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  • 在某些几何软件的开发中,会要求写出一个向量方程的微分公式。我而言,手工推导繁琐而且容易出错。 早就听说Mathematica, Maple这样的软件可以自动进行符号公式的推导,一直没有时间研究。最近终于应用了一把,...

    在某些几何软件的开发中,会要求写出一个向量方程的微分公式。对我而言,手工推导繁琐而且容易出错。

    早就听说Mathematica, Maple这样的软件可以自动进行符号公式的推导,一直没有时间研究。最近终于应用了一把,发现还是挺简单的。现以求一个“点到直线距离”的方程微分为例,展示一下怎么样用Maple推导向量方程的微分。

     

    首先看一下我们的问题:求一个“点到直线距离”方程关于点的x坐标的微分。

    空间一直线由一点S和一个单位向量V表示,空间一点由P表示。所以点到直线的距离可用如下图中的向量方程表示。

    image

    我们要推导的是d关于P的x坐标变量的微分,即

    image 

     

    下面看看在Maple里面怎么进行推导。

    首先在Maple主窗口里敲入with(VectorCalculus):,载入向量微分的库函数。

    然后运行BasisFormat(false):,使向量以列向量的方式显示。

    然后分别定义P,S,Q,V。例如 P:=<Px,Py,Pz>

    image

     

     

    再键入距离d的方程,用命令Del(d,[Px])就可以求出d关于Px的微分了:

    image

    至此,我们已经利用Maple推导出了想要的微分公式。

     

    美中不足的是,这个公式是完全的展开形式,非常复杂。我们需要手工的运行如下命令,用计算的中间结果对结果表达式进行化简。

    image

    把这个公式用Word的公式编辑器写出来,就是:

    image

    其中

    image

     

     

     

    后记:我在Maple中进行结果表达式化简时,必须额外引入一些变量如F和DotPV,而不能使用原来的d和DotProduct(P,V)。这是我觉得不爽的地方。希望Maple高手能够留言指教。

    转载于:https://www.cnblogs.com/kaige/p/maple_deduce_vector_function_derivative.html

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    线性代数导论 - #12 向量空间的衍生:矩阵空间、微分方程的解、图

    • 凡是可以进行加法和数乘运算的对象,我们都可以将其视为向量。
    • 凡是对加法和数乘封闭的集合,我们都可以将其视为空间。
    • 分析空间时,我们着眼于其维度和基。

    矩阵空间:把矩阵视为向量

    矩阵空间的维度与基

    一般地,空间内(即符合某些数量关系)的某个矩阵中独立的元素的个数等于该矩阵空间的维度。

    找独立元素时可将所有元素都设为元,利用数量关系进行消元至元数最少。

    e.g.

    • dim (All 3*3 Matrices) = 9
    • dim (All 3*3 Symmetric Matrices) = 6
    • dim (All 3*3 Upper Matrices) = 6
    • dim (All A that A is a 2*3 matrix, v= \(\left[ \begin{matrix} 2\\1\\1 \end{matrix} \right]\) and Av=0) = 4

    找出独立元素后,我们将其数量关系体现在基中(拆分线性组合至单元相加,提出元将其变为常数\(C\)),其余的元素不妨效仿Gauss消元法置为0。

    e.g.

    The basis of … is

    • All 3*3 Matrices: \(C_1\)\(\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right]\) + … +\(C_9\)\(\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \right]\)
    • All A: \(C_1\)\(\left[ \begin{matrix} 1&0&-2\\0&0&0 \end{matrix} \right]\) + \(C_2\)\(\left[ \begin{matrix} 0&-1&1\\0&0&0 \end{matrix} \right]\) + \(C_3\)\(\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\1&0&-2 \end{matrix} \right]\) + \(C_4\)\(\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\0&-1&1 \end{matrix} \right]\)

    矩阵空间的交集与“合集”

    dim A + dim B = dim (A ∩ B) + dim (A + B)

    A + B 中的 + 定义为:从A、B所含向量中各自任取一个向量相加。

    Q: 为什么不是 A ∪ B ?

    A: A ∪ B 中所有的矩阵不能构成空间,而A + B 可以。

    秩1矩阵:rank = 1 的矩阵A

    特性

    1. 行(列)向量之间呈倍数关系
    2. A = UV,其中U为任一列向量,V为任一行向量

    用途

    大矩阵可以分解为秩1矩阵。具体分解方法将在以后的内容中介绍。

    微分方程的解:把函数视为向量

    e.g. $\dfrac{d^2 y}{d x^2} + y = 0 $

    易得: \(y_1=cosx\), \(y_2 = sinx\)

    \(y_1\)\(y_2\) 可以视作基,维数为2(原因未知)

    那么解空间可以表示为: \(y=C_1cosx + C_2sinx\)

    这也恰是特解、通解。

    图:

    图的概念

    Graph = { Nodes, Edges }

    Small World Graph

    图的两个任意节点之间最远的距离是多少?将在以后的内容中解答。

    转载于:https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8453972.html

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  • 本章内容:介绍梯度,散度,旋度的含义讲梯度,散度,旋度之前我们先说点其他的一、场我们首先选定一个区域进行分析,这个区域可以是一个空间,... 回到我们本来的目的,整个区域进行分析,那这个区域是由很多点构...

    本章内容:

    介绍梯度,散度,旋度的含义

    讲梯度,散度,旋度之前我们先说点其他的

    一、场

    f226e63808cd2b7f9c424a9486e6ec41.png

    我们首先选定一个区域进行分析,这个区域可以是一个空间,也可以是一个实际存在的物体。比如上图我们选了一个圆柱,那么在这区域中任意一点,我们都可以用一个物理量去描述它的某一状态,比如我可以用温度描述这一点的温度状态,那么同样,其他所有点也都有一个温度与之对应。

    回到我们本来的目的,对整个区域进行分析,那这个区域是由很多点构成的,描述区域所有点的某一状态我们就称之为。比如说区域中每一点温度的状态,那么我们就可以说这个区域的温度场是什么。所以说,场其实不是一种空间的概念,而是整体的物理量表示,不同场就是不同物理量表示,而空间(区域)是固定的。

    场可以分为三种:数量场,比如温度场,密度场;向量场,比如重力场,速度场;张量场:应力场,变形速率场。

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    速度场,表示该区域速度分布。箭头代表方向,长度代表大小

    由于我们常常是用函数来表现出一点的状态,这个函数可以是标量,也可以是向量,比如

    那么我们其实可以把场看作是定义在某空间的函数

    接下来我们介绍梯度

    二、梯度(gradient)

    2.1 梯度的概念

    2.2 梯度的物理意义

    它的物理意义是表示空间中某一点的陡峭程度,包含方向和大小,是该点处方向导数的最大值,它是一个向量。

    (转)如何理解方向导数和梯度www.matongxue.com

    那么表示一个空间(区域)中所有点的陡峭程度的场就是梯度场。

    2.3 梯度算子

    引入一个梯度算子符号:

    这个符号叫做nabla

    显然

    是一个数量场,所以梯度算子是从数量场→向量场。

    2.4 梯度的性质

    (1)首先梯度是线性算子。若

    是数量函数,则

    (2)若

    ,则

    的全微分等于这两个向量的内积,过程如下:

    (3)若

    ,

    推导如下:

    三、散度

    3.1 散度(divergence)的概念

    为空间区域V上的向量函数,对V上每一点
    ,定义数量函数

    称其为A在

    处的散度,记作

    可以写成这个形式:梯度算子与向量的内积

    3.2散度的物理意义

    空间中某一点的发散程度,只有大小,没有方向

    比如空间中有一点温度热源,那么它向外发散热,该空间就构成了一个向量场,该空间的任意一点都有向量经过,那么描述经过该点的向量多少就是散度,这个空间所有向量的发散程度构成了散度场,散度场大于0,表示是整体向外发散的,比如正电荷,小于0,表示是整体向内集中的,比如负电荷。等于0表示进来的和出去的是等同的,比如管道中的一部分。

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    散度是向量场→数量场

    3.3 散度的计算

    由Gauss公式可以写成如下向量形式:

    bb834dcd496696effbe37d0bee7df76c.png

    在V中任取一点

    ,对上式左边应用中值定理

    3037ba9b566578379bd14cbb2217fc55.png

    因此,可以用如下极限定义一点

    的散度

    98852df6b6281bb5e039cbd6c55f3253.png

    分子的物理意义是:流速为A的不可压缩流体,经过封闭曲面S的流量。分子代表体积。那么我们从另一个方向思考:其实散度就是流量密度。

    若散度大于0说明有流体流出该点,称该点为源。相反,则表明流体在该点处被吸收,等于0则称

    为无源场

    3.4 散度的基本性质

    (1)若u,v是向量函数,则

    (2)若

    是数量函数,
    F是向量函数,则

    (3)若

    是一数量函数,则

    四、旋度

    4.1 旋度的概念

    为空间区域V上的向量函数,对
    上每一点
    ,定义向量函数

    称为向量函数A

    处的旋度,记作

    也可以写出:

    4.2 旋度的物理意义

    在向量场中,通过某点邻域内的环流向量,可以计算出该点的旋度,包括方向(根据右手定则)和大小

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  • 矩阵微分

    2014-03-18 15:42:24
    矩阵微分(Matrix Differential) ...矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵...本文将各种形式下的矩阵微分进行详细的推导。 1. 符号说明 d(y)/d(x) 是一个列向量,其中的元素 (i) 为 d(yi)/d(x) d(y)/d
    矩阵微分(Matrix
     Differential)
    

    矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵求导(Matrix Derivative),在机器学习、图像处理、最优化等领域的公式推导过程中经常用到。本文将对各种形式下的矩阵微分进行详细的推导。

    1. 符号说明

    d(y)/d(x) 是一个列向量,其中的元素 (i) 为 d(yi)/d(x)
    d(y)/d(x) 是一个列向量,其中的元素 (i) 为 d(y)/d(xi)
    d(yT)/d(x) 是一个矩阵,其中的元素 (i,j) 为 d(yj)/d(xi)
    d(Y)/d(x) 是一个矩阵,其中的元素 (i,j) 为 d(Yi,j)/d(x)
    d(y)/d(X) 是一个矩阵,其中的元素 (i,j) 为 d(y)/d(Xi,j)
    接下来的微分计算中,假定ABC是常矩阵与X无关,YZX相关。

    2. 一次函数的微分(Linear Products)

    首先介绍一个重要的性质(类似于函数的求导): d(YZ)/d(x)=Y*d(Z)/d(x)+d(Y)/d(x)*Z,注意到分母中的x是标量(Scalar)。在微分中分母是向量的情况下,个人经验是:若d(行向量)/d(列向量)或者d(列向量)/d(行向量),则也适合这个公式,如下面的前两个公式。

    • d(xTA)/d(x) = A 
      推导过程:d(xTA)/d(x) = A*d(xT)/d(x)+xT*d(A)/d(x) = A*I+0 = A。若A为向量a也适用。
    • d(Ax)/d(xT) = A推导过程:d(Ax)/d(xT) = [d(xTAT)/d(x)]T = (AT)T = A
    • d(aTXb)/d(X) = abT首先求出aTXb = aTX:,1b1 + aTX:,2b2 + ... + aTX:,nbn,这是一个实数,所以对应的Xi,j的系数构成的矩阵就为微分结果,易得abT。若ab为矩阵AB公式也适用。
    • d(aTXTb)/d(X) = baT计算过程同上,若ab为矩阵AB公式也适用。

    注意,有些书上有这些公式:d(xA)/d(x)=A; d(Ax)/d(x)=AT。考虑到x为列向量,则Ax也为列向量,列向量对列向量的求导按照《矩阵论》中的公式,结果会是一个列向量而不是公式中的AT。这些特殊的情况就让数学家去钻研吧,应用研究很少遇到。

    3. 二次函数的微分(Quadratic Products)

    下面的讨论主要针对分子为二次的情况,分母还是向量或者矩阵。分母为高阶的情况较少,典型的例子有Hessian矩阵,在文章最后会介绍。

    • d(xTAx)/d(x) = (A+AT)x在SVM求对偶的过程中有这一步求导。用展开的方式可以很快求得。若A为对称阵,则d(xTAx)/d(x) = 2Ax
    • d[(Ax+b)TC(Dx+e)]/d(x) = ATC(Dx+e) + DTCT(Ax+b)这是该形式最为通用的公式。
    • d(aTXTXb)/d(X) = X(abT + baT)
      • 特殊情况:d(aTXTXa)/d(X) = 2XaaT
    • d(aTXTCXb)/d(X) = CTXabT + CXbaT
      • d(aTXTCXa)/d(X) = (C + CT)XaaT
      • d(aTXTCXa)/d(X) 2CXaaT,若C对称。
    • d[(Xa+b)TC(Xa+b)]/d(X) = (C+CT)(Xa+b)aT

    4. 矩阵的迹的微分(Trace)

    在矩阵的迹tr()中的矩阵必须为方阵。设有N阶矩阵A,那么矩阵的迹tr(A)就等于A的特征值的总和,也为A矩阵的主对角线元素的总和,tr(AB)=tr(BA)。

    • d(tr(X))/d(X) = I
    • d(tr(Xk))/d(X) =k(Xk-1)T
    • d[tr(ATXBT)]/d(X) = d[tr(BXTA)]/d(X) = AB
      • d[tr(XAT)]/d(X) = d[tr(ATX)]/d(X) =d[tr(XTA)]/d(X) = d[tr(AXT)]/d(X= A
    • d[tr(AXBXT)]/d(X) = ATXBT + AXB
      • d[tr(XAXT)]/d(X) = X(A+AT)
      • d[tr(XTAX)]/d(X) = XT(A+AT)
      • d[tr(AXTX)]/d(X) = (A+AT)X
    • d[tr(AXBX)]/d(X) = ATXTBT + BTXTAT

    5. 雅可比矩阵(Jacobian)

    雅可比矩阵也可以看做是向量对向量的求导而得到的,如果y=f(x),则对应的雅可比矩阵J=d(y)/d(xT)。

    Jacobian

    6. 海森矩阵(Hessian matrix)

    如果y=f(x),则d[d(f)/d(x)]/d(x)是海森矩阵。在最优化中海森矩阵有诸多用途,如求最大值,最小值,鞍点等。

    • d2(Ax+b)TC(Dx+e)/d(X2)= ATCD + DTCTA

    Hessian

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  • 矩阵微分求导

    2020-09-11 11:20:34
    目标为分子为列向量,分母为行向量进行求导和排布,核心为按照分子的形状进行总排布。由于默认dy/dx中,y和x都是列向量,后续的子步骤中y不需要转置,x必须转置。 操作步骤入下: 1.如果y是向量或者矩阵,先y作...
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  • 线性代数之七:矩阵的微分

    千次阅读 2017-12-23 08:52:48
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空空如也

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对向量进行微分