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  • 求导公式

    千次阅读 2019-04-18 16:08:08
    求导公式

    导数四则运算
    (u±v)=u±v(uv)=uv+uv(uv)=uvuvv2 (u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} \quad(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \quad\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}
    基本求导公式
    y=C,y=0 y=C, \quad y^{\prime}=0

    y=x,y=1 y=x, \quad y^{\prime}=1

    y=xμ,y=μxμ1 y=x^{\mu}, \quad y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}

    y=ax,y=axlnα;y=ex,y=ex y=a^{x}, \quad y^{\prime}=a^{x} \ln \alpha ; \quad y=e^{x}, \quad y^{\prime}=e^{x}

    y=logax,y=1xlna;y=lnx,y=1x y=\log _{a} x, \quad y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} ; \quad y=\ln x, \quad y^{\prime}=\frac{1}{x}

    y=sinx,y=cosx y=\sin x, y^{\prime}=\cos x

    y=cosx,y=sinx y=\cos x, \quad y^{\prime}=-\sin x

    y=tanx,y=sec2x y=\tan x, \quad y^{\prime}=\sec ^{2} x

    y=cotx,y=csc2x y=\cot x, \quad y^{\prime}=-\csc ^{2} x

    y=arcsinx,y=11x2 y=\arcsin x, \quad y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

    (11)y=arccosx,y=11x2 (11) \quad y=\arccos x, \quad y^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}

    (12)y=arctanx,y=11+x2 (12) \quad y=\arctan x, \quad y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}

    (13)y=arccotx,y=11+x2 (13) \quad y=\operatorname{arccot} x, \quad y^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}

    (14)y=secx,y=tanxsecx (14) \quad y=\sec x, \quad y^{\prime}=\tan x \sec x

    (15)y=cscx,y=cotxcscx (15) \quad y=\csc x, \quad y^{\prime}=-\cot x \csc x

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  • 矩阵求导公式

    千次阅读 2018-09-28 14:17:58
    转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a033b090100pwjq.html 求导公式(撇号为转置): Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' ...

    转自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a033b090100pwjq.html

    求导公式(撇号为转置):

    Y = A * X --> DY/DX = A'
    Y = X * A --> DY/DX = A
    Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B'
    Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'

    矩阵求导计算法则 <wbr>例题乘积的导数

    d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'

     矩阵求导计算法则 <wbr>例题

    矩阵求导计算法则 <wbr>例题

    矩阵求导计算法则 <wbr>例题

    矩阵求导计算法则 <wbr>例题  



    矩阵求导计算法则 <wbr>例题 

    于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下:

    1. 矩阵Y对标量x求导:

    相当于每个元素求导数后转置一下,注意M×N矩阵求导后变成N×M了

    Y = [y(ij)]--> dY/dx = [dy(ji)/dx]

    2. 标量y对列向量X求导:

    注意与上面不同,这次括号内是求偏导,不转置,对N×1向量求导后还是N×1向量

    y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX= (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'

    3. 行向量Y'对列向量X求导:

    注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

    将Y的每一列对X求偏导,将各列构成一个矩阵。

    重要结论:

    dX'/dX =I

    d(AX)'/dX =A'

    4. 列向量Y对行向量X’求导:

    转化为行向量Y’对列向量X的导数,然后转置。

    注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

    dY/dX' =(dY'/dX)'

    5. 向量积对列向量X求导运算法则:

    注意与标量求导有点不同。

    d(UV')/dX =(dU/dX)V' + U(dV'/dX)

    d(U'V)/dX =(dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

    重要结论:

    d(X'A)/dX =(dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

    d(AX)/dX' =(d(X'A')/dX)' = (A')' = A

    d(X'AX)/dX =(dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X

    6. 矩阵Y对列向量X求导:

    将Y对X的每一个分量求偏导,构成一个超向量。

    注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。

    7. 矩阵积对列向量求导法则:

    d(uV)/dX =(du/dX)V + u(dV/dX)

    d(UV)/dX =(dU/dX)V + U(dV/dX)

    重要结论:

    d(X'A)/dX =(dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A

    8. 标量y对矩阵X的导数:

    类似标量y对列向量X的导数,

    把y对每个X的元素求偏导,不用转置。

    dy/dX = [Dy/Dx(ij) ]

    重要结论:

    y = U'XV= ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] =UV'

    y = U'X'XU 则dy/dX = 2XUU'

    y =(XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' +0 = 2(XU-V)U'

    9. 矩阵Y对矩阵X的导数:

    将Y的每个元素对X求导,然后排在一起形成超级矩阵。

    10.乘积的导数

    d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f'

    结论

    d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x (注意:''是表示两次转置)




    Notation

    • d/dx (y) is a vector whose (i) element is dy(i)/dx
    • d/dx (y) is a vector whose (i) element is dy/dx(i)
    • d/dx (yT) is a matrix whose (i,j) element is dy(j)/dx(i)
    • d/dx (Y) is a matrix whose (i,j) element is dy(i,j)/dx
    • d/dX (y) is a matrix whose (i,j) element is dy/dx(i,j)

    Note that the Hermitian transpose is not used because complex conjugates are not analytic.

    In the expressions below matrices and vectors ABC do not depend on X.

    Derivatives of Linear Products

    • d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B
      • d/dx (Ay) =A * d/dx (y)
    • d/dx (xTA) =A
      • d/dx (xT) =I
      • d/dx (xTa) = d/dx (aTx) = a
    • d/dX (aTXb) = abT
      • d/dX (aTXa) = d/dX (aTXTa) = aaT
    • d/dX (aTXTb) = baT
    • d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * Z

    Derivatives of Quadratic Products

    • d/dx (Ax+b)TC(Dx+e) = ATC(Dx+e) + DTCT(Ax+b)
      • d/dx (xTCx) = (C+CT)x
        • [C: symmetric]: d/dx (xTCx) = 2Cx
        • d/dx (xTx) = 2x
      • d/dx (Ax+b)T (Dx+e) = AT (Dx+e) + DT (Ax+b)
        • d/dx (Ax+b)T (Ax+b) = 2AT (Ax+b)
      • [C: symmetric]: d/dx (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATC(Ax+b)
    • d/dX (aTXTXb) = X(abT + baT)
      • d/dX (aTXTXa) = 2XaaT
    • d/dX (aTXTCXb) = CTXabT + CXbaT
      • d/dX (aTXTCXa) = (C + CT)XaaT
      • [C:Symmetric] d/dX (aTXTCXa) = 2CXaaT
    • d/dX ((Xa+b)TC(Xa+b)) = (C+CT)(Xa+b)aT

    Derivatives of Cubic Products

    • d/dx (xTAxxT) = (A+AT)xxT+xTAxI

    Derivatives of Inverses

    • d/dx (Y-1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1

    Derivative of Trace

    Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr().

    • d/dX (tr(X)) = I
    • d/dX (tr(Xk)) =k(Xk-1)T
    • d/dX (tr(AXk)) = SUMr=0:k-1(XrAXk-r-1)T
    • d/dX (tr(AX-1B)) = -(X-1BAX-1)T
      • d/dX (tr(AX-1)) =d/dX (tr(X-1A)) = -X-TATX-T
    • d/dX (tr(ATXBT)) = d/dX (tr(BXTA)) = AB
      • d/dX (tr(XAT)) = d/dX (tr(ATX)) =d/dX (tr(XTA)) = d/dX (tr(AXT)= A
    • d/dX (tr(AXBXT)) = ATXBT + AXB
      • d/dX (tr(XAXT)) = X(A+AT)
      • d/dX (tr(XTAX)) = XT(A+AT)
      • d/dX (tr(AXTX)) = (A+AT)X
    • d/dX (tr(AXBX)) = ATXTBT + BTXTAT
    • [C:symmetric] d/dX (tr((XTCX)-1A) = d/dX (tr(A (XTCX)-1) = -(CX(XTCX)-1)(A+AT)(XTCX)-1
    • [B,C:symmetric] d/dX (tr((XTCX)-1(XTBX)) = d/dX (tr( (XTBX)(XTCX)-1) = -2(CX(XTCX)-1)XTBX(XTCX)-1 + 2BX(XTCX)-1

    Derivative of Determinant

    Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for det().

    • d/dX (det(X)) = d/dX (det(XT)) = det(X)*X-T
      • d/dX (det(AXB)) = det(AXB)*X-T
      • d/dX (ln(det(AXB))) = X-T
    • d/dX (det(Xk)) = k*det(Xk)*X-T
      • d/dX (ln(det(Xk))) = kX-T
    • [Real] d/dX (det(XTCX)) = det(XTCX)*(C+CT)X(XTCX)-1
      • [CReal,Symmetric] d/dX (det(XTCX)) = 2det(XTCX)* CX(XTCX)-1
    • [CReal,Symmetricc] d/dX (ln(det(XTCX))) = 2CX(XTCX)-1

    Jacobian

    If y is a function of x, then dyT/dx is the Jacobian matrix of y with respect to x.

    Its determinant, |dyT/dx|, is the Jacobian of y with respect to x and represents the ratio of the hyper-volumes dy and dx. The Jacobian occurs when changing variables in an integration: Integral(f(y)dy)=Integral(f(y(x)) |dyT/dx| dx).

    Hessian matrix

    If f is a function of x then the symmetric matrix d2f/dx2 = d/dxT(df/dx) is the Hessian matrix of f(x). A value of x for which df/dx = 0 corresponds to a minimum, maximum or saddle point according to whether the Hessian is positive definite, negative definite or indefinite.

    • d2/dx2 (aTx) = 0
    • d2/dx2 (Ax+b)TC(Dx+e) = ATCD + DTCTA
      • d2/dx2 (xTCx) = C+CT
        • d2/dx2 (xTx) = 2I
      • d2/dx2 (Ax+b)T (Dx+e) = ATD + DTA
        • d2/dx2 (Ax+b)T (Ax+b) = 2ATA
      • [C: symmetric]: d2/dx2 (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATCA  



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    使用:---------:居中
    使用:----------居左
    使用----------:居右

    第一列 第二列 第三列
    第一列文本居中 第二列文本居右 第三列文本居左

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    TYPE ASCII HTML
    Single backticks 'Isn't this fun?' ‘Isn’t this fun?’
    Quotes "Isn't this fun?" “Isn’t this fun?”
    Dashes -- is en-dash, --- is em-dash – is en-dash, — is em-dash

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    John
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    一个具有注脚的文本。2

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    KaTeX数学公式

    您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

    Gamma公式展示 Γ(n)=(n1)!nN\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N 是通过欧拉积分

    Γ(z)=0tz1etdt&ThinSpace;. \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.

    你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式here.

    新的甘特图功能,丰富你的文章

    Mon 06Mon 13Mon 20已完成 进行中 计划一 计划二 现有任务Adding GANTT diagram functionality to mermaid
    • 关于 甘特图 语法,参考 这儿,

    UML 图表

    可以使用UML图表进行渲染。 Mermaid. 例如下面产生的一个序列图::

    张三李四王五你好!李四, 最近怎么样?你最近怎么样,王五?我很好,谢谢!我很好,谢谢!李四想了很长时间,文字太长了不适合放在一行.打量着王五...很好... 王五, 你怎么样?张三李四王五

    这将产生一个流程图。:

    graph LR
    A[长方形] -- 链接 --> B((圆))
    A --> C(圆角长方形)
    B --> D{菱形}
    C --> D
    
    • 关于 Mermaid 语法,参考 这儿,

    FLowchart流程图

    我们依旧会支持flowchart的流程图:

    Created with Raphaël 2.2.0开始我的操作确认?结束yesno
    • 关于 Flowchart流程图 语法,参考 这儿.

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    1. mermaid语法说明 ↩︎

    2. 注脚的解释 ↩︎

    展开全文
  • 向量求导公式

    千次阅读 2016-12-15 16:00:01
    最近在看吴恩达的视频啊、LDA啊、PCA啊,觉得很有必要将向量求导公式复习一下,要不感觉算的时候怪怪的~

    最近在看吴恩达的视频啊、LDA啊、PCA啊,觉得很有必要将向量求导公式复习一下,要不感觉算的时候怪怪的~

    1. 矩阵Y对标量x求导:对每个元素求导后转置一下,M*N矩阵求导后变成N*M
      dx]
    2. 标量y对列向量X求导:求偏导,不转置,对N*1向量求导后还是N*1向量
      dxn]'
    3. 行向量Y’对列向量X求导:将Y的每一列对X求偏导,1*M向量对N*1向量求导后是N*M矩阵
      重要结论
      dX  = I_{N*N}
      dX = A'
    4. 列向量Y对行向量X’求导:行向量Y’对列向量X的导数,然后转置;M*1向量对1*N向量求导结果为M*N矩阵
      dX)'
    5. 向量积对列向量X求导运算法则:
      dX)
      dX)U'
      重要结论:
      dX)X' = IA + 0X' = A
      dX)' = (A')' = A
      dX)X = AX + A'X
    6. 矩阵Y对列向量X求导:将Y对X的每一个分量求偏导,构成一个超向量,注意该向量的每一个元素都是一个矩阵
    7. 矩阵积对列向量求导法则:
      dX)
      dX)
      重要结论:
      dX) = A
    8. 标量y对矩阵X的导数:把y对每个X的元素求偏导,不用转置
      dx_{ij}]
      重要结论:
      dX = UV'
      dX = 2XUU'
      dX = 2XUU' - 2VU' = 2(XU-V)U'
    9. 矩阵Y对矩阵X的导数:将Y的每个元素对X求导
    展开全文
  • 常见求导公式

    千次阅读 2018-10-17 13:59:53
    1. (其中 为常数),则 2. ,则 3. ,则,特别的,则 4. ,则 (, 且)。特别的,则 5. ,则 6. ,则 ...2. 可导的函数一定连续,但是连续的函数不一定可以导,例如y=|x|,在x=0处不可导,...

    1.  y = C (其中C 为常数),则y' = 0

    2. y = x^n,则y'=nx^{n-1}

    3. y=a^x,则y'=a^xln(a),特别的y=e^x,则y'=e^x

    4. y={log_{a}}{(x)},则y'=\frac{{log_{a}}{(e)}}{x}=\frac{1}{xln(a)}  (a>0, 且a\neq 1)。特别的y=ln(x),则y'=\frac{1}{x}

    5. y=sin(x),则y'=cos(x)

    6. y=cos(x),则y'=-sin(x)

    7. y=tan(x),则y'=\frac{1}{cos^2(x)}

    8. y=cot(x),则y'=\frac{-1}{sin^2(x)}

    9. y=arcsin(x),则y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    10. y=arccos(x),则y'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

    11. y=arctan(x),则y'=\frac{1}{1+x^2}

    12. y=arccot(x),则y'=\frac{-1}{1+x^2}

    13. y=sec(x),则y'=tan(x)sec(x)

    14. y=csc(x),则y'=-cot(x)csc(x)

    注意事项:

    1. 不是所有的函数都是可导;

    2. 可导的函数一定连续,但是连续的函数不一定可以导,例如y=|x|,在x=0处不可导,(拐点)

    展开全文
  • 矩阵求导公式总结

    万次阅读 多人点赞 2016-06-12 15:40:53
    今天推导公式,发现居然有矩阵的求导,狂汗--完全不会。不过还好网上有人总结了。吼吼,赶紧搬过来收藏备份。 基本公式Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A ...
  • 求导公式总结

    2019-09-10 00:47:51
    y′=0y&#x27;=0y′=0 y=axy=a^xy=ax y′=axlnay&#x27;=a^x lnay′=axlna y=exy=e^xy=ex y′=exy&#x27;=e^xy′=ex y=xny=x^ny=xn y′=nxn−1y&#x27;=nx^{n-1}y′=nxn−1 y=lo...
  • 矩阵求导公式,及MathJax公式编辑

    千次阅读 2017-08-19 23:46:06
    分母布局(denominator layout)下面用向量y对标量x求导简单说明这两种布局的区别。 我们假定所有的向量都是列向量。 y=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢y1y2y3⋮ym⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥y=\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_
  • 机器学习常用矩阵求导公式

    千次阅读 2016-11-01 10:24:49
    机器学习常用矩阵求导公式 1) 实值实值求导(即y与x均为实值函数) ∂y∂x\frac {\partial y}{\partial x} 2) 实值向量求导 ∂y∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂y∂x1∂y∂x2⋮∂y∂xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥...
  • 最基本矩阵求导公式

    千次阅读 2019-01-28 15:17:46
    矩阵和向量标量求导,只需矩阵中的每个量都标量进行求导,这个很好理解。 标量矩阵的向量求导,也是同样的,等价于标量矩阵的每个分量进行求导,并且保持维数不变。 举例。设yyy为一个标量,xT=[x1x2⋯xn]x...

空空如也

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