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  • 互素是什么意思判别方法两两互素就是说,在给出的那些数中任取两个,那两个数除了1没有其他公约数本回答被提问者采纳什么叫做互素两个数的公约数只有一,这样的数叫互质数。两两互质,就是几个数的公约数只有一。...

    互素是什么意思判别方法

    两两互素就是说,在给出的那些数中任取两个,那两个数除了1没有其他公约数

    本回答被提问者采纳

    什么叫做互素

    两个数的公约数只有一,这样的数叫互质数。两两互质,就是几个数的公约数只有一。

    两两互质是指一组数,其中任意两个都互质,比如4,5,9,4和5互质,4和9互质,5和9互质,那么4,5,9就叫做两两互质。需要注意的是两两互质是任意两个都互质,而互质是整体的互质。如果几个数两两互质,那么他们的最小公倍数是他们的乘积。

    小学数学教材对互质数是这样定义的:“公约数只有1的两个数,叫做互质数。” 这里所说的“两个数”是指自然数。 “公约数只有 1”,不能误说成“没有公约数。”

    判别方法:

    (1)两个不相同质数一定是互质数。 例如,2与7、13与19。

    (2)一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数。 例如,3与10、5与 26。

    (3)1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

    (4)相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

    (5)相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

    (6)大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

    (7)小数是质数,大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。

    (8)两个数都是合数(二数差又较大),小数所有的质因数,都不是大数的约数,这两个数是互质数。 如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。

    1和2互素

    互素

    鸣.. 互素就是两个数没有相同的公因数 除了一

    前者使输出起到与输入相反的作用,使系统输出与系统目标的误差减小,系统趋于稳定;后者使输出起到与输入相似的作用,使系统偏差不断增大,使系统振荡,可以放大控制作用两数互素什么意思。

    就是互质两两互素是什么意思。

    互素是什么意思判别方法。

    什么叫做互素。

    互素,又称互质,最早是初等数论中的概念:

    若n个整数a1,a2,…,an的最大公因数为1,就称这n个整数互素.

    需要注意n个整数素数和n个整数两两互素是不同的概念.

    两互素整数之商必为有理数,同时,任意有理数都可以表示为两互素整数之商。

    其实在互素的概念不限于初等数论,与它有密切关系的也绝不仅有有理数的表示有关。 可以这样来看互素与有理数之间的关系:任意有理数都可以表示为两整数之商a / b(其中b为不0)。这种表示方法并不唯一。如果a1 / b1和a2 / b2是两个有理数的表示法,当且仅当a1 * b2 = a2 * b1时,说这两种表示方法表示的是同一个有理数(等价)。事实上,这是有理数的形式化定义(的一种通俗说法)。在同一有理数的不同等价表示法中,若取定a为任意整数(包括0),b为正整数,且a与b互素,则可以证明,当a不为0时,这种表示法唯一。我们可以用这种表示法做为有理数不同表示法的一个代表,即约化的表示(对于0,不妨约定约化表示为0 / 1)。

    1和2互素。

    互素,又称互质,最早是初等数论中的概念:

    若n个整数a1,a2,…,an的最大公因数为1,就称这n个整数互素.

    需要注意n个整数素数和n个整数两两互素是不同的概念.

    两互素整数之商必为有理数,同时,任意有理数都可以表示为两互素整数之商。

    其实在互素的概念不限于初等数论,与它有密切关系的也绝不仅有有理数的表示有关。 可以这样来看互素与有理数之间的关系:任意有理数都可以表示为两整数之商a / b(其中b为不0)。这种表示方法并不唯一。如果a1 / b1和a2 / b2是两个有理数的表示法,当且仅当a1 * b2 = a2 * b1时,说这两种表示方法表示的是同一个有理数(等价)。事实上,这是有理数的形式化定义(的一种通俗说法)。在同一有理数的不同等价表示法中,若取定a为任意整数(包括0),b为正整数,且a与b互素,则可以证明,当a不为0时,这种表示法唯一。 们可以用这种表示法做为有理数不同表示法的一个代表,即约化的表示(对于0,不妨约定约化表示为0 / 1)。

    抛砖向。@王赟 Maigo 老师的回答,我们感觉到好像质因数分解@王赟 Maigo 老师的回答第二部分,(在其他变量相同时)a和b的大小不应当影响互素程度,于是干掉了原有的函数;又或者说答主现编的一个:4和6的互素程度,或许应该比4和30的互素程度,以及4和 要高。这时公倍数的那组函数就比公因数的那组要更好。由于互素程度的定义并不是特别明确,这就需要题主不断编写题干补充了。

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  • 互素

    千次阅读 2018-09-21 15:43:40
    gcd(a,b)==1 表示 a 与 b 的最大公约数为 1,即 a 与 b 互素。 程序源码: #include using namespace std; int gcd(int x, int y); int OneOut(int x); int main() { int nId = 0; int m; int nOut[100] =...

    题面描述:
    小明很喜欢学数学,并且喜欢做一些奇怪的题,这天他想知道对于给定的 N,有
    多少个 M 满足“M<=N, gcd(N,M)==1, M 是偶数”。 请你编写程序帮助小明解决这
    个问题。
    输入数据:
    输入数据第一行为一个正整数 T,表示测试数据的组数。接下来的 T 组测试数据
    中, 每组测试数据为一行, 包含一个整数 N (1≤T≤100, 1≤N≤10000)。
    输出数据:
    对于每一组输入数据, 在单独的一行中输出 “Case #id: M”, 表示第 id 组数据结
    果是 M, id 从 1 开始;北京交通大学入学前培训[201807-201808]
    2
    样例输入:
    4
    1
    2
    11
    23
    样例输出:
    Case #1: 0
    Case #2: 0
    Case #3: 5
    Case #4: 11
    Hint:
    gcd(a,b)==1 表示 a 与 b 的最大公约数为 1,即 a 与 b 互素。
    程序源码:

    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int gcd(int x, int y);
    int OneOut(int x);
    
    int main() {
    	int nId = 0;
    	int m;
    	int nOut[100] = { 0 };   //题目要求,1≤T≤100 ,T=nId
    	int *pInt = nOut;
    	cin >> nId;
    	for (int i = 0; i < nId; i++)
    	{
    		cin >> m;
    		pInt[i] = OneOut(m);
    	}
    	for (int i = 0; i < nId; i++)
    		cout << "Case #"<<(i+1)<<": "<<pInt[i] << endl;
    	system("pause");
    	return 0;
    }
    int OneOut(int x) {
    	int nNumber = 0;
    	for (int i = 1; i * 2 <= x; i++) {  //遍历从2到小于x的偶数
    		if (gcd(x, i * 2) == 1)       
    			++nNumber;
    	}
    	return nNumber;
    }
    int gcd(int x, int y) {
    	int z = x;
    	if (x < y) {  //判断x,y大小,保证始终未大数除以小数,并且令x始终为较大的数
    		x = y;
    		y = z;
    	}
    	z = y;   //将z赋值为较小数,如果x,y为倍数关系,则较小数即为最大公约数
    	while (x%y != 0)
    	{
    		z = x%y;
    		x = y;
    		y = z;
    	}
    	return z;
    }
    
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  • 文章目录最大公因式小结互素最大公因式及互素的推广参考资料 最大公因式 定义\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义} }}定义​ 设 f(x),g(x),d(x)∈F[x],f(x), g(x), d(x) \in F[x],f(x),g(x),d(x)∈F[x]...
    展开全文
  • 当中国剩余定理在应用中模数不互素时,在求解MiM_iMi​对模数mim_imi​的逆元Mi′M_i'Mi′​时可能会报错说:两个数不是互素的,无法进行求解逆元的操作(我这里用的封装函数gmpy2.invert()求解逆元) 那么假定现在...

    中国剩余定理

    模数不互素的情况

    当中国剩余定理在应用中模数不互素时,在求解 M i M_i Mi对模数 m i m_i mi的逆元 M i ′ M_i' Mi时可能会报错说:两个数不是互素的,无法进行求解逆元的操作(我这里用的封装函数gmpy2.invert()求解逆元)

    那么假定现在有一组同余式需要用到中国剩余定理求解,但是模数不互素;

    将式1: x ≡ c 1 ( m o d   m 1 ) x\equiv c_1(mod~m_1) xc1(mod m1) 式2: x ≡ c 2 ( m o d   m 2 ) x\equiv c_2(mod~m_2) xc2(mod m2)​ 转换为

    x = c 1 + x 1 ∗ m 1 x = c_1 +x_1*m_1 x=c1+x1m1​, x = c 2 + x 2 ∗ m 2 x=c_2+x_2*m_2 x=c2+x2m2(为什么这里乘数要写作 x i x_i xi呢,因为在之后的推导公式中 x i x_i xi会作为新的一轮值再次计算)​

    联立得

    c 1 + x 1 ∗ m 1 = c 2 + x 2 ∗ m 2 c_1+x_1*m_1=c_2+x_2*m_2 c1+x1m1=c2+x2m2

    移项

    x 1 ∗ m 1 = c 2 − c 1 + x 2 ∗ m 2 x_1*m_1=c_2-c_1+x_2*m_2 x1m1=c2c1+x2m2

    转换为同余式形式

    x 1 ∗ m 1 ≡ c 2 − c 1 ( m o d   m 2 ) x_1*m_1\equiv c_2-c_1(mod~m_2) x1m1c2c1(mod m2)​​​

    这里就类似于 a ∗ x ≡ b ( m o d   m ) a*x\equiv b(mod~m) axb(mod m)​​(这里 x 1 x_1 x1​是 x x x​, m 1 m_1 m1​是 a a a​)

    所以该同余式要有解需要满足 g c d ( a , m ) = 1 gcd(a,m)=1 gcd(a,m)=1

    所以求 d = g c d ( m 1 , m 2 ) d=gcd(m_1,m_2) d=gcd(m1,m2)

    所以同余式两边同时除以 d d d

    得到 x 1 ∗ m 1 d ≡ c 2 − c 1 d ( m o d   m 2 d ) x_1*\frac{m_1}{d}\equiv \frac{c_2-c_1}{d}(mod~\frac{m_2}{d}) x1dm1dc2c1(mod dm2)

    那么求解 x 1 ≡ ( m 1 d ) − 1 ∗ c 2 − c 1 d ( m o d   m 2 d ) x_1 \equiv (\frac{m_1}{d})^{-1}*\frac{c_2-c_1}{d}(mod~\frac{m_2}{d}) x1(dm1)1dc2c1(mod dm2)


    这里有一点就是求 m 1 d \frac{m_1}{d} dm1对模数 m 2 d \frac{m_2}{d} dm2的逆元

    可以这样来推导:

    m 1 d ∗ ( m 1 d ) − 1 ≡ 1 ( m o d   m 2 d ) \frac{m_1}{d}*(\frac{m_1}{d})^{-1}\equiv 1 (mod~\frac{m_2}{d}) dm1(dm1)11(mod dm2)

    相当于:

    m 1 d ∗ ( m 1 d ) − 1 = 1 + k ∗ m 2 d \frac{m_1}{d}*(\frac{m_1}{d})^{-1}=1+k*\frac{m_2}{d} dm1(dm1)1=1+kdm2

    写到关于 m 1 , m 2 m_1,m_2 m1,m2的扩展欧几里得算法

    k 1 ∗ m 1 + k 2 ∗ m 2 = d k_1*m_1+k_2*m_2=d k1m1+k2m2=d

    同时除以 d d d并移项

    k 1 ∗ m 1 d = 1 − k 2 ∗ m 2 d k_1*\frac{m_1}{d}=1-k_2*\frac{m_2}{d} k1dm1=1k2dm2

    对比一下这两个等式,是不是项都一样呢?那么 m 1 d \frac{m_1}{d} dm1的系数 k 1 k_1 k1实际上就是等于 ( m 1 d ) − 1 (\frac{m_1}{d})^{-1} (dm1)1

    另外如果直接求解ta的逆元,可能会得到不正确的值~~(我试过但是不知道为什么)~~


    那么 x 1 ≡ k 1 ∗ c 2 − c 1 d ( m o d   m 2 d ) x_1\equiv k_1*\frac{c_2-c_1}{d}(mod~\frac{m_2}{d}) x1k1dc2c1(mod dm2)

    X = k 1 ∗ c 2 − c 1 d X=k_1*\frac{c_2-c_1}{d} X=k1dc2c1

    x 1 = m 2 d ∗ y + X x_1=\frac{m_2}{d}*y+X x1=dm2y+X

    又因为 x = c 1 + m 1 ∗ x 1 x=c_1+m_1*x_1 x=c1+m1x1

    代入后,

    x = c 1 + m 1 ∗ m 2 d ∗ y + X ∗ m 1 x=c_1+\frac{m_1*m_2}{d}*y+X*m_1 x=c1+dm1m2y+Xm1

    也就相当于同余式,

    x ≡ c 1 + X ∗ m 1 ( m o d   m 1 ∗ m 2 d ) x\equiv c_1+X*m_1(mod~\frac{m_1*m_2}{d}) xc1+Xm1(mod dm1m2)

    那么这就是成功合并完了两个同余式的结果,成为一个新的同余式,其中 c 1 + X ∗ m 1 c_1+X*m_1 c1+Xm1重新作为新的同余式里的 c c c m 1 ∗ m 2 d \frac{m_1*m_2}{d} dm1m2也是新的同余式里的 m m m


    另外这里 m 1 ∗ m 2 d \frac{m_1*m_2}{d} dm1m2实际上也就是 l c m [ m 1 , m 2 ] = m 1 ∗ m 2 g c d ( m 1 , m 2 ) lcm[m_1,m_2]=\frac{m_1*m_2}{gcd(m_1,m_2)} lcm[m1,m2]=gcd(m1,m2)m1m2

    所以可以直接求 m 1 , m 2 m_1,m_2 m1,m2的最小公倍数去代替 m 1 ∗ m 2 d \frac{m_1*m_2}{d} dm1m2


    将这个新的同余式和剩下没有合并的同余式依次代入相同的计算中,就可以得到最后的结果

    Python代码实现

    i = 0  # 这里我使用了一个i作为全局变量
    # 我定义的函数需要重复执行且在不同同余式组进行求解的时候i要重新赋值
    def CRT(cl,ml):
        global i
        clist = cl
        moudlelist = ml
        if i == 0:
            m1,m2 = ml[i],ml[i+1]
            c1,c2 = cl[i],cl[i+1]
        else:
            m1,m2 = ml[i],ml[len(ml)-1]
            c1,c2 = cl[i],cl[len(cl)-1]
        d = gmpy2.gcd(m1,m2)
        print(d)
        c = c2 - c1
        assert c % d == 0
        # 这里代码的注释部分是最初的写法,但是结果会出错,我不知道为什么
        # X = c // d * gmpy2.invert(m1 // d,m2 // d)
        _,k1,k2 = gmpy2.gcdext(m1,m2) 
        X = c // d * k1 * m1
        if i == 0:
            clist.append((X + c1) % gmpy2.lcm(m1,m2))
            # moudlelist.append(m1*m2 // d)
            moudlelist.append(gmpy2.lcm(m1,m2))
            i += 2
        else:
            clist[len(clist)-1] = (X + c1) % gmpy2.lcm(m1,m2)
            # moudlelist[len(moudlelist)-1] = m1*m2 // d
            moudlelist[len(moudlelist)-1] = gmpy2.lcm(m1,m2)
            i += 1
        return clist,moudlelist
    

    例题

    e = 7
    cl1 = [int(powmod(bytes_to_long(m1), e, x)) for x in ul]
    cl2 = [int(powmod(bytes_to_long(m2), e, y)) for y in vl]
    # ul,vl已知
    

    很显然这里使用低加密指数广播攻击

    但是在使用中国剩余定理的过程出现了报错:两数不互素

    所以应用模数不互素的情况来求解

    代码实现

    import gmpy2
    from Crypto.Util.number import *
    
    ml1 = [10537190383977432819948602717449313819513015810464463348450662860435011008001132238851729268032889296600248226221086420035262540732157097949791756421026015741477785995033447663038515248071740991264311479066137102975721041822067496462240009190564238288281272874966280,121723653124334943327337351369224143389428692536182586690052931548156177466437320964701609590004825981378294358781446032392886186351422728173975231719924841105480990927174913175897972732532233,1440176324831562539183617425199117363244429114385437232965257039323873256269894716229817484088631407074328498896710966713912857642565350306252498754145253802734893404773499918668829576304890397994277568525506501428687843547083479356423917301477033624346211335450]
    ml2 = [168450500310972930707208583777353845862723614274337696968629340838437927919365973736431467737825931894403582133125917579196621697175572833671789075169621831768398654909584273636143519940165648838850012943578686057625415421266321405275952938776845012046586285747,1921455776649552079281304558665818887261070948261008212148121820969448652705855804423423681848341600084863078530401518931263150887409200101780191600802601105030806253998955929263882382004,25220695816897075916217095856631009012504127590059436393692101250418226097323331193222730091563032067314889286051745468263446649323295355350101318199942950223572194027189199046045156046295274639977052585768365501640340023356756783359924935106074017605019787]
    cl1 = [2852589223779928796266540600421678790889067284911682578924216186052590393595645322161563386615512475256726384365091711034449682791268994623758937752874750918200961888997082477100811025721898720783666868623498246219677221106227660895519058631965055790709130207760704, 21115849906180139656310664607458425637670520081983248258984166026222898753505008904136688820075720411004158264138659762101873588583686473388951744733936769732617279649797085152057880233721961, 301899179092185964785847705166950181255677272294377823045011205035318463496682788289651177635341894308537787449148199583490117059526971759804426977947952721266880757177055335088777693134693713345640206540670123872210178680306100865355059146219281124303460105424] 
    cl2 = [148052450029409767056623510365366602228778431569288407577131980435074529632715014971133452626021226944632282479312378667353792117133452069972334169386837227285924011187035671874758901028719505163887789382835770664218045743465222788859258272826217869877607314144, 1643631850318055151946938381389671039738824953272816402371095118047179758846703070931850238668262625444826564833452294807110544441537830199752050040697440948146092723713661125309994275256, 10949587016016795940445976198460149258144635366996455598605244743540728764635947061037779912661207322820180541114179612916018317600403816027703391110922112311910900034442340387304006761589708943814396303183085858356961537279163175384848010568152485779372842]
    
    i = 0
    def CRT(cl,ml):
        global i
        clist = cl
        moudlelist = ml
        if i == 0:
            m1,m2 = ml[i],ml[i+1]
            c1,c2 = cl[i],cl[i+1]
        else:
            m1,m2 = ml[i],ml[len(ml)-1]
            c1,c2 = cl[i],cl[len(cl)-1]
        d = gmpy2.gcd(m1,m2)
        print(d)
        c = c2 - c1
        assert c % d == 0
        # X = c // d * gmpy2.invert(m1 // d,m2 // d)
        _,k1,k2 = gmpy2.gcdext(m1,m2) 
        X = c // d * k1 * m1
        if i == 0:
            clist.append((X + c1) % gmpy2.lcm(m1,m2))
            # moudlelist.append(m1*m2 // d)
            moudlelist.append(gmpy2.lcm(m1,m2))
            i += 2
        else:
            clist[len(clist)-1] = (X + c1) % gmpy2.lcm(m1,m2)
            # moudlelist[len(moudlelist)-1] = m1*m2 // d
            moudlelist[len(moudlelist)-1] = gmpy2.lcm(m1,m2)
            i += 1
        return clist,moudlelist
    ii = 3
    temp_cl,temp_ml = CRT(cl1,ml1)
    while len(cl1) - ii > 0:
        temp_cl,temp_ml = CRT(temp_cl,temp_ml)
        ii += 1
    final_c = temp_cl[len(temp_cl)-1]
    print(long_to_bytes(gmpy2.iroot(final_c,7)[0]))
    ii = 3
    i = 0
    temp_cl,temp_ml = CRT(cl2,ml2)
    while len(cl2) - ii > 0:
        temp_cl,temp_ml = CRT(temp_cl,temp_ml)
        ii += 1
    final_c = temp_cl[len(temp_cl)-1]
    print(long_to_bytes(gmpy2.iroot(final_c,7)[0]))
    

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空空如也

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互素