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  • 互斥对立的关系相信多数同学已经熟记于心,从上面的案例我们也不难发现,对立关系应该为互斥关系的子集,即“互斥不一定独立,独立一定互斥”。这一点不作过多解释。 但是互斥与独立之间的关系呢?很多同学往往...

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    今天下午本来在考虑基本不等式的高考一轮复习课的逻辑,有学生给我拍了份今天河西区高一刚考的统考试卷,看了下卷子本身,因为天津的高一高二也是刚刚恢复线下授课,所以试卷难度整体偏低,除了最后的解答题稍有一定的计算量外,基本没有什么难题。但是这张试卷中的选择题第7题倒是引起了我的兴趣,这道题目如下:

    7. 设

    是两个概率大于
    的随机事件,则下列论述正确的是( )

    A. 事件

    ,则

    B. 若

    互斥,则
    一定相互独立

    C. 若

    相互独立,则
    一定不互斥

    D.

    这道题目的A、D两个选项的错误相信同学们都能轻易的判断出来,不做解释;但是相信会有不少同学对于这道题目的B、C两个选项拿不定主意。

    首先说明这道题目的答案,C选项是正确的,B选项是错误的。这道题目考察了各位同学对于事件的三种关系互斥、对立和独立的理解和判断,而且重点考察的是很多同学比较模糊的互斥和独立之间的关系。在这里也通过这道题帮大家梳理下这三种关系的概念及关系。


    互斥、对立、独立的定义

    在分析其三者的区别与联系之前,我们必然需要先对这三者本身有所了解。

    • 对于一个随机试验的两个事件
      而言,如果事件
      与事件
      不能同时发生,也就是说
      是一个不可能事件,即
      ,则称事件
      与事件
      互斥(或互不相容)。

    b05454a8b5872dd64f38397610eb2c86.png
    互斥事件关系图
    • 如果事件
      和事件
      在任何一次试验中有且仅有一个发生,即
      ,且
      ,那么称事件
      与事件
      互为对立。我们把事件
      的对立事件记为

    fd9d369645f76156af2942b7c87e373a.png
    对立事件关系图
    • 对于任意两个事件
      ,如果
      成立,则称事件
      与事件
      相互独立,简称为独立
    关于独立事件,新老教材的引入方式是不同的,老教材通过条件概率公式推导了独立事件的判断公式;新教材中删除了关于条件概率的部分,直接为大家介绍了事件独立的定义。

    下面通过大家最熟悉的掷骰子这个随机试验分别举出三种关系下事件的例子:

    • 事件
      为掷一枚骰子得到点数为5,事件
      为掷一枚骰子得到点数为3,这两个事件在一次随机试验中不可能一起发生,事件
      与事件
      为互斥事件;
    • 事件
      为掷一枚骰子得到点数为奇数,事件
      为掷一枚骰子得到点数为偶数,同样,不难看出这两个事件在一次随机试验中不可能一起发生,故事件
      与事件
      为互斥事件;更进一步,我们发现,事件
      与事件
      的并事件包含了掷一枚骰子会发生的全部样本点,故这二者也同时为对立事件;
    • 事件
      为掷一枚骰子两次,其中第一次得到点数为奇数,事件
      为掷一枚骰子两次,其中第二次得到点数为奇数,这里我们列举样本空间,采用古典概型计算概率的方法,不难看出这两个事件满足
      ,故事件事件
      与事件
      为独立事件。

    用通俗的话去解释这三种事件间的关系就是:

    • 如果两个事件没法一起发生,则二者一定为互斥事件;
    • 如果两个事件没法一起发生,且二者所包含的情况取并集是整个试验的全部可能情况,这两点同时满足的是对立事件;
    • 如果两个事件的发生是彼此没有关系的,一个事件是否发生对与另外一个事件是否发生是不会造成影响的,此时其二者为独立事件。

    互斥、对立、独立的关系

    到现在为止,我们已经清楚了这三者自身的定义,下面我们来探讨下这三者之间的关系。

    • 互斥与对立的关系相信多数同学已经熟记于心,从上面的案例我们也不难发现,对立关系应该为互斥关系的子集,即“互斥不一定独立,独立一定互斥”。这一点不作过多解释。

    但是互斥与独立之间的关系呢?很多同学往往忽略这二者间的关系,这确实也情有可原。

    因为在实际的问题中,当我们谈论互斥事件时,往往讨论的是一次试验下会发生的两种情况,像是掷骰子一次得到的点数是奇数还是偶数。

    当我们谈论独立事件时,往往讨论的是不同次试验的结果,如掷硬币两次,第一次为正面和第二次为正面是相互独立的,或是做同样一件事,甲和乙独立做,两人是否成功是相互独立的。

    这两种事件间的关系看起来没什么联系,但是我们仔细考虑下就会发现:

    如果两个事件是互斥事件,那么一个事件若发生,另外一个事件就不会发生,按照我们对于独立事件的理解,说明这二者应该是非独立事件。

    反过来,如果两个事件是独立事件,如事件

    为掷硬币第一次得到正面,事件
    为掷硬币第二次得到反面朝上,不难看出事件
    是由“正正、正反”两个基本点组成的,而事件
    是由“正反、反反”两个基本点组成的,二者的基本点之间有公共元素,所以二者为非互斥事件。
    • 通过以上分析,我们不难得出一个结论:对于两个发生概率不为0的事件而言,互斥定非独立,独立定非互斥

    下面我们通过计算来严格证明一下我们刚刚得到的结论。

    • 如果事件
      或事件
      发生的概率都不为0,且
      互斥,那么
      ,即
      ,而
      ,因此
      ,即
      不独立。
    • 如果事件
      或事件
      发生的概率都不为0,且
      独立,则有
      。我们可以利用反证法:假设
      互斥,则
      ,那么
      ,又∵根据题设,
      ,则
      ,产生矛盾。因此若
      独立,则
      不互斥。

    到此,我们证明了我们的结论,接下里通过一个知识框图梳理下我们到目前的逻辑:

    75c4f25c702b2a4b16c6d1d50987a151.png

    补充:特殊情况

    可能有同学发现我们的结论中是:对于两个发生概率不为0的事件而言,互斥定非独立,独立定非互斥

    为什么在这里要强调概率不为0呢?因为必然事件和不可能事件是否发生是已经确定的事,不受任何其他事物影响,所以必然事件、不可能事件都是与其他任意事件相独立的。

    而又由于不可能事件包含0个样本点,它与其他任何事件都是互斥事件。

    所以不可能事件与任何事件既独立,又互斥,是一个单独的特殊情况,我们在这里单独说明。

    所以,我们返回头看下这道题目,就会发现在题干中,题目特意指明,

    是两个概率大于
    的随机事件,这里是有其用意存在的。

    到此,我们梳理了这三种大家高中阶段接触的事件之间的关系,其实高中数学中的很多知识内容都需要我们细化去深究,数学中的定义,很多同学觉得枯燥无用,但是概念的准确把握永远是解决问题的基石,需要我们注意。

    时间仓促,文中如有疏漏之处大家可在评论区指明,我看到后会进行修正。

    展开全文
  • 一、选择题(每小题4分,共28分)1、某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若...∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的,抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04∴抽查一次抽得正品的概率是1-0.04=0.96故...
    a9a442228c4281f3ca8ade52c3ce480b.gif一、选择题(每小题4分,共28分)

    1、某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率0.03,出现丙级品的概率0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是(  )

    A、0.09B、0.98C、0.97D、0.96

    正确答案

    D

    解析

    解:∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的,
    抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04
    ∴抽查一次抽得正品的概率是1-0.04=0.96
    故选:D.

    2、下列说法中正确的是(  )

    A、事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大B、事件A,B同时发生的概率一定比事件A,B恰有一个发生的概率小C、互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D、互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

    正确答案

    D

    解析

    解:由互斥事件和对立事件的概念知
    互斥事件是不可能同时发生的事件
    对立事件是A不发生B就一定发生的事件,
    故选:D.

    3、在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,那么以13e5a909d5e5162ad40578c8222f04e1.png为概率的事件是(  )

    A、都不是一等品B、恰有一件一等品C、至少有一件一等品D、至多一件一等品

    正确答案

    D

    解析

    解:5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,
    从5件产品中任取2件,有C52=10种结果,
    ∵都不是一等品有1种结果,概率是91ccf968358194bbedf8f4cb5ccc92ee.png
    恰有一件一等品有C31C21种结果,概率是0fc6d0341f87f5a9a9430c42a7a38a92.png
    至少有一件一等品有C31C21+C32种结果,概率是15370b539697a5c9749e92f7d5cf1a13.png
    至多有一件一等品有C31C21+1种结果,概率是cba17e4a32911ed11a45bb73f4027f2e.png
    cba17e4a32911ed11a45bb73f4027f2e.png是至多有一件一等品的概率,
    故选:D.

    4、今有光盘驱动器50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,出现二级品的概率为(  )

    A、08e27c9d0612ee18e3a99674049a5ce3.pngB、271465885bf1dfbdfad5aa611681a571.pngC、1-c00f8ec68dfcb0c27fd33aa068f67e69.pngD、9b6cd0a7d0f34087b76716b0832d9bd7.png

    正确答案

    C

    解析

    解:由题意知本题是一个古典概型,
    试验发生包含的事件是从50个光盘中任取3个,共有C503种结果,
    满足条件的事件是出现二级品,包括三种情况,这样可以从反面来写出结果,
    即先写出没有二级品的事件数,有C453种结果,
    根据古典概型和对立事件的概率得到
    P=1-e10b4d1c33a037cc68f380319167c7d1.png

    故选:C.

    5、甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球,(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A:“两球同色”,B:“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为(  )

    A、P(A)<P(B)B、P(A)=P(B)C、P(A)>P(B)D、视m,n的大小而定

    正确答案

    A

    解析

    解:以A1表示取出的都是白球.,A2表示取出的都是黑球,则 A1,A2互斥且A=A1∪A2
    P(A)=P(A1)+P(A2)=3609c158a904707ea08763584b2cebe2.png+2847cf0010239331e704189157e90ef3.png=cc36d34fc81a884cbbfdb8f72112cbbd.png
    以B1表示甲袋取出白球乙袋取出黑球,
    B2表示甲袋取出黑球乙袋取出白球,
    则B1、B2到斥且B=B1∪B2
    P(B)=P(B1)+P(B2)=34757b269a3b19a3fd00b611bf84980c.png+fab202e707be311f64011c04e41a2e68.png=3761d34941c4dcb8c4927c349ff14d96.png
    由于m≠n,故2mn<m2+n2
    故P(A)<P(B).
    故选:A.

    6、在20件产品中,有17件合格品,3件次品,从中任取2件,2件都是合格品的概率约为(  )

    A、0.015B、0.716C、0.268D、0.628

    正确答案

    B

    解析

    解:依据概率的乘法公式得:P(2件合格品)=67970b4ec137ae215f709d6e02688f79.png×ec16a10fc1483fdb69fe290bfa114467.png≈0.716.
    故选:B.

    7、在房间里有4个人,至少有两个人的生日在同一个月的概率是(  )

    A、f682fa7e229fa22d8851307fd0d6b1a6.pngB、d0b84a290d52858a8302edcd8b142c63.pngC、04e165b693d5f21b2ddbe9c2c2b6ff5b.pngD、d55cfbe4d513cd471db44e2a86745484.png

    正确答案

    C

    解析

    解:由题意知本题是一个古典概型,
    试验发生的所有事件数124
    满足条件的事件是至少有两个人的生日在同一个月的对立事件是没有人生日在同一个月共有A124种结果
    ∴每个人的生日都不在同一个月的概率为fbcc4f59787737110d9ba4a40598d3c1.png=768b3d8e4524703d7cfba976f710bf2d.png

    ∴至少有两个人在同一个月生日的概率为1-768b3d8e4524703d7cfba976f710bf2d.png=75cdd20049914fc1d593cf1d53620efd.png
    故选:C.

    二、填空题(每小题5分,共15分)

    8、从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个球中,任取5个球,则这5个球编号之和为奇数的概率是           

    正确答案

    700c5044e387b473b7f0b795660f597a.png

    解析

    解:由题意知本题是一个古典概型,
    ∵试验发生的总事件是任取5个球有C105种结果,
    满足条件的编号之和为奇数的结果数为C51C54+C53C52+C55=126,
    由古典概型公式得到,
    ∴概率为2c376e6b6f1cb769cbd643fe1e484f53.png=700c5044e387b473b7f0b795660f597a.png.

    9、抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P(A)=afd3e2ee45a6fd6f62119fb7f8f636d5.png,P(B)=ef1fb00d4a0da4ff7f9c9191294aec5b.png,则出现奇数点或2点的概率是        

    正确答案

    408bd3c09d69369e354dd2b06d536a7b.png

    解析

    解:由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件,
    ∵P(A)=afd3e2ee45a6fd6f62119fb7f8f636d5.png,P(B)=ef1fb00d4a0da4ff7f9c9191294aec5b.png
    ∴出现奇数点或2点的概率根据互斥事件的概率公式得到P=P(A)+P(B)=afd3e2ee45a6fd6f62119fb7f8f636d5.png+ef1fb00d4a0da4ff7f9c9191294aec5b.png=408bd3c09d69369e354dd2b06d536a7b.png.

    10、在从1至100的正整数中任取一个数,则该数能被11或13整除的概率为          

    正确答案

    0.16

    解析

    解:从1至100的正整数中任取一个数,共有100种情况
    其中能被11整除的数共有9个
    能被13整除的数共有7个
    其中即能被11且能被13整除的数有0个
    故能被11或13整除的数共有7+9=16个
    故该数能被11或13整除的概率P=648818ed72bb847e31c4e87aad0eb45b.png=0.16.

    三、解答题(共57分)

    11、(10分)盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:
    (1)取到的2只中正品、次品各一只;
    (2)取到的2只中至少有一只正品.

    正确答案

    (1)取到的2只中正品、次品各一只概率为c6e471c5b0747d09d083c32a02117bd8.png
    (2)取到的2只中至少有一只正品概率为fd36bfb7a40fc5804fa8c3af2d2e96f8.png

    解析

    解:从6只灯泡中有放回地任取两只,共有62=36种不同取法.
    (1)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能:
    第一次取到正品,第二次取到次品;及第一次取到次品,第二次取到正品.
    ∴所求概率为P=74366dfb1cdb72ed69e102b2384f79d7.png+eda31f2cab2a2abc2152d1f73bf4bbee.png=c6e471c5b0747d09d083c32a02117bd8.png

    (2)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.
    ∴所求概率为P=1-bc1aab61f14ab43ca53c85a7fc6d3f17.png=fd36bfb7a40fc5804fa8c3af2d2e96f8.png

    即取到的2只中正品、次品各一只的概率为c6e471c5b0747d09d083c32a02117bd8.png;取到的2只中至少有一只正品的概率为fd36bfb7a40fc5804fa8c3af2d2e96f8.png

    12、(10分)战士甲射击一次,问:

    (1)若事件A(中靶)的概率为0.95,afb386f47c0f5a45ce08de8b72496946.png的概率为多少?

    (2)若事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7,那么事件C(中靶环数不大于6)的概率为多少?

    正确答案

    (1)afb386f47c0f5a45ce08de8b72496946.png的概率为0.05;

    (2)事件C(中靶环数不大于6)的概率为0.3。

    解析

    解:(1)∵事件A(中靶)的概率为0.95,
    根据对立事件的概率公式得到afb386f47c0f5a45ce08de8b72496946.png的概率为1-0.95=0.05;

    (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件,
    ∵事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7,
    ∴事件C(中靶环数不大于6)的概率为1-0.7=0.3。

    13、(6分)在房间里有4个人,问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?

    正确答案

    至少有两个人的生日是同一个月的概率是beb708c9144e03d33267abed485f1f38.png

    解析

    解:设至少有两个人的生日是同一个月为事件A,
    5182789e04a127e5f5a3aaf277e02bb0.png表示四个人中没有人的生日在同一个月,
    P(5182789e04a127e5f5a3aaf277e02bb0.png)=76aadf4eeb0ab0fbe7bbb83cf5d9f7e9.png=fcfdc5cd8d161c96bb3a2043cc50d809.png

    ∴根据对立事件的概率得到
    P(A)=1-4bb027fb9651250ce2b953e1956abe17.png=beb708c9144e03d33267abed485f1f38.png

    14、(6分)某单位36人的血型类别是:A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现从这36人中任选2人,求此2人血型不同的概率.

    正确答案

    2人血型不同的概率为4790b9423eb28120f53b67be84e23660.png

    解析

    解:由题意知本题是一个古典概型,
    ∵试验的所有事件是从这36人中任选2人共有C362种不同的方法,
    而满足条件的事件此2人血型不同的对立事件是两个人的血型相同共有C122+C102+C82+C62=154,
    ∴由古典概型和对立事件的公式得到
    P=1-0a73b8037f859b8e0c5b5cdb79cfc30f.png=c41f6793705154aa5e139f73596c9d53.png=4790b9423eb28120f53b67be84e23660.png

    15、(12分)袋中有5个白球,3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事件发生的概率:

    (1)摸出2个或3个白球;

    (2)至少摸出1个白球;

    (3)至少摸出1个黑球.

    正确答案

    (1)摸出2个或3个白球概率为6d006586be5342d217c68fdcadade025.png
    (2)至少摸出1个白球概率为1;
    (3)至少摸出1个黑球概率为acf7d304019c13f514b611b8bfcb5ee0.png

    解析

    解:从8个球中任意摸出4个共有C84种不同的结果.
    记从8个球中任取4个,其中恰有1个白球为事件A1
    恰有2个白球为事件A2,3个白球为事件A3,4个白球为事件A4,恰有i个黑球为事件Bi
    则(1)摸出2个或3个白球的概率
    P1=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=ed1ce7834a7f3e59b5bf27a02793479e.png+6bb042970dcdff1f83e8b93b490391a2.png=04210ea73a1744a307c63762ba90ffab.png+04210ea73a1744a307c63762ba90ffab.png=6d006586be5342d217c68fdcadade025.png

    (2)至少摸出1个白球的概率
    P2=1-P(B4)=1-0=1.

    (3)至少摸出1个黑球的概率
    P3=1-P(A4)=1-129abc54215817a70975759252fd6776.png=acf7d304019c13f514b611b8bfcb5ee0.png

    16、(13分)在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.

    试求:(1)取得两个红球的概率;

    (2)取得两个绿球的概率;

    (3)取得两个同颜色的球的概率;

    (4)至少取得一个红球的概率.

    正确答案

    (1)取得两个红球的概率为927dd677225bba220928fbf5cca23b79.pnga65a609b01a2cf7268489d6ee77cc386.pngcfb030305d3e6ceede5f0d2edfc1275a.pngc931a11928087853667c07c37a9daff8.png

    解析

    解:(1)从中无放回地任意抽取两次,所有的抽法有A102
    取得两个红球的抽法有A72
    故取得两个红球的概率P1=4395da02757d7fa004630bf787bc1f69.png=a3430bdd94a3356afc5c227c8d92cbb9.png=927dd677225bba220928fbf5cca23b79.png

    (2)取得两个绿球的取法共有A32
    故取得两个绿球的概率P265514e8bf112488fffd8d943841f6945.png=9a9bff5335ae4a5b653bd4502879948c.png=a65a609b01a2cf7268489d6ee77cc386.png

    (3)取得两个同颜色的球包括两个红球或两个绿球
    故取得两个同颜色的球的概率P3P1+P2927dd677225bba220928fbf5cca23b79.png+2e0216df884b22bc2d84a0d085e50e11.png=cfb030305d3e6ceede5f0d2edfc1275a.png

    (4)“至少取得一个红球”的对立事件是“取得两个绿球”
    故至少取得一个红球的概率P4=1−P2=1−2e0216df884b22bc2d84a0d085e50e11.png=c931a11928087853667c07c37a9daff8.png

    41162d3357306a14d92d74fa1f7083f1.gif声明:本公众号尊重知识产权,素材来源于网络,若有侵权请联系删除。2e872a433a580199062e2edc7b80f8bc.png

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  • [编辑]互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立...

    互斥事件(Exclusive Event)

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    什么是互斥事件

    互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件。

    [编辑]

    互斥事件与对立事件的区别与联系

    互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.

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    互斥事件与相互独立事件的区别

    “互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念,二者不能混淆。

    两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。它们虽然都描绘了两个事件间的关系,但所描绘的关系是根本不同的。

    若A、B互斥,且P(A)>0 ,P(B)>0,则它们不可能互相独立,因为A发生的条件下,B不可能发生,即

    ,所以A、B不是互相独立。

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    互斥事件的相关例题

    互斥事件有一个发生的概率

    【例1】

    房间里有6个人,求至少有2个人的生日在同一月内的概率.

    解 6个人生日都不在同一月内的概率

    .故所求概率为

    .

    【例2】

    从一副52张的扑克牌中任取4张,求其中至少有两张牌的花色相同的概率。

    解法1 任取四张牌,设至少有两张牌的花色相同为事件A;四张牌是同一花色为事件B1;有3张牌是同一花色,另一张牌是其他花色为事件B2;每两张牌是同一花色为事件B3;只有两张牌是同一花色,另两张牌分别是不同花色为事件B4,可见,B1,B2,B3,B4彼此互斥,且A = B1 + B2 + B3 + B4。

    ,

    ,

    ,

    ,

    解法2 设任取四长牌中至少有两张牌的花色相同为事件A,则

    为取出的四张牌的花色各不相同,

    答:至少有两张牌花色相同的概率是0.8945

    【例3】

    在20件产品中有15件正品,5件次品,从中任取3件,求:(1)恰有1件次品的概率;(2)至少有1件次品的概率.

    (1)从20件产品中任取3件的取法有

    ,其中恰有1件次品的取法为

    恰有一件次品的概率

    .

    (2)解法一 从20件产品中任取3件,其中恰有1件次品为事件A1,恰有2件次品为事件A2,3件全是次品为事件A3,则它们的概率

    ,

    ,

    ,

    而事件A1、A2、A3彼此互斥,因此3件中至少有1件次品的概率

    解法二 记从20件产品中任取3件,3件全是正品为事件A,那么任取3件,至少有1件次品为

    ,根据对立事件的概率加法公式

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    相关条目

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    参考文献

    ↑ 张志朝主编.第十章 排列 组合和概率 中学1+1·高三数学同步讲解与测试(上册).天津人民出版社,2003年06月第1版.

    ↑ 李勇编.10.6 互斥事件有一个发生的概率 高中学科素质教育丛书 数学.二年级.下.四川教育出版社,2005年.

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  • 01概率论与数量统计之基本概念(随机实验、样本空间、随机事件、事件运算:和、积、差、补;事件的关系:包含、互斥对立)及概率

    01概率论与数理统计之基本概念(随机实验、样本空间、随机事件、事件运算:和、积、差、补;事件的关系:包含、互斥、对立)及概率 



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