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    假设两个正态总体分别为: X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2) XN(μ1,σ12) Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2) YN(μ2,σ22). X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn为来自正态总体X的样本; Y 1 , . . . , Y n Y_1,...,Y_n Y1,...,Yn为来自正态总体Y的样本。两个样本相互独立。并记 X ‾ , Y ‾ , S 1 2 , S 2 2 \overline X, \overline Y, S_1^2, S_2^2 X,Y,S12,S22分别为两样本的均值和方差。

    1. σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2, \sigma_2^2 σ12σ22已知

    该情形下的检验统计量为:
    X ‾ − Y ‾ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline X - \overline Y}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0, 1) n1σ12+n2σ22 XYN(0,1)

    1.1. 双边假设检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0: \mu_1-\mu_2 =0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 H0:μ1μ2=0H1:μ1μ2=0
    p值为:
    p v a l = P { ∣ Z ∣ ≥ ∣ z 0 ∣ } pval=P\{|Z| \ge |z_0|\} pval=P{Zz0}

    1.2. 左侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 < 0 H_0: \mu_1-\mu_2\ge0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\lt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2<0
    p值为:
    p v a l = P { Z ≤ z 0 } pval=P\{Z \le z_0\} pval=P{Zz0}

    1.3. 右侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 > 0 H_0: \mu_1-\mu_2\le0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\gt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2>0
    p值为:
    p v a l = P { Z ≥ z 0 } pval=P\{Z \ge z_0\} pval=P{Zz0}

    2. σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2但未知

    该情形下的检验统计量为:
    X ‾ − Y ‾ S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{\overline X - \overline Y}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) Swn11+n21 XYt(n1+n22)
    上式中 s w 2 = ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 − 2 s_w^2=\frac{(n_1-1)s_1^2 +(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} sw2=n1+n22(n11)s12+(n21)s22

    2.1. 双边假设检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0: \mu_1-\mu_2 =0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 H0:μ1μ2=0H1:μ1μ2=0
    p值为:
    p v a l = P { ∣ T ∣ ≥ ∣ t 0 ∣ } pval=P\{|T| \ge |t_0|\} pval=P{Tt0}

    2.2. 左侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≥ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 < 0 H_0: \mu_1-\mu_2\ge0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\lt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2<0
    p值为:
    p v a l = P { T ≤ t 0 } pval=P\{T \le t_0\} pval=P{Tt0}

    2.3. 右侧检验

    假设形式: H 0 : μ 1 − μ 2 ≤ 0 H 1 : μ 1 − μ 2 > 0 H_0: \mu_1-\mu_2\le0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\gt0 H0:μ1μ20H1:μ1μ2>0
    p值为:
    p v a l = P { T ≥ t 0 } pval=P\{T \ge t_0\} pval=P{Tt0}

    3. σ 1 2 ≠ σ 2 2 \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 σ12=σ22且未知

    此时以样本方差 S 1 2 , S 2 2 S_1^2, S_2^2 S12,S22分别代替 σ 1 2 , σ 2 2 \sigma_1^2, \sigma_2^2 σ12,σ22. 取检验统计量为:
    T = X ‾ − Y ‾ S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 T = \frac{\overline X - \overline Y}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}} T=n1S12+n2S22 XY

    3.1. 当样本容量很大时,利用中心极限定理统计量T近似服从标准正态分布

    这种情形下,可以利用1.中的算法求解

    3.2. 当样本容量较小时,统计量T服从自由度为k的t分布

    这种情形下,自由度k可以粗略计算得:
    k = m i n ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) k=min(n_1-1, n_2-1) k=min(n11,n21)
    然后参照2.进行计算求解。

    4. Python代码实现

    scipy.stats包含两个正态总体均值的检验函数, 其函数原型:
    stats.ttest_ind(a, b, axis=0, equal_var=True, nan_policy='propagate')

    5. 实例验证

    例1:随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得:他们的脉搏率如下:
    男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,
    女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.
    为题:假设男女脉搏率都是服从正态分布,这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?
    解: H 0 : μ 1 − μ 2 = 0 H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ 0 H_0:\mu_1-\mu_2=0 \quad H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 H0:μ1μ2=0H1:μ1μ2=0
    该问题问双边检验。Python计算如下:

    import numpy as np
    from scipy import stats
    
    data1 = np.array([61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55, 72, 56, 56, 74, 65])
    data2 = np.array([83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108, 76, 70, 97])
    equal_var = True
    if np.var(data1, ddof=1) > np.var(data2,ddof=1)*2 or np.var(data2,ddof=1) >np.var(data1, ddof=1)*2:
    	equal_var = False
    -, pval = stats.ttest_ind(data1, data2, equal_var=equal_var)
    # 结果:
    pval = 0.03205611305825045
    

    由于pval = 0.03205611305825045 < 0.05, 拒绝原假设,可以认为男女的脉搏率不相同。

    6. 联系交流

    -email: hflag@163.com
    -qq:532843488

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  • 巧用SPSS进行均值的假设检验,程莹 ,陈希镇,总体均值假设检验的每一步计算过程用SPSS展现出来,并且将其推广应用到单个总体均值的假设检验。避免了SAS等需要编程的麻烦,�
  • 统计学 假设检验 总体均值检验

    千次阅读 2020-05-31 16:19:06
    假设检验 总体均值检验 方差已知 方差未知 步骤 1.总体方差已知 双侧检验与单侧检验 拒绝域和显著性水平 双侧检验 左侧检验 案例 推导 分析: 因为要验证的是新系统有效,及消费超过1700元 那么备择假设...

    统计学

    假设检验 总体均值的检验

    • 方差已知
    • 方差未知

    步骤

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    1.总体方差已知

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    双侧检验与单侧检验

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    拒绝域和显著性水平

    双侧检验
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    左侧检验
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    案例

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    推导

    分析: 因为要验证的是新系统有效,及消费超过1700元
    那么备择假设就是H1>1700
    相反的 原价设就是H0<=1700
    所以该假设为右侧检验
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    解答
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    2.总体方差未知

    大样本,近似于正态分布
    小样本:t分布

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    案例分析

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    分析
    因为 45天已经超出40天了 ,我们希望这个证据不太强烈,所以我们把40天作为一个保守的原假设
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    总结

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  • 单个正态总体均值检验 (1)sigma已知的u检验(Z检验) #######Z检验 '''Z检验条件 1.样本量大于30 2.数据之间彼此独立 3.数据正常分布 4.样本量应该相等 ''' #单正态总体,方差已知 from scipy import stats ...
    1. 单个正态总体均值的检验
      (1)sigma已知的u检验(Z检验)
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    #######Z检验
    '''Z检验条件
    1.样本量大于30
    2.数据之间彼此独立
    3.数据正常分布
    4.样本量应该相等
    '''
    #单正态总体,方差已知
    from scipy import stats
    from statsmodels.stats import weightstats as stests
    def test_z_single(group1,value):
        ztest,pval=stests.ztest(group1,value=value)
        print(float(ztest))
        print(float(pval))
        if pval<0.05:
            print("reject null hypothesis")
        else:
            print("accept null hypothesis")
    
    
    ######单边检验
    '''
    若为 `larger’,备选假设 H1 大于 value 值
    若为 `smaller’,备选假设 H1 小于 value 值'''
    ztest,pval=stests.ztest(group1,value=value,alternative="smaller")
    ztest,pval=stests.ztest(group1,value=value,alternative="larger")
    
    
    #双样本Z检验,方差相等,未知
    def test_z_double(group1,group2,alternative):
        ztest,pval=stests.ztest(group1,group2,value=0,alternative=alternative)
        print(float(ztest))
        print(float(pval))
        if pval<0.05:
            print("reject null hypothesis")
        else:
            print("accept null hypothesis")
    #test_z_double(group1,group2,'two-sided')
    

    2.sigma 未知的t检验
    对于总体标准差未知的情况,可以把总体标准差sigma替换为样本标准差s,形成t检验统计量
    在这里插入图片描述

    from scipy.stats import ttest_1samp,ttest_rel,ttest_ind
    def test_t_single(var_list,mean):
        #方差未知
        ttest,pval=ttest_1samp(var_list,mean)
        print(ttest)
        if pval<0.05:
            print("Reject the Null Hypothesis.")
        else:
            print("Accept the Null Hypothesis.")
    
    #test_t_single(group1,15)   
    

    在这里插入图片描述

    ##独立样本t检验
    #前提条件正态分布,方差齐性
    def test_t_ind(group1,group2):
        ttest,pval=ttest_ind(group1,group2)
        print(ttest)
        if pval<0.05:
            print("Reject the Null Hypothesis.")
        else:
            print("Accept the Null Hypothesis.")
            
    #test_t_ind(group1,group2)
    

    在这里插入图片描述

    ##配对样本t检验
    def test_t_double(var1,var2):
        #两总体方差未知
        ttest,pval=ttest_rel(var1,var2)
        print(ttest)
        if pval<0.05:
            print("Reject the Null Hypothesis.")
        else:
            print("Accept the Null Hypothesis.")
    #test_t_double(group1,group2)##样本大小必须相同
    
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  • 俩 正态总体 均值差的检验 in: n1 n2 n1: n2: sigema */ /* x_ -y_ -sigema t= ------------------ Sw sqrt(1/n1+1/n2) (n1-1)Sa_2+(n2-1)Sb_2 Sw= -------------------------- n1+n2-2 */ #includ
    /*
    俩 正态总体 均值差的检验
    in:
        n1 n2 
        n1:
        n2:
        sigema
    */
    
    /*
              x_ -y_ -sigema
        t=    ------------------
              Sw sqrt(1/n1+1/n2)
    
                (n1-1)Sa_2+(n2-1)Sb_2
        Sw=   --------------------------
                     n1+n2-2
    */
    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n1, n2;
        cin >> n1 >> n2;
        vector<double> v1(n1), v2(n2);
        for (int i = 0; i < n1; ++i)
            cin >> v1[i];
        for (int i = 0; i < n2; ++i)
            cin >> v2[i];
        double sigema;
        cin >> sigema;
    
        double x_, y_;
        double pingsumX = 0, pingsumY = 0, sumX = 0, sumY = 0;
        for (auto x : v1)
        {
            sumX += x;
            pingsumX += x * x;
        }
    
        for (auto x : v2)
        {
            sumY += x;
            pingsumY += x * x;
        }
        x_ = (sumX) / n1;
        y_ = (sumY) / n2; //bug:写成x_了
    
        double Sa_2 = (pingsumX - n1 * x_ * x_) / (n1 - 1);
        double Sb_2 = (pingsumY - n2 * y_ * y_) / (n2 - 1);
    
        double Sw_2 = ((n1 - 1) * Sa_2 + (n2 - 1) * Sb_2) / (n1 + n2 - 2);
        double Sw = sqrt(Sw_2);
        double t = (x_ - y_ - sigema) / (Sw * sqrt(1.0 / n1 + 1.0 / n2));
    
        cout << "t=" << t;
    }
    
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  • 参考教材《概率论与数理统计》(主编 阳平华 吴丽镐)学习整理分享 1.1假设检验的基础知识 ...原假设被拒绝的样本观测值所在区域称为拒绝域,也称临界域,是样本空间的一个子集,用W表示,而它的补集称为
  • 假设检验σ^2 已知 用z统计量 ...=”H1:研究者想收集证据予以支持的假设两个总体均值之差检验区分为大样本和小样本n&gt;30为大样本,用z统计量反之为小样本,用t统计量大样本 (z)σ 已知 z=(xbar1-xbar2)/s...
  • 正态总体均值的假设检验

    千次阅读 2019-05-26 10:52:57
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  • 正态总体的方差σ2\sigma^2σ2未知的情况下,对总体均值μ≤μ0\mu\leq\mu_0μ≤μ0​(或μ≥μ0\mu\geq\mu_0μ≥μ0​)进行显著水平α\alphaα下的假设检验检验统计量X‾−μ0S/n\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\...
  • 传送:随机变量概率分布函数汇总-离散型分布+连续型分布 关注的结果变量为连续型组间比较(两组数据必须是独立的),并...假设条件:X,Y是两独立的正态总体,,X1,X2...Xn是来自X的样本,Y1,Y2...Yn是来自Y的样本...
  • 组"一致"的数据均值为u1,第二组"不一致"的数据均值为u2 零假设H0:u1=u2 备择假设H1:u1<u2 #读取数据 data = pd.read_csv('斯特鲁普数据集.csv') #添加自测时间 data.loc[24,:] = [19.64,34.24] #
  • 目的:分析样本均值与总体均值的不同 比较分布: t分布 标准差: σ=SN−1\sigma = \frac{S}{\sqrt{N-1}}σ=N−1​S​ 样本t值: t = x‾−μσ\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma }σx−μ​ 自由度: N-1; α\alphaα (小...
  • 针对多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验
  • 正态总体的方差σ2\sigma^2σ2未知的情况下,对总体均值μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0​进行显著水平α\alphaα下的双侧假设检验检验统计量X‾−μ0S/n\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}S/n​X−μ0​​~t(n−1)t(n-...
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  • R语言与正态总体均值的区间估计

    千次阅读 2020-04-16 17:05:16
    学习笔记 参考书籍:《统计学》-贾俊平;...一个正态总体均值的区间估计 产品重量数据: 74.3 78.8 68.8 78.0 70.4 80.5 80.5 69.7 71.2 73.5 79.5 75.6 75.0 78.8 72.0 72.0 72.0 74.3 71.2 72.0 75.0 73....

空空如也

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关键字:

对一个总体均值进行检验