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  • 无论某事件多么不可能发生,只要不是完全不可能,该事件就仍有可能发生。 事件:有概率可言的一个结果或一件事。 概率空间(样本空间):表示所有可能的结果。...根据条件概率计算一个特定时间的全概率:P(B)=P(A)*
    无论某事件多么不可能发生,只要不是完全不可能,该事件就仍有可能发生。
    

    事件:有概率可言的一个结果或一件事。

    概率空间(样本空间):表示所有可能的结果。

    1.相关事件

    相交事件

    • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

    互斥事件

    • P(AUB)=P(A)+P(B)
    • P(AB)=0

    条件概率

    条件概率公式:P(AIB)=P(AB)/P(B)

    利用概率树思想求解条件概率:

    • 将需要计算的概率分出层级
    • 如果已知部分概率,将其写入概率树的相应位置
    • 每一级分支的概率总和为1
    • 利用条件概率公式计算其他概率

    全概率公式——根据条件概率计算全概率

    P(B)=P(A1)*P(BIA1)+P(A1)*P(BIA1)

    • 其中A1,A2…互不相容,且组成一个完整的样本空间

    逆概公式(贝叶斯公式)

    • 在需要求出条件概率,且该条件概率与已知条件概率顺序相反时使用;
    • 条件概率公式和全概率公式的组合;
    • 计算逆条件概率:P(AIB)=P(A)*P(BIA) / P(B)
    • 另一种写法
      在这里插入图片描述

    2.独立事件(不相关)

    • 几个事件互不影响,比如放回抽样属于独立事件不放回抽样属于相关事件
    • P(AIB)=P(A)
    • P(AB)=P(A)*P(B)
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  • 条件概率/全概率/贝叶斯公式

    万次阅读 多人点赞 2018-07-17 11:39:05
    1、条件概率公式 设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为: P(A|B)=P(AB)/P(B) 分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事...

    参考:https://www.cnblogs.com/ohshit/p/5629581.html

    1、条件概率公式

            设A,B是两个事件,且P(B)>0,则在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率(conditional probability)为:

                         P(A|B)=P(AB)/P(B)

    分析:一般说到条件概率这一概念的时候,事件A和事件B都是同一实验下的不同的结果集合,事件A和事件B一般是有交集的,若没有交集(互斥),则条件概率为0,例如:

    ① 扔骰子,扔出的点数介于[1,3]称为事件A,扔出的点数介于[2,5]称为事件B,问:B已经发生的条件下,A发生的概率是多少?

    也即,做一次实验时,即有可能仅发生A,也有可能仅发生B,也有可能AB同时发生,

    ② 同时扔3个骰子,“三个数都不一样”称为事件A,“其中有一个点数为1”称为事件B。这一题目中,AB也是有交集的。

    用图更能容易的说明上述问题,我们进行某一实验,某一实验所有的可能的样本的结合为Ω(也即穷举实验的所有样本),圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本,圆圈B代表事件B所能囊括的所有样本。

    由图再来理解一下这个问题:“B已经发生的条件下,A发生的概率”,这句话中,“B已经发生”就相当于已经把样本的可选范围限制在了圆圈B中,其实就等价于这句话:“在圆圈B中,A发生的概率”,显然P(A|B)就等于AB交集中样本的数目/B的样本数目。为什么这里用的是样本的数目相除,而上面的公式却是用的概率相除,原因很简单,用样本数目相除时,把分子分母同除以总样本数,这就变成了概率相除。

    2、乘法公式

             1.由条件概率公式得:

                           P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

                 上式即为乘法公式;

             2.乘法公式的推广:对于任何正整数n≥2,当P(A1A2...An-1) > 0 时,有:

                     P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)

    3、全概率公式

            1. 如果事件组B1,B2,.... 满足

                   1.B1,B2....两两互斥,即 Bi ∩ Bj = ∅ ,i≠j , i,j=1,2,....,且P(Bi)>0,i=1,2,....;

                   2.B1∪B2∪....=Ω ,则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分

              设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,A为任一事件,则:

    题1:

    已知:各个A∩Bi的样本数、Bi的样本数,
    求A的样本数 / 总样本数Ω?

    题2:

    已知:各个A∩Bi的概率、Bi的概率,
    求A的概率?

     

    上图中,某一实验所有的可能的样本的集合为Ω,圆圈A代表事件A所能囊括的所有样本,把总集合Ω分为n个小集合,依次为B1、B2···Bn,这些小集合两两互斥,那么显然,A的样本数目可以通过与Bi的交集来获得,也即=(A∩B1的样本数)+(A∩B2的样本数)+····+(A∩Bn的样本数)。前文已经说过,样本数公式和概率公式,本质上是一样的东西, 题1与题2的是完全相同的题目。

    4、贝叶斯公式

          1.与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有

    上式即为贝叶斯公式(Bayes formula),Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“,P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小,故称先验概率;P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后,再对各种原因概率的新认识,故称后验概率。

    已知:各个A∩Bi的样本数、Bi的样本数,
    求A∩B3的样本数 / A的样本数?

    例子:发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰,当发出信号“∪”时,收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”;又当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时,发报台确系发出“∪”的概率。

    解析:贝叶斯这一概念,所探讨的问题,也是事件A和事件B都是某一实验的不同的结果集合,然后把事件B这个结果集合分为n小份,每一小份也是结果集合,只不过这些小集合一定位于B集合内部,每一小份结果集合称为Bi(i∈[1,n]),Bi之间两两互斥,所有Bi并起来就是B。
    本例中,实验为“发一次报,收一次报,然后记录发、收的字符”,事件A为“收到了U”,事件B为"发出了信号",事件B1为“发出了U”,事件B2为“发出了—”,显然这里B1∪B2=B,B1∩B2=∅。要想求P(B1 | A),根据条件概率公式,P(B1 | A)=P(B1 A)/P(A),只要分别计算出分子分母就行了,显然分子可以用上面的乘法公式来求,分母为已知(若分母未知,就得用全概率公式来求)。

    贝叶斯公式,根本不用记忆,其实就是条件概率、乘法公式、全概率公式的组合。

     

    总结:(1)以上四个公式的研究对象,都是“同一实验下的不同的结果集合”

    (2)为了容易理解这四个概率公式,可以把用“样本数目公式”来代替“概率公式”,来求概率。

     

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  • 本节知识点 1.随机事件 定义:实验E的样本空间的子集为E的随机事件 Random Event 关系:包含、相等、互斥、对立 ...5.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式 6.随机事件的独立性 7.N重伯努利试验 ...

    本节知识点

    1.随机事件

    定义:实验E的样本空间的子集为E的随机事件 Random Event

    关系:包含、相等、互斥、对立

    运算:交、并、差

    2.概率

    定义

    性质:非负、有限可加、单调、规范

    3.古典概型:样本空间中样本点的个数有限,而且每个样本点发生的可能性相同

    4.条件概率

    5.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式

    6.随机事件的独立性

    7.N重伯努利试验

     

     

     

     

     

     

     

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  • 浅谈全概率公式和贝叶斯公式

    万次阅读 多人点赞 2017-07-15 16:25:56
    一、条件概率公式 条件概率由文氏图出发,比较容易理解: 表示B发生后A发生的概率,由上图可以看出B发生后,A再发生的概率就是,因此: 由: 得: 这就是条件概率公式。 假如事件A与B相互独立,那么: 注...

    一、条件概率公式

        举个例子,比如让你背对着一个人,让你猜猜背后这个人是女孩的概率是多少?直接猜测,肯定是只有50%的概率,假如现在告诉你背后这个人是个长头发,那么女的概率就变为90%。所以条件概率的意义就是,当给定条件发生变化后,会导致事件发生的可能性发生变化。

        条件概率由文氏图出发,比较容易理解:

        表示B发生后A发生的概率,由上图可以看出B发生后,A再发生的概率就是,因此:


    由:



    得:


    这就是条件概率公式。

    假如事件A与B相互独立,那么:


    注:

    相互独立:表示两个事件发生互不影响。而互斥:表示两个事件不能同时发生,(两个事件肯定没有交集)。互斥事件一定不独立(因为一件事的发生导致了另一件事不能发生);独立事件一定不互斥,(如果独立事件互斥, 那么根据互斥事件一定不独立,那么就矛盾了),但是在概率形式上具有一些巧合性,一般地:


    但是,对于两个独立事件,依然可以等于0,因为事件A或者事件B发生的概率可能为0.所以,并不是一定表示互斥。互斥和独立的理解还是要究其真正意义,而不是表达形式。

    二、全概率公式

        先举个例子,小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如下图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下:


    每天上述三条路不拥堵的概率分别为:


    假设遇到拥堵会迟到,那么小张从Home到Company不迟到的概率是多少?


    其实不迟到就是对应着不拥堵,设事件C为到公司不迟到,事件为选择第i条路,则:




        全概率就是表示达到某个目的,有多种方式(或者造成某种结果,有多种原因),问达到目的的概率是多少(造成这种结果的概率是多少)?

    全概率公式:

        设事件是一个完备事件组,则对于任意一个事件C,若有如下公式成立:


    那么就称这个公式为全概率公式。

    三、贝叶斯公式

        仍旧借用上述的例子,但是问题发生了改变,问题修改为:到达公司未迟到选择第1条路的概率是多少?

    不是因为0.5这个概率表示的是,选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到,只是因为距离公司近才知道选择它的概率,而现在我们是知道未迟到这个结果,是在这个基础上问你选择第一条路的概率,所以并不是直接就可以得出的。

    故有:




    所以选择第一条路的概率为0.28.

        贝叶斯公式就是当已知结果,问导致这个结果的第i原因的可能性是多少?执果索因!

    贝叶斯公式:

    在已知条件概率和全概率的基础上,贝叶斯公式是很容易计算的:




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互斥事件概率计算公式