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  • 时间序列移动平均_时间序列-移动平均
    2020-09-22 11:39:21
    时间序列移动平均

    时间序列移动平均

    时间序列-移动平均 (Time Series - Moving Average)

    For a stationary time series, a moving average model sees the value of a variable at time ‘t’ as a linear function of residual errors from ‘q’ time steps preceding it. The residual error is calculated by comparing the value at the time ‘t’ to moving average of the values preceding.

    对于固定的时间序列,移动平均模型将时间“ t”处的变量值视为来自其前“ q”个时间步长的残差线性函数。 通过将时间“ t”处的值与先前值的移动平均值进行比较,可以计算出残余误差。

    Mathematically it can be written as −

    数学上可以写成-

    $$y_{t} = c\:+\:\epsilon_{t}\:+\:\theta_{1}\:\epsilon_{t-1}\:+\:\theta_{2}\:\epsilon_{t-2}\:+\:...+:\theta_{q}\:\epsilon_{t-q}\:$$

    $$ y_ {t} = c \:+ \:\ epsilon_ {t} \:+ \:\ theta_ {1} \:\ epsilon_ {t-1} \:+ \:\ theta_ {2} \:\ epsilon_ {t-2} \:+ \:... +:\ theta_ {q} \:\ epsilon_ {tq} \:$$

    Where‘q’ is the moving-average trend parameter

    其中“ q”是移动平均趋势参数

    $\epsilon_{t}$ is white noise, and

    $ \ epsilon_ {t} $是白噪声,并且

    $\epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-2}...\epsilon_{t-q}$ are the error terms at previous time periods.

    $ \ epsilon_ {t-1},\ epsilon_ {t-2} ... \ epsilon_ {tq} $是先前时间段的误差项。

    Value of ‘q’ can be calibrated using various methods. One way of finding the apt value of ‘q’ is plotting the partial auto-correlation plot.

    可以使用多种方法来校准“ q”的值。 找到“ q”的合适值的一种方法是绘制局部自相关图。

    A partial auto-correlation plot shows the relation of a variable with itself at prior time steps with indirect correlations removed, unlike auto-correlation plot which shows direct as well as indirect correlations, let’s see how it looks like for ‘temperature’ variable of our data.

    部分自相关图显示了变量在先前时间步长上与自身之间的关系,其中间接相关性已删除,这与自相关图显示了直接相关性和间接相关性不同,让我们来看一下“温度”变量的样子数据。

    显示PACP (Showing PACP)

    In [143]:

    在[143]中:

    
    from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
    
    plot_pacf(train, lags = 100)
    plt.show()
    
    
    Code Snippet 10

    A partial auto-correlation is read in the same way as a correlogram.

    以与相关图相同的方式读取部分自相关。

    翻译自: https://www.tutorialspoint.com/time_series/time_series_moving_average.htm

    时间序列移动平均

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    千次阅读 2022-01-23 16:25:31
    一般的移动平均法主要用于平稳序列,其主要思想就是通过近期几个(例如五个)的数据平均作为下一个即这五个之后的那个数据的预测值。 二次移动平均法的话就是在一次平均移动法的基础上一次平均移动计算出来的...

    移动平均法
    一般的移动平均法主要用于平稳序列,其主要思想就是通过对近期几个(例如五个)的数据求平均作为下一个即这五个之后的那个数据的预测值。

    二次移动平均法的话就是在一次平均移动法的基础上对一次平均移动计算出来的值再进行一次移动平均。
    思路还是十分简单明了的,只是公式看起来就有点乱七八糟了。
    在这里插入图片描述
    下面展示一道例题:
    在这里插入图片描述

    clc,clear
    y = [533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
    m = length(y);
    n = [4, 5]  % n为移动平均的项数,4就是4个求平均预测
    for i = 1:length(n) % 由于n的取值不同,因此使用细胞数组
        for j = 1:m - n(i) + 1
            yhat{i}(j) = sum(y(j: j+n(i)-1))/n(i); % 从头到尾都自回归预测了一遍,最后一个才是我们需要的数
        end
        y12 = yhat{i}(end); % 取出需要12月的预测值
        s(i) = sqrt(mean((y(n(i) + 1 : end) - yhat{i}(1:end - 1)).^2)); % 计算误差
    end
    y12 = yhat{1}(end)
    y12 = yhat{2}(end)
    s
    

    分析:
    在这里插入图片描述
    本文参考的是司守奎,孙兆亮主编的数学建模算法与应用(第二版)

    展开全文
  • 今天给大家讲解一下移动平均,其在时间序列分析中具有重要的作用。1 简介移动平均(moving average)主要应用于时间序列的分析,其能够去除不同时间步长的序列间的微小差异。移动平...

      今天给大家讲解一下移动平均,其在时间序列分析中具有重要的作用。

    1 简介

    移动平均(moving average)主要应用于时间序列的分析,其能够去除不同时间步长的序列间的微小差异。

    移动平均的目的是去除噪声

    移动平均需要指定一个窗口大小(window size),称为窗口宽度(window width)。这定义了用于计算移动平均值的原始观测值的数量。

    移动是指由窗宽定义的窗口沿时间序列滑动,计算新序列的平均值。

    移动平均主要有两种形式:居中和截尾移动平均(Centered and Trailing Moving Average)。

    居中移动平均

    t 时刻的值计算由原始观测值在 t 时刻、之前和之后的平均值。

    假设窗口为3,则:

    center_ma(t) = mean(obs(t-1),obs(t),obs(t+1))

    这个方法需要用到未来值。可以作为一种从时间序列中去除趋势和季节成分的通用方法,而在预测时通常不能使用这种方法。

    截尾移动平均

    t 时刻的值计算由原始观测值在 t 时刻以及之前的平均值。

    假设窗口为3,则:

    trail_ma(t) = mean(obs(t-2),obs(t-1),obs(t))

    这个方法只用到历史数据,并可以用于时间序列预测。

    本文主要侧重于截尾移动平均。

    在应用移动平均时,需要对数据提出一些假设。假设趋势和季节成分已经从时序中去除。意味着数据是平稳的(stationary)或者未显示出明显的趋势(长期增长或下降)和季节性(一致的周期性结构)。

    在时序数据预测时,有很多方法可以去除趋势和季节性,主要有差分法(differencing method)和建立行为模型,并显式地从序列中减去它。

    接下来从三个面讲解截尾平均移动的应用。

    2 移动平均的应用

    2.1 数据准备

    数据集是总共有365条记录,数据记录的是1959年加州每日出生的女婴数量。

    链接:https://pan.baidu.com/s/1SpDi0oT-6jqKmAT4JwC0TA

    提取码:6ylx

    数据:daily-total-female-births.csv

    代码:moving_average.py

    显示数据的前5条记录:

    Date,Births
    1959/1/1,35
    1959/1/2,32
    1959/1/3,30
    1959/1/4,31
    1959/1/5,44
    

    移动平均可以作为一种数据准备技术来创建原始数据集的平滑版本。

    平滑(smoothing)是一种有用的数据准备技术,因为它可以减少观测中的随机变化。

    pandas 中的 rolling() 函数可以自动根据窗口大小对观测数据进行移动平均。

    假设窗口大小为3,则 t 时刻的转换值等于前三个观测值(t-2,t-1,t)的均值。

    trans_obs(t) = 1/3 * ( obs(t-2) + obs(t-1) + obs(t) )

    现在开始正式分析:

    # 引入相关的包
    import pandas as pd  # 表格和数据操作
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    from sklearn.metrics import mean_squared_error
    
    # -------------------------------------------------------------------------------------
    # 读入数据
    birth = pd.read_csv(r'./test/daily-total-female-births.csv', index_col=['Date'], parse_dates=['Date'])
    birth.info()
    birth.head()
    plt.figure(figsize=(15, 7))
    plt.plot(birth)
    

    从上图可以看出,这个数据集是研究移动平均方法的一个很好的例子,因为它没有显示任何明显的趋势或季节性。

    下面是在窗口大小为3 的情况下的移动平均值。

    window = 3
    # trail-rolling average transform
    rolling = birth.rolling(window=window)
    rolling_mean = rolling.mean()
    plt.figure(figsize=(15, 7))
    plt.plot(birth)
    plt.plot(rolling_mean, 'r')
    

    从图中可以看出,原始观测值(蓝色)被移动平均转换值(红色)覆盖。

    rolling_mean.head()
    
                   Births
    Date
    1959-01-01        NaN
    1959-01-02        NaN
    1959-01-03  32.333333
    1959-01-04  31.000000
    1959-01-05  35.000000
    

    移动平均值的前两个观测值是 NaN,因为前两个观测值的时间点在移动时缺少前面时刻的数据。这两个转换值需被删除。

    2.2 特征工程

    当建立时序预测模型可以被看做为监督学习问题时,移动平均可以作为新信息的来源。

    在本例中移动平均计算得到的值可以作为一个新的特征。

    lag1 = birth.shift(1)
    lag3 = birth.shift(3)
    lag3_mean = lag3.rolling(window=window).mean()
    df = pd.concat([lag3_mean, lag1, lag3], axis=1)
    df.columns = ['lag3_mean', 't-1', 't-3']
    
    df.head()
    

    这里的 df 相当于是特征,本例中有三个特征,当把时序预测模型看做是监督问题时,此时的 Y 就是原始观测值 (Births):

                      lag3_mean   t-1   t-3  Births
    Date
    1959-01-01        NaN   NaN   NaN      35
    1959-01-02        NaN  35.0   NaN      32
    1959-01-03        NaN  32.0   NaN      30
    1959-01-04        NaN  30.0  35.0      31
    1959-01-05        NaN  31.0  32.0      44
    1959-01-06  32.333333  44.0  30.0      29            
    

    在建模时,将有NaN的行删除后再建模。

    2.3 预测

    移动平均值可以直接看做是预测值。

    这是一个最基础的模型,其假设时间序列的趋势和季节性成分已经被删除或调整。

    移动平均作为预测模型是直接向前走的形式,当有新的观测值,则这个模型会更新并预测。

    # prepare situation
    X = birth.values
    history = [X[i] for i in range(window)]
    test = [X[i] for i in range(window, len(X))]
    predictions = []
    
    # walk forward over time steps in test
    for t in range(len(test)):
        length = len(history)
        yhat = np.mean([history[i] for i in range(length - window, length)])
        predictions.append(yhat)
        history.append(test[t])
        print('predicted=%f, excepted=%f' % (yhat, test[t]))
    
    error = mean_squared_error(test, predictions)
    print('Test MSE: %3f' % error)
    plt.figure(figsize=(15, 7))
    plt.plot(test)
    plt.plot(predictions, 'r')
    

    以上就是移动平均的相关知识,希望对你有用。

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  • 时间序列分析(1)-移动平均

    千次阅读 2021-05-03 19:08:58
    文章目录1.定义2.移动平均法、指数平滑法和季节模型1.移动平均法2.二次移动平均法及趋势移动平均法 1.定义 时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。...如果一个时间序列的概率分布与时间t无关


    在这里插入图片描述

    1.定义

    时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。对时间序列进行观察研究,找寻它的发展规律,预测它将来的走势就是时间序列分析。

    时间序列根据所研究的依据不同,可有不同的分类。

    1. 按所研究的对象的多少分,有一元时间序列和多元时间序列.
    2. 按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种.
    3. 按序列的统计特性分,有平稳时间序列和非平稳时间序列.如果一个时间序列的概率分布与时间t无关,则称该序列为严格的(狭义的)平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在,而且对任意时刻t满足:
      1. 均值为常数;
      2. 协方差为时间间隔τ的函数

    则该该序列为宽平稳时间序列,也叫广义平稳时间序列

    对于这方面的内容,详情可以多参考概率论的随机过程部分-有相似之处。

    1. 按时间序列的分布规律来分,有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。

    本章的主要内容是分析一元的时间序列分析。

    2.移动平均法、指数平滑法和季节模型

    1.移动平均法

    移动平均法是常用的时间序列预测方法,由于其简单而具有很好的实用价值.

    设观测序列为y1,···,yT,取移动平均的项数N<T.一次移动平均值计算公式为

    M t ( 1 ) ( N ) = 1 N ( y t + y t − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + y t − N + 1 ) = 1 N ∑ i = 0 N − 1 y t − i M_t^{(1)}(N)=\frac{1}{N}(y_t+y_{t-1}+···+y_{t-N+1})=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}y_{t-i} Mt(1)(N)=N1(yt+yt1++ytN+1)=N1i=0N1yti

    则有:

    M t ( 1 ) ( N ) = 1 N ( y t − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + y t − N ) + 1 N ( y t − y t − N ) = M t − 1 ( 1 ) ( N ) + 1 N ( y t − y t − N ) M_t^{(1)}(N)=\frac{1}{N}(y_{t-1}+···+y_{t-N})+\frac{1}{N}(y_t-y_{t-N)}=M_{t-1}^{(1)}(N)+\frac{1}{N}(y_t-y_{t-N}) Mt(1)(N)=N1(yt1++ytN)+N1(ytytN)=Mt1(1)(N)+N1(ytytN)

    t+1期的预测值为 y t + 1 ^ = M t ( 1 ) ( N ) \hat{y_{t+1}}=M_t^{(1)}(N) yt+1^=Mt(1)(N)

    其预测标准误差为:

    S = ∑ t = N + 1 T ( y t ^ − y t ) 2 T − N S=\sqrt{\frac{\sum_{t=N+1}^{T}(\hat{y_t}-y_t)^2}{T-N}} S=TNt=N+1T(yt^yt)2

    如 果 将 y t + 1 ^ 作 为 t + 1 期 的 实 际 值 , 那 么 就 可 以 用 y t + 1 ^ = M t ( 1 ) ( N ) 计 算 第 t + 2 期 预 测 值 y t + 2 ^ . 一 般 地 , 也 可 响 应 地 求 得 以 后 各 期 的 预 测 值 。 但 由 于 越 远 时 期 的 预 测 , 误 差 越 大 , 因 此 ∗ ∗ 一 次 移 动 平 均 法 一 般 仅 应 用 于 一 个 时 期 后 的 预 测 值 ( 即 预 测 第 t + 1 期 ) ∗ ∗ 如果将\hat{y_{t+1}}作为t+1期的实际值,那么就可以用\hat{y_{t+1}}=M_t^{(1)}(N)计算第t+2期预测值\hat{y_{t+2}}.一般地,也可响应地求得以后各期的预测值。但由于越远时期的预测,误差越大,因此**一次移动平均法一般仅应用于一个时期后的预测值(即预测第t+1期)** yt+1^t+1yt+1^=Mt(1)(N)t+2yt+2^.t+1)

    栗子:

    汽车配件某年1~12年月份的化油器销售量(单位:只)统计数据见下表中第2行,试用一次移动平均法预测下一年1月份的销售量.

    化油器销售量及一次移动平均法预测值表:

    月份123456789101112预测
    yi423358434445527429502480384427446
    N=3405412469467461452469455430419
    N=5437439452466473444444448

    分别取N=3,N=5,按预测公式

    y t + 1 ^ ( 3 ) = M t 1 ( 3 ) = y t + y t − 1 + y t − 2 3 , t = 3 , 4 , ⋅ ⋅ ⋅ , 12 \hat{y_{t+1}}(3)=M_t^{1}(3)=\frac{y_t+{y_{t-1}}+y_{t-2}}{3},t=3,4,···,12 yt+1^(3)=Mt1(3)=3yt+yt1+yt2,t=3,4,,12

    y t + 1 ^ ( 5 ) = M t 1 ( 3 ) = y t + y t − 1 + y t − 2 + y t − 3 + y t − 4 3 , t = 5 , 6 , ⋅ ⋅ ⋅ , 12 \hat{y_{t+1}}(5)=M_t^{1}(3)=\frac{y_t+{y_{t-1}}+y_{t-2}+y_{t-3}+y_{t-4}}{3},t=5,6,···,12 yt+1^(5)=Mt1(3)=3yt+yt1+yt2+yt3+yt4,t=5,6,,12

    计算3个月和5个月移动平均预测值,分别见上表第三行和第四行。N=3时,预测的标准误差为56.5752;N=5时,预测的标准误差为39.8159.

    通过预测后,可以看到,实际数据波动较大,经移动平均后,随机波动明显减少,且N越大,波动也越小。同时,也可以看到,一次移动平均法的预测标准误差还是有些大,对于实际数据波动较大的序列,一般较少采用此法进行预测。

    代码实现:

    import numpy as np
    y=np.array([423,358,434,445,527,429,426,502,480,384,427,446])
    def MoveAverage(y,N):
        Mt=['*']*N
        for i in range(N+1,len(y)+2):
            M=y[i-(N+1):i-1].mean()
            Mt.append(M)
        return Mt
    yt3=MoveAverage(y,3) 
    s3=np.sqrt(((y[3:]-yt3[3:-1])**2).mean())
    yt5=MoveAverage(y,5)
    s5=np.sqrt(((y[5:]-yt5[5:-1])**2).mean())
    print('N=3时,预测值:',yt3,',预测的标准误差:',s3)
    print('N=5时,预测值:',yt5,',预测的标准误差:',s5)
    

    简单移动平均使用的是等量加权策略,可以利用卷积,相应代码如下:

    def sma(arr,n):
    
    ​	weights=np.ones(n)/n
    
    ​	return np.convolve(weights,arr)[n-1:-n+1]
    
    import numpy as np
    y=np.array([423,358,434,445,527,429,426,502,480,384,427,446])
    n1=3; yt1=np.convolve(np.ones(n1)/n1,y)[n1-1:-n1+1] ##左开右闭 np.convolve(np.ones(n1)/n1,y,mode='valid')  同样适用-且更加具有普适性
    s1=np.sqrt(((y[n1:]-yt1[:-1])**2).mean())
    n2=5; yt2=np.convolve(np.ones(n2)/n2,y)[n2-1:-n2+1]
    s2=np.sqrt(((y[n2:]-yt2[:-1])**2).mean())
    print('N=3时,预测值:',yt1,',预测的标准误差:',s1)
    print('N=5时,预测值:',yt2,',预测的标准误差:',s2)
    
    np.convolve(a, v, mode='full'):
     Returns the discrete, linear convolution of two one-dimensional sequences.
    
        The convolution operator is often seen in signal processing, where it
        models the effect of a linear time-invariant system on a signal [1]_.  In
        probability theory, the sum of two independent random variables is
        distributed according to the convolution of their individual
        distributions.
    
        If `v` is longer than `a`, the arrays are swapped before computation.
    
        Parameters
        ----------
        a : (N,) array_like
            First one-dimensional input array.
        v : (M,) array_like
            Second one-dimensional input array.
        mode : {'full', 'valid', 'same'}, optional
            'full':
              By default, mode is 'full'.  This returns the convolution
              at each point of overlap, with an output shape of (N+M-1,). At
              the end-points of the convolution, the signals do not overlap
              completely, and boundary effects may be seen.
    
            'same':
              Mode 'same' returns output of length ``max(M, N)``.  Boundary
              effects are still visible.
    
            'valid':
              Mode 'valid' returns output of length
              ``max(M, N) - min(M, N) + 1``.  The convolution product is only given
              for points where the signals overlap completely.  Values outside
              the signal boundary have no effect.
    
        Returns
        -------
        out : ndarray
            Discrete, linear convolution of `a` and `v`.
    
        See Also
        --------
        scipy.signal.fftconvolve : Convolve two arrays using the Fast Fourier
                                   Transform.
        scipy.linalg.toeplitz : Used to construct the convolution operator.
        polymul : Polynomial multiplication. Same output as convolve, but also
                  accepts poly1d objects as input.
    
     By default, mode is 'full'.  This returns the convolution
              at each point of overlap, with an output shape of (N+M-1,). At
              the end-points of the convolution, the signals do not overlap
              completely, and boundary effects may be seen.
              默认情况下,模式为“完整”。 这将返回卷积
               在每个重叠点,总的输出形状为(N + M-1,)。 在
               卷积的端点,信号不重叠
               完全可以看到边界效应。
     使用栗子:
      Examples
        --------
        Note how the convolution operator flips the second array
        before "sliding" the two across one another:
    
        >>> np.convolve([1, 2, 3], [0, 1, 0.5])
        array([0. , 1. , 2.5, 4. , 1.5])
    
        Only return the middle values of the convolution.
        Contains boundary effects, where zeros are taken
        into account:
    
        >>> np.convolve([1,2,3],[0,1,0.5], 'same')
        array([1. ,  2.5,  4. ])
    
        The two arrays are of the same length, so there
        is only one position where they completely overlap:
    
        >>> np.convolve([1,2,3],[0,1,0.5], 'valid')
        array([2.5])
    
        了解什么是卷积:
      References
        ----------
        .. [1] Wikipedia, "Convolution",
            https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
                
                卷积公式可以描述为在时刻t处函数f(τ)的加权平均值,其中权重由g(–τ)给出,仅移动量t即可。随着t的变化,加权函数会强调输入函数的不同部分。
    
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    离散序列的卷积求法在这里插入图片描述

    卷积关键词:权重-时间-叠加性-离散还是连续

    2.二次移动平均法及趋势移动平均法

    当预测变量的基本趋势发生变化时,一次移动平均法不能迅速适应这种变化.

    当时间序列的变化为线性趋势时,一次移动平均法的滞后偏差使预测值偏低,不能进行合理的趋势外推。

    二次移动平均法-就是对一次移动平均数再进行二次移动平均,再以一次移动平均值和二次移动平均值为基础建立预测模型,计算预测值的方法。

    二次移动平均值计算公式为:

    M t ( 2 ) = 1 N ( M t ( 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + M t − N + 1 ( 1 ) ) = M t − 1 ( 2 ) + 1 N ( M t ( 1 ) − M t − N ( 1 ) ) M_t^{(2)}=\frac{1}{N}(M_t^{(1)}+···+M_{t-N+1}^{(1)})=M_{t-1}^{(2)}+\frac{1}{N}(M_t^{(1)}-M_{t-N}^{(1)}) Mt(2)=N1(Mt(1)++MtN+1(1))=Mt1(2)+N1(Mt(1)MtN(1))

    当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时,可用一次移动平均方法建立预测模型。当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时,常用二次移动平均法.但序列同时存在线性趋势和周期波动时,可用趋势移动平均法建立预测模型:

    y T + m ^ = a T + b T m , m = 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , \hat{y_{T+m}}=a_T+b_T^{m},m=1,2,···, yT+m^=aT+bTm,m=1,2,,

    其 中 a T = 2 M T ( 1 ) − M T ( 2 ) , b T = 2 N − 1 ( M T ( 1 ) − M T ( 2 ) ) . 其中a_T=2M_T^{(1)}-M_T^{(2)},b_T=\frac{2}{N-1}(M_T^{(1)}-M_T^{(2)}). aT=2MT(1)MT(2),bT=N12(MT(1)MT(2)).

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对一个时间序列求移动平均