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  • 互相垂直的图形
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    2022-03-03 00:29:41

    最近在为之后找工作面试做准备,所以把大二学习的计算机图形学又拿出来重新学起来了,也推荐大家一起看闫大神的课!!!
    然后笔记是在lengyueling大佬的版本上进行的修改,总体还是大佬的模板。
    希望大家一起在图形学的路上越走越远!

    GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪

    图形学应用场景

    • 电子游戏:

    • PBR:之狼

    • 卡通渲染:无主之地

    • 电影:黑客帝国

    • 动画:疯狂动物城、冰雪奇缘

    • 设计:概念图

    • 可视化:虚拟现实

    • 数码插画:模拟仿真

    • GUI图形用户接口

    • 字体设计:矢量图

    全局光照做的好不好影响游戏美术品质,同时体现在场景的亮度

    图形学的技术挑战

    光栅化(rasterization):

    将三维空间中的几何形体显示在屏幕上

    实时:30fps 否则被称为离线

    曲线和网格(Curves and Meshes) :各种细分方法

    光线追踪(ray tracing):动画电影广泛使用,但是速度较慢**(重点)**

    目前使用游戏使用的是实时光线追踪

    仿真和模拟(animation/simutatoin)

    OpenGL、dx是图形学API不是图形学

    计算机图形学与计算机视觉

    • 图形学不是计算机视觉。
    • 计算机视觉:猜测、预测、分析处理
    • 计算机视觉是理解这个世界(图像识别),计算机图形学是创造这个世界(CG)

    线性代数复习

    图形学默认使用列向量,课程默认为右手系(DirectX为左手系)

    点乘在图形学的应用

    AB=|A||B|cosθ

    • 点乘主要应用于求两个单位向量的夹角,
    • 判定前后:A·B>0,代表B与A的夹角小于90度(同向),<0则大于90度小于180度(反向)
    • 观察两个向量之间是同向、垂直还是反向,可以观察两个向量的接近,若两个向量的点乘接近1则离得很近,若接近0则离得很远
    • 利用投影可将一个向量分解成两个(多个)向量和

    叉乘在图形学的应用

    • AxB=-BxA
    • 叉乘的数值上=|A||B|sinθ
    • 判定左右(内外)
    • 若AxB为正则点A在点B在A左侧,若点P在点A、B、C内,则ABxAP,BCxBP,CAxCP结果相同则P在ABC内(判断点在三角形内部,后文会提及)
    • 若任意一个结果不同则P在ABC外
    • 定义坐标系
    • 要求:单位向量、互相垂直(点乘为0且叉乘结果为另外一轴)
    • 可以获得任意一个向量分解为多个投影

    矩阵知识点

    • (MxN)(NxP)=(MxP),M行N列的矩阵与N行P列的矩阵相乘会得到M行P列的矩阵
    • 矩阵没有交换律,只有结合律
    • 转置:(AB)T=BT AT,AB的转置等于B的转置乘A的转置
    • 单位矩阵I(对角阵I):可以算出矩阵A-1(A逆),可以用于返回变换前的结果。(知识点:矩阵乘矩阵的逆矩阵等于单位矩阵
    • 向量的点乘、叉乘都可以转换为矩阵相乘
    • 点乘:A·B=ATB
    • 叉乘:AxB=A*B

    A*是对偶矩阵

    概率论复习(用于路径追踪)

    X:随机变量

    pi一定是非负的,所有pi相加等于1

    EX:数学期望

    X~P(X):概率密度函数,概率的连续分布情况

    变换

    2D 变换

    缩放

    • X’=Sx
    • Y=Sy

    X轴翻转

    • X’=-X
    • Y’=Y

    R-θ=RθT

    齐次坐标

    为了解决平移产生必须要用加法的问题,加入齐次坐标。

    • 矩阵没有交换律:同时需要平移和线性变换的时候,需要先线性变换再平移
    • 仿射变换=线性变换+平移

    仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

    仿射变换是在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射(来自拉丁语,affine,“和…相关”)由一个非奇异的线性变换(运用一次函数进行的变换)接上一个平移变换组成。

    3D 变换

    齐次坐标

    3D点:(x,y,z,1)T

    3D向量:(x,y,z,0)T

    旋转向量与欧拉角

    RXYZ(α,β,γ)=RX(α)Ry(β)Rz(γ)

    利用右手螺旋定则

    在三维坐标系中:

    XxY=Z XxZ=-Y YxZ=X

    因此RY(α)中为X或Y的转置

    同时,去掉分别代表XYZ运算的行列即可变换为最基本的旋转式

    罗德里格旋转公式

    这是一种可以表示任意旋转后的向量

    四元数解决了两个旋转角度中插值的问题,本课中不具体讲解

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    1 提出问题

    在振动学中,相互垂直的两简谐振动合成时,如果两简谐振动的频率相同,则可形成稳定的椭圆曲线,极端条件为圆和直线;而当两相互垂直的简谐振动频率不同时,合成运动比较复杂,其运动轨迹一般不闭合,但当两分振动频率成简单的整数比时,其合成运动的轨迹则为封闭曲线,因由法国物理学家李萨如发现而得名,故称为李萨如图形(Lissajous figure)。而相互垂直的两任意振动的合成运动轨迹图形,则称为广义李萨如图形。

    在学习物理学的波动理论和大学物理实验的振动合成时,都接触过李萨如图形,关于李萨如图形的几何特征(大小、结构、对称性、歪曲方向和歪曲程度等),以及李萨如图形的合成轨迹受多个因素(两个分振动的频率比、初相位、相位差等)的影响规律,书中也有很好的归纳和总结,然而,这些结论比较抽象,不易理解和掌握;虽然课堂上和实验室中也有很多演示李萨如图形的方法,比如物理课堂上用激光来演示李萨如图形,实验室中用示波器来显示,但是一般都需要比较多的仪器来配合完成,而且演示的效果及种类受仪器的限制,很难满足实际的需求。

    如果能够用软件绘制出多种情况下的李萨如图形,就可以直观体现出李萨如图形的几何特征,以及上述因素对轨迹合成的影响,从而便于学生比较分析,进行深入理解和认识,为教学和测量提供有效的手段。

    本文主要介绍利用MatLab编程绘制广义李萨如图形,主要绘制不同参数下的两相互垂直的斜锯齿振动与余弦振动的合成运动轨迹图形,锯齿振动也是一种简单的周期性振动,两相互垂直的锯齿振动与简谐振动的合成运动轨迹图形,也可以用两相互垂直简谐振动的合成运动轨迹图形的方法讨论。此类合成运动轨迹图形比较复杂,而MatLab编程绘制这类图形快速、灵活且准确度高,从而体现出其在绘图方面的强大功能。

    2 用Matlab编程绘制 两相互垂直斜锯齿振动与简谐振动合成运动轨迹

    2.1 锯齿函数的定义

    相位φ的锯齿函数S(φ) 定义如下:

    882e7600476328444b3b08514cbe8172.png

    (1)

    在式(1)给定的锯齿函数中,α为常数。图1是S(φ) 的函数曲线,其中横坐标代表相位φ,纵坐标代表函数S(φ)(RS(φ)、OS(φ) 和IS(φ)),这3类函数定义见下面几段文字。

    习惯上,把α等于π的锯齿函数,称为正锯齿函数,记作RS(φ),对应的曲线叫做三角波,见图1(a);

    把α等于零的锯齿函数,称为理想锯齿函数,记作IS(φ),对应的曲线见图1(d);

    把α不等于零和π的锯齿函数,统称为斜锯齿函数,记作OS(φ),对应的曲线如图1(b)和1(c)。

    它们所描述的振动,分别称为正锯齿振动、理想锯齿振动和斜锯齿振动。

    be35e5e2d44c81c03ccaa90593507425.png

    2.2 两相互垂直斜锯齿振动与余弦振动的合成运动

    设x分振动为斜锯齿振动,y分振动为余弦振动,合成运动的方程为

    c6f8769dee1653e25969f3e285b140cc.png

    (2)

    2.3 绘制上述合成运动轨迹图形的程序设计

    Matlab中的M文件的语法与C语言类似,是一种程序化的编程语言,同时也是一种解释性的编程语言,即逐行解释运行程序,程序更容易调试。它只是一个简单的ASCII码文本文件,语法比一般的高级语言都要简单,与数学语言比较接近,更容易掌握和理解。

    以下是用MatLab编程绘制的不同频率比(为有理数)、不同相位差的两相互垂直斜锯齿振动与余弦振动合成运动轨迹图形程序的完整代码:

    1f2537d5c812324f8ae2f237bc6d56ac.png

    c0b8b5314655acc96fbdd9cc3f57afa2.png

    358cfed243c579e2d0861d4dc407dbef.png

    2.4 上述合成运动轨迹图形结果

    下面是不同频率比、不同相位差的两相互垂直斜锯齿振动与余弦振动合成运动轨迹图形的举例图像,见图2,以便学生对比研究。

    b66ffbea839609ed2fb36fe2ec4d65ea.png

    3 应用上述Matlab程序绘制并分析两相互垂直振动的合成运动轨迹图形的分振动频率比规律

    3.1 两相互垂直简谐振动合成运动轨迹图形的分振动频率比规律

    在李萨如图形中,当两相互垂直的简谐振动的频率比为整数比时,若设Y方向振动的频率为fY,X方向振动的频率为fX,设纵直线与合成运动轨迹的切点数为nY,横直线与合成运动轨迹的切点数为nx,则Y方向振动与X方向振动的频率比规律为:fY:fX=nx:nY,或者说两相互垂直的简谐振动的周期比为整数比时,则XY方向振动的周期比等于图形中横纵切点数目比。

    当两相互垂直简谐振动频率比一定时,李萨如图形随相位Φ变化周期性地变化,若Φ取一个周期2π内的一系列适当值,作出一组李萨如图,称为系列图。

    系列图可以形象地表示出分振动频率比与横纵切点数的关系,及不同频率比时的李萨如图形随Φ变化的规律,同时还可根据系列图推想出该频率比的所有李萨如图形的性状。图3是几种不同频率比的两相互垂直简谐振动合成运动轨迹系列图。

    819295b70006874ca9ab67bd07dfbef3.png

    从系列图还可以看出,李萨如图形性状与Φ值和频率比有关,与频率比对应的两个分振动fY、fX的大小没有直接关系。

    3.2 两相互垂直的正锯齿振动与余弦振动合成运动轨迹图形、两相互垂直正锯齿振动合成运动轨迹图形的分振动频率比规律

    图4是几种不同频率比的 两相互垂直的正锯齿振动与余弦振动的合成运动轨迹系列图。图5是几种不同频率比的 两相互垂直正锯齿振动的合成运动轨迹系列图。

    9459f8cbfbf596086dbecc98fd5f7825.png

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    从图3、图4和图5可以看出,合成运动轨迹图形具有相似性,所以当两相互垂直的锯齿振动的频率比为整数比时,或者当两相互垂直的锯齿振动与简谐振动的频率比为整数比时,其分振动的频率比仍遵循两相互垂直的简谐振动合成运动轨迹图形的频率比规律。

    3.3 两相互垂直锯齿、两相互垂直锯齿与简谐振动及两相互垂直简谐振动的合成运动轨迹图形的相似性

    正锯齿函数曲线与余弦函数曲线除去连接两个时间相邻的极值点的函数曲线为直线段之外,正锯齿函数曲线与余弦函数曲线有许多共同之处。因此,两相互垂直的正锯齿振动的合成运动轨迹图形,或相互垂直的正锯齿振动与余弦振动的合成运动轨迹图形,与两相互垂直的余弦振动合成运动轨迹图形具有一定的相似性。

    理想锯齿函数和斜锯齿函数的性质与余弦函数有较大的差别,但也有一些共同之处,它们都是相位和时间的周期函数,相位周期为2π,时间周期为1/f,在一个周期内,函数只有一个极大值和一个极小值,在时间相邻的正、负极值点之间,函数随自变量单调连续地变化,因此,两相互垂直的简谐振动的合成运动轨迹图形的很多规律,也适用于两相互垂直的理想锯齿(或斜锯齿)振动的合成运动轨迹图形,及相互垂直的理想锯齿(或斜锯齿)振动与简谐振动的合成运动轨迹图形。

    4 总结

    上面的程序具有通用性,只需要更改函数及参数,就可以绘制出各种情况的这类合成运动轨迹图形。利用Matlab编程还可以绘制高斯分布、麦克斯韦分布、电场分布、等势线分布、等厚干涉及干涉衍射图样等等。物理学是一门实验性很强

    的科学,其理论是建立在实验的基础之上的,由于实验条件的限制,物理学中的许多内容无法在课堂上直接用实验来验证,使学生对理论的理解有一定的困难,而通过Matlab数值计算和图形模拟,能够把抽象复杂的物理概念和公式以更加直观的图形形式呈现出来,从而激发学生学习的兴趣,提高了教学质量。同时通过绘制出的图形,还可以进行很多方面的分析和研究,在解决实际问题时有着非常重要的作用。

    参考文献

    [1] 石涵.用Matlab研究李萨如图形及其讨论[J].物理与工程,2009(1):64-67.

    SHI H. Using Matlab to study Lissajous-figure and its discussion[J]. Physics and Engineering, 2009(1): 64-67. (in Chinese)

    [2] 赵浡. 李萨如图形与它的电子示波器显示图形[M].西安:陕西科学技术出版社,2009.

    基金项目: 西安交通大学城市学院-应用型创新人才培养模式下大学物理实验教学体系改革与探索(项目号XGH17257);本工作受“陕西省高等教育学会2017年度高等教育科学研究项目”的支持。

    作者简介: 刘会玲,女,西安交通大学工程师,主要从事物理实验教学及信息化建设工作,huilingdudu@sina.com。

    引文格式: 刘会玲,王小克,牛海波,等. Matlab在绘制两相互垂直斜锯齿振动与简谐振动合成运动轨迹图形的应用[J]. 物理与工程,2019,29(1):110-115.

    END

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  •  在Revit中也经常需要看到某个分部的剖面图形,或者是在某个剖面上绘制新的图元,而在此时就要用到剖面。但是在Revit模型中一般都会存在大量的剖面影响到了平面的出图。  虽然说在Revit的直接剖面创建,但并不能...

      今天是个吐槽局。

      来吧,作为一名BIMer,请开始你的吐槽:

     

      既然说到了剖面创建,那就有太多想说的了。

      无论是在模型创建、管综调整还是标注出图,都是离不开剖面的创建。

      在Revit中也经常需要看到某个分部的剖面图形,或者是在某个剖面上绘制新的图元,而在此时就要用到剖面。但是在Revit模型中一般都会存在大量的剖面影响到了平面的出图。

      虽然说在Revit的直接剖面创建,但并不能达到快速处理的效果,对于每个剖面每个点都需要单独进行操作!

      而对于机电专业的风管桥架水管,剖面是不能捕捉这些构件的,要准确的创建剖面垂直于这些构件的剖面线,则需要先在模型里面添加一个注释性的模型线,再创建剖面的时候让剖面线自动捕捉这条模型线,来达到创建垂直于管线的剖面的目的。

      关于以上说到的这些操作,先不说体验感怎样,但工作效率低却是真的!

      要是可以,BIMer们做梦都想有个魔法吧,吹一口仙气,即可生成与管线相互垂直或水平剖面,解放双手。

      在这里,建模助手要告诉大家的是:要解决剖面创建问题,其实很简单,在管线上点两下,即可跳过所有步骤:创建剖面→跳转剖面→调整剖面范围→视图设置而直接开始工作。

      一起看看【垂直剖面、水平剖面】1秒立马生成与管线相互垂直或水平的剖面的操作步骤:

      垂直剖面

      1.选择【垂直剖面】功能

     

      2.选择管线上的两点,生成与管线垂直的剖面,并且可以快速设置视图样板

     

      水平剖面

      1.选择【水平剖面】功能

     

      2.操作提示:先选择管线,再选择剖面方向(与管线垂直方向)

     

      方向一:

     

      方向二:

     

    综合插件——1秒立马生成与管线相互垂直或水平的剖面。

      (垂直剖面、水平剖面操作视频)

      以上就是在建模助手综合模块对于垂直剖面与水平剖面创建的一键快速操作步骤。

      大家都知道,其实垂直剖面与水平剖面创建在平时的实际操作中也并不难,关键是重复操作起来太费时,这就是BIMer们在使用Revit进行剖面创建时“爱恨交加”的心情体验!

      好了,那从此刻开始就忘掉过去吧,下载建模助手插件,不管是垂直剖面还是水平剖面的创建都能达到高效率的提升,并且在每项工作中都能真正落到实处。

      (ps:打开电脑端www.zhbim.com即可下载试用,除了本文中所提及到的两个功能外,到目前为止建模助手累积开发功能90余项,任君使用!)

    展开全文
  • 小数快长大小学数学教研工作室http://blog.sina.com.cn/u/16257340922011版课标终于要公布了,新课标 修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。...想象出物体的方位和相互之间的位置关系;...

    小数快长大

    小学数学教研工作室http://blog.sina.com.cn/u/1625734092

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    2011

    版课标终于要公布了,新课标 修订后有哪些变化。这一讲主要讲“图形与几何”这个领域的变化。

    新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有 空间观念、 几何直观、 推理能力 等 。

    空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。

    更直观的理解如下图:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题,借助几何直观可以把复杂的数学问题,变得简明形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果,探索思路预测结果。

    案例:《打电话》

    如果你是老师,有件紧急的事情要通知给同学,用打电话的方式,每分钟通知 1 人,给你 3

    分钟的时间,能使多少人收到通知?大胆的猜测一下。

    下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式,来描述打电话来通知这件事情,设计方案。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    通过这个数图就把这个复杂的数量关系,很简明很直观的呈现出来,而且从这个图本身,就能发现一些规律,就是一分钟通知一个人,第二次通知的新的人数,就是第一次的两倍,否则你算是算不出来,看图就看出来了。

    通过线段、点,以及图形,把通知过程很简捷的表现出来,把它们之间的关系,揭示得非常清楚,这就属于典型的几何直观,就是图形直观。

    推理能力

    的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成:合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。

    通过对一线教师的访谈,查阅资料,把老师们的困惑集中起来,归结为四个大话题。

    讨论话题:

    1.如何在观察、操作中“认识图形” 抽象出图形特征,发展空间观念?

    2.如何以“图形的测量”为载体,渗透度量意识,体会测量的意义,认识度量单位及其实际意义,了解掌握测量的基本方法,并在具体问题中进行恰当的估测?从而发展

    学生的空间观念与推理能力?

    3.如何通过“图形的运动”探索发现,体会研究图形性质的不同方法,发展学生几何直观能力和空间观念,提高学生研究图形性质的兴趣?

    4.如何通过学习“确定图形位置”的方法,发展学生的空间观念和推理能力?

    话题一、图形的认识——抽象图形特征,发展空间观念

    问题一、新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化?有哪些新的要求呢?

    这次新课标修订后图形的认识部分都包括哪些内容?有什么新的变化?

    课标修订前后立体图形的认识部分内容的对比:

    修订前

    修订后

    第一

    学段

    ( 1 )通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等 立体图形 。

    ( 2 ) 辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。 [参见例 1 ]

    ( 3 )辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

    ( 4 )通过观察、操作, 能用自己的语言描述 长方形、正方形的特征。

    ( 5 )会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

    ( 6 )结合生活情境认识角,会辨认直角、锐角和钝角。

    ( 7 )能对简单几何体和图形进行分类。

    1. 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等 几何体 。

    2. 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体 (参见例 11 )。

    3. 能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。

    4. 通过观察、操作, 初步认识 长方形、正方形的特征。

    5. 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。

    6. 结合生活情境认识角,了解直角、锐角和钝角。

    7. 能对简单几何体和图形进行分类(参见例 20 )。

    第二

    学段

    ( 1 ) 了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。

    ( 2 ) 能区分直线、线段和射线。

    ( 3 )体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间的距离。

    ( 4 )知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

    ( 5 )结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系。

    ( 6 )通过观察、操作,认识平行四边形、梯形和圆,会用圆规画圆。

    ( 7 )认识三角形,通过观察、操作,了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是 180 ° 。

    ( 8 )认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

    ( 9 )通过观察、操作,认识长方体、正方体、圆柱和圆锥,认识长方体、正方体和圆柱的 展开图。

    ( 10 )能辨认 从不同方位看到的物体的形状和相对位置。 [参见例 1 ]

    1. 结合实例了解线段、射线和直线。

    2.体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间的距离。

    3.知道平角与周角,了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。

    4.结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系。

    5.通过观察、操作,认识平行四边形、梯形和圆 ,知道扇形, 会用圆规画圆。

    6.认识三角形,通过观察、操作,了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是 180° 。

    7.认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。

    8.能辨认 从不同方向(前面、侧面、上面)看到的物体的形状图 (参见例 32 )。

    9.通过观察、操作,认识长方体、正方体、圆柱和圆锥,认识长方体、正方体和圆柱的展开图。

    从这个表中可以看到,课表修订前后在图形的认识部分只有一些细小的变化,图形与几何这一模块原称空间与图形,变“空间与图形”为“图形与几何”;重提几何直观、推理能力、运算能力、逻辑思维能力,用词更加规范,体现了课标的严肃。

    < 标准 >

    的”图形与几何”第一、二学段仍分为四部分,具体表示有所变动,( 1 )图形的认识,( 2 )测量,( 3

    )图形的运动(修改稿:图形与变换),( 4

    )图形与位置。图形的运动”强调了图形的运动是研究图形性质的一种有效方法。运动也是一种基本的数学思想。第二学段的内容标准删除“两点确定一条直线”和“两条直线确定一个点”。

    “图形与几何”领域,将几何学习的视野拓宽到学生生活的空间,强调空间和图形知识的现实背景,从第一学段开始使学生接触丰富的几何世界。新《标准》突出用观察、描述、制作、从不同的角度观察物体、认识方向、制作模型等活动,发展学生的空间观念和图形设计与推理(合情推理与演绎推理)的能力。

    新《标准》在第二学段还增加了知道扇形这一内容。扇形的认识,《大纲》(修订版)教材作为选学内容,《数学课程标准》中没有认识扇形的要求。

    认识扇形在《课标修改稿》中确实没有做要求,但在 “ 统计与概率 ”

    部分却明确提出了通过实例认识扇形统计图的内容标准,考虑到知识的系统性、逻辑性和连贯性,以及学生认识扇形统计图的需要,《课标修订稿》在认识圆的基础上,增加了初步认识扇形。

    简单说对图形认识的要求主要包括两个方面:

    一是对图形自身特征的认识。

    二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。

    在三个学段中,认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性:从 “ 辨认 ” 到 “ 初步认识 ” ,再从 “ 认识 ” 到 “

    探索并证明 ” 。例如,对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体,第一学段要求 “ 辨认 ” ;第二学段要求 “ 认识 ”

    ;第三学段要求了解其中一些几何体的侧面展开图。

    又如,对于平行四边形,第一学段要求 “ 辨认 ” ;第二学段要求 “ 认识 ” ;第三学段要求 “

    探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理 ” 。

    再如,三角形内角和的例子:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    关于 “ 视图 ” ,第一学段要求 “ 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体 ” ;第二学段要求 “

    能辨认从不同方向(前面、侧面、上面)看到的物体的形状图 ” ;第三学段要求 “

    会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体的视图,会根据视图描述简单的几何体 ” 。

    这种要求的层次性,既体现了从整体到局部的认识过程;也符合学生的认知特点,逐渐深入、循序渐进。

    对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识,主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。第一学段的 “ 了解直角、锐角和钝角 ”

    ;第二学段的 “ 体会两点间所有连线中线段最短 ” ; “ 了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系 ” ; “ 了解

    三角形两边之和大 于第三边 ” ;第三学段的 “ 会比较线段的长短 ” , “ 能比较角的大小 ” 等,都是对图形大小关系的研究

    点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等,是义务教育阶段几种主要的图形位置关系;轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。

    图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容,全等研究的是图形的形状、大小关系;图形的相似研究的是图形的形状之间的关系;而图形的位似则还涉及到了图形的位置关系。

    在儿童的不同学段上,形象思维的发展是有层次的,荷兰范 .

    希尔夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律。他们将学生的图形认知水平主要分为五级:水平 1

    :直观化;水平 2 :描述 / 分析;水平 3 :抽象 / 关联;水平 4 :演绎 / 形式化推理;水平 5 :严密 /

    元数学。一二三水平在小学体现,四五水平是在中学体现的。这和我们课标的要求也是一致。

    图形认识的教学先明确两点:

    一是这部分内容属于图形认识的哪个水平,前后继知识各是什么;

    二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段,要通过你的教学达到什么阶段。

    问题二、 小学阶段对于 “ 图形的认识 ”

    这一内容,教材是遵循怎样一个编排体系的?

    第一,

    现在的教材,在图形的认识当中,是先讲立体,再讲平面,再回到立体。从历史发展过程上看,实际上我们中国小学的传统教材,最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。到了上个世纪

    90

    年代以后,义务大纲出现就发生变化了,先讲立体以后再讲平面,然后又回到立体。为什么当时要改?因为当时很多老师都反映,高年级孩子,对几何立体图形,本身的识图的能力比较低,认识起来比较困难。这部分是个难点,分阶段安排可以分散难点。

    第二,实际上一个人是生活在三维空间当中,一个婴儿从出生落地,他所有接触的东西,看到的东西,实际上都是体,他的奶瓶,他玩的积木都是体,住的大大楼里,所有东西都是体,在这个过程中儿童积累了很多立体的物体,因此所有的几何体,都具有直观的实物的模型的。那在这种情况之下,低年级孩子,刚开始初步的认识立体图形是有可能的。

    所以一是有必要,二是有可能,再加上儿童的空间观念的形成,必然是有一个长期的反复的积累的过程,不能一次到位。所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位,先讲立体图形,要求直观认识,然后中间一段是平面图形,最后再讲立体图形。现在教材也一样,先讲立体,后讲平面,再回到立体,但这两次讲立体层次不同,第一次要求辨认,到第二学段要求是认识。

    也就是 现在教材是 “ 体-形-体 ” 的混合螺旋编排结构

    问题三、

    怎样通过图形的认识教学,培养学生的空间观念?

    第一、通过对实物的观察与操作认识图形

    第一学段要求 “ 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 、 “ 通过观察、操作,初步认识长方形、正方形的特征

    ” ;第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系 ”

    等,这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形,直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质,既符合学生认识事物的规律,也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力,初步体会数学的思想方法,发展积极的情感与态度。

    人们生活在三维的空间中,常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球 …

    都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验,学生可以从认识立体图形开始, “

    通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 。 “ 辨认 ”

    是认识的低级阶段,但与以往的经验有所不同,它要经历从实物到几何图形的抽象过程。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面,抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象,从实物到图形,从整体到局部的安排,揭示了立体图形与平面图形的关系,也符合学生的认知特点。

    第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系 ”

    。射线和直线涉及到了无限的概念,与长方体、正方体、长方形、正方形等相比,在现实中没有 “ 直线 ”

    的实物原型,这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些,因为现实生活中有 “ 线段 ” 的实物原型。

    类似的,学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难,可以利用两根铁轨作为实物原型来描述,两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实,都揭示了平行线的本质,但铁轨无法总是笔直的延伸,所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象,这有助于学生发展抽象能力和空间观念。

    第二、基于图形的想象和图形之间的转换,发展空间观念

    新教材内容编排上增加了 “ 视图和投影、展开与折叠 ” 等内容。

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    视图和投影,过去小学没有,现在小学数学几何和图形当中,增加了观察物体,这部分在课标上有两个要求。

    第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图,辨认从不同角度观察到的简单物体的形状,这是辨认。很多教材里面是这样,有的是拿个实物,有的是拿熊猫玩具等,让孩子们从各种角度去看,看的时候,孩子们就发现,不同角度看到的熊猫不一样。

    第二个学段的要求能辨认从不同方向,方向是从前面、侧面或者上面来观察,从不同方向看到物体的形状图,这个形状图实际上就是一个平面图,就是从水平方向对物体所做的一个投影,也就是拍照。

    例如

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    拍照的结果,虽然不是真正意义上的视图,但是它的确实现了,把三维空间向二维空间的一个转化的过程,这是过去小学没有的,现在有了,这两个阶段的目标要达到,就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。

    “折叠”和“展开”,过去教材也有,长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个做法现在要加强,而且在进行折叠和展开当中,操作过程,必须要通过儿童的想象,这个过程本有什么实际意义呢?这是让孩子们认识到,立体图形的结构和展开图之间的这种对应关系。怎么让他来认识这个对应关系呢?

    例如,“正方体展开图”课例。

    通过课例可以看到,孩子可以折一折,通过操作找到结果;也可以不折,先想一想,我们提倡先想象,再动手验证,这样有利于发展学生的空间想象力,促进空间观念的形成。

    让学生操作的时候,它不是一个简单的操作,首先得想象一下,可能会是什么样子,然后再通过操作,去验证自己的想法,而这个过程,学生参与这个想象,包括动手操作,包括把这个过程表现出来,是非常重要的。

    让学生的这种想象也好,操作也好,实际上进一步理解,我们讲三维和两维之间的这样一种关系,就是你讲的对应关系,是经历了下面过程。

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    “ 认识长方体、正方体和圆柱的展开图 ”

    ,体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求,目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象,发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程,通过想象实现图形之间的转换,让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。

    认识图形过程中大量的操作性活动,有利于学生积累数学活动经验,发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。

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