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  • 梯度向量梯度下降法极值

    千次阅读 2013-01-17 22:33:07
    梯度的模是在某个自变量变化为1时,应变量变化的量,如果是z=f(x,y),x偏导,y偏导,则梯度为:。例如的导数是2x,那么其意思是对应于应变量的变化情况,例如,对应x=0,对应的导数为0,联想图像,这点是...
           梯度是一个向量,一个方向,一维情况下是一维向量,二维情况下是二维向量。梯度的模是在某个自变量变化为1时,应变量变化的量,如果是求z=f(x,y),对x求偏导,对y求偏导,则梯度为:。例如的导数是2x,那么其意思是对应于应变量的变化情况,例如,对应x=0,对应的导数为0,联想图像,这点是没有增长的。如果x=1,那么导数对应2,即在x=1这点,当变化量为+1(相比这点增加1)时,应变量变化2。这里导数描述的是是变化率,导数为正,则变化1,对应增长,否则衰减。利用梯度下降法求函数的极小值是一种数值求解最优化问题的方法,对应利用梯度求最小值得问题,我理解的是假设原目标存存在最小的极值,梯度
    

    ,即对应某点的变化是方向中,指向变化最剧烈的方向,因为求极小值,则该方向对应导数为正,则反方向为极小值的方向,在penny梁斌的博客中,可以

    看到梯度下降法的具体介绍,还有BP算法解神经网络。

            当时看BP这篇的时候开始有点懵,理解上面的梯度就好理解了,在那个例子中,我们要求解的是各个神经元之间的参数w,在算导数是自然是对w求偏导。


    参考:BP算法浅谈 penny梁斌

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  • 向量梯度的关系

    千次阅读 2013-05-02 14:28:27
    简单的来说切向量梯度都是导数,但是要看的是导数。举个例子: y=x^2吧,简单点的。 在点(a,b)处的切向量。 此时需要写成参数式x=x 并且 y=x^2,分别x导数得到(1, 2x)把(a,b)带入即可。 ...

    之前一直错误的认为了切向量就是梯度,由于最近在看拉格朗日的方法,正好遇到这个问题,结果搞清楚了切向量和梯度的关系。

    简单的来说切向量和梯度都是求导数,但是要看的是对谁求导数。举个例子:

    y=x^2吧,简单点的。

    求在点(a,b)处的切向量。

    此时需要写成参数式x=x 并且 y=x^2,分别对x求导数得到(1, 2x)把(a,b)带入即可。


    求点(a,b)处的梯度。

    此时需要写成f(x,y)=x^2-y,分别对x和y求偏导得到(2x, -1)。


    此时明白了梯度和切向量不是一样的,并且还是垂直的,由于和切向量垂直的只有法向量,所以梯度就是法向量。。也许和法向量最大的不同只是方向不一样吧。。

    看一下下面这附图的效果,分别示意出来了切向量和梯度在点(1,1)处



    有一个问题需要明白的是:

    在很多梯度下降的方法中我们看到的只是给出的一个曲线,就是求得偏导,我们总是认为这个是切线方向,其实我们只是把梯度中的一个分量来做了,这个时候这个分量的确是在x处的切线方向,但是梯度最终求得是N个分量所共同决定的向量。这个最终共同决定的向量是和切线垂直的。

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  • 神经网络最优化过程中,会涉及到损失函数求梯度问题,损失函数的变量为矩阵,输出值为实数。 需要理解函数关于矩阵的导数 前提 梯度求解的前提是函数fff返回的是一个实数,如果函数返回的是一个矩阵或者向量,那么...

    简介

    神经网络最优化过程中,会涉及到对损失函数求梯度问题,损失函数的变量为矩阵,输出值为实数。
    需要理解函数关于矩阵的导数

    前提

    梯度求解的前提是函数ff返回的是一个实数,如果函数返回的是一个矩阵或者向量,那么我们是没有办法求梯度的。
    但是求解出来的梯度是矩阵或者向量形式

    求梯度矩阵

    在这里插入图片描述

    海塞矩阵

    在这里插入图片描述

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  • 向量化实现反向传播的话,求梯度时就要涉及到矩阵的求导,学校里根本没有学习过这个概念,所以在学习cs31n时,反向传播求梯度时的代码很是疑惑,不理解矩阵为什么需要进行转置。查看matrix cookbook这本书也没有...

    实现神经网络功能时,为了计算效率考虑,可以通过向量化的方式实现。向量化实现反向传播的话,求梯度时就要涉及到矩阵的求导,学校里根本没有学习过这个概念,所以在学习cs31n时,对反向传播求梯度时的代码很是疑惑,不理解矩阵为什么需要进行转置。查看matrix cookbook这本书也没有解决我的疑惑。后来发现了闲话矩阵求导这里对矩阵求导的解释说明,通过维度分析来理解矩阵求导的过程,大概理解了反向传播求梯度的代码实现,记录一下自己的理解。

     1. 前向传播

    神经网络前向传播的公式:

          

     

     

    计算中使用向量化表示数据,每一个变量的维度信息:

         

     

     变量说明:

      X 所有数据构成的矩阵,N为样本总数,D为每一个样本的维度;

           W 所有权重工程的参数矩阵,D为每一个样本的维度,M为输出节点的总数;

      b 为偏置矩阵

           Y 为输出      

    2. 反向传播

    利用反向传播算法更新参数时,涉及到的参数梯度的求解,需要求解的变量有dW, dX, db。

    假设损失函数为L, 是一个标量。

    2.1 dX的分析

    根据导数的链式法则,dX的梯度可以表示成下面的形式:

    维度分析:

    dX的维度要和X保持一致  

    的维度要和Y保持一致,并且标量对矩阵求偏导,矩阵的维度不变

     

    应该和W有关,但是至于维度是多少需要根据矩阵乘法进行分析:

    (1)dX的维度为N*D, 的维度为N*M,根据这两个变量的维度,以及上面dX的公式,

    可以分析出的维度;

     ( 2)dX公式用维度信息可以表示成这样:    

    根据矩阵相乘的分析,我们可以得到 的维度应该是   M*D  ,由于是和W相关的,W的维度是D*M,

    所以我们可以得出结论   的结果是权重矩阵W的转置。所以

    2.2 dW的分析

    了解了2.1中dX的分析过程,dW的结果就不难理解了。

    dW的公式表示:


     

    应该和X有关,但是至于维度是多少需要根据矩阵乘法进行分析:

     

    dW公式用维度信息可以表示成这样:  

     根据矩阵相乘的分析,我们可以得到 的维度应该是   D*N  ,由于是和X相关的,X的维度是N*D,

    所以我们可以得出结论   的结果是样本矩阵X的转置。所以

    2.3 db的分析

    db的公式表示:

    根据矩阵乘法分析:

    所以:

    参考:  

    闲话矩阵求导

    2 cs231n面向视觉识别的CNN

    [cs231n][7]Layers的forward&backward

    转载于:https://www.cnblogs.com/objectDetect/p/5849605.html

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  • 梯度

    千次阅读 2018-01-28 22:35:31
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  • 浅谈对梯度下降法的理解

    万次阅读 多人点赞 2016-08-19 14:04:11
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