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  • 矩阵和向量微分求导方法,编程的数学工具,十分有用。
  • 矩阵向量微分求导.zip

    2020-07-15 13:09:14
    包含了矩阵矩阵求导,矩阵对向量求导,向量微分向量的导数等,多种矩阵、向量的微积分公式和讲解。内容包括: Vector/Matrix Derivatives and Integrals; Vector differentiation; Matrix differentiation; ...
  • 向量微分公式

    千次阅读 2019-07-07 22:36:47
    文章目录含参矩阵函数的微分函数对向量微分 机器学习或优化领域经常有对向量微分,这里补一下相关公式. 含参矩阵函数的微分 ddteAt=AeAt=eAtA;\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\bm{A}t}=\bm{A}e^{\bm{A}t}=e^...


    机器学习或优化领域经常有对向量的微分,这里补一下相关公式.

    含参矩阵函数的微分

    1. d d t e A t = A e A t = e A t A ; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\bm{A}t}=\bm{A}e^{\bm{A}t}=e^{\bm{A}t}\bm{A}; dtdeAt=AeAt=eAtA;
    2. d d t cos ⁡ A t = − A ( sin ⁡ A t ) = − ( sin ⁡ A t ) A ; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos\bm{A}t=-\bm{A}(\sin\bm{A}t)=-(\sin\bm{A}t)\bm{A}; dtdcosAt=A(sinAt)=(sinAt)A;
    3. d d t sin ⁡ A t = A ( cos ⁡ A t ) = ( cos ⁡ A t ) A . \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sin\bm{A}t=\bm{A}(\cos\bm{A}t)=(\cos\bm{A}t)\bm{A}. dtdsinAt=A(cosAt)=(cosAt)A.

    函数对向量的微分

    运算法则:

    1. 线性法则: ∇ x ( a f ( x ) + b g ( x ) ) = a ∇ x f ( x ) + b ∇ x g ( x ) , a , b ∈ R ; \nabla_\bm x(af(\bm x)+bg(\bm x))=a\nabla_\bm xf(\bm x)+b\nabla_\bm xg(\bm x),a,b\in \mathbb R; x(af(x)+bg(x))=axf(x)+bxg(x),a,bR;
    2. 乘积法则: ∇ x ( f ( x ) g ( x ) ) = ∇ x f ( x ) g ( x ) + f ( x ) ∇ x g ( x ) ; \nabla_\bm x (f(\bm x)g(\bm x))=\nabla_\bm x f(\bm x)g(\bm x) + f(\bm x)\nabla_\bm x g(\bm x); x(f(x)g(x))=xf(x)g(x)+f(x)xg(x);
    3. 链式法则: ∇ x ( f ( y ( x ) ) ) = ∇ x [ y ( x ) ] ⊤ ∇ y f ( y ) . \nabla_\bm x(f(y(\bm x)))=\nabla_\bm x[y(\bm x)]^\top\nabla_\bm yf(\bm y). x(f(y(x)))=x[y(x)]yf(y).

    常用公式

    其中的 A 、 b \bm{A}、\bm b Ab分别是与 x \bm x x无关的常矩阵和常向量.

    f ( x ) f(\bm x) f(x) ∇ x f ( x ) \nabla_\bm x f(\bm x) xf(x)
    a x a\bm x ax a a a
    b ⊤ x 或 x ⊤ b \bm b^\top\bm x或\bm x^\top \bm b bxxb b \bm b b
    x ⊤ x 或 ∥ x ∥ 2 2 \bm x^\top\bm x或\|\bm x\|_2^2 xxx22 2 x 2\bm x 2x
    e − 1 2 x ⊤ A x e^{-\frac{1}{2}\bm x^\top\bm{A}\bm x} e21xAx e − 1 2 x ⊤ A x A x e^{-\frac{1}{2}\bm x^\top\bm{A}\bm x}\bm A\bm x e21xAxAx
    b ⊤ A x \bm b^\top\bm A\bm x bAx A ⊤ b \bm A^\top\bm b Ab
    x ⊤ A b \bm x^\top\bm A\bm b xAb A b \bm {Ab} Ab
    x ⊤ A x \bm x^\top\bm{Ax} xAx ( A + A ⊤ ) x (\bm{A+A}^\top)\bm x (A+A)x
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  • 讨论向量积分微分方程x″=f(t,Tx,x,x′)周期解的存在唯一性,其中T为Volterra型积分算子,并讨论了高阶方程和含多个积分算子的二阶方程的周期解.
  • 曲面上向量微分运算理性重构与经典表述的逻辑证伪,杨本洛,,本文从一切有意义数学表述必须遵循的“逻辑自洽性”原则出发,指出“不变性”微分算子必须和必然蕴含的“客观性”基础,重新为2�
  • 矩阵论:向量求导/微分和矩阵微分

    万次阅读 多人点赞 2017-04-03 16:51:05
    著名的matrix cookbook为广大的研究者们提供了一本大字典,里面有着各种简单到复杂矩阵和向量的求导法则。 布局(Layout) 矩阵求导有两种布局,分子布局(numerator layout)和分母布局(denominator layout)。 ...

    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/68961388

    复杂的矩阵函数求导。著名的matrix cookbook为广大的研究者们提供了一本大字典,里面有着各种简单到复杂矩阵和向量的求导法则。

     

    布局(Layout)

    矩阵求导有两种布局,分子布局(numerator layout)和分母布局(denominator layout)。

    为了阐明这两种布局的区别,我们先来看最简单的求导规则。

    首先是向量 y对标量 x求导,我们假定所有的向量都是列向量,

    在分子布局下,

    而在分母布局下,

     

    你可以随时在两种布局间进行转换,只要你自己不犯迷糊。

    向量求导规则

    基本的求导规则

    标量函数关于向量的导数

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  • 研究非线性三阶向量微分方程的奇摄动边值问题.在一定的条件下,转变所给方程为角化系统,然后去求解等价的积分方程,再用逐步逼近法和不动点原理,证得摄动问题解的存在并给出渐近估计.最后,给出了若干应用...
  • 矩阵、向量微分计算

    万次阅读 多人点赞 2015-11-06 14:19:25
    梯度(Gradient)[标量向量微分] 设f(x)f(x)是一个变量为xx的标量函数,其中x=(x1...xN)Tx=(x_1...x_N)^T。那么定义f(x)f(x)xx的梯度为df(x)dx\frac{d f(x)}{d x}: 梯度的转置是一个行向量: 定义2...

    定义1. 梯度(Gradient)[标量对列向量微分]
    f(x) 是一个变量为 x 的标量函数,其中x=x1...xNT。那么定义 f(x) x 的梯度为df(x)dx
    这里写图片描述
    梯度的转置是一个行向量:
    这里写图片描述

    定义2. 海塞矩阵(Hessian matrix)【海塞矩阵是二阶梯度】
    f(x) 是一个二阶可微分的标量函数,其中 x=x1...xNT 。那么定义 f(x) x 的海塞矩阵为d2f(x)dxdxT
    这里写图片描述
    海塞矩阵是对称阵。

    定义3. 雅可比矩阵(Jacobian matrix)【雅可比矩阵本质上是一阶梯度,向量对向量微分】
    f(x) 是一个K X 1的列向量函数
    这里写图片描述
    其中 x=x1...xLT 。那么定义 f(x) x 的雅可比矩阵为df(x)dxT
    这里写图片描述

    定义4. [矩阵对标量微分]
    M×N 的矩阵 A 的元素是一个向量x的元素 xq 的函数,定义 Axq 为:
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    矩阵的二阶微分:
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    定理1. 矩阵的乘积微分
    A K×M的矩阵,B是 K×L 的矩阵, C=AB 。设 AB 的元素是向量 x 的一个元素xq的函数,那么:
    这里写图片描述

    证明过程如下:
    这里写图片描述

    定理2.
    A M×N的非奇异矩阵,设 A 的元素是向量x的一个元素 xq 的函数,那么 A1 x 的一阶微分和二阶微分分别为:
    这里写图片描述

    证明过程如下:
    这里写图片描述


    二次函数f(x)=xTVx,其中 x=x1...xkT k×kA 。则 f(x) k×1 的列向量 x 的微分为: d(xTVx)dx=(V+VT)x
    以k=3的情况举例说明:
    这里写图片描述

    矩阵微分的应用
    这里写图片描述


    矩阵迹的微分(Derivative of Traces)
    在机器学习中,有时候需要对一个矩阵的F模进行微分,而矩阵的F是可以转换为矩阵的迹,矩阵的迹的微分的计算可以帮助我们计算矩阵的F模的微分。比如在线性回归模型中,输出不是0和1,而是一个向量,这时整个输出矩阵就不是向量而是矩阵的。这会在最后的例子中具体说明。

    矩阵的F模和迹的关系:
    这里写图片描述
    其中 A A 的共轭转置。

    矩阵的迹的性质:
    这里写图片描述

    上面的两点会在后面的例子中用到。

    Matrix Cookbook中给出了矩阵迹的微分的一般表达式:
    xtr(F(x))=f(x)T 其中, f() F() 的微分。

    一阶:
    这里写图片描述

    二阶:
    这里写图片描述

    高阶:
    这里写图片描述

    看了给的这些例子后,感觉有些情况下计算 F() 的微分 f() 还是有点困难,不明白到底计算的规则是怎么样的。比如高阶中的前两个例子, Xtr(Xk)=k(Xk1)T Xtr(AXk)=k1r=0(XrAXkr1)T ,第二个例子仅因为多了一个A结果却大相径庭,但是这里计算 F() 的微分 f() 到底怎么计算的?我感觉不是很明白,资料上也没看具体说明。

    我自己就琢磨出来了一套计算规律,感觉挺好用的。
    具体说来,首先就是对 tr(T1XT2XTT3) 中所有的 X 分别计算,对于tr中出现的 X ,结果就是X前面部分整体的转置乘以 X 后面部分整体的转置,对于tr中出现的 XT ,结果就是 XT 前面部分整体的转置乘以 X 后面部分整体的转置,然后再整体来一个转置。或者进一步简化,结果就是XT后面的整体部分乘以 XT 前面的部分。

    形式化的式子:
    Xtr(T1XT2XTT3)=TT1(T2XTT3)T+{(T1XT2)TTT3}T
    或者进一步化为:
    Xtr(T1XT2XTT3)=TT1(T2XTT3)T+{T3(T1XT2)}
    上面式子中, T1T2T3 为任意长的矩阵连乘表达式,可以包含 X

    对上面列出的例子进行计算,发现都符合。举一个例子。
    Xtr(AXk)=k1r=0(XrAXkr1)T
    使用上面的计算规则计算,共有 kX ,所以结果有 k 项,对每一个X依次计算:
    Xtr(AXk)=AT(Xk1)T+(AX)T(Xk2)T+(AX2)T(Xk3)T+...+(AXk2)T(X)T+(AXk1)T
    相信聪明的读者已经看出规律了,写成求和的形式就是:
    Xtr(AXk)=k1r=0(XrAXkr1)T
    和上面给出的式子一模一样的!


    举个例子, Y=XW+E ,这里 YXWE 都是矩阵,这可以看作是机器学习中的回归的问题, Y 是输出矩阵,X是特征向量, W 是待学习的特征权重,E是误差, E=YXW ,是真实值和预测值的差,机器学习中希望学习到一个参数矩阵 W 使得误差最小,即E的F模最小(这里 E 是矩阵,如果是向量,可以直接取向量的模就可以)
    ||E||F=trETE=tr[(YXW)T(YXW)]=tr(YTYYTXWWTXTY+WTXTXW)

    W||E||F=Wtr(ETE)=Wtr(YTYYTXWWTXTY+WTXTXW)

    W||E||F=XTYXTY+XTXW+XTXW=2XTY+2XTXW=0
    XTY=XTXW

    最后的结果就是:
    W=(XTX)1XTY


    参考:
    APPENDIX D VECTOR AND MATRIX DIFFERENTIATION
    INTRODUCTION TO VECTOR AND MATRIX DIFFERENTIATION
    Matrix CookBook <这个比较全>

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  • #从RN\mathbb{R}^{N}RN到 RM\mathbb{R}^{M}RM映射的微分(向量函数的微分) 国内的数学分析教材(就我所知)基本上不讲向量函数的微分,就更不用指望高等代数里有了,但是国外的数学分析或者微积分里却常常会提到这一...

    R N \mathbb{R}^{N} RN R M \mathbb{R}^{M} RM映射的微分(向量函数的微分)

    国内的数学分析教材(就我所知)基本上不讲向量函数的微分,就更不用指望高等代数里有了,但是国外的数学分析或者微积分里却常常会提到这一部分

    回顾一元函数微分

    Definition 1 f : ( a , b ) → R f :(a, b) \rightarrow \mathbb{R} f:(a,b)R 在点 x 0 ∈ ( a , b ) x_{0} \in(a, b) x0(a,b) 处可微,若对于任意充分小的 h &gt; 0 h&gt;0 h>0 , x 0 + h ∈ ( a , b ) , x_{0}+h \in(a, b), x0+h(a,b), 极限
    (1) d f d x ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \frac{d f}{d x}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\tag{1} dxdf(x0)=h0limhf(x0+h)f(x0)(1)
    存在。

    ​ 上述公式(1)还可以改写为:
    (2) lim ⁡ x → x 0 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) − f ′ ( x 0 ) ) ( x − x 0 ) ∣ ∣ x − x 0 ∣ = 0 \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{ | f(x)-f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right) )\left(x-x_{0}\right) |}{\left|x-x_{0}\right|}=0\tag{2} xx0limxx0f(x)f(x0)f(x0))(xx0)=0(2)

    R N \mathbb{R}^{N} RN R M \mathbb{R}^{M} RM映射的微分

    Definition 2 称映射 f : R n → R m f : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} f:RnRm 在点 x ∈ A x\in A xA 处可导,若存在一个线性变换 D f ( x ) : R n → R m D f(x) : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} Df(x):RnRm ,并且称 f f f在点 x 0 x_0 x0处可微,若 D f ( x ) Df(x) Df(x)满足:
    (3) lim ⁡ x → x 0 ∥ f ( x ) − f ( x 0 ) − D f ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) ∥ ∥ x − x 0 ∥ = 0 \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\left\|f(x)-f\left(x_{0}\right)-D f\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}=0\tag{3} xx0limxx0f(x)f(x0)Df(x0)(xx0)=0(3)
    其中 ∥ ⋅ ∥ \left\|\cdot\right\| 表示欧式距离。

    Theorem 1 A ⊂ R n A\subset\mathbb{R}^n ARn 是一个开集,设 f : A → R m f : A \rightarrow \mathbb{R}^{m} f:ARm 在点 x 0 ∈ A x_0\in A x0A可微,则线性变换 D f ( x 0 ) Df(x_0) Df(x0) f f f 唯一决定。

    proof : 设 L 1 L_1 L1, L 2 L_2 L2是两个满足定义2的线性变换,我们将证明 L 1 = L 2 L_1=L_2 L1=L2 ;

    ​ 给定单位向量 e ∈ R n e\in\mathbb{R}^n eRn , 设 x = x 0 + λ e x=x_0+\lambda e x=x0+λe , λ ∈ R \lambda \in \mathbb{R} λR .因为 L 1 , L 2 L_1,L_2 L1,L2 都是线性的,则有
    (4) ∣ λ ∣ = ∥ x − x 0 ∥ , ∥ L 1 ⋅ e − L 2 ⋅ e ∥ = ∥ L 1 ⋅ λ e − L 2 ⋅ λ e ∥ ∣ λ ∣ |\lambda|=\left\|x-x_{0}\right\| \quad,\quad \left\|L_{1} \cdot e-L_{2} \cdot e\right\|=\frac{\left\|L_{1} \cdot \lambda e-L_{2} \cdot \lambda e\right\|}{|\lambda|}\tag{4} λ=xx0,L1eL2e=λL1λeL2λe(4)

    同时注意到 A A A是开集,从而 λ \lambda λ可以取的充分小,由三角不等式得到:
    (5) ∥ L 1 ⋅ e − L 2 ⋅ e ∥ = ∥ L 1 ⋅ ( x − x 0 ) − L 2 ⋅ ( x − x 0 ) ∥ ∥ x − x 0 ∥ ≤ ∥ f ( x ) − f ( x 0 ) − L 1 ⋅ ( x − x 0 ) ∥ ∥ x − x 0 ∥ + ∥ f ( x ) − f ( x 0 ) − L 2 ⋅ ( x − x 0 ) ∥ ∥ x − x 0 ∥ \begin{aligned}\left\|L_{1} \cdot e-L_{2} \cdot e\right\| &amp;=\frac{\left\|L_{1} \cdot\left(x-x_{0}\right)-L_{2} \cdot\left(x-x_{0}\right)\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|} \\ &amp; \leq \frac{\left\|f(x)-f\left(x_{0}\right)-L_{1} \cdot\left(x-x_{0}\right)\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}+\frac{\left\|f(x)-f\left(x_{0}\right)-L_{2} \cdot\left(x-x_{0}\right)\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|} \end{aligned}\tag{5} L1eL2e=xx0L1(xx0)L2(xx0)xx0f(x)f(x0)L1(xx0)+xx0f(x)f(x0)L2(xx0)(5)
    进一步由假设知,当$\lambda\rightarrow0 $ 时,不等式右边两项也同时趋于0,推出 L 1 ⋅ e = L 2 ⋅ e L_{1} \cdot e=L_{2} \cdot e L1e=L2e ,又因为 e e e是任意的单位向量,从而推出 L 1 = L 2 L_1=L_2 L1=L2 □ \square

    Theorem 2 A ⊂ R n A\subset\mathbb{R}^n ARn 是一个开集,映射 f → R m f\rightarrow \mathbb{R}^m fRm 可导,则偏微分 ∂ f j ∂ x i \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} xifj 存在,且线性变换 D f ( x ) Df(x) Df(x) R n \mathbb{R}^{n} Rn , R m \mathbb{R}^{m} Rm 的标准基下对应的矩阵可表示为
    (6) [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ⋯ ∂ f 2 ∂ x n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ f m ∂ x 1 ∂ f m ∂ x 2 ⋯ ∂ f m ∂ x m ] \left[ \begin{array}{cccc}{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}} &amp; {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}} &amp; {\cdots} &amp; {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}} \\ {\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}} &amp; {\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}} &amp; {\cdots} &amp; {\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}} \\ {\cdot} &amp; {\cdot} \\ {\cdot} &amp; {\cdot} \\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}} &amp; {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}}} &amp; {\cdots} &amp; {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{m}}}\end{array}\right]\tag{6} x1f1x1f2x1fmx2f1x2f2x2fmxnf1xnf2xmfm(6)
    该矩阵也常常叫做 f f f的若尔当矩阵。

    proof : 设 D f ( x ) Df(x) Df(x) R n \mathbb{R}^{n} Rn , R m \mathbb{R}^{m} Rm 的标准基下对应的矩阵为 ( a j i ) (a_{ji}) (aji) , 令 y = x + h e i y=x+h e_{i} y=x+hei , h ∈ R h\in\mathbb{R} hR , x + h e i ∈ A x+he_i\in A x+heiA ,则有:
    (7) ∥ f ( y ) − f ( x ) − D f ( x ) ⋅ ( x − y ) ∥ ∥ y − x ∥ = ∥ f ( x 1 , … , x i + h , … , x n ) − f ( x 1 , … , x i , … , x n ) − h D f ( x ) ⋅ e i ∥ ∣ h ∣ \begin{array}{l}{\frac{\|f(y)-f(x)-D f(x) \cdot(x-y)\|}{\|y-x\|}} \\ {=\frac{\left\|f\left(x_{1}, \ldots, x_{i}+h, \ldots, x_{n}\right)-f\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{n}\right)-h D f(x) \cdot e_{i}\right\|}{|h|}}\end{array}\tag{7} yxf(y)f(x)Df(x)(xy)=hf(x1,,xi+h,,xn)f(x1,,xi,,xn)hDf(x)ei(7)
    由假设知:
    (8) ∥ f j ( x 1 , … , x i + h , … , x n ) − f j ( x 1 , … , x i , … , x n ) − h a j i ∥ ∣ h ∣ → 0  as  h → 0 \frac{\left\|f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}+h, \ldots, x_{n}\right)-f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{n}\right)-h a_{j i}\right\|}{|h|} \rightarrow 0 \quad \text { as } \quad h \rightarrow 0\tag{8} hfj(x1,,xi+h,,xn)fj(x1,,xi,,xn)haji0 as h0(8)

    (9) a j i = lim ⁡ h → 0 f j ( x 1 , … , x i + h , … , x n ) − f j ( x 1 , … , x i , … , x n ) h = ∂ f j ∂ x i a_{j i}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}+h, \ldots, x_{n}\right)-f_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{n}\right)}{h}=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\tag{9} aji=h0limhfj(x1,,xi+h,,xn)fj(x1,,xi,,xn)=xifj(9)
    □ \square

    展开全文
  • 矩阵论:向量求导/微分和矩阵微分
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    千次阅读 2020-03-27 12:42:58
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    千次阅读 2017-11-03 12:35:28
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    千次阅读 2018-04-15 12:10:27
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  • 矩阵微分向量函数Taylor展开

    万次阅读 多人点赞 2018-01-07 14:03:26
    第一部分:矩阵微分 计算∂F∂X\frac{\partial F}{\partial X}时,根据F和X的类型有不同的微分公式。F和X可以分别是标量、向量和矩阵。 1. 当X是标量时 当F是X的标量函数时,则∂F∂X\frac{\partial F}{\...
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空空如也

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对向量进行微分