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  • 五不中概率
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    2021-01-14 08:21:11

    严加安

    今年3月3日《中国科学报》“新知”专栏发表了我的一篇科普文章《概率破玄机,统计解迷离》。本文是该文的续篇。文章通过若干例子,进一步说明概率统计在我们日常生活中的作用。

    “生日悖论”

    n个人中至少有两人生日相同的概率是多少?这是有名的“生日问题”。令人难以置信的是:随机选取的23人中至少两人生日相同的概率居然超过50%,50人中至少两人生日相同的概率居然达到97%!例如,假定一个中学有20个班,每个班平均有50个学生,你可以调查一下,大概有十几个班都有至少两个相同生日的学生。这和人们的直觉是抵触的。因此这一结果被称为“生日悖论”。

    其实,有关概率的计算很简单。首先计算50个人生日都不相同的概率。第一个人的生日有365个可能性,第二个人如果生日与第一个人不同,他的生日有364个可能性,依次类推,直到第50个人的生日与前面49个人都不同,有316个可能性,所以50人生日都不同的可能组合方式就是365乘364乘363一直乘到316,但由于每个人的生日是独立的,总的可能组合是365的50次方,这样一来,50个人生日都不相同的概率就等于两个组合数之比,这个概率非常小,约等于3%,至少两个人生日相同的概率约等于1减去3%,约等于97%,这样概率就计算出来了。

    注意:如果预先选定一个生日,随机选取125人、250人、500人,出现某人生日正好是选定生日的概率分别大约只有30%、50%、75%,比想象的小得多。

    如何理解社会和大自然中出现的奇迹

    从概率论观点看,即使是极小概率的事件,如果重复很多次,会有很大概率发生。假设一事件发生概率为p,重复n次还不发生的概率为(1-p)n,当n足够大,这一概率就很小,从而该事件发生的概率为1-(1-p)n 就变得很大了。

    对单个彩民和单次抽奖来说,中乐透头奖的概率大概是2250万分之一。“纽约乐透”每周三和周六晚间各开奖一次,每年开奖104次,40年间经历约4100次开奖。通常以前中过“纽约乐透”头奖的人还经常买“纽约乐透”彩票,而且每次下的注数都比较大。到2008年,在“纽约乐透”40年中,出现过3次一人中过两次头奖。这一事件发生的概率并不是非常小。

    在河北省著名旅游景点野三坡的蚂蚁岭左侧,断崖边缘有一块直径10米、高4米的“风动石”,此石着地面积不足覆盖面积的1/20,尤其基部接触处只有两个支点。这也算是一个奇迹。大自然中的奇迹是地壳在亿万年的变迁中偶然发生的,但这种奇迹在历史的长河中最终出现是一种必然现象。正如我在《科学诗:随机与概率》中所言:“情境重复催生稀有事件,历史长河沉淀自然奇迹。”

    “竞赛规则”藏玄机

    假定有甲、乙两个乒乓球运动员参加比赛,已知甲的实力强于乙。现有两个备选的竞赛规则:“3局2胜制”,或“5局3胜制”。试问:哪一种竞赛规则对甲有利?

    在“3局2胜制”规则下,只有“甲甲”、“甲乙甲”和“乙甲甲”这三种可能比赛场景导致甲最终获胜。假定单局中甲胜的概率为p,则甲最终获胜的概率为这三种场景的概率之和,等于f(p)=[1+2(1-p)]p2 。同理,在“5局3胜制”规则下,打满三局甲获胜只有“甲甲甲”这一场景;打满四局甲获胜有“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”三种可能场景;打满五局甲获胜有六种可能场景(具体描述留给读者)。因此甲最终获胜的概率为这十种场景的概率之和,等于g(p)=[1+3(1-p)+6(1-p)2]p3。当p>1/2时,容易证明g(p)>f(p)。因此,“5局3胜制”规则对甲有利。

    分组混合血标本检验既省钱又省时

    某医院对一群人进行一项关于艾滋病的抗-HIV1/2检验。如果对每个人的血标本单独检验,既费时,成本又高。如果采用“分组混合血标本检验”,可以节省成本和时间。具体做法如下:假定采集到N个血标本,把每个血标本平分成两份,一份留做备用。另一份平均分成M组,将每组的血标本混合在一起进行一次性检验。如果发现某组检测为阳性,再用该组相关人的备用血标本进行逐个检验,筛查出艾滋病患者。

    问题是:如何根据血标本数量N和患艾滋病的概率p来确定分组数M,或每组的血标本个数k,其中k=N/M(假定k为整数),使得平均检验次数达到最低?令q=1-p,一组血标本检验是阴性的概率为qk,一组血标本检验是阳性的概率为1-qk 。对血检为阳性的组而言,共计需要进行k+1次检验。因此,平均检验总次数为N/k[qk +(k+1)(1- qk )]。由此通过计算机计算可以确定最佳的k。

    “统计平均”的陷阱

    我们曾在《概率破玄机,统计解迷离》一文中举例说明“统计平均”存在陷阱,下面再举一个例子说明这一点。

    假定某大学数学系有教授15人、副教授40人、讲师和助教25人,这三类人的平均年收入分别是15万、12万、8万,该单位职工平均年收入为10万。又假定科学院某研究所有研究员60人、副研究员30人、助研30人,这三类人的平均年收入分别是14万、11万、7万,但该研究所职工平均年收入为11.5万,高出那个系职工平均年收入1.5万。这一例子表明:由于各单位人员构成比例不同,单位职工平均年收入这一指标不能真实反映单位职工的收入状况。

    这一例子给了我们一些启示:有些新闻报道中的统计平均数字没有实际意义。例如,2010年2月国家统计局公布称,2009年我国70个大中城市房价同比上涨1.5%,这与大城市居民的实际感受完全背离,被网友戏称为“房价被拉低”。接受这次教训,国家统计局于2011年2月16日正式宣布,今后将不再发布全国70个城市房价涨幅平均数,理由是“平均数在个体差异较大的情况下,往往会削峰填谷,抹平个体间的差异。”这是一个明智的决定。

    (作者系中国科学院院士、中科院数学与系统科学研究院研究员)

    《中国科学报》 (2012-06-08 B4 作品)

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    一、考点归纳

    二、练习题1写出下列随机试验的样本空间:
    (1)记录某班一次统计学测验的平均分数;
    (2)某人在公路上骑自行车,观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到绿灯的次数;
    (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数。

    解:(1)平均分数是范围在0~100之间的一个连续变量,所以平均分数的样本空间Ω=[0,100]。
    (2)遇到的绿灯次数是从0开始的任意自然数,所以样本空间Ω=N。
    (3)之前生产的产品中可能无次品也可能有任意多个次品,所以样本空间Ω={10,11,12,13,…}。

    2某人花2元钱买彩票,他抽中100元奖的概率是0.1%,抽中10元奖的概率是1%,抽中1元奖的概率是20%,假设各种奖不能同时抽中,试求:
    (1)此人收益的概率分布。
    (2)此人收益的期望值。

    解:(1)设X为此人的收益,抽中100元奖时的收益为100-2=98(元),抽中10元奖时的收益为10-2=8(元),抽中1元奖时赔1元,抽中0元奖时赔2元,则此人收益的概率分布为:
    P(X=98)=0.001
    P(X=8)=0.01
    P(X=-1)=0.2
    P(X=-2)=1-P(X=98)-P(X=8)-P(X=-1)=0.789
    (2)E(X)=98×0.001+8×0.01+(-1)×0.2+(-2)×0.789=1.6

    3设随机变量X的概率密度为:
    f(x)=3x2/θ3,0<x<θ
    (1)已知P(X>1)=7/8,求θ的值。

    (2)求X的期望值与方差。

    解:(1)由P(X>1)=7/8可得:P(X≤1)=1-P(X>1)=1/8,即


    解得:θ=2。所以,随机变量X的概率密度为:f(x)=3x2/8,0<x<2。
    (2)由X的概率密度可得期望值为:



    因此

    4一张考卷上有5道题目,同时每道题列出4个备选答案,其中有一个答案是正确的。某学生凭猜测能答对至少4道题的概率是多少?

    解:设X为答对题的数目。由题意知,答对一道题的概率为1/4。那么X~B(5,1/4),于是答对至少4道题的概率为:

    5设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且已知P{X=1}=P{X=2},求P{X=4}。解:由泊松分布的公式有:
    P(X=1)=λe-λ
    P(X=2)=λ2e-λ/(2!)
    由P{X=1}=P{X=2},解得:λ=2。
    因此P(X=4)=24×e-2÷4!=2/(3e2)。

    6设X~N(3,4),试求:(1)P{|X|>2};(2)P{X>3}。

    解:(1)


    (2)由于N(3,4)关于均值3对称,所以P{X>3}=1/2。

    7一工厂生产的电子管寿命X(以小时计算)服从期望值μ=160的正态分布,若要求P{120<X<200}≥0.08,允许标准差σ最大为多少?

    解:由

    可得:Φ(40/σ)≥0.54,查表得:40/σ≥0.1004,故σ≤398.41。即允许标准差σ最大为398.41。8一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200,400),求:
    (1)出现错误处数不超过230的概率。
    (2)出现错误处数在190~210之间的概率。

    解:(1)出现错误处数不超过230的概率为:


    (2)出现错误处数在190~210之间的概率为:

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  • 分钟了解先验概率和后验概率

    千次阅读 2020-03-15 20:33:20
    分钟了解先验概率和后验概率 本文摘自我的公众号【车子的心智探索】 欢迎关注我! 理解先验概率和后验概率?莫慌,本文可以帮你。 从面积的角度看概率 在说正题之前,咱们从面积的角度认识一下概率。 拿掷骰子...

    五分钟了解先验概率和后验概率

    本文摘自我的公众号【车子的心智探索】
    欢迎关注我!

    在这里插入图片描述

    不理解先验概率和后验概率?莫慌,本文可以帮你。

    从面积的角度看概率

    在说正题之前,咱们从面积的角度认识一下概率。

    拿掷骰子来说,每个点的概率是相等的,因为总概率是 1,所以每个点数的概率是 1/6。我们用格子的大小来表示概率,那么掷骰子的概率图是这样的:

    在这里插入图片描述

    如果把掷出的点数小于等于 4 记作事件 F,问你 P(F) 等于多少,你会说等于 4/6 = 2/3.

    如果用面积图来算呢?把对应点数的面积加起来就可以。

    四个方块的面积之和 = 1/6 * 4 = 2/3

    在这里插入图片描述

    某种可能性消失

    我洗好了 52 张扑克牌摆在你面前,扑克牌背面朝上。如果我问你,最上面这张是黑桃的概率是多少?你肯定会说四分之一。因为扑克牌共有四种花色,每一种花色的可能性都是相等的。

    但是,我趁你不注意的时候偷看了一眼最上面的牌,然后告诉你这张牌是黑色的。这时候我再问你,最上面这张是黑桃的概率是多少?

    因为已经确定花色是黑色,所以红桃或方块的可能性不存在了,只有可能是黑桃或梅花,所以,你推测这张牌是黑桃的概率为二分之一。

    画图解释就是:

    在这里插入图片描述

    从面积角度看,整个过程是这样的:

    在这里插入图片描述

    当得知花色是黑色的时候,表示红桃和方块的两个方形不见了,只剩下黑桃和梅花,因为概率之和总是 1,所以把它们各自的面积向上伸展,直到总和为 1。注意,在伸展的同时要保持黑桃和梅花的面积比例不变,于是结果就是各占 1/2。

    当然,也可以更简单,既然要保持黑桃和梅花的面积比例不变,不妨假设都伸展 k 倍。

    黑 桃 的 面 积 总 面 积 = 1 4 k 1 4 k + 1 4 k = 1 4 1 4 + 1 4 = 1 2 \frac{黑桃的面积}{总面积}=\frac{\frac{1}{4}k}{\frac{1}{4}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} =41k+41k41k=41+4141=21

    又因为总面积为 1,所以黑桃的面积是 1/2.

    好了,进入正题。

    先验概率与后验概率

    看这样一个问题:

    假设某种癌症的患病率为0.1%(0.001)。有一个简易的方法能够检查出是否患病,但是不能百分之百检查出——患上这种癌症的人中有 95%(0.95)的概率被诊断为阳性;另一方面,健康人群也有 2%(0.02)的可能性被误诊为阳性。如果你的检查结果是阳性,请问你实际患上这种癌症的概率为多少?

    这里的患病率就是先验概率。

    如果要在检查前推测自己是否罹患这种癌症,概率图如下。左侧条形的面积是 0.001,右侧矩形的面积是 0.999,分别表示得癌症的概率和健康的概率。

    在这里插入图片描述

    通过流行病学数据可知,这种癌症的罹患率为 0.001。也就是说,1000 人中有 1 人罹患这种癌症。在没有任何个人信息的情况下,你属于图中左侧世界的概率是 0.001,属于右侧世界的概率是 0.999。

    按照题目信息,可以制作一个表格。

    在这里插入图片描述

    先看癌症患者这行,在患癌症的情况下,检查结果呈阳性的概率为 0.95。也就是说,如果你真得了癌症,能检查出来的概率为 95%。还有 5% 的概率查不出来。

    再看健康者这行,如果你是健康人,那么误诊为阳性的概率为 2%,准确诊断为阴性的概率是 98%。

    所以,检查存在着误诊的风险。所谓的风险包含以下两种情况:

    1. 身患癌症,却诊断没有患病
    2. 健康,却误诊为患病

    在前面那张图的基础上,我们可以根据阳性率和阴性率继续分割。

    左侧是患癌症这一类别,把这个条形按照面积之比 0.95:0.05 来分割 ,那么患癌呈阳性的概率是 0.001*0.95;同理,可以算出其他三部分的概率(面积)。

    在这里插入图片描述

    当你做完检查,肯定属于以下四种可能性中的一种:

    1. 患癌并呈现阳性(左上区域)
    2. 患癌并呈现阴性(左下区域)
    3. 健康并呈现阳性(右上区域)
    4. 健康并呈现阴性(右下区域)

    再回到原题,你的检查结果呈阳性,于是之前的 4 种情况就变成 2 种了。

    在这里插入图片描述

    同前面扑克牌问题的计算方法类似,你患癌症的概率是 0.095% ÷ (0.095% + 1.998%)= 0.045(保留三位小数)。

    从这个结果可知,在得知阳性这一检查结果的情况下,你罹患这种癌症的概率约为 4.5% ,这便是后验概率。

    频率树的方法

    还有一种方法值得介绍,就是频率树。假设总人口是 10 万人,根据各种情况,最后可以生成一棵树。

    在这里插入图片描述
    是不是这种方法更直观呢?

    -----【End】-----

    参考资料
    小岛宽之.(2018).统计学关我什么事:生活中的极简统计学.北京时代华文书局.

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  • PDF:概率密度函数(probability density function), 在数学,连续型随机变量的概率密度函数(在至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。...

    ###一. 概念解释

    PDF:概率密度函数(probability density function), 在数学中,连续型随机变量的概率密度函数(在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

    PMF : 概率质量函数(probability mass function), 在概率论中,概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。

    CDF : 累积分布函数 (cumulative distribution function),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。
    ###二. 数学表示

    PDF:如果XX是连续型随机变量,定义概率密度函数为 f X ( x ) f_X(x) fX(x),用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率,即

    Pr ⁡ ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f X ( x ) d x \Pr\left(a \leq X \leq b\right) =\int_{a}^{b} f_X(x) dx Pr(aXb)=abfX(x)dx
    PMF:如果XX离散型随机变量,定义概率质量函数为 f X ( x ) f_X(x) fX(x),PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即
    f X ( x ) = Pr ⁡ ( X = x ) f_X(x)=\Pr\left( X=x \right) fX(x)=Pr(X=x)
    比如对于掷一枚均匀硬币,如果正面令KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: \text{XKaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 1: }̲=1,如果反面令 X = 0 X=0 X=0,那么它的PMF就是
    f X ( x ) = { 1 2  if  x ∈ { 0 , 1 } 0  if  x ∉ { 0 , 1 } f_X\left( x \right) =\begin{cases} &\frac{1}{2} \text{ if } x\in\left \{ 0,1 \right \} \\ & 0\text{ if } x\notin\left \{ 0,1 \right \}\end{cases} fX(x)={21 if x{0,1}0 if x/{0,1}
    CDF:不管是什么类型(连续/离散/其他)的随机变量,都可以定义它的累积分布函数,有时简称为分布函数。

    对于连续型随机变量,显然有
    F X ( x ) = Pr ⁡ ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x f X ( t ) d t F_X\left( x \right) =\Pr\left( X\leq x \right) =\int_{-\infty}^{x}f_X(t)dt FX(x)=Pr(Xx)=xfX(t)dt
    那么CDF就是PDF的积分,PDF就是CDF的导数。
    对于离散型随机变量,其CDF是分段函数,比如举例中的掷硬币随机变量,它的CDF为
    F X ( x ) = Pr ⁡ ( X ≤ x ) = { 0  if  x < 0 1 2  if  0 ≤ x < 1 1  if  x ≥ 1 F_X\left( x \right) =\Pr\left ( X\leq x \right )=\begin{cases}& 0\text{ if } x<0 \\ & \frac{1}{2}\text{ if } 0\leq x< 1 \\& 1\text{ if }x\geq 1\end{cases} FX(x)=Pr(Xx)=0 if x<021 if 0x<11 if x1
    ###三.概念分析

    根据上述,我们能得到一下结论:

    1)PDF是连续变量特有的,PMF是离散随机变量特有的;
     2)PDF的取值本身不是概率,它是一种趋势(密度)只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率,也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的;
     3)PMF的取值本身代表该值的概率。

    ###四.分布函数的意义

    我们从两点来分析分布函数的意义:
      
      1.为什么需要分布函数?

    对于离散型随机变量,可以直接用分布律来描述其统计规律性,而对于非离散型的随机变量,如连续型随机变量,因为我们无法一一列举出随机变量的所有可能取值,所以它的概率分布不能像随机变量那样进行描述,于是引入PDF,用积分来求随机变量落入某个区间的概率。分布律不能描述连续型随机变量,密度函数不能描述离散随机变量,因此需要找到一个统一方式描述随机变量统计规律,这就有了分布函数。另外,在现实生活中,有时候人们感兴趣的是随机变量落入某个范围内的概率是多少,如掷骰子的数小于3点的获胜,那么考虑随机变量落入某个区间的概率就变得有现实意义了,因此引入分布函数很有必要。
      2. 分布函数的意义

    分布函数F(x)F(x)在点xx处的函数值表示XX落在区间(−∞,x](−∞,x]内的概率,所以分布函数就是定义域为RR的一个普通函数,因此我们可以把概率问题转化为函数问题,从而可以利用普通的函数知识来研究概率问题,增大了概率的研究范围。
      


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    ### 五:深度理解参考文献

    http://www.dataguru.cn/thread-150756-1-1.html
      https://www.zhihu.com/question/23022012
      https://www.zhihu.com/question/36853661
      https://www.zhihu.com/question/21911186
      http://wenku.baidu.com/view/823a0bb9f111f18582d05a14.html

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  • 游戏观察1月25日消息,网络游戏设置各种抽卡设计已经成为了一种常态,这样的玩法设计可以吸引玩家加入和消费。但是这里有一个概率设计的问题始终困扰游戏设计者,尤其是保底概率的设置。下面我们就来简单说说抽卡...
  • 机器学习()-概率

    千次阅读 2018-10-04 13:00:02
    2、概率无向图模型: 3、团与最大团 4、HMM解决的三个问题 5、三种问题的概率计算方法 (1)概率计算问题(前向-后向算法): (2)学习算法(Baum-Welch): (3)预测算法(维比特算法): 条件随机场(CRF...
  • 可以用它来理解条件概率、先后验概率、全概率公式和贝叶斯公式,非常划算。 大概是一个这样的问题:有一个信号的发射端和接收端。发射端只发射A、B两种信号,其中发射信号A的概率为0.6,发射信号B的概率为0.4。当...
  • 概率中C62怎么算(6是下标,2标...概率中C62怎么算(6是下标,2标在上面)C62=6x5/2x1=15数学概率统计中C(m,n),其中m是上标,n是下标,怎么计算?=[n*(n-1)*(n-2)......(n-m+1)]除以m的阶乘概率问题 怎么计算 C(下标1...
  • 四、贝叶斯网络 原文:Bayesian ... 建立一个好的模型并容易:我们在介绍看到,垃圾邮件分类的朴素模型需要我们指定一些参数,这些参数对于英文单词数量是指数级的! 在本章中,我们将了解避免这类复...
  • 首先引出的是大家比较好理解的概率,我们日常生活概率——传统概率:传统概率:传统概率又叫拉普拉斯概率,传统概率在实践被广泛应用于确定事件的概率值,其理论根据是:如果没有足够的论据来证...
  • 常见概率

    万次阅读 2020-03-18 20:38:05
    从n个数生成m个重复的随机数 import random for i in range(n): x = random.randint(i, n) if x < m: print(i) m -= 1 由这个for循环循环n次,且在满足条件时才输出i,可知,输出m个不同值的要求已满足...
  • 深入学习机器学习、分布式算法才发现概率与统计,线代都很重要,下面我简单串一下如题目所示的知识 第一步: P(A|B)是在条件B发生的情况下A发生的概率,P...P(AB)等于图的A交B的部分,而P(A|B)等于A交B的面积与B...
  • 游戏抽卡概率模型

    千次阅读 多人点赞 2020-11-22 13:36:29
    游戏抽卡概率模型 目前的中国游戏市场,最热门的莫过于免费抽卡手游。游戏厂商为了盈利,设计出有不同规则的卡池,让玩家抽卡获取稀有的人物和武器。这一机制吸引了很多玩家,首先因为手游是免费的,入手门槛较低,...

空空如也

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五不中概率