独立
对立
互斥
全概率公式
条件概率公式
贝叶斯公式
联合概率链式法则

独立

对于任意两个事件${A}$ 与${B}$，如果${P(AB)=P(A)P(B)}$ 成立，则称事件${A}$ 与事件${B}$相互独立，简称为独立。

对立

如果事件${A}$ 和事件${B}$在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 ${A\cup B=\Omega}$ ，且 ${A\cap B=\varnothing}$，那么称事件${A}$ 与事件${B}$互为对立。把事件${A}$的对立事件记为$\overline{A}$。

互斥

对于一个随机试验的两个事件${A}$、${B}$而言，如果事件 ${A}$与事件${B}$ 不能同时发生，也就是说${A\cap B}$是一个不可能事件，即${A\cap B=\varnothing}$，则称事件${A}$ 与事件${B}$互斥（或互不相容）。

notes

如果事件${A}$  或事件${B}$发生的概率都不为0，那么：互斥不独立，独立不互斥。
零概率事件与不可能事件是不同的。
1概率事件与必然事件是不同的。
零概率事件与任何事件独立；1概率事件与任何事件独立。
不可能事件与任何事件互斥。

全概率公式
${P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})P(B|{{A}_{i}})}}$

若事件${A}_{1}$，${A}_{2}$，…，${A}_{n}$构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件${B}$都有此公式成立。

条件概率公式

已知事件${B}$已经发生，求事件${A}$发生的概率。

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

贝叶斯公式
$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})P(B|{{A}_{i}})}}$
联合概率链式法则
$P(A,B,C,D)=P(A|B,C,D)*P(B|C,D)*P(C|D)*P(D)$
 $P({{X}_{1}},{{X}_{2}},···,{{X}_{n}})=P({{X}_{1}}|{{X}_{2}},{{X}_{3}},···,{{X}_{n}})*P({{X}_{2}}|{{X}_{3}},{{X}_{4}},···,Xn)···P({{X}_{n}}-1|{{X}_{n}})*P({{X}_{n}})$


Reference

事件的互斥、对立与独立
独立和互斥是什么关系？独立和不相关是什么关系？
浅谈全概率公式和贝叶斯公式
一个例子搞懂条件概率、先验概率、后验概率、全概率公式和贝叶斯公式
贝叶斯估计、最大似然估计、最大后验概率估计
概率论的链式法则

1 随机试验

2 样本空间、随机事件

3 频率与概率

4 等可能概型（古典概型）

5 条件概率

6 独立性

正式备考概率论，8月份自考结束，已经做好挂科的准备！尽管结束时，还有种再报两门的打算，但客观来说，时间太紧到10月17日仅两个月，中间还要应付项目，备考两门不过的可能性是很大的，那还不如专心备考一门！

8月份的考试，挂科的很可能是马原，要是过了就考概率论，因为疫情期间已经复习过概率论了，只是题还没做！属于存量的科目。如果马原挂了的话，就备战两个月考马原。当前阶段，还是以项目为主，这是自己的饭碗！

如题：2019年10月



分析：其实是很简单的一道题，只是当作一个引子，来复习一下概率论的相关知识。题目涉及到相互独立，是什么概念来。 

两事件相互独立：设A、B为两事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。看到独立事件，应该想到文氏图应该是两个独立图，每个图中对应一个独立事件的概率。

理解了这些，也就不难理解它的性质了：



互不相容事件（也叫互斥）的条件是不同时发生。那么文氏图应该是一个图内，两个不相交椭圆。根据定义，就可以知道独立事件性质3中，独立事件与互斥事件肯定是不同时成立的。

题目：根据性质就可以知道了，AB相互独立，P(A)>0,P(B)>0,那么P(B|A)=P(B),所以答案选A.

扩展：

对立事件：应该想到文氏图应该是一个图内，只有一个椭圆，代表一个事件的概率，椭圆外面代表另一个事件。

对立事件，除不同时发生外，还有另一个条件就是

对立事件的一个典型应用就是伯努力概型：

什么是伯努力概型：只有两种可能的结果，而且这两种结果是对立事件



证明：先简化成事件A发生一次的概率，A首先是独立的事件，那么A发生N次概率就是P(a1)*P(a2)....P(an)=p^n.这都是根据独立事件定义来得出的。那么N次中发生k次的话，就是P(a1)...P(ak)=p^k.这里要注意一下，要想完整的描述N次中恰好发生K次，显然还包括A的对立事件，即A不发生的概率。可以想像的到文氏图中只有一个圆圈P,代表发生k次概率，那么圆圈外就是n-k次不发生的概率，所以 两个发生与不发生独立事件（明明是对立事件这里为什么要看作是独立事件呢？因为一次独立的贝努力试验就包含一次对立两个事件之一，每次都是独立的，那么结果其实也是独立的）的概率就是两个事件同时发生的概率PK*P(n-K).同时也要看到还有个”恰好“，所以有Cn k种选择。

概率论的概念还是比较重要的，一些重要的公式都是由概念得出来的。正如讲网课的老师所说，都不需要记公式。

一、互斥

互不相容又叫互斥，即两个事件不能同时发生，强调“同时发生”。

发生了A就不能发生B，发生了B就不能发生A.

举例说明：就如去食堂吃饭和在WC拉粑粑。这两个是互斥事件。

概率公式：设有A、B两个集合

如果A、B互不相容，则A∩B=Φ，P（A∩B）= 0，P(B│A)= P(A│B)=0（理解：置一次骰子，A∩B=Φ，P（A∩B）= 0 是同时出现两个点概率为0. 同时，在A的情况下发生B，或在B的情况下，发生A。都是概率0）

二、独立

而互相独立即使两个事件各自发生与否与另一个事件的发生与否没有关系；

A和B独立的意思就是，A发生和B发生没有关系，A发生不会影响B发生，A和B也可能同时发生，不过A和B互不影响。

举例：就如拉粑粑和玩手机。这两个是没有关系的事件，拉粑粑不一定要玩手机，还可以看报纸。同时，玩手机的时候，也不一定非要在拉粑粑的时候。但是拉粑粑又可以和玩手机同时出现。

如果A、B互相独立，则 P（A∩B）= P（A）P（B）， P(B│A)= P(B)， P(A│B)=P（A）

三、区别

两者在概率上的区别：互斥事件，可以是一个样本空间的所有事件。但是相互独立事件，一定不是一个样本空间。

举例：比如去食堂吃饭和在WC拉粑粑，这两个概率可以加起来为1. 比如骰子6个点，每次都只有一个点向上。每置一次出现某个点数的事件之间是互斥事件。每个概率1/6, 加起来是1.

但是独立事件，则不是一个样本空间。而是多维样本空间。独立事件间的样本空间在某种情况下出现了交集，所以产生了独立事件A与独立事件B的同时出现。比如拉粑粑和玩手机，就不会被定义为一个样本的事。否则就会出现一个骰子同时出现2个点的事情了。

有人说，如果我们同时有两个骰子呢？现在我们把多维样本当做一个样本。比如同时置两个硬币当做一个样本空间。假设1是正面，0是反面。那硬币A B的结果就是[{1.0},{1.1},{0,1},{0.0}]，这四种结果是样本空间。如果我们把{0,0}当做一个整体来看，那么和其它事件{1.0},{1.1},{0,1}就是互斥事件且非独立事件。符合可以是一个样本空间的理论。如果我们把硬币A和B分别拿出来。那么A和B是相互独立了。也满足“如果A、B互相独立，则 P（A∩B）= P（A）P（B）， P(B│A)= P(B)， P(A│B)=P（A）”，但是注意。此时的P(A)和P(B), 还是我们刚刚说的[{1.0},{1.1},{0,1},{0.0}]这个样本空间的事了吗？不是了，此时的P(A)已经是每个单独的硬币正面或是反面的概率了。所以独立事件，样本空间一定不在一个维度。请注意。样本空间，就是为了计算概率的。

再注意：条件概率和独立事件没有必然关系。独立事件只是条件概率【P(B│A)= P(B)， P(A│B)=P（A）】一个特殊的例子。

示例：假设我们想知道你去一所大学，碰到第一个学生是女生的概率是P(A), 那么这个大学是理科大学的概率是多少？

假设大学分布概率中。我们知道了理科大学概率P(B1)，文科P(B2)，综合大学P(B3). .【应该知道这三个加起来不为1】。【我们还需要知道每个大学女生的比例】则在事件P(A)和P(B1)是独立事件吗，即遇到妹子和理科大学是独立的吗？

答案：是独立的。1、是可以同时出现的。2、遇到妹子和他在哪个大学有影响吗？有人说，那如果理科大学没有妹子呢？

在解决这个问题之前，我们再看一个简单的例子：假设一个人的日常活动[｛吃饭0.7｝，｛拉粑粑0.3｝]，一个人的娱乐活动[{玩手机},{想妹子}，｛开直播｝]。则，我们可以说他的日常活动和娱乐活动是独立的。因为不管是吃饭，还是拉粑粑，都可以做娱乐活动任意一项。但是如果我们定义一个人的日常活动[｛吃饭0.3｝，｛拉粑粑0.1｝,{睡觉0.3}], 这个情况下，他的日常活动和娱乐活动是独立的吗？有人认为睡觉则不会发生任何娱乐活动。所以不是独立事件。没错，因为这两个是互斥事件。是定义都定义错了。。。

那回到上边那个问题，在哪个大学遇到妹子有影响吗？没有妹子就不能算概率了吗？不是的。所以是独立的。

拓展资料：

 

要有两事件A,B。A，B发生的概率分别为P（A）、P（B），AB事件同时发生的概率为P（AB）。若A、B不相容，则P(AB)=0，反之未必。

加法公式对应互不相容性，乘法公式对应独立性。 如果A和B互不相容 P（A U B）= P（A）+P（B） 如果A和B相互独立 P（AB） = P（A） * P（B）