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  • 信号处理趣学D1——相关函数的意义&利用自相关函数消除噪声
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    2020-03-26 23:07:08

    小虎在这里介绍了相关函数的意义和工程应用,工程应用以提取受噪声干扰的周期信号为例,并用MATLAB进行仿真。

    什么是相关函数

    相关函数(correlation function)是用来衡量两个信号的相关程度。相关函数又分为自相关函数、互相关函数和协方差函数。这里仅介绍在测试技术中较常见的两种(前两种)。

    自相关函数

    自相关函数(autocorrelation function)是用来衡量统一信号在不同时刻取值的相关程度。通过这种分析,可以分析出信号中的噪声并加以去除;或者从畸变的波形中分离出基波和谐波等。可以将时移前后的信号当成两个信号分析。这是仿真理解demo
    R x ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) x ( t + τ ) d t R_x(\tau)=\lim \limits_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int_0^Tx(t)x(t+\tau)dt Rx(τ)=TlimT10Tx(t)x(t+τ)dt

    互相关函数

    互相关函数(crosscorrelation function)用来衡量两个信号之间的相关程度和取值依赖程度。对于一个理想的测试系统的输入输出信号求相关函数,测试结果完美的情况下,互相关函数取最大值时的 τ \tau τ时为等于系统的滞后时间,因为这说明信号并没有损失或收到噪声干扰,给输入信号加上的延时 t a u tau tau后与输出的信号一模一样,所以相关程度为完全相同。这是仿真理解demo
    R x y ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) y ( t + τ ) d t R_{xy}(\tau)=\lim \limits_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int_0^Tx(t)y(t+\tau)dt Rxy(τ)=TlimT10Tx(t)y(t+τ)dt
    另有性质之一 R x y ( − τ ) = R y x ( τ ) R_{xy}(-\tau)=R_{yx}(\tau) Rxy(τ)=Ryx(τ),所以当 y ( t ) y(t) y(t)比较复杂时可以采用这种方法转换为对 x ( t ) x(t) x(t)时延来计算。

    相关函数提取周期信号原理

    对机器进行噪声诊断时,噪声通常由随机、大量且大小近似相等影响因素叠加而成。随机噪声的自相关函数将出现规则的周期信号,幅值一般比正常噪声的幅值要大。当将变速箱各个机轴的转速化成频率与自相关函数波动频率比较,可以确定机械轴的好坏。或者利用自相关函数分析去除噪声得到周期函数的周期。

    具体例子——MATLAB仿真示例

    提取受到噪声干扰的周期函数 x = s i n ( w 0 t ) x=sin(w_0t) x=sin(w0t)的自相关函数,分析原周期函数的周期。

    物理意义

    结果如下图。为了便于计算,将 w 0 = 2 π f 0 w_0=2\pi f_0 w0=2πf0计算。
    在这里插入图片描述

    • 可以看到,每过一个周期,原周期函数重合,相关程度最高;每过半个周期,原周期函数互为相反数,相关程度为负的最大,这里我设的函数周期正好是0.2s(即200ms),可以很好的从自相关函数-滞后时间图像中看出。
    • 横坐标0的时候,时移为零,函数图像重合,时移前后的两个函数完全相同,相关程度最大,所以出现了0时刻的正的尖峰。
    • 另外,噪声的干扰还是可以在自相关函数-滞后时间的图中看出的,可以看到曲线不是完美的曲线,而是由波动的折线拟合而成的,这是随机噪声带来的影响,但是不影响我们分析周期函数的周期。

    代码分析

    1. 参数设置
      取6000采样长度,1000采样频率,t为采样间隔, w 0 = 2 π f 0 = 10 π w_0=2\pi f_0=10\pi w0=2πf0=10π
    n=6000;
    fs=1000;
    t=(0:n-1)/fs;
    f0=5;
    
    1. 函数建立
      x为周期为 1 / f 0 1/f_0 1/f0的正弦周期函数,z为x受到随机噪声干扰后的函数。
    x=sin(2*pi*f0*t);
    z=x+randn(size(x));
    
    1. 自相关函数求解
      R是求得的自相关函数;tau时延的值,截取了包括0在内的1+600x2个点。600时时延的区间,以傅里叶复指数形式表示的频谱是双边谱,傅里叶三角函数表示形式是单边谱,这里为前者,其实是后者的一分为二,这完全是数学计算的结果,没有任何实际物理意义。'coeff’归一化求得是自相关函数,‘biased’是有偏估计,'unbiased’是无偏估计。
    [R,tau]=xcorr(z,600,'coeff');
    
    1. 作图
      用两个画板画出受噪声干扰的函数和改函数的自相关函数。
    subplot(2,1,1);
    plot(t(1:1000),z(1:1000));
    xlabel('时间/s');
    ylabel('幅值');
    subplot(2,1,2);
    plot(tau,R);
    xlabel('滞后');
    ylabel('自相关函数');
    
    1. 完整代码
    n=6000;
    fs=1000;
    t=(0:n-1)/fs;
    f0=5;
    x=sin(2*pi*f0*t);
    z=x+randn(size(x));
    [R,tau]=xcorr(z,600,'coeff');
    subplot(2,1,1);
    plot(t(1:1000),z(1:1000));
    xlabel('时间/s');
    ylabel('幅值');
    subplot(2,1,2);
    plot(tau,R);
    xlabel('滞后');
    ylabel('自相关函数');
    

    参考文献

    [1]张春华等,工程测试技术基础第二版

    更多

    信号处理趣学D0——系列专栏的说明与目录

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  • 互相关应用的方向等,互相关应用的方向等,互相关应用的方向等
  • 互相关函数的实际应用

    万次阅读 多人点赞 2018-04-10 20:46:50
    互相关函数定义令f1(t), f2(t) 为能量信号,一般情况可以是时间的复函数,称:为f1(t)和f2(t) 的互相关函数应用:①噪声背景下提取有用信息上图为信号的传递系统,其中n(t)为噪声。但只有系统对输入的响应是...

    互相关函数定义

    令f1(t), f2(t) 为能量信号,一般情况可以是时间的复函数,称:
    为f1(t)和f2(t) 的互相关函数。

    应用:

    ①在噪声背景下提取有用信息


    上图为信号的传递系统,其中n(t)为噪声。


    但只有系统对输入的响应是有用的。

    通过一个互相关器,输出就相当于 x(t) 与 Yx(t) , Yn1(t) , Yn2(t) , n3(t)分别求互相关函数再叠加

              

    总结为一句话就是“同频相关,不同频不相关”。

    做到这一步时已经由互相关器得出了Rxyx(τ)分离出了噪声,下一步就是从分离信号中提取有用信息。

    要分离有用信息先要知道两信号互相关函数的具体形式,下面以两正弦信号为例。

    “已知两个信号,这两个信号的互相关函数是   

     ”(求解过程省略)

    再回到提取有用信号这个目标中,已知

    由  解得 y(t) 即有用信息。


    ②求匀速钢板的运动速度

    互相关函数也可以用来求轧钢厂生产线上钢板的运动速度,如图所示


            钢板a点贴有反光片,当a点经过传感器1时,放大镜将光点信息传送到光电池传感器并输出x(t),同理,a点经过传感器2时,产生一个y(t),因为两传感器检测的时同一点的信号,故y(t)是x(t)的一个时移,,且钢板运动速度

    互相关函数式为 

    通过上式可知τ=τm时取最大值,所以分析图像即知峰值点对应的τ就是τm


    求出 τm 便可通过求出 V 。



    ③求输油管裂损的位置

    原理与②类似,都是通过τm来解决问题。


    当漏油面积较大时很难从视觉上判断漏油点,这时根据漏油面积找到两个极限测量点(漏油点一定在两测量点之间),根据漏油的滴答声到两传感器之间的时间差来判断漏油的具体位置。,    V为常数,由管道材质决定,公式的推导过程本文省略。τm的求解方式与用途②中的τm求解方式相同,由此便可解出S。




    展开全文
  • 作者结合自己学习实践,从以下三个方面介绍对比了自相关与互相关 1. 定义 2. 从其他角度对于相关的理解 3. 在工程实践应用
  • 利用MATLAB程序互动理解互相关函数,随意按键移动信号2,造成不同时延得到不同的相关程度。

    背景介绍

    利用MATLAB程序互动理解互相关函数,相关函数的工程应用可以看这里
    随意按键移动信号2,造成不同时延得到不同的相关程度。
    在这里插入图片描述

    完整代码

    % A demonstration of cross correlation in action.
    % Hit the space bar during the demo to execute
    % 
    % https://dadorran.wordpress.com/2014/04/25/cross-correlation-demo/
    clc;close all
    a = [0.1 0.2  -0.1 4.1 -2 1.5 0 ];
    b = [0.1 4 -2.2 1.6 0.1 0.1 0.2];
     
    len = length(a);
    if(len ~= length(b))
        error('vectors supplied must be the same length');
    end
    figure
    set(gcf, 'position', [ 285   347   642   367]);
     
    max_amp = max([max(a) max(b)]);
    min_amp = min([min(a) min(b)]);
     
     
    plot_h = 0.25;
    text_h = 0.1;
    ax1 = subplot(2,1,1);
    pl1_line = plot(a);
    labels1 = text([1:len], a , num2str(a'), 'VerticalAlignment','bottom', ...
                                 'HorizontalAlignment','right','fontsize',8);
    hold on; pl1_dot = plot(a,'r.');
    xlim([1 len])
    ylim([min_amp max_amp])
     
    set(ax1,'position', [(1/3) 0.95-plot_h (1/3) plot_h])
    set(ax1,'visible','off')
     
    ax2 = subplot(2,1,2);
    pl2_line = plot(b);
    labels2 = text([1:len], b , num2str(b'), 'VerticalAlignment','bottom', ...
                                 'HorizontalAlignment','right','fontsize',8);
    hold on; pl2_dot = plot(b,'r.');
    xlim([1 len])
    ylim([min_amp max_amp])
    set(ax2,'visible','off')
    set(ax2,'position', [(1/3) 0.9-plot_h*2 (1/3) plot_h])
     
     
    str = '';
    for k = 1: len
        str = [str '(' num2str(a(k)) ')(' num2str(b(k)) ') + '];
    end
    str(end-1)  = '=';
    str = [str num2str(sum(a.*b))];
    r_ba = xcorr(a,b);
     
    corr_calc_text = annotation('textbox',  [0 0.85-plot_h*2-text_h 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','center' ,'string', {'correlation at zero lag is ' str}, 'fontsize', 8);
     
    annotation('textbox',  [0.5 0.8-plot_h*2-text_h*2 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', sprintf('%.2f',r_ba(len)),'color','red', 'fontsize', 8);
     
     
    pause
     
    x_inc= (1/3)/(len-1);
    for k = 1:len-1
     
        str = '';
        for m = 1: len-k
            str = [str '(' num2str(a(m+k)) ')(' num2str(b(m)) ') + '];
        end
        str(end-1)  = '=';
        str = [str num2str(r_ba(len+k))];
     
        set(corr_calc_text,'string', {['correlation at lag of ' num2str(k) ' is '] str}, 'fontsize', 8);
         
        set(ax2,'position', [(1/3)+k*x_inc 0.9-plot_h*2 (1/3) plot_h])
         
        annotation('textbox',  [0.5+x_inc*k 0.8-plot_h*2-text_h*2 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', sprintf('%.2f',r_ba(len+k)),'color','red', 'fontsize', 8);
        if(k ==1)
            pause
            annotation('textbox',  [0.5 0.01 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', ['   0'] ,'color','blue', 'fontsize', 8);
            annotation('textbox',  [0.001 0.01 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', ['Lag:'] ,'color','blue');
            annotation('textbox',  [0.5+x_inc*(len) 0.8-plot_h*2-text_h*2 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', ']' ,'color','red');
            annotation('textbox',  [0.5-x_inc*(len-1)-x_inc/2 0.8-plot_h*2-text_h*2 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', '[' ,'color','red');
            annotation('textbox',  [0.001 0.8-plot_h*2-text_h*2 1 text_h], 'linestyle','none','verticalalignment','middle','horizontalalignment','left' ,'string', {'Correlation' 'Sequence:'} ,'color','red');
     
        end
        annotation('textbox',  [0.5+x_inc*k 0.01 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', ['   ' num2str(k)] ,'color','blue', 'fontsize', 8);
     
        pause
    end
     
    for k = 1:len-1
     
        str = '';
        for m = 1: len-k
            str = [str '(' num2str(a(m)) ')(' num2str(b(m+k)) ') + '];
        end
        str(end-1)  = '=';
        str = [str num2str(r_ba(len-k))];
     
        set(corr_calc_text,'string', {['correlation at lag of ' num2str(-1*k) ' is '] str}, 'fontsize', 8);
         
        set(ax2,'position', [(1/3)-k*x_inc 0.9-plot_h*2 (1/3) plot_h])
        annotation('textbox',  [0.5-x_inc*k 0.8-plot_h*2-text_h*2 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', sprintf('%.2f',r_ba(len-k)),'color','red', 'fontsize', 8);
        annotation('textbox',  [0.5-x_inc*k 0.01 1 text_h], 'linestyle','none','horizontalalignment','left' ,'string', ['   ' num2str(k*-1)] ,'color','blue', 'fontsize', 8);
     
        pause
    end
     
    % Uncomment the next two lines if you would like to see a plot of the
    % correlation sequence
    % [corr_seq lags] =  xcorr(a,b);
    % plot(lags,corr_seq)
    % xlabel('lags');ylabel('correlation measure');
    
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  • 文章目录相关函数1 互相关和自相关函数的定义2 相关与卷积的...实函数f1(t)f_1(t)f1​(t)和f2(t)f_2(t)f2​(t),如为能量有限信号,它们之间的互相关函数定义为: (注:R12,R21R_{12},R_{21}R12​,R21​下脚数字(1

    相关函数

    1 互相关和自相关函数的定义

    比较某信号与另一延时 τ τ τ的信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。相关函数也称为相关积分,它与卷积的运算方法类似。

    实函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t),如为能量有限信号,它们之间的互相关函数定义为:

    在这里插入图片描述

    (注: R 12 , R 21 R_{12},R_{21} R12R21下脚数字(12,21),前面数字代表的信号领先 τ τ τ)

    互相关函数是两信号之间时间差 τ τ τ的函数。一般 R 12 ( τ ) ≠ R 21 ( τ ) R_{12}(τ)≠ R_{21}(τ) R12(τ)=R21(τ)
    在这里插入图片描述

    如果 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)是同一信号,可记为 f ( t ) f(t) f(t) ,这时无需区分 R 12 R_{12} R12 R 21 R_{21} R21,用 R ( τ ) R(τ) R(τ)表示,称为自相关函数。即 :
    在这里插入图片描述
    容易看出,对自相关函数有:
    在这里插入图片描述

    可见,实函数 f ( t ) f(t) f(t)的自相关函数是时移 τ τ τ的偶函数。

    2 相关与卷积的比较

    在这里插入图片描述

    函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)卷积的表达式为:
    f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( − ( τ − t ) ) d τ = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f_{1}(t) * f_{2}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(-(\tau-t)) d \tau=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau f1(t)f2(t)=f1(τ)f2((τt))dτ=f1(τ)f2(tτ)dτ

    为了便于与卷积函数进行比较,我们将互相关函数定义式中的变量 t t t τ τ τ进行互换,可将实函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)的互相关函数写为:

    R 12 ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( τ − t ) d τ R_{12}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(\tau-t) d \tau R12(t)=f1(τ)f2(τt)dτ

    两种运算的不同之处卷积开始时需要将 f 2 ( τ ) f_2(τ) f2(τ)反折 f 2 ( − τ ) f_2(-τ) f2(τ),而相关运算则不需反折,仍为 f 2 ( τ ) f_2(τ) f2(τ)。其他的移位、相乘和积分的运算方法相同

    在这里插入图片描述

    根据卷积的定义
    在这里插入图片描述
    可见
    在这里插入图片描述

    由上式可知,若 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)均为实偶函数,则卷积与相关的形式完全相同

    《工程信号与系统》作者:郭宝龙等
    国家精品课程:信号与系统 ,中国大学MOOC,郭宝龙,朱娟娟

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空空如也

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互相关函数在工程中的应用