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  • 相关函数的定义: ...实函数f1(t)f_1(t)f1​(t)与f2(t)f_2(t)f2​(t),如为能量有限信号,它们之间的互相关函数定义为: R12(τ)=∫−∞∞f1(t)f2(t−τ)dtR_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2(t-\t

    相关函数的定义:
    为了比较某信号与另一延时信号 τ \tau τ信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。相关函数也被叫做相关积分,它与卷积的运算方法类似。
    实函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t),如为能量有限信号,它们之间的互相关函数定义为:
    R 12 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( t ) f 2 ( t − τ ) d t R_{12}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2(t-\tau)\rm dt R12(τ)=f1(t)f2(tτ)dt
    R 21 ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ f 2 ( t ) f 1 ( t − τ ) d t R_{21}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f_2(t)f_1(t-\tau)\rm dt R21(τ)=f2(t)f1(tτ)dt

    一般情况下 R 12 ( τ ) ! = R 21 ( τ ) R_{12}(\tau)!=R_{21}(\tau) R12(τ)!=R21(τ),一般 R 12 ( τ ) = − R 21 ( τ ) R_{12}(\tau)=-R_{21}(\tau) R12(τ)=R21(τ)

    如果 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t) f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)是同一信号,可记为 f ( t ) f(t) f(t),这个时候无需区分 R 12 , R 21 R_{12},R_{21} R12,R21而是使用自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)表示。

    R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ( t − τ ) d t R(\tau)=\int _{-\infty}^{\infty}f(t)f(t-\tau) \rm dt R(τ)=f(t)f(tτ)dt

    可以看出,对自相关函数有:
    R ( τ ) = R ( − τ ) R(\tau)=R(-\tau) R(τ)=R(τ)
    可见,实函数f(t)的自相关函数是时移 τ \tau τ的偶函数。

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  • 自相关函数&互相关函数

    千次阅读 2019-08-15 23:22:45
    这个是信号分析里边的概念。...实函数和,如为能量有限信号,它们之间互相关函数定义为:(注:下角数字,前面的领先) 互相关函数是两信号时间差的函数。 一般 如果和是同一信号,可记为,这...

    这个是信号分析里边的概念。为比较某信号与另一延时\tau的信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。相关函数 也称为相关积分,它与卷积的运算方法类似。

    实函数f_{1}(t)f_{2}(t),如为能量有限信号,它们之间互相关函数定义为:(注:下角数字,前面的领先\tau

    R_{12}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t)f_{2}(t-\tau )dt=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t+\tau )f_{2}(t)dt

    R_{21}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t-\tau )f_{2}(t )dt=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t )f_{2}(t+\tau)dt

    互相关函数是两信号时间差\tau的函数。

    一般R_{12}(\tau )\neq R_{21}(\tau )

    \left\{\begin{matrix} R_{12}(\tau ) =R_{21}(-\tau )& & \\ R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau ) & & \end{matrix}\right.

    如果f_{1}(t)f_{2}(t)是同一信号,可记为f(t),这时,无需区分R_{12}R_{21},用R(\tau )表示,称为自相关函数。即

    R(\tau )=\int_{-\infty}^{\infty }f(t)f(t-\tau )dt=\int_{-\infty}^{\infty }f(t+\tau )f(t)dt

    容易看出,对于自相关函数:R(\tau )=R(-\tau )

    可见,实函数f(t)的自相关函数就是时移\tau的偶函数。

     

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  • 自相关函数与互相关函数

    万次阅读 2018-07-02 16:49:12
    1、概念 相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。...相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍(1)、自相关函数 自相...

    1、概念

          相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义:

          

    称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍

    (1)、自相关函数

        自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。定义式:

          

    主要性质如下:

    (1)自相关函数为偶函数,其图形对称于纵轴。
    (2)当s=t 时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即
    (3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

    (2)、互相关函数

          自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度,其定义为:

          

    对于连续函数,有定义:

          

    对于离散的,有定义:

          

    从定义式中可以看到,互相关函数和卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,f(t)和g(t) 做相关等于 f*(-t) 与 g(t) 做卷积。


           在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是f(t),则自相关函数定义为 R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度


    2、物理意义

          两个相关函数都是对相关性,即相似性的度量。如果进行归一化,会看的更清楚。
    自相关就是函数和函数本身的相关性,当函数中有周期性分量的时候,自相关函数的极大值能够很好的体现这种周期性。互相关就是两个函数之间的相似性,当两个函数都具有相同周期分量的时候,它的极大值同样能体现这种周期性的分量。


          相关运算从线性空间的角度看其实是内积运算,而两个向量的内积在线性空间中表示一个向量向另一个向量的投影,表示两个向量的相似程度,所以相关运算就体现了这种相似程度。

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  • 由于MATLAB本身自带的相关函数在扩频通信中并不适合,性能欠佳。本程序是我自己编写的求自相关或互相关的MATLAB函数。可直接调用该函数。已通过验证。
  • 自相关、互相关函数学习笔记

    千次阅读 多人点赞 2019-07-17 15:56:50
    为什么相关性有效 参考文献 【1】自相关的物理意义 【2】自相关和互相关函数计算方法总结及心得体会

    互相关函数和自相关函数

    信号 x ( n ) x( n) x(n) y ( n ) y(n) y(n) 的互相关函数: x ( n ) x( n) x(n) 保持不动,将 y ( n ) y(n) y(n) 右移 m m m个采样周期得到 y ( n − m ) y(n-m) y(nm) ,再将 x ( n ) x( n) x(n) y ( n − m ) y(n-m) y(nm) 相乘并求和,则得到 r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy(m) m m m时刻的值,反映了 x ( n ) x( n) x(n) y ( n − m ) y(n-m) y(nm)相两个波形的相似程度(附录:理解自相关
    r x y ( m ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) y ( n − m ) (1) r_{xy}(m)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)y(n-m)\tag{1} rxy(m)=n=x(n)y(nm)(1)

    与序列卷积运算相比,少了将 y ( n ) y(n) y(n)翻转变成 y ( − n ) y(-n) y(n),因此互相关函数也可以写成:
    r x y ( m ) = x ( n ) ∗ y ( − n ) ∣ n = m *:卷积运算 (2) r_{xy}(m)=\left. x(n)*y(-n)\right|_{n=m} \color{blue}\quad\quad\text{*:卷积运算}\tag{2} rxy(m)=x(n)y(n)n=m*:卷积运算(2)
    如果(1)中 x ( n ) = y ( n ) x(n)=y(n) x(n)=y(n),则变成了 x ( n ) x(n) x(n)自相关函数:
    r x x ( m ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) x ( n − m ) (3) r_{xx}(m)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)x(n-m)\tag{3} rxx(m)=n=x(n)x(nm)(3)

    自相关函数表示了信号 x ( n ) x( n) x(n)与其自身移位后的 x ( n − m ) x(n-m) x(nm)的相似程度,为表示简单,将自相关函数记为 r x ( m ) \color{blue}r_{x}(m) rx(m)
    r x ( 0 ) = ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) . = Δ E x r x ( 0 ) 表 x ( n ) 能量 (4) r_{x}(0)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x^2(n).^\Delta_=E_x\quad\text{$r_x(0)$表$x(n)$能量}\tag{4} rx(0)=n=x2(n).=ΔExrx(0)x(n)能量(4)

    E x < ∞ E_x < ∞ Ex<时,信号 x ( n ) x( n) x(n)称为能量信号
    E x = ∞ E_x = ∞ Ex=时,信号 x ( n ) x( n) x(n)称为能量无限信号:主要研究其平均功率

    信号 x ( n ) x( n) x(n)功率定义为:
    P x = lim ⁡ n → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N ∣ x ( n ) ∣ 2 (5) P_x=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2N+1}\sum^N_{n=-N}|x(n)|^2\tag{5} Px=nlim2N+11n=NNx(n)2(5) P x < ∞ P_x < ∞ Px<时,称 x ( n ) x( n) x(n)功率信号

    当输入序列是有限长序列,或无限长序列的有限个序列值时,通常将互相关和自相关函数表示成有限和的形式。特别是当 x ( n ) x( n) x(n) y ( n ) y( n) y(n)是长度为 N N N因果序列时,互相关和自相关函数可以表示为:
    r x y ( m ) = { ∑ n = m N − 1 x ( n ) y ( n − m ) , 0 ⩽ m < N ∑ n = 0 N − ∣ m ∣ − 1 x ( n ) y ( n − m ) , − N < m < 0 0 , m 为其他值 (6) r_{x y}(m)=\left\{\begin{aligned}&{\sum_{n=m}^{N-1} x(n) y(n-m),} &{0 \leqslant m<N} \tag{6}\\ &{\sum_{n=0}^{N-|m|-1} x(n) y(n-m),} &{-N<m<0} \\ &{0,}&\text{$m$为其他值}\end{aligned} \right. rxy(m)=n=mN1x(n)y(nm),n=0Nm1x(n)y(nm),0,0m<NN<m<0m为其他值(6) r x ( m ) = { ∑ n = m N − 1 x ( n ) x ( n − m ) , 0 ⩽ m < N ∑ n = 0 N − ∣ m ∣ − 1 x ( n ) x ( n − m ) , − N < m < 0 0 , m 为其他值 (7) r_{x }(m)=\left\{\begin{aligned}&{\sum_{n=m}^{N-1} x(n) x(n-m),} &{0 \leqslant m<N} \tag{7}\\ &{\sum_{n=0}^{N-|m|-1} x(n) x(n-m),} &{-N<m<0} \\ &{0,}&\text{$m$为其他值}\end{aligned} \right. rx(m)=n=mN1x(n)x(nm),n=0Nm1x(n)x(nm),0,0m<NN<m<0m为其他值(7)

    如果 x ( n ) x( n) x(n) y ( n ) y( n) y(n)复信号,其相关函数也是复信号,则(1)、(3)应为:
    r x y ( m ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) y ∗ ( n − m ) (8) r_{xy}(m)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)y^*(n-m)\tag{8} rxy(m)=n=x(n)y(nm)(8)

    r x x ( m ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) x ∗ ( n − m ) (9) r_{xx}(m)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)x^*(n-m)\tag{9} rxx(m)=n=x(n)x(nm)(9) ∗ 表 共 轭 复 数 \color{blue}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad*表共轭复数

    周期信号的相关性

    x ( n ) x( n) x(n) y ( n ) y( n) y(n)是两个功率信号,其互相关函数定义为:
    r x y ( m ) = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N x ( n ) y ( n − m ) (10) r_{xy}(m)=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac1{2N+1}\sum^N_{n=-N}x(n)y(n-m)\tag{10} rxy(m)=Nlim2N+11n=NNx(n)y(nm)(10)

    x ( n ) = y ( n ) x( n)=y( n) x(n)=y(n),功率信号的自相关函数定义为:
    r x ( m ) = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N x ( n ) x ( n − m ) (11) r_{x}(m)=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac1{2N+1}\sum^N_{n=-N}x(n)x(n-m)\tag{11} rx(m)=Nlim2N+11n=NNx(n)x(nm)(11)

    如果 x ( n ) x( n) x(n) y ( n ) y( n) y(n)都是周期为 N N N 的信号,则(10)、(11)中有限区间上的平均值就等于一个周期上的平均值:
    r x y ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) y ( n − m ) (12) r_{xy}(m)=\frac1{N}\sum^{N-1}_{n=0}x(n)y(n-m)\tag{12} rxy(m)=N1n=0N1x(n)y(nm)(12)

    x ( n ) = y ( n ) x( n)=y( n) x(n)=y(n)时,功率信号的自相关函数定义为
    r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) x ( n − m ) (13) r_{x}(m)=\frac1{N}\sum^{N-1}_{n=0}x(n)x(n-m)\tag{13} rx(m)=N1n=0N1x(n)x(nm)(13)

    由周期信号的定义可得:
    r x ( m + N ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) y ( n − m − N ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) x ( n − m ) = r x ( m ) (14) r_{x}(m+N)=\frac1{N}\sum^{N-1}_{n=0}x(n)y(n-m-N)=\frac1{N}\sum^{N-1}_{n=0}x(n)x(n-m)=r_{x}(m)\tag{14} rx(m+N)=N1n=0N1x(n)y(nmN)=N1n=0N1x(n)x(nm)=rx(m)(14)

    周期为 N N N 的周期信号的自相关函数也是以 N N N 为周期的,因此,对一个未知周期信号,可以根据其自相关函数周期性质估计其周期

    相关函数的性质

    互相关函数性质
    设两个信号 x ( n ) x( n) x(n) y ( n ) y( n) y(n) 均为能量信号,其能量分别为
    r x ( 0 ) = ∑ n = − ∞ ∞ x 2 ( n ) = E x r y ( 0 ) = ∑ n = − ∞ ∞ y 2 ( n ) = E y (15) r_{x}(0)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x^2(n)=E_x\tag{15}\\ r_{y}(0)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}y^2(n)=E_y rx(0)=n=x2(n)=Exry(0)=n=y2(n)=Ey(15)

    性质 1: r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy(m)不是偶函数,而且 r x y ( m ) ≠ r y x ( m ) r_{xy}(m)\neq r_{yx}(m) rxy(m)=ryx(m),但有:
    r x y ( m ) = r y x ( − m ) r_{xy}(m)=r_{yx}(-m) rxy(m)=ryx(m)

    性质 2: r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy(m)满足:
    ∣ r x y ∣ ≤ r x ( 0 ) r y ( 0 ) = E x E y (16) |r_{xy}|\leq\sqrt{r_x(0)r_y(0)}=\sqrt{E_xE_y}\tag{16} rxyrx(0)ry(0) =ExEy (16)

    性质 3: y ( n ) y( n) y(n)相对 x ( n ) x( n) x(n)移至无穷远处,则二者无相关性
    lim ⁡ m → ∞   r x y ( m ) = 0 (17) \lim_{m\rightarrow\infty}\ r_{xy}(m)=0\tag{17} mlim rxy(m)=0(17)因为一般能量信号都是有限非零时宽的,所以,当 m → ∞ m →∞ m时, x ( n ) x( n) x(n) y ( n − m ) y(n-m) y(nm) 的非零区不重叠

    自相关函数性质

    性质 1: x ( n ) x( n) x(n)是实信号, r x ( m ) r_x(m) rx(m) 是实偶函数,即:
    r x ( m ) = r x ( − m ) (18) r_{x}(m)=r_{x}(-m)\tag{18} rx(m)=rx(m)(18)

    性质 2: r x ( m ) r_{x}(m) rx(m) m = 0 m=0 m=0时取得最大值,即: r x ( 0 ) ≥ r x ( m ) r_x(0)\geq r_x(m) rx(0)rx(m)

    性质 3: 对能量信号 x ( n ) x( n) x(n) ,将 x ( n ) x( n) x(n) 相对自身移至无穷远处,则二者不相关。即:
    lim ⁡ m → ∞   r x ( m ) = 0 (19) \lim_{m\rightarrow\infty}\ r_{x}(m)=0\tag{19} mlim rx(m)=0(19)

    输入输出信号的相关函数

    这里讨论时域离散线性时不变系统输出信号与输入信号的互相关函数,设系统输入信号 x ( n ) x( n) x(n) 的自相关函数 r x ( m ) r_{x}(m) rx(m) 已知,系统单位脉冲响应为 h ( n ) h(n) h(n),系统输出信号为:
    y ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ h ( n ) x ( n − k ) (20) y(n)=h(n)*x( n)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}h(n)x(n-k)\tag{20} y(n)=h(n)x(n)=k=h(n)x(nk)(20)

    由(2)可知输出信号与输入信号的互相关函数:
    r y x ( m ) = y ( m ) ∗ x ( − m ) = h ( m ) ∗ x ( m ) ∗ x ( − m ) = h ( m ) ∗ [ x ( m ) ∗ x ( − m ) ] = h ( m ) ∗ r x ( m ) (21) \begin{aligned} r_{y x}(m) &=y(m) * x(-m)=h(m) * x(m) * x(-m) \tag{21}\\ &=h(m) *[x(m) * x(-m)] \\ &=h(m) * r_{x}(m) \end{aligned} ryx(m)=y(m)x(m)=h(m)x(m)x(m)=h(m)[x(m)x(m)]=h(m)rx(m)(21)输出信号与输入信号的互相关函数等于系统单位脉冲响应 h ( n ) h(n) h(n)与输入信号自相关函数 r x ( m ) r_x(m) rx(m) 的卷积, r y x ( m ) r_{yx}(m) ryx(m)可看成线性时不变系统对输入序列 r x ( m ) r_{x}(m) rx(m) 的响应输出

    x ( n ) = y ( n ) x(n) = y(n) x(n)=y(n),利用卷积的性质,可以得到系统输出信号的自相关函数 r y ( m ) r_y(m) ry(m)
    r y ( m ) = y ( m ) ∗ y ( − m ) = [ h ( m ) ∗ x ( m ) ] ∗ [ h ( − m ) ∗ x ( − m ) ] = [ h ( m ) ∗ h ( − m ) ] ∗ [ x ( m ) ∗ x ( − m ) ] = r h ( m ) ∗ r x ( m ) (22) \begin{aligned} r_{y}(m) &=y(m) * y(-m)=[h(m) * x(m)] *[h(-m) * x(-m)]\tag{22} \\ &=[h(m) * h(-m)] *[x(m) * x(-m)] \\ &=r_{h}(m) * r_{x}(m) \end{aligned} ry(m)=y(m)y(m)=[h(m)x(m)][h(m)x(m)]=[h(m)h(m)][x(m)x(m)]=rh(m)rx(m)(22)

    令(22)中 m = 0 m=0 m=0,可得到信号能量:
    r y ( 0 ) = ∑ n = − ∞ ∞ r h ( n ) r x ( n ) (23) r_y(0)=\sum^\infty_{n=-\infty}r_h(n)r_x(n)\tag{23} ry(0)=n=rh(n)rx(n)(23)

    信号的能量谱密度和功率谱密度

    表征物理现象的各种信号,可以分为确知信号和随机信号两大类。对于确知信号,可以用信号的傅里叶频谱描述,但对于类似噪声的随机信号,如语音信号中的浊音,其傅里叶变换不存在,只能通过统计平均的方法,用其功率谱描述。即从有限的信号采样中估计出信号的功率谱

    功率谱估计(简称谱估计)分为经典谱估计和现代谱估计,经典谱估计又分为周期图法和自相关法

    自相关法是先估计观测信号的自相关函数,再对自相关函数进行傅里叶变换得到功率谱

    信号的能量谱

    x ( n ) x( n) x(n) 是实能量信号,对 x ( n ) x( n) x(n) 的自相关函数进行傅里叶变换,得:
    F T [ r x ( m ) ] = ∑ m = − ∞ ∞ r x ( m ) e − j ω m = ∑ m = − ∞ ∞ [ ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) x ( n − m ) ] e − j ω m = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) ∑ m = − ∞ ∞ x ( n − m ) e − j ω m (24) \mathrm{FT}\left[r_{x}(m)\right]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} r_{x}(m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega m}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) x(n-m)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega m}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \sum_{m=-\infty}^{\infty} x(n-m) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega m}\\\tag{24} FT[rx(m)]=m=rx(m)ejωm=m=[n=x(n)x(nm)]ejωm=n=x(n)m=x(nm)ejωm(24)

    k = n − m k=n-m k=nm,上式变为:
    F T [ r x ( m ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n ∑ k = − ∞ ∞ x ( k ) e j ω k = X ( e j ω ) X ∗ ( e j ω ) = ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 (25) {\mathrm{FT}\left[r_{x}(m)\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n} \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega k}=X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)X^{*}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2}}\tag{25} FT[rx(m)]=n=x(n)ejωnk=x(k)ejωk=X(ejω)X(ejω)=X(ejω)2(25)

    根据傅里叶变换的唯一性,有:
    r x ( m ) = IFT ⁡ [ ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 ] = 1 2 π ∫ − π π ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 e j ω m d ω r x ( 0 ) = 1 2 π ∫ − π π ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 d ω (26) r_{x}(m)=\operatorname{IFT}[\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^2]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{d} \omega \tag{26}\\[8pt] {r_{x}(0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2} \mathrm{d} \omega} rx(m)=IFT[X(ejω)2]=2π1ππX(ejω)2ejωmdωrx(0)=2π1ππX(ejω)2dω(26)说明 x ( n ) x(n) x(n) 的能量谱密度(简称为能量谱)为 ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 \left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2} X(ejω)2

    将能量谱记作 G x ( ω ) \color{blue}G_x(\omega) Gx(ω) x ( n ) x(n) x(n) 的自相关函数与 x ( n ) x(n) x(n) 的能量谱构成傅里叶变换对
    G x ( ω ) = F T [ r x ( m ) ] = ∣ X ( e j ω ) ∣ 2 r x ( m ) = IFT ⁡ [ G x ( ω ) ] = 1 2 π ∫ − π π G x ( ω ) e j ω m d ω (27) G_x(\omega)=\mathrm{FT}\left[r_{x}(m)\right]=\left|X\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega}\right)\right|^{2}\tag{27}\\[8pt] r_{x}(m)=\operatorname{IFT}[G_x(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}G_x(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{d} \omega Gx(ω)=FT[rx(m)]=X(ejω)2rx(m)=IFT[Gx(ω)]=2π1ππGx(ω)ejωmdω(27)由上可知,自相关函数仅保留了信号的幅频信息,而丢失了相位信息。因此,不能从 G x ( ω ) G_x(\omega) Gx(ω) r x ( m ) r_x(m) rx(m)回复原信号 x ( n ) x(n) x(n),且 G x ( ω ) G_x(\omega) Gx(ω)非负

    L T I \mathrm{LTI} LTI 系统的输入为 x ( n ) x(n) x(n) ,输出为 y ( n ) y(n) y(n),,由(27)及傅里叶变换的时域卷积定理可得到输出能量谱与输入能量谱的关系:
    G y ( ω ) = F T [ r y ( m ) ] = ∣ H ( e i ω ) ∣ 2 G x ( ω ) (28) G_y(\omega)=\mathrm{FT}\left[r_{y}(m)\right]=|H(e^{i\omega})|^2G_x(\omega)\tag{28} Gy(ω)=FT[ry(m)]=H(eiω)2Gx(ω)(28)

    对稳定系统, ∣ H ( e i ω ) ∣ 2 |H(e^{i\omega})|^2 H(eiω)2存在,由此,从频域也证明了能量信号通过稳定系统后,其输出响应仍是能量信号

    信号的功率谱

    x ( n ) x(n) x(n) 是平稳随机序列,其自相关函数为:
    r x ( m ) = E [ x ( n ) x ( n − m ) ] E 表统计平均 (29) r_x(m)=E[x(n)x(n-m)]\color{blue}\qquad\text{$E$表统计平均}\tag{29} rx(m)=E[x(n)x(nm)]E表统计平均(29)

    根据维纳-辛钦定理,当 x ( n ) x(n) x(n) 的均值为零时,自相关函数 r x ( m ) \color{blue}r_x(m) rx(m)与功率谱密度 P x ( ω ) \color{blue}P_x(\omega) Px(ω)是一对傅里叶变换,即
    P x ( ω ) = F T [ r x ( m ) ] = ∑ m = − ∞ ∞ r x ( m ) e − j ω m r x ( m ) = IFT ⁡ [ P x ( ω ) ] = 1 2 π ∫ − π π P x ( ω ) e j ω m d ω (27) P_x(\omega)=\mathrm{FT}\left[r_{x}(m)\right]=\sum^{\infty}_{m=-\infty}r_x(m)e^{-j\omega m}\tag{27}\\[8pt] r_{x}(m)=\operatorname{IFT}[P_x(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}P_x(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega m} \mathrm{d} \omega Px(ω)=FT[rx(m)]=m=rx(m)ejωmrx(m)=IFT[Px(ω)]=2π1ππPx(ω)ejωmdω(27)维纳-辛钦定理揭示了从时间角度描述随机信号的统计规律和从频率角度描述随机信号的统计规律之间的关系

    为什么将 P x ( ω ) P_x(\omega) Px(ω) 称为 x ( n x(n x(n) 的功率谱密度?

    m = 0 m=0 m=0,则:
    r x ( 0 ) = 1 2 π ∫ − π π P x ( ω ) d ω (29) r_{x}(0)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}P_x(\omega) \mathrm{d} \omega\tag{29} rx(0)=2π1ππPx(ω)dω(29)

    由(5)、(11)可知, r x ( 0 r_x(0 rx(0)表示 x ( n ) x(n) x(n) 的平均功率,(29)表明 P x ( ω ) P_x(\omega) Px(ω) 就是 x ( n x(n x(n) 的功率谱密度,简称功率谱。工程上可以根据 P x ( ω ) P_x(\omega) Px(ω) 判断信号的有无及其频域信息。
    x ( n ) x(n) x(n) 是实信号时, r x ( m ) r_x(m) rx(m)是实偶函数,故 P x ( ω ) P_x(\omega) Px(ω)也是实偶函数,即
    P x ( − ω ) = P x ( ω ) P_x(-\omega)=P_x(\omega) Px(ω)=Px(ω)与能量谱一样,功率谱 P x ( ω ) P_x(\omega) Px(ω)也是非负的,且不包含相位信息

    .

    附录:理解自相关

    案例 1 【 2 】 ^{【2】} 2

    一个20岁的人,把他从出生到20岁的各个阶段的照片组成一个照片信号 x 1 ( t ) x_1(t) x1(t),再将这些照片都复制一份构成另一复制信号 x 2 ( t ) x_2(t) x2(t).可以看到,两个信号是相同的,即 x ( t ) = x 1 ( t ) = x 2 ( t ) x(t)=x_1(t)=x_2(t) x(t)=x1(t)=x2(t),两个照片信号的自相关函数:

    R ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ x 1 ( t ) x 2 ( t − τ ) d t = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) x ( t − τ ) d t \color{green}R(\tau)=\int^\infty_{-\infty}x_1(t)x_2(t-\tau)dt=\int^\infty_{-\infty}x(t)x(t-\tau)dt R(τ)=x1(t)x2(tτ)dt=x(t)x(tτ)dt
    当时间延时 τ = 0 \tau=0 τ=0时,两组照片中的所有照片实际上是与自己比较,此时的相关 R ( 0 ) R(0) R(0)最大;如果时间延时 τ ≠ 0 \tau\neq0 τ=0,相当于不同年龄时的照片进行比较,当然,不同年龄照片之间的相关性会减少,也就是说,随着一个人的长大,其各个年龄的照片与儿时的照片之间的相关性逐渐减少,甚至没有相关性了,这时,人们通常会说:“过了几年怎么认不出他了”。从这个案例可以理解“独立”一定不相关,而不相关不一定“独立”。

    参考文献

    【1】第 5 章 信号的相关函数和功率谱
    【2】自相关的物理意义
    【3】自相关和互相关函数计算方法总结及心得体会

    展开全文
  • 自相关函数,互相关函数

    万次阅读 2016-11-15 15:20:49
    1. 首先说说自相关和互相关的概念。  这个是信号分析里的概念,他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度,即互相关 函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个...
  • 时间序列分析可以定义为在给定先前值的情况下预测随机过程的未来值。 建模的一个重要部分是决定应该使用多少先行值来预测未来。 自相关函数显示两个系列之间的相关系数... 对于两个过程,还添加了互相关和部分互相关
  • 互相关函数的实际应用

    万次阅读 多人点赞 2018-04-10 20:46:50
    互相关函数定义令f1(t), f2(t) 为能量信号,一般情况可以是时间的复函数,称:为f1(t)和f2(t) 的互相关函数。应用:①在噪声背景下提取有用信息上图为信号的传递系统,其中n(t)为噪声。但只有系统对输入的响应是...
  • 互相关函数的频域计算

    万次阅读 多人点赞 2018-04-07 14:00:31
    互相关函数的频域计算 1.时域计算 x1(n)与x2(n)的互相关定义如下x1(n)与x2(n)的互相关定义如下x_1(n)与x_2(n)的互相关定义如下 R(τ)=E[x1(m)x2(m+τ)]R...
  • 通信之自相关、互相关函数

    千次阅读 2018-12-04 17:14:09
    文章参考:https://blog.csdn.net/wordwarwordwar/article/details/63253272  ... 相关函数定义:随机序列的不同时刻的状态之间,存在着关联性或者说不同时刻的状态之间相互有影响,包括随机序列本身...
  • 首先,概念解释: 自相关函数R(t1,t2):为了衡量随机过程x(t)在任意两个时刻(t1,t2)上获得的随机变量之间的关联程度。 R(t1,t2) = E[ x(t1) x(t2) ] ...互相关函数:是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t...
  • 互相关函数、互功率谱和卷积之间的关系 1.我们要实现怎样的目标? 如果有两个复信号, 连续信号表示为y1(t)y_1(t)y1​(t)和 y2(t)y_2(t)y2​(t); 离散信号表示为y1(n)y_1(n)y1​(n)和y2(n)y_2(n)y2​(n); 两个信号...
  • 相关系数,互相关函数,协方差,卷积
  • 作者结合自己学习实践,从以下三个方面介绍对比了自相关与互相关 1. 定义 2. 从其他角度对于相关的理解 3. 在工程实践中的应用
  • 利用前面定义的归一化互相关函数可进行有效的清浊判决。 第一步,确定低通数值滤波后的语音对数能量ELP(dB): 第二步,确定周期性水平量Zperiod,设前三个峰的平均值: 则周期性水平量Zperiod定义为: ...
  • 使用fft计算序列的互相关函数

    千次阅读 2020-06-11 18:15:03
    2. 关于自相关函数和互相关函数的Matlab计算。 3. 关于小m序列和Gold序列的一些基本概念 一、学工的如果不知道如何使用DFT来求线性卷积和这种思想的重要性,他就白学了(小波老师原话) 要求:t[n]=f(n)*g(n),...
  • 在学习概率统计之前,我学习的都是确定的函数。概率统计讨论了一次取值时获得的值是不确定的,而随机过程讨论了不确定会发生哪个时间函数。 每个x(t)函数(样本函数)就是实际发生的一个表达式确定的函数,...自相关函数
  • 互相关值计算函数

    2018-04-11 08:44:49
    定义了一个函数用来计算两个序列的互相关值,根据给定的两个序列计算其互相关值并以图形方式输出结果。
  • python相关函数

    2017-11-25 21:50:57
    Python自己写的相关函数,是严格按照信号处理领域相关函数定义写的
  • MATLAB计算自相关函数和互相关函数

    万次阅读 2014-10-22 15:51:28
    互相关函数定义f(t)*g(-t)    ∫f(t)g(t-α)   MATLAB实现:例如A=[1 2 3]   自相关函数应该为:n=-2 -1 0 1 2 对应 值为 3 8 14 8 3       1. 使用xcorr函数:             ...
  • 文章目录相关函数1 互相关和自相关函数的定义2 相关与卷积的...实函数f1(t)f_1(t)f1​(t)和f2(t)f_2(t)f2​(t),如为能量有限信号,它们之间的互相关函数定义为: (注:R12,R21R_{12},R_{21}R12​,R21​下脚数字(1
  • 相关函数分为:自相关函数和互相关函数 相关系数分为:自相关系数和互相关系数 相同点:两者均可表示为变量之间的关联程度。 两者关系【个人理解】:相关函数归一化在一定程度上相当于相关系数 ...
  • 相关函数与卷积

    万次阅读 2018-04-12 19:26:57
    0/理解信号的相关函数就是把一个信号沿时间轴平移一段距离后与之间的信号相乘,对乘积求面积,自相关函数可以看作互相关函数的特殊情况。这一就是为什么自相关函数在时刻0取值最大了,完全重合的两个信号乘积当然...

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互相关函数的定义