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  • 总体均值的假设检验就是已知了一个均值的先验值,然后根据实验获取的数据这个值进行验证是否接受它。根据是否已知总体的方差,又可细分为两种类型:方差已知和方差未知。 1. 方差已知的 在方差已知的情况下,检验...

    假设检验是在已知总体分布某个参数的先验值后,通过抽样来对这个先验值进行验证是否接受的问题。判断的方法大致分为两类:临界值法P值方法;相对来说p值法更方便计算机处理,因此下面的讨论都是基于p值法。
    总体均值的假设检验就是已知了一个均值的先验值,然后根据实验获取的数据对这个值进行验证是否接受它。根据是否已知总体的方差,又可细分为两种类型:方差已知和方差未知。

    1. 方差已知的

    在方差已知的情况下,检验统计量为:
    Xμ0σ/nN(0,1)\frac{\overline X - \mu_0}{\sigma/ \sqrt{n}}\sim N(0,1)

    1.1. P值计算:

    1. 双边检验
      P(Zz0)P(|Z|\ge |z_0|)
    2. 左侧检验
      P(Zz0)P(Z\le z_0)
    3. 右侧检验
      P(Zz0)P(Z\ge z_0)

    1.2. Python计算代码

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    def ztest_simple(xb, sigma,sample_num, mu0, side='both'):
        """
        参数:
            xb- 样本均值
            sigma- 样本的标准差
            sample_num- 样本容量
            mu0- H0假设的均值
            side取值
                'both'- 双边检验
                'left'- 左侧检验
        返回值: 字典形式的p_val
        """
        Z = stats.norm(loc=0, scale=1)
        z0=(xb-mu0)/(sigma/np.sqrt(sample_num))
        if side=='both':
            z0=np.abs(z0)
            tmp = Z.sf(z0)+Z.cdf(-z0)
            return {"p_val": tmp}
        elif side=='left':
            tmp = Z.cdf(z0)
            return {"p_val": tmp}
        else:
            tmp = Z.sf(z0)
            return {"p_val": tmp}
    

    1.3 应用实例

    例1: 为了了解A高校学生的消费水平,随机抽取了225位学生调查其月消费(近6个月的消费平均值),得到该225位学生的平均月消费1530元. 假设学生月消费服从正态分布, 标准差为σ=120\sigma=120.
    已知B高校学生的月平均消费为1550元.是否可以认为A高校学生的消费水平要低于B高校?
    解:
    H0:μ=μ0=1550H1:μμ0H_0: \mu = \mu_0=1550 \quad H_1: \mu \le \mu_0
    所以该假设检验为左边检验,使用python代码计算时,要注意side参数设置为left.

    ztest_simple(1530, 120, 225, 1550, side='left')
    # 结果:
    {'p_val': 0.0062096653257761323}
    

    因此在显著性水平α=0.05\alpha = 0.05下,拒绝原假设,即认为A高校学生的生活水平低于B高校.

    例2:根据健康中心报告35至44岁的男性平均心脏收缩压为128, 标准差为15. 现根据某公司在35至44岁年龄段的72位员工的体检记录,计算得平均收缩压为126.07(mm/hg). 问该公司员工的收缩压与一般人群是否存在差异?(假设该公司员工与一般男子的心脏收缩压具有相同的标准差). (α=0.05\alpha = 0.05
    解:
    H0:μ=μ0=128H1:μμ0=128H_0: \mu=\mu_0=128 \quad H_1: \mu \neq \mu_0=128
    所以该问题为双边检验问题。使用Python计算如下:

    ztest_simple(126.07, 15, 72, 128, side='both')
    # 结果:
    {'p_val': 0.27493294653328959}
    

    因为 0.27493294653328959>0.05, 因此接受原假设.

    2. 方差未知

    在方差未知的情况下, 检验统计量为:
    Xμ0S/nt(n1)\frac{\overline X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)

    2.1. P值计算

    1. 双边检验
      P(Tt0)P(|T|\ge |t_0|)
    2. 左侧检验
      P(Tt0)P(T\le t_0)
    3. 右侧检验
      P(Tt0)P(T\ge t_0)

    2.2 python计算代码

    scipy库中,有一个专门用来进行t检验的函数:
    stats.ttest_1samp(a, popmean, axis=0, nan_policy='propagate')
    使用该函数时一定要注意,默认计算的是双边检验

    2.3 应用实例

    例1: 可乐制造商为了检验可乐在贮藏过程中其甜度是否有损失,请专业品尝师对可乐贮藏前后的甜度进行评分.10位品尝师对可乐贮藏前后甜度评分之差为:
    2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3
    问:这些数据是否提供了足够的证据来说明可乐贮藏之后的甜度有损失呢?设总体服从正态分布,标准差未知.
    解:
    H0:μ=0H1:μ>0H_0: \mu=0 \quad H_1: \mu\gt 0
    该问题为右侧检验,使用python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data = np.array([2.0, 0.4, 0.7, 2.0, -0.4, 2.2, -1.3, 1.2, 1.1, 2.3])
    _, pval = stats.ttest_1samp(data, 0)
    # 结果为
    pval = 0.024526312420683691 # 这是双边检验的结果
    pval = pval/2 = 0.012263156210341845
    
    • 如果显著水平取α=0.05,则有充分的理由拒绝原假设。
    • 如果显著水平取α=0.01, 则还没有充分的理由拒绝原假设.

    例 2:某批次矿砂的5个样品的镍含量,经测定为(%):
    3.25 3.27 3.24 3.25 3.24
    假设测定值服从正态分布,但是参数均未知。问在α=0.01\alpha=0.01下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为3.25.
    解:
    H0:μ=μ0=3.25H1:μ3.25H_0: \mu= \mu_0=3.25\quad H_1: \mu \neq3.25
    该问题为左双边检验, python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats 
    
    data = np.array([3.25, 3.27, 3.24, 3.25, 3.24])
    stats.ttest_1samp(data, 3.25)
    # 结果
    pval = 1.0 
    

    因为 pval=0.1>α=0.01pval=0.1 \gt \alpha=0.01, 所以可以接受该批矿砂镍含量均值为3.25

    3. 成对数据的t检验

    配对研究的数据是一对一对地收集得到的, 所以也称为成对数据的研究. 由于配对研究采用了比较的思想, 比通常的单个样本推断更让人信服. 这种方法在医学和生物研究领域中广泛存在, 成对数据检验的基本思想是将两样本问题转为单样本问题.

    • 假设成对数据 (X1,Y1),...,(Xn,Yn)(X_1, Y_1), ..., (X_n, Y_n)
    • 设差值 Di=XiYi,i=1,...,nD_i = X_i - Y_i, i=1,...,n
    • 差值可以看成来自正态总体 N(μD,σD2)N(\mu_D, \sigma_D^2)的样本
      基于上述处理,我们可以把成对数据均值的检验,使用方差未知的t检验完成。

    3.1 实例

    例1: 为了试验两种不同谷物种子的优劣,选取了十块土质不同的土地,并将每块土地分为面积相同的两部分,分别种植这两种种子。设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土地上的产量。
    • 种子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28
    • 种子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27
    问:这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异(取显著性水平为0.05)?
    解: H0:μD=0H1:μD0H_0: \mu_D=0 \quad H_1:\mu_D \neq 0
    这样该问题即转换为方差未知的情况下,对均值的双边检验。Python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data1 = np.array([23, 35, 29, 42, 39, 29, 37, 34, 35, 28])
    data2 = np.array([26, 39, 35, 40, 38, 24, 36, 27, 41, 27])
    delta = data1-data2
    _, pval = stats.ttest_1samp(delta, 0)
    # 结果
    pval = 0.88992115341674716
    

    因为pval>α=0.05pval\gt\alpha=0.05, 所以接受原假设。

    4. 参考文献

    • 《概率论与数理统计》浙大
    • numpy and scipy documents

    5. 交流联系

    • email: hflag@163.com
    • qq: 532843488
      本人一直从事《概率论与数理统计》的教学,欢迎遇到问题的童靴们联系我。
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  • 使用Excel进行样本均值的t-检验

    千次阅读 2016-05-10 13:04:06
    同一总体在不同阶段抽样调查,可以看作从两个总体中抽取样本,两个样本数量相同,可以使用“成样本均值的t-检验”,检验均值有无明显差异。 这种方法在科研中使用比较广泛,用来测试手段的有效性。 示例:某...

    对同一总体在不同阶段抽样调查,可以看作从两个总体中抽取样本,两个样本数量相同,可以使用“成对样本均值的t-检验”,检验其均值有无明显差异。

    这种方法在科研中使用比较广泛,用来测试手段的有效性。

    示例:某厂家开发了一款减肥茶,声称有显著效果。为了考察其实际效果,随机找来21位试验者,记录使用前后的体重数数据如下表。

     

    假设此减肥茶没有任何效果

    使用t-检验:




    结果分析:



    P=0.00011<<0.05 不支持假设,所以这款减肥药还是可能有效果的。



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  • 前面对一个总体的均值和比例如何进行区间估计以及假设检验 本文说明如何两个总体进行区间估计和假设检验总体均值之差的推断:σ1σ1\sigma_1和σ2σ2\sigma_2已知 令u1u1u_1和u2u2u_2分别表示总体1和总体2的...

    两总体均值和比例的推断

    前面对一个总体的均值和比例如何进行区间估计以及假设检验
    本文说明如何对两个总体进行区间估计和假设检验

    两总体均值之差的推断:σ1σ2已知

    u1u2分别表示总体1和总体2的均值,本节介绍两均值之差:u1u2的统计推断

    独立简单随机样本:从总体1中抽取一个容量为n1的简单随机样本,从总体2中抽取一个容量为n2的简单随机样本 两个样本是相互独立抽取的

    假设两个总体的标准差σ1σ2是已知的,如何计算误差范围以及计算两总体均值之间的区间估计

    u1u2的区间估计

    两个总体均值之差的点估计量 : x¯1x¯2

    x¯1x¯2的标准误差: σx¯1x¯2=σ12n1+σ22n2
    两总体均值之差的区间估计:σ1σ2已知:x¯1x¯2±zα/2σ12n1+σ22n2

    u1u2 的假设检验

    假设检验的三种形式:上侧检验 下侧检验 双侧检验

    实用建议:给出的区间估计与假设检验的大部分应用,随机样本都满足n130n230 一旦其中之一的样本容量小于30 总体的分布就需要重点加以考虑

    作用:考察两总体样本之间的差异

    u1u2的假设检验的检验统计量:σ1σ2已知 z=(x¯1x¯2)D0σ12n1+σ22n2

    两总体均值之差的推断:σ1σ2未知

    对两总体标准差σ1σ2未知的情形, 将使用样本标准差s1s2来估计未知的总体标准差
    使用样本标准差时,区间估计与假设检验的程序将会建立在t分布的基础上而非标准正态分布

    两个总体均值之差的区间估计:σ1σ2未知:x¯1x¯2±tα/2s12n1+s22n2
    用样本标准差s1s2来估计σ1σ2 并用tα/2来代替zα/2 t分布
    自由度:两个独立随机样本的t分布:df=(s12n1+s22n2)21n11(s12n1)2+1n21(s22n2)2

    u1u2的假设检验

    u1u2的假设检验的检验统计量:σ1σ2未知: t=(x¯1x¯2)D0s12n1+s22n2

    两总体均值之差的推断:匹配样本

    在选择用于搜集生产时间数据及检验假设的抽样方法时,考虑两种方案
    1. 独立样本设计:例子 抽取工人的一个简单随机样本 样本中每个工人使用生产方法1;抽取工人的另一个独立的简单随机样本 样本中每个工人使用生成方法2
    2. 匹配样本设计:抽取工人的简单随机样本 每个工人先用一种生产方法,然后使用另一种生产方法

    在匹配样本设计中,两种生产方法在相似条件下被检验 因此这一设计产生的抽样误差往往要比独立样本设计要小 主要因为在匹配样本设计中 两种生产方法被相同的工人使用 剔除了工人间的差异

    匹配样本的样本均值 d¯=din di为方法1和方法2之差
    匹配样本的标准差 sd=(did¯)2n1
    匹配样本假设检验的检验统计量:t=d¯udsd/n

    两总体比例之差的推断

    p1表示总体1的比例,p2表示总体2的比例,讨论两总体比例之差p1p2的统计推断
    为了对这个比例之差做出推断 选择两个独立的随机样本,这两个样本分别总体1n1个单位和总体2n2个单位组成

    两总体比例之差的点估计量:p¯1p¯2
    p¯1p¯2的标准误差:σp¯1p¯2=p1(1p1)n1+p2(1p2)n2
    如果样本容量足够大 使得n1p1, n1(1p1)n2p2,n2(1p2)都大于或等于5,则p¯1p¯2的抽样分布近似服从于正态分布

    两总体比例之差的区间估计:p¯1p¯2±zα/2p¯1(1p¯1)n1+p¯2(1p¯2)n2

    p1p2的假设检验

    p1=p2=p时, p¯1p¯2的标准误差 :σp¯1p¯2=p1(1p1)n1+p2(1p2)n2=p(1p)(1n1+1n2)

    p1=p2=p时,p的合并估计量:p¯=n1p¯1+n2p¯2n1+n2
    p1p2的假设检验的检验统计量:z=p¯1p¯2p(1p)(1n1+1n2)

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  • 只需要均数进行假设检验即可,这样做的原因是:对于正态分布而言,只有两参数——均数和方差,只有均数和方差都定了,这正态分布才能确定下来,如果只知道均数,或只知道方差,那么剩下的那个参数依然是可变的...

    一、单样本均数假设检验(一元数据)

    (1)样本所在的总体方差已知的单样本假设检验:

    也就是说样本所在总体的的离散程度已知,只是均数未知。只需要对均数进行假设检验即可,这样做的原因是:对于正态分布而言,只有两个参数——均数和方差,只有均数和方差都定了,这个正态分布才能确定下来,如果只知道均数,或只知道方差,那么剩下的那个参数依然是可变的,这个正态分布就不唯一,也就不能确定下来。

    举例(例子纯属虚构):海南省高中生平均身高是170cm,标准差是10cm,(1)现在调查了海口市的所有高中生,得到平均身高:173cm,标准差12cm。(2)现在在海口市的高中生中随机抽取1000名学生,平均身高:171cm,标准差14cm。问题:海口市的高中的平均身高和海南省的平均身高有统计学差异吗?

    两个总体:海口市的所有高中生是一个总体,海南省的所有高中生也是一个总体,比较这两个总体的差异。对于问题(1),貌似不需要做假设检验,因为调查了海口市的所有高中生。如果这个调查和海口市的高中生的总体身高一摸一样,没有半点出入,那么可以说这次测量得到的数据就是总体的数据。然而,这是不可能做到的,因为只要是测量就存在测量误差(测不准原理),测量误差也属于随机误差。同理,海南省高中生的平均身高也是测量得到的,也存在测量误差。因此,既然有随机误差,那么这两侧测量结果之间的差异究竟是由随机误差造成的还是由于本身总体的不同造成的呢?所以,就需要假设检验。

    对于已知样本方差的情况,其实也是一种估计,用其他的方差代替本次抽样的样本方差,因为如果知道了样本所在总体的方差,就一定知道这个总体所在的均数,否则这就是一个人为的没有保存好数据的错误了。样本方差已知的情况,有助于理解假设检验原理,实际上是不存在的,最多也是一种估计。

    现在换一个简单的例子并用R代码实现:

    海口市高三学生的平均身高是170cm,标准差5cm,现随机抽取100名海口市的高三学生,平均身高为172,问:此次抽样结果与海口市高三学生的平均身高是否有统计学差异?

    检验方法:Z检验,用到的包:BSDA(需要下载和安装)

    a1dc8d73a79b82164eb0ce928546fffa.png

    80c66451fffdc403685168b8772a415a.png
    mu总体的均值,sigmu.x是总体标准差,X是抽样得到的随机样本

    487d0eb31b1e63fe4cc40ae191bb5781.png

    因为题目给出的是汇总数据,所以采用后者:zsum.test()

    zsum.test(mean.x = 172,sigma.x = 5,n.x = 100,mu=170)

    874bb4387d3c169b24b4a7874713fb17.png

    P < 0.05,拒绝原假设,说明这100个高三学生的身高与海口市高三学生平均身高的差异由统计学意义,且高于平均水平。

    (2)样本所在总体方差未知的单样本假设检验

    当样本所在的总体方差未知时,需要用样本的方差估计其总体的方差。此时,采用单样本的t检验。样本量较小时,自由的取n-1为总体方差的无偏估计,当样本量比较大时(>100),t分布逼近正态分布,还可采用z检验。条件:样本服从正态分布,独立性。

    如果已知的总体和样本所在的总体是同一个总体,那么两者的总体均数相同,因此由样本所计算出的统计量,在小概率原理下,就不可能落在拒绝域,如果落在了拒绝域,说明它们不是一个总体。

    举例:海口市高三学生的平均身高是170cm,现随机抽取100名海口市的高三学生,平均身高为172,标准差5cm,问:此次抽样结果与海口市高三学生的平均身高是否有统计学差异?

    检验方法:t检验,BSDA包

    9931e86431e518e671496f7839973083.png
    这是用于原始数据的

    c0cc5b5a442c80b692ae653d2f27d83c.png
    这是用于汇总数据的
    tsum.test(mean.x = 172,s.x = 5,n.x = 100,mu=170)

    34e90eea56e1bd6df98f89b48e8e3991.png

    二、单样本均值向量假设检验(多元数据)

    多元数据中,用距离来理解分布更为简单,向量与向量之间有一个距离,这个距离服从某一分布。

    (1)已知样本所在的体的协方差阵

    根据多元正态分布的性质:

    0f45bc4b51ac8891da8ccde7b01c9d78.png
    https://www.bilibili.com/video/BV1TE411j7pF?p=5

    482e7acfd2c53e8e00fecb3e8406a1b5.png
    多元正态分布的性质,d为马氏距离

    问题:为什么上述的公式中没有n,而下面的公式中有n呢?

    原因是上述公式中的X是一个随机向量,u是这个随机向量的均值向量,∑为这个随机向量的协方差阵;而下面的公式,ybar是从总体中抽样得到的一组数据的均值向量,这个均值向量服从的是由中心极限定理得到的抽样分布,这个抽样分布的协方差肯定不是原来的协方差,而且要比原协方差小。

    0e9a485170cc1b3b04b6dcbb8a7a4930.png
    Z:马氏距离

    39f50a02276ab9d4fdee4d7ef96be049.png

    由中心极限定理,从服从多元正态分布的总体中抽出部分个体组成一个样本,这个样本的均值向量服从总体均值向量U,总体协方差为∑/n的多元正态分布,且这个均值向量与总体均值向量的马氏距离服从自由度为P的卡方分布。因此,在协方差已知的情况下,只要计算出样本均值向量,就可以和给定的总体均指向量进行比较,看是否有统计学差异。举例如下:

    某市成年男性的平均身高:172,体重:65,胸围:82(cm),调查该市中的某个地区20名成年男性,数据如下,总体的协方差为∑,问:该地区的成年男性体格信息与这个市的平均水平是否有统计学差异?

    数据用R生成:

    01.先产生总体:

    set.seed(2.71828)
    mean1<-c(172,65,82)#总体均值向量
    height<-rnorm(2000,mean = 172,sd=5)
    weight<-rnorm(2000,mean = 65,sd=5)
    bust<-rnorm(2000,mean = 82,sd=5)
    men<-data.frame(height,weight,bust)
    men
    cov_t<-cov(men)
    #以下是总体协方差:cov_t
               height     weight       bust
    height 25.2256358  0.5604626  0.3351971
    weight  0.5604626 25.2183985  0.8087767
    bust    0.3351971  0.8087767 23.5177260

    02.然后产生某个地区的20名成年男性的体格数据:

    h<-rnorm(20,mean = 172,sd=5)
    w<-rnorm(20,mean = 65,sd=5)
    b<-rnorm(20,mean = 82,sd=5)
    m<-data.frame(h,w,b)

    03.统计检验

    step1:计算样本均值向量

    > mean_vector<-colMeans(m)
    > mean_vector
            h         w         b 
    169.52067  63.61668  80.90221 

    step2:计算马氏距离

    #根据样本均值向量与总体均值向量的马氏距离公式:前面的20是样本量,t()矩阵转置,solve()用来计算总体协方差矩阵的逆
    m_d_square<-20*t(mean_vector-mean1)%*%solve(cov_t)%*%(mean_vector-mean1)
    m_d_square

    step3:求出这个距离所对应的chi-square分布的概率(曲线下面积),拒绝域右侧概率

    d83eb867b2c574b53a0fdd89d8160411.png

    e074a037796d556a0b854d3847fbf223.png

    函数解释:

    • dchisq: 计算分位数所对应的密度函数的函数值,不是算概率的
    • pchisq: 计算某个分位数所对应的概率,计算的是累积概率,如算卡方值为5的累积概率
    • qchisq: 求某个概率的分位数,也就是某个概率下X轴上所对应的点
    • rchisq: 产生服从卡方分布的随机数
    • lower.tail logical; if TRUE (default), probabilities are P[X ≤ x], otherwise, P[X > x].
    • lower.tail的翻译:首先是一个逻辑参数,默认是TRUE,如果设置成TRUE,则计算的是小于等于某个值的概率,也就是左侧的概率,如果设置成FALSE,则计算X>某个值的概率,也就是右侧的概率。

    依据上述解释,应当使用pchisq()

    > pchisq(q=m_d_square,df=3,lower.tail = FALSE)
               [,1]
    [1,] 0.06685167

    显然,P=0.067>0.05

    step4:得出结论

    该地区的成年男性体格与这个市的平均水平统计学差异。

    多元统计中,均值向量的检验还可以使用ICSNP包的Hotelling's T2 Test.

    但是这个Hotelling's T2 检验不能用总体协方差矩阵,也就是说不适合做已知协方差阵的情况,这个的算法是通过样本的协方差矩阵来估计总体的协方差矩阵,所以说它适合未知总体协方差矩阵的情况。实际上,总体已知的情况还是太过理想了,现实中几乎不存在的,之所以有这个例子,是为了理解整个计算和推理的过程。

    9d89092c43c5eb83234fec03b8697157.png

    (2)未知样本所在总体的协方差阵

    当总体协方差未知时,用样本的协方差估计总体的协方差,这时在算样本协方差时,离均差乘积和除以n-1,而不是n。因为只有除n-1才是对总体协方差的无偏估计。

    在马氏距离的计算中,S11其实是总体的方差,同样S22...也是总体的方差,因此,对于任一个体均值向量与总体均值向量马氏距离的计算用的是总体的协方差阵。马氏距离的关键就在明白协方差阵A到底是用什么计算的,样本均值向量所对应的总体协方差阵是总体协方差阵除以n,记为∑/n,所以,要计算样本均值向量与总体均值向量的马氏距离,就一定要用∑/n。然而,∑是未知的,需要用样本的cov来估计。一旦如此,样本均值向量与总体均值向量的马氏距离便不服从卡方分布,而是服从自由度为P和n-1的Hotelling-T2分布。一般软件计算样本协方差是都是除以n-1。

    0ad8d665ad97d133a94ea2d92fd2d22a.png

    49039d78b04df485e5cab17d076d4eef.png

    仍然使用上面的例子:

    分别用逐步手工计算法和HotellingsT2函数法,然后比较二者的计算结果。

    在用手工计算马氏距离时其他的都无需改变,只要用样本协方差阵取代总体协方差阵即可。因为R语言中cov()函数本来就是离均差乘积和除以n-1的。当样本量足够大时,这样算出来的协方差阵就相当于总体的协方差阵了。

    set.seed(2.71828)
    mean1<-c(172,65,82)
    height<-rnorm(2000,mean = 172,sd=5)
    weight<-rnorm(2000,mean = 65,sd=5)
    bust<-rnorm(2000,mean = 82,sd=5)
    men<-data.frame(height,weight,bust)
    men
    cov_t<-cov(men)
    h<-rnorm(20,mean = 172,sd=5)
    w<-rnorm(20,mean = 65,sd=5)
    b<-rnorm(20,mean = 82,sd=5)
    m<-data.frame(h,w,b)
    mean_vector<-colMeans(m)
    mean_vector
    #使用总体协方差算马氏距离
    m_d_square<-20*t(mean_vector-mean1)%*%solve(cov_t)%*%(mean_vector-mean1)
    m_d_square
    pchisq(q=m_d_square,df=3,lower.tail = FALSE)
    #使用HotellingsT2检验算马氏距离
    library(ICSNP)
    HotellingsT2(m, mu = c(172,65,82), test = "chi")
    #使用样本协方差算马氏距离
    m_d_square2<-20*t(mean_vector-mean1)%*%solve(cov(m))%*%(mean_vector-mean1)
    m_d_square2
    pchisq(q=m_d_square2,df=3,lower.tail = FALSE)

    b845fe3cace9d10673a4b758c28fa923.png

    b48578087b611a40113f4da7cba9af14.png

    ceac55dd1b833a04a393fd2f3f2039ca.png

    结论:

    • 使用总体协方差阵和使用样本协方差阵得到的马氏距离不同;
    • 使用样本协方差阵和使用HotellingT2()得到的马氏距离相同;
    • HotellingT2其实就是马氏距离;
    • 通过距离来进行统计检验就是一种思路。
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