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  • 如果绘制函数,它看起来很平滑:然而,scipy.integrate.quad抱怨四舍入错误,这对于这条美丽的曲线来说非常奇怪。但是,函数并没有定义为0(当然,您要除以0!)所以整合不好。在您可以使用更简单的积分方法,或者对...

    问题似乎出在函数接近零的行为上。如果绘制函数,它看起来很平滑:

    WKx3D.png

    然而,scipy.integrate.quad抱怨四舍五入错误,这对于这条美丽的曲线来说非常奇怪。但是,函数并没有定义为0(当然,您要除以0!)所以整合不好。在

    您可以使用更简单的积分方法,或者对您的函数做些什么。你也可以从两边把它积分到非常接近于零的位置。然而,在这些数字下,当你看到你的结果时,积分看起来并不正确。在

    不过,我想我对你的问题有预感。据我所知,你所示的积分实际上是夫琅和费衍射强度(功率/面积)与中心距离的函数。如果你想在某个半径范围内整合总能量,你必须在两个维度上进行。在

    根据简单的面积积分规则,在积分之前,你应该用2πr乘以你的函数(或者用x代替r)。然后变成:f = lambda(r): r*(sp.j1(r)/r)**2

    或者

    ^{pr2}$

    甚至更好:f = lambda(r): r * (sp.j0(r) + sp.jn(2,r))

    最后一种形式是最好的,因为它不受任何奇点的影响。这是基于Jaime对原始答案的评论(见下面这个答案的评论!)。在

    (请注意,我省略了几个常量。)现在可以将它从零积分到无穷大(没有负半径):fullpower = quad(f, 1e-9, np.inf)[0]

    然后,可以从其他半径积分并按全强度规格化:pwr = quad(f, 1e-9, 3.8317)[0] / fullpower

    得到0.839(相当接近84%)。如果尝试更远的半径(13.33):pwr = quad(f, 1e-9, 13.33)

    得出0.954。在

    需要注意的是,我们从1e-9开始积分,而不是从0开始积分,从而引入了一个小误差。误差的大小可以通过尝试不同的起点值来估计。积分结果在1e-9和1e-12之间变化很小,因此它们看起来是安全的。当然,你可以使用,例如,1e-30,但是在除法中可能存在数值不稳定性。(在本例中没有,但一般来说奇点在数量上是邪恶的。)

    让我们做一件事:import matplotlib.pyplot as plt

    import numpy as np

    x = linspace(0.01, 20, 1000)

    intg = np.array([ quad(f, 1e-9, xx)[0] for xx in x])

    plt.plot(x, intg/fullpower)

    plt.grid('on')

    plt.show()

    我们得到的是:

    {2美元^

    至少这看起来是对的,艾里圆盘的黑色条纹清晰可见。在

    问题的最后一部分是什么:I0定义了最大强度(单位可能是,例如W/m2),而积分给出了总功率(如果强度以W/m2为单位,则总功率以W为单位)。将最大强度设置为100并不保证总功率。这就是为什么计算总功率很重要。在

    对于辐射到圆形区域的总功率,实际上存在一个闭合形式的方程:

    p(x)=P0(1-J0(x)^2-J1(x)^2)

    式中,P0是总功率。在

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  • 次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式,即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。 这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个完整的证明,后者则...
        

    阿贝尔-鲁菲尼定理

    五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式,即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。

    这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明,后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论,独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法,并给出了定理的证明,但直到他死后的1846年才得以发表。

    并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.

    然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。通过数值方法可以计算多项式的根的近似值,但数学家也关心根的精确值,以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。例如,任意给定二次方程

    1233356-a66d266fc068ab53.png

    它的两个解可以用方程的系数来表示:

    1233356-c4dbbf21fc40f7d6.png

    这是一个仅用有理数和方程的系数,通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式,称为其代数解。三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是:任意给定一个五次或以上的多项式方程:

    1233356-d5a93e5cd7ad2172.png

    那么不存在一个通用的公式(求根公式),使用 a0,a1,... ,an 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。或者说,当n大于等于5时,存在n次多项式,它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.

    换一个角度说,存在这样的实数或复数,它满足某个五次或更高次的多项式方程,但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。这并不是说每一个五次或以上的多项式方程,都无法求得代数解。具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出,因此相关理论也被称为伽罗瓦理论。简单来说,某多项式方程有代数解,等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群。对于一般的二次、三次和四次方程,它们对应的伽罗瓦群是二次、三次和四次对称群.

    伽罗瓦基本定理的最初应用是在使用伽罗瓦理论证明五次或以上的多项式方程没有代数解求根公式的问题上。其证明的主要思路是将“开n次方”的过程转化为“在基域中添加n次方根”生成的域扩张。将多项式有代数解的问题转化为某个分裂域是否可以通过有限次特定的域扩张得到的问题。而这些域扩张是否满足条件,则可以由伽罗瓦基本定理将其转化为判定“特定的伽罗瓦群是否有某种特殊的子群和商群(称为可解群)”的问题。

    代数基本定理:任何一个非零的一元n次复系数多项式,都正好有n个复数根。

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  • 原标题:年级数学图形面积计算的十种方法!让孩子学习!我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。...

    原标题:五年级数学图形面积计算的十种方法!让孩子学习!

    我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。如下表:

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    实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

    那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢?我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。

    先看三道例题感受一下

    1 如图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

    476b1c65366ddec073aa94aff1578c91.png

    一句话:阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个空白三角形(△ABG△BDE△EFG)的面积之和。

    2 如图,正方形ABCD的边长为6厘米,△ABE△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,求三角形AEF的面积.

    39e3e105a4732492cb984eb857af0833.png

    一句话:因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等,都等于正方形ABCD面积的三分之一,也就是12厘米.

    解:△ABE面积=△ADF面积=四边形AECF面积=12

    在△ABE中,因为AB=6,所以BE=4。

    同理DF=4,因此CE=CF=2。

    所以△ECF的面积为2×2÷2=2。

    所以△AEF面积=四边形AECF面积-△ECF面积=12-2=

    10(平方厘米)。

    3 两块等腰直角三角形的三角板如下图所示重合,它们的直角边分别是10 厘米和6 厘米。求重合部分(阴影部分)的面积。

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    一句话:阴影部分面积=△ABG面积-△BEF面积,且 △ABG和△BEF都是等腰三角形。

    总结:对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。

    常用的基本方法有:

    一、相加法

    这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积。

    例如:求下图整个图形的面积

    f808c589d320774823139bd1d54cb7d8.png

    一句话:半圆的面积+正方形的面积=总面积

    二、相减法

    这方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

    6069514d7036ca3f559365881f4c5e6b.png

    一句话:正方形面积减去圆的面积即可。

    三、直接求法

    这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不 规则图形面积。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形。

    四、重新组合法

    这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:拆开图形,使阴影部分分布在正方形的4个角处,如下图。

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    五、辅助线法

    这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可

    例如:下图,求两个正方形中阴影部分的面积。

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    一句话:此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便(如下图)。

    0173e37bc0617a94f5ac2d10bef23d0a.png

    根据梯形两侧三角形面积相等原理(蝴蝶定理),可用三角形丁的面积替换丙的面积,组成一个大三角ABE, 这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半。

    六、割补法法

    这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决。

    例如:下图,若求阴影部分的面积。

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    一句话:把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。

    七、平移法

    这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。

    八、旋转法

    这种方法是将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积。

    图(1),求阴影部分的面积。

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    一句话:左半图形绕B点逆时针方向旋转180°,使A与C重合,从而构成右图(2)的样子,此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.

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    九、对称添补法

    这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD。弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

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    十、重叠法

    这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。

    例如:下图,求阴影部分的面积。

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    一句话:可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。

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  • 作为临床医生,我只想说好方法就那么一两个,招式多了,一来没法推广,患友哪有那闲工夫跟着折腾,更重要是的,可替代的方法越多,说明就不是最好的方法。因此,我这里所提及是在临床最常提及的...

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    在开贴之前,特意关注过知乎原先的帖子,甚至有关注过抖音里的各种教学,其中不乏一些为了每日走流量的博主,每日更新:“每日一招,告别腰突”,“今天学会这招,远离腰椎病”等等。而且花样百出,基本不重样的,关注点赞的人还不少。作为临床医生,我只想说好方法就那么一两个,招式多了,一来没法推广,患友哪有那闲工夫跟着折腾,更重要是的,可替代的方法越多,说明就不是最好的方法。因此,我这里所提及是在临床中最常提及的方法:五点支撑,以及进阶版的三点支撑。至于小燕飞或是其他核心肌群锻炼的,难度更大,不适合刚接触腰背肌锻炼的人群,后期我会再单独讲解。

    五点支撑或三点支撑是单纯腰背肌锻炼,适合腰椎康复初期,肌肉力量较为薄弱的人群,可用于轻微腰椎间盘突出的保守治疗,以及腰椎术后的康复治疗。对于刚接触腰背肌锻炼,还是讲求一个循序渐进,先从简单的来。

    动作要领:五点支撑 屈膝平躺,以双足、双肘和后肩作为支撑,将腰臀部缓慢抬至最高点,并在最高点维持3到5秒,然后再缓慢放下,一组30次,重复3组,每组间隔1到2分钟。每次锻炼结束后腰部有酸胀感,即达到锻炼效果。当坚持锻炼一段时间后,觉得五点支撑没有难度了(锻炼之后腰不会很酸了),可改为进阶版的三点支撑,即脱离双肘,只用双足和后肩这三个点支撑,重复上述动作。切记,网上有一些三点支撑的示教图片是用头来支撑,这是错误的!当用头进行支撑的时候,颈椎将承受巨大的应力(不单是压力,还有剪切力),这会对脆弱的颈椎造成巨大伤害,并且一般人也无法完成该错误动作。正确的做法是以后肩支撑,避免颈椎受力。

    最后的话:腰背肌锻炼能有效改善轻度腰椎间盘突出的症状,但同时需要积极改正不良的工作生活习惯(以后再详述)。但如果锻炼一段时间后,腰腿痛改善仍不明显,应及时就医,明确病情是否有进展。

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