wave():
        a0 = 3/16
        s=a0
        
        for n in range(1,1000,1):
            bn = 0
            an = 2*sin((2*n*pi*1.5/16))/(n*pi)
            s0 = an*cos(n*x*(2*pi/16))+bn*sin(n*x*(2*pi/16))
            s=s+s0
            
        plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)
        title('fourier_transform')
        show()    
     
    fourier_wave()

    复指数形式的傅里叶变换系数是:

    f(n\omega_0)=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{a_n}{2}=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}

    f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}

    密度谱:

     T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{\frac{2n\pi\tau}{T}}

    T->\infty  时:

    F(\omega)=T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\omega\tau)}{\omega\tau}

    下图表示的就是当T->\infty时,信号代表的频谱密度。

    这里的负频率的意义是单位圆的旋转方向,并不是普通意义上“负”的概念。


    数字电路中的时钟信号时域波形和上图非常相似,它的频谱密度图说明了一个问题,周期性的信号是窄带频谱,特定的频率的幅值会很高,这对认证测试来说非常的不利。而一般时钟信号都是周期信号,这在电路中是少不了的。有没有什么办法,改造下时钟的频谱,同时又不影响功能呢?

    结束!

    展开全文
  • 智慧的结晶文明的体现英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”,最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2,又有著名的E=mc^2;既有简单的-圆周公式,又有复杂的欧拉公式……这些公式不仅仅是...
  •  我这里的代码完全就是按照MIT那篇文章的原理实现的,不过因为Matlab细节的原因,我把公式中x和y位置互换了: clear all; close all; clc; img = imread( ' rect.bmp ' ); img = rgb2gray(img); imshow...
  • 第二章 点的置换定义核心概念:置换,置换的运算,置换的奇偶。定义2.1:现在给定 个位置,以及各自上面有一个“点”,并且给位置和点分别标号 。现在进行一个操作,即我们把这些点进行位置互换,叫做置换(根据...
  • 今天小编就分享几种特殊的粘贴方法:选择粘贴。调用选择粘贴的2种方式:一、选中表格,点击【复制后】,再点击【粘贴】按钮下方倒三角,在弹出的菜单最下面【选择粘贴】,点击后可以弹出选择粘贴...
  • 本文把弹性力学的Betti功互换定理推广到弹塑性、粘弹塑性和弹性体运动状态,利用虚位移和虚速度的原理,导出了各种情况下的Betti广义互换方程。并以纯弯曲悬臂梁,压杆稳定和薄板振动问题为例。说明了广义互换定理的...
  • 啁啾 啁啾(Chirp)是指频率随时间而改变(增加或减少)的信号, 这一术语可以与扫频信号(Sweep signal)互换使用. 它通常用于声纳、雷达和激光. 图片引用自此 距离分辨率(Range Resolution) 雷达需要具备区分两个距离...
  • ▲点击查看英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”,最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2,又有著名的E=mc^2;既有简单的-圆周公式,又有复杂的欧拉公式…...
  • excel公式和函数

    2021-05-18 14:06:42
    1.excel公式 excel中先说行,在说列 (因为列少,可以快速定位) 行是abcd 列是1234 函数和公式在输入的时候,会有提示,按table选中,而不是空格 1.公式的基本使用 选择单元格 键入等号“=”。(注意: Excel 中的公式...
  • 有理数的加法运算同号相加一边倒;异号相加“大”减“小”,符号跟着大的跑;绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指...恒等变换两个数字来相减,互换位置最常见,正负只看其指数,奇数变号偶不变。(a-b)2...
  •  (2)C不变时,B与S/N可以互换;  (3)增加带宽B可以一定限度地提高C,但不能无限提高C; 给定S/n0,若带宽B趋于无穷大, 信道容量不会趋于无限大,只是S/n0的1.44倍。 当带宽不受限制时,传递1bit信息...
  • 英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”,最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2,又有著名的E=mc2;既有简单的-圆周公式,又有复杂的欧拉公式…… 从什么时候起我们开始厌恶数学?这些...
  • 这里利用选择粘贴的方法来处理,首先复制空单元格——选择粘贴——粘贴运算:加,这样就可以将文本型数字更改为数值,最后再进行求和即可 10、如何快速拆分姓名和电话号码 用函数公式来实现。姓名可以直接使用...
  • 线性规划-概念与公式总结

    万次阅读 2020-06-23 20:29:19
    转置矩阵 对于矩阵A,将其行列互换得到的矩阵,就称为A的转置矩阵,记为 ATA^TAT. 转置的运算顺序与乘方运算同级别。 (AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT, (AT)T=A(A^T)^T = A(AT)T=A. (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T...
  • 贝叶斯相关公式(Bayes)

    万次阅读 2018-08-28 10:51:31
    这里只是记录一下,非常推荐马同学高等数学,文末有原文 代数推导 是根据条件概率推导的 P(A|B)=P(AB)P(B)P(B|A)=P(AB)P(A)P(A|B)=P(AB)P(B)P(B|A)=P(AB)P(A) ...所以推导可以得到Bayes公式: P(...
  • 条件概率、联合概率和贝叶斯公式

    千次阅读 2020-06-03 01:38:36
    概率的本质是寻找随机背后的规律,通常用公式: P(A)=随机事件A所包含的单位事件的数量/随机变量空间所包含所有单位事件的数量 任何一个随机时间,随机事件A都是随机事件总集合里的一个子集。 如下图集合O...
  • HDU 2048(错排公式)

    2018-07-04 10:24:20
    问题分析 nnn个人全没有中奖的概率 -&...假设前n−1n−1n-1个人都完成了错排,那么第nnn个人可以和这n−1n−1n-1个人任意一个互换,那么就完成了全部错排,此时方法数为(n−1)f(n−1)(n−...
  • 这是因为其推导过程与方程(6)完全一样,只需要用矩阵 B k + 1 \mathbf{B}_{k+1} Bk+1​取代 H k + 1 − 1 \mathbf{H}_{k+1}^{-1} Hk+1−1​,同时将 s k \mathbf{s}_k sk​和 y k \mathbf{y}_k yk​互换,最后可以...
  • 为了更好的了解人体身体状态,我们还需要进一步从PPG信号中获取更多有用信息,其中心率变异HRV就是是一种量测连续心跳速率变化程度的方法,运用心率变异来分析自律神经平衡的状态。 1.HRV心率变异分析简介 心率...
  • 公式的运行和词汇语法重建一个公式破解天下句子我们将完成一个数据模型去重构句子体系,这是一个接近理科的思想,就是集合论的思想,从集合的角度我们发现两种语言之间本质上是排序不同,单词是对称的么,我们先假设...
  • 英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”,最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1+1=2,又有著名的E=mc2;既有简单的圆周公式,又有复杂的欧拉公式……从什么时候起我们开始厌恶数学?这些东西...
  • 随着金融危机的发生,金融业界越来越重视金融风险的控制,现在...在Black-Scholes公式中,符号表示这些变量:σ=标的资产的回报波动/期货,S =其现货价格(当前);δ=变动率,V =金融衍生品的价格;r =无风险利率; t
  • 中学大课堂初中各科学习必备(海量学习资源)今天给大家分享初中数学公式记忆的一些小技巧,学会了,做题效率肯定会有提升!01有理数的加法同号相加一边倒;异号相加"大"减"小"符号跟着大的跑,绝对值相等"零"正好02...
  • 任意角的三角函数都可转化为锐角三角函数,正弦函数和余弦函数也可互相转化,这就是三角函数一系列诱导公式的原理 奇变偶不变:, 指的是k, 即的倍数,若K为奇数,则 转化后函数值仍为sin不变,若k为偶数,则转化...
  • 自由空间耗散公式(弗里斯公式)里的常数 -32.44 dB 到底和气压有木有关系。原因是当时在网上看到一个文章,提到了这个公式是在一个大气压下应用的。 有没有方法计算天线的特性?查阅资料,发现方向图和有限元分析就是...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 7,483
精华内容 2,993
关键字:

互换性公式