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  • 对向量进行微分
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    2019-07-07 22:36:47


    机器学习或优化领域经常有对向量的微分,这里补一下相关公式.

    含参矩阵函数的微分

    1. d d t e A t = A e A t = e A t A ; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{\bm{A}t}=\bm{A}e^{\bm{A}t}=e^{\bm{A}t}\bm{A}; dtdeAt=AeAt=eAtA;
    2. d d t cos ⁡ A t = − A ( sin ⁡ A t ) = − ( sin ⁡ A t ) A ; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos\bm{A}t=-\bm{A}(\sin\bm{A}t)=-(\sin\bm{A}t)\bm{A}; dtdcosAt=A(sinAt)=(sinAt)A;
    3. d d t sin ⁡ A t = A ( cos ⁡ A t ) = ( cos ⁡ A t ) A . \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sin\bm{A}t=\bm{A}(\cos\bm{A}t)=(\cos\bm{A}t)\bm{A}. dtdsinAt=A(cosAt)=(cosAt)A.

    函数对向量的微分

    运算法则:

    1. 线性法则: ∇ x ( a f ( x ) + b g ( x ) ) = a ∇ x f ( x ) + b ∇ x g ( x ) , a , b ∈ R ; \nabla_\bm x(af(\bm x)+bg(\bm x))=a\nabla_\bm xf(\bm x)+b\nabla_\bm xg(\bm x),a,b\in \mathbb R; x(af(x)+bg(x))=axf(x)+bxg(x),a,bR;
    2. 乘积法则: ∇ x ( f ( x ) g ( x ) ) = ∇ x f ( x ) g ( x ) + f ( x ) ∇ x g ( x ) ; \nabla_\bm x (f(\bm x)g(\bm x))=\nabla_\bm x f(\bm x)g(\bm x) + f(\bm x)\nabla_\bm x g(\bm x); x(f(x)g(x))=xf(x)g(x)+f(x)xg(x);
    3. 链式法则: ∇ x ( f ( y ( x ) ) ) = ∇ x [ y ( x ) ] ⊤ ∇ y f ( y ) . \nabla_\bm x(f(y(\bm x)))=\nabla_\bm x[y(\bm x)]^\top\nabla_\bm yf(\bm y). x(f(y(x)))=x[y(x)]yf(y).

    常用公式

    其中的 A 、 b \bm{A}、\bm b Ab分别是与 x \bm x x无关的常矩阵和常向量.

    f ( x ) f(\bm x) f(x) ∇ x f ( x ) \nabla_\bm x f(\bm x) xf(x)
    a x a\bm x ax a a a
    b ⊤ x 或 x ⊤ b \bm b^\top\bm x或\bm x^\top \bm b bxxb b \bm b b
    x ⊤ x 或 ∥ x ∥ 2 2 \bm x^\top\bm x或\|\bm x\|_2^2 xxx22 2 x 2\bm x 2x
    e − 1 2 x ⊤ A x e^{-\frac{1}{2}\bm x^\top\bm{A}\bm x} e21xAx e − 1 2 x ⊤ A x A x e^{-\frac{1}{2}\bm x^\top\bm{A}\bm x}\bm A\bm x e21xAxAx
    b ⊤ A x \bm b^\top\bm A\bm x bAx A ⊤ b \bm A^\top\bm b Ab
    x ⊤ A b \bm x^\top\bm A\bm b xAb A b \bm {Ab} Ab
    x ⊤ A x \bm x^\top\bm{Ax} xAx ( A + A ⊤ ) x (\bm{A+A}^\top)\bm x (A+A)x
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  • 这是来自国外网站的一本书的章节:...很好地解决了我花了1,2天时间未解决的向量函数的积分问题。很好懂。文章的主要作者是 James Stewart,协助人是Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman 。
  • 矩阵、向量微分计算

    万次阅读 多人点赞 2015-11-06 14:19:25
    梯度(Gradient)[标量向量微分] 设f(x)f(x)是一个变量为xx的标量函数,其中x=(x1...xN)Tx=(x_1...x_N)^T。那么定义f(x)f(x)xx的梯度为df(x)dx\frac{d f(x)}{d x}: 梯度的转置是一个行向量: 定义2...

    定义1. 梯度(Gradient)[标量对列向量微分]
    f(x) 是一个变量为 x 的标量函数,其中x=x1...xNT。那么定义 f(x) x 的梯度为df(x)dx
    这里写图片描述
    梯度的转置是一个行向量:
    这里写图片描述

    定义2. 海塞矩阵(Hessian matrix)【海塞矩阵是二阶梯度】
    f(x) 是一个二阶可微分的标量函数,其中 x=x1...xNT 。那么定义 f(x) x 的海塞矩阵为d2f(x)dxdxT
    这里写图片描述
    海塞矩阵是对称阵。

    定义3. 雅可比矩阵(Jacobian matrix)【雅可比矩阵本质上是一阶梯度,向量对向量微分】
    f(x) 是一个K X 1的列向量函数
    这里写图片描述
    其中 x=x1...xLT 。那么定义 f(x) x 的雅可比矩阵为df(x)dxT
    这里写图片描述

    定义4. [矩阵对标量微分]
    M×N 的矩阵 A 的元素是一个向量x的元素 xq 的函数,定义 Axq 为:
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    矩阵的二阶微分:
    这里写图片描述

    定理1. 矩阵的乘积微分
    A K×M的矩阵,B是 K×L 的矩阵, C=AB 。设 AB 的元素是向量 x 的一个元素xq的函数,那么:
    这里写图片描述

    证明过程如下:
    这里写图片描述

    定理2.
    A M×N的非奇异矩阵,设 A 的元素是向量x的一个元素 xq 的函数,那么 A1 x 的一阶微分和二阶微分分别为:
    这里写图片描述

    证明过程如下:
    这里写图片描述


    二次函数f(x)=xTVx,其中 x=x1...xkT k×kA 。则 f(x) k×1 的列向量 x 的微分为: d(xTVx)dx=(V+VT)x
    以k=3的情况举例说明:
    这里写图片描述

    矩阵微分的应用
    这里写图片描述


    矩阵迹的微分(Derivative of Traces)
    在机器学习中,有时候需要对一个矩阵的F模进行微分,而矩阵的F是可以转换为矩阵的迹,矩阵的迹的微分的计算可以帮助我们计算矩阵的F模的微分。比如在线性回归模型中,输出不是0和1,而是一个向量,这时整个输出矩阵就不是向量而是矩阵的。这会在最后的例子中具体说明。

    矩阵的F模和迹的关系:
    这里写图片描述
    其中 A A 的共轭转置。

    矩阵的迹的性质:
    这里写图片描述

    上面的两点会在后面的例子中用到。

    Matrix Cookbook中给出了矩阵迹的微分的一般表达式:
    xtr(F(x))=f(x)T 其中, f() F() 的微分。

    一阶:
    这里写图片描述

    二阶:
    这里写图片描述

    高阶:
    这里写图片描述

    看了给的这些例子后,感觉有些情况下计算 F() 的微分 f() 还是有点困难,不明白到底计算的规则是怎么样的。比如高阶中的前两个例子, Xtr(Xk)=k(Xk1)T Xtr(AXk)=k1r=0(XrAXkr1)T ,第二个例子仅因为多了一个A结果却大相径庭,但是这里计算 F() 的微分 f() 到底怎么计算的?我感觉不是很明白,资料上也没看具体说明。

    我自己就琢磨出来了一套计算规律,感觉挺好用的。
    具体说来,首先就是对 tr(T1XT2XTT3) 中所有的 X 分别计算,对于tr中出现的 X ,结果就是X前面部分整体的转置乘以 X 后面部分整体的转置,对于tr中出现的 XT ,结果就是 XT 前面部分整体的转置乘以 X 后面部分整体的转置,然后再整体来一个转置。或者进一步简化,结果就是XT后面的整体部分乘以 XT 前面的部分。

    形式化的式子:
    Xtr(T1XT2XTT3)=TT1(T2XTT3)T+{(T1XT2)TTT3}T
    或者进一步化为:
    Xtr(T1XT2XTT3)=TT1(T2XTT3)T+{T3(T1XT2)}
    上面式子中, T1T2T3 为任意长的矩阵连乘表达式,可以包含 X

    对上面列出的例子进行计算,发现都符合。举一个例子。
    Xtr(AXk)=k1r=0(XrAXkr1)T
    使用上面的计算规则计算,共有 kX ,所以结果有 k 项,对每一个X依次计算:
    Xtr(AXk)=AT(Xk1)T+(AX)T(Xk2)T+(AX2)T(Xk3)T+...+(AXk2)T(X)T+(AXk1)T
    相信聪明的读者已经看出规律了,写成求和的形式就是:
    Xtr(AXk)=k1r=0(XrAXkr1)T
    和上面给出的式子一模一样的!


    举个例子, Y=XW+E ,这里 YXWE 都是矩阵,这可以看作是机器学习中的回归的问题, Y 是输出矩阵,X是特征向量, W 是待学习的特征权重,E是误差, E=YXW ,是真实值和预测值的差,机器学习中希望学习到一个参数矩阵 W 使得误差最小,即E的F模最小(这里 E 是矩阵,如果是向量,可以直接取向量的模就可以)
    ||E||F=trETE=tr[(YXW)T(YXW)]=tr(YTYYTXWWTXTY+WTXTXW)

    W||E||F=Wtr(ETE)=Wtr(YTYYTXWWTXTY+WTXTXW)

    W||E||F=XTYXTY+XTXW+XTXW=2XTY+2XTXW=0
    XTY=XTXW

    最后的结果就是:
    W=(XTX)1XTY


    参考:
    APPENDIX D VECTOR AND MATRIX DIFFERENTIATION
    INTRODUCTION TO VECTOR AND MATRIX DIFFERENTIATION
    Matrix CookBook <这个比较全>

    展开全文
  • 数学分析 向量函数微分学(第23章)

    千次阅读 2020-08-23 00:17:16
    一.nnn维欧式空间 二.向量函数 1.nnn维欧氏空间 ...向量函数的微分 1.可微性与可微条件 2.可微向量函数的性质 3.海塞矩阵与极值 四.反函数定理与隐函数定理 1.反函数定理 2.隐函数定理 3.拉格朗日乘数法 ...

    一. n n n维欧式空间与向量函数(23.1)在这里插入图片描述1. n n n维欧氏空间
    (1)向量与向量空间:
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    (2) n n n维欧几里得空间:
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    定理23.1:设 { P k } ⊂ R n \{P_k\}\sub R^n {Pk}Rn,则 { P k } \{P_k\} {Pk}为收敛点列的充要条件是:对 ∀ ε > 0 , ∃ K > 0 ∀ε>0,∃K>0 ε>0,K>0,当 k > K k>K k>K时,对 ∀ q ∈ N + ∀q∈N_+ qN+都有 ρ ( P k , P k + q ) < ε ( 5 ) ρ(P_k,P_{k+q})<ε\qquad(5) ρ(Pk,Pk+q)<ε(5)

    2.向量函数
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    注:① X × Y = { ( x , y )   ∣   x ∈ X , y ∈ Y } ⊂ R n + m X×Y=\{(x,y)\,|\,x∈X,y∈Y\}\sub R^{n+m} X×Y={(x,y)xX,yY}Rn+m称为 X X X Y Y Y直积

    (2)运算:
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    3.向量函数的极限与连续
    (1)向量函数的极限:
    在这里插入图片描述
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    (2)向量函数的连续性:
    在这里插入图片描述

    定理23.2:设 f : X → Y , g : X → Y   ( X ⊂ R n , Y ⊂ R m ) , h : Y → Z ⊂ R r , α : X → R , a ∈ X , b = f ( a ) ∈ Y f:X→Y,g:X→Y\,(X\sub R^n,Y\sub R^m),h:Y→Z\sub R^r,α:X→R,a∈X,b=f(a)∈Y f:XY,g:XY(XRn,YRm),h:YZRr,α:XR,aX,b=f(a)Y;若 f , g , α f,g,α f,g,α在点 a a a连续, h h h在点 b b b连续,则按(6),(7),(8)式所定义的向量函数 f ± g , α f , h ∘ f f±g,αf,h\circ f f±g,αf,hf都在点 a a a连续
    在这里插入图片描述

    定理23.3:函数 f : X → R m f:X→R^m f:XRm在点 a ∈ X ⊂ R n a∈X\sub R^n aXRn连续的充要条件是::任何点列 { P k } ⊂ X \{P_k\}\sub X {Pk}X收敛于 a a a时, { f ( P k ) } ⊂ R m \{f(P_k)\}\sub R^m {f(Pk)}Rm都收敛于 f ( a ) f(a) f(a)
    在这里插入图片描述

    (3)连续的向量函数的性质:
    在这里插入图片描述

    定理23.4:若 D ⊂ R n D\sub R^n DRn是有界闭集, f : D → R m f:D→R^m f:DRm D D D上的连续函数,则 f ( D ) ⊂ R m f(D)\sub R^m f(D)Rm也是有界闭集
    在这里插入图片描述

    定理23.5:若 D ⊂ R n D\sub R^n DRn是有界闭集, f : D → R m f:D→R^m f:DRm D D D上的连续函数,则 f ( D ) f(D) f(D)的直积可达,即 ∃ P ′ , P ′ ′ ∈ D ∃P',P''∈D P,PD,使得 ∣ ∣ f ( P ′ ) − f ( P ′ ′ ) ∣ ∣ = max ⁡ x ′ , x ′ ′ ∈ D ∣ ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ ∣ ||f(P')-f(P'')||=\max_{x',x''∈D}||f(x')-f(x'')|| f(P)f(P)=x,xDmaxf(x)f(x)
    在这里插入图片描述

    定理23.6:若 D ⊂ R n D\sub R^n DRn是有界闭集, f f f D D D上的连续函数,则 f f f D D D一致连续,即对 ∀ ε > 0 , ∃ δ ( ε ) ① > 0 ∀ε>0,∃δ(ε)^①>0 ε>0,δ(ε)>0,只要 x ′ , x ′ ′ ∈ D x',x''∈D x,xD ∣ ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ ∣ < δ ||x'-x''||<δ xx<δ,就有 ∣ ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ ∣ < ε ||f(x')-f(x'')||<ε f(x)f(x)<ε
    注:① δ ( ε ) δ(ε) δ(ε)的含义是:只依赖于 ε ε ε δ δ δ

    定理23.7:若 D ⊂ R n D\sub R^n DRn是道路连通集 ① ^① , f f f D D D上的连续函数,则 f ( D ) ⊂ R m f(D)\sub R^m f(D)Rm也是道路连通集
    在这里插入图片描述
    注:①这是指能用1条完全含于 D D D的连续曲线连接 D D D中任意2点

    二.向量函数的微分(23.2)
    1.向量函数的可微性:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    2.向量函数的可微条件
    在这里插入图片描述

    注:①如此形式的矩阵又叫 f f f雅可比矩阵,也常记作 J f ( x 0 ) J_f(x_0) Jf(x0);只要其中的所有偏导数存在,便可构成 J f ( x 0 ) J_f(x_0) Jf(x0),但此时 J f ( x 0 ) J_f(x_0) Jf(x0)不一定是 f f f的导数,因为由此不能保证 f f f x 0 x_0 x0可微

    (1)必要条件:

    定理23.8:若向量函数 f f f x 0 x_0 x0可微,则 f f f x 0 x_0 x0连续

    定理23.9:若向量函数 f f f x 0 x_0 x0可微,则 f f f的全部 m m m个坐标函数 f i   ( i = 1 , 2... m ) f_i\,(i=1,2...m) fi(i=1,2...m) x 0 x_0 x0关于每个自变量 x j   ( j = 1 , 2... n ) x_j\,(j=1,2...n) xj(j=1,2...n)的1阶偏导数 ∂ f i ∂ x j ∣ x = x 0 \frac{\partial f_i}{\partial x_j}|_{x=x_0} xjfix=x0都存在,由这些偏导数组成的矩阵(7)便是 f f f x 0 x_0 x0的导数

    (2)充分条件:

    定理23.10:若向量函数 f f f在点 x 0 x_0 x0的某邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内处处存在1阶偏导数 ∂ f i ∂ x j   ( i = 1 , 2... m ; j = 1 , 2... n ) \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\,(i=1,2...m;j=1,2...n) xjfi(i=1,2...m;j=1,2...n),且所有这些偏导数在点 x 0 x_0 x0连续,则 f f f x 0 x_0 x0可微

    (3)充要条件:

    定理23.11:设 D ⊂ R n D\sub R^n DRn为开集, x 0 ∈ D , f : D → R m x_0∈D,f:D→R^m x0D,f:DRm,则 f f f x 0 x_0 x0可微的充要条件是:存在1个( m m m n n n列的)矩阵函数 F : D → R m n F:D→R^{mn} F:DRmn,它在 x 0 x_0 x0连续(相当于它的 n n n个列向量函数都在 x 0 x_0 x0连续),并使得 f ( x ) − f ( x 0 ) = F ( x ) ( x − x 0 )   ( x ∈ D ) ( 8 ) f(x)-f(x_0)=F(x)(x-x_0)\,(x∈D)\qquad(8) f(x)f(x0)=F(x)(xx0)(xD)(8)
    在这里插入图片描述
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    注:① ∣ ∣ F ( x ) − F ( x 0 ) ∣ ∣ ||F(x)-F(x_0)|| F(x)F(x0)表示矩阵的模;一般地,矩阵 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m×n} A=(aij)m×n的模可以采用多种定义方式,其中之一是 ∣ ∣ A ∣ ∣ = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j 2 ||A||=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^m\displaystyle\sum_{j=1}^na^2_{ij}} A=i=1mj=1naij2 ,这相当于把 A A A看作 m n mn mn维向量,所以向量的模的性质对矩阵的模同样成立

    2.可微向量函数的性质
    (1)保持线性运算的性质:

    定理23.12:设 f : D → R m , g : D → R m f:D→R^m,g:D→R^m f:DRm,g:DRm是2个在 x 0 ∈ D x_0∈D x0D处可微的函数, c ∈ R c∈R cR,则 c f , f ± g cf,f±g cf,f±g x 0 x_0 x0也可微,且 ( c f ) ′ ( x 0 ) = c f ′ ( x 0 ) , ( f ± g ) ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ± g ′ ( x 0 ) ( 14 ) (cf)'(x_0)=cf'(x_0),(f±g)'(x_0)=f'(x_0)±g'(x_0)\qquad(14) (cf)(x0)=cf(x0),(f±g)(x0)=f(x0)±g(x0)(14)

    (2)求导的链式法则

    定理23.13:设 f : D → R m f:D→R^m f:DRm x 0 ∈ D x_0∈D x0D可微, D ′ ⊂ R m D'\sub R^m DRm亦为开集, f ( D ) ⊂ D ′ , g : D ′ → R r f(D)\sub D',g:D'→R^r f(D)D,g:DRr y 0 = f ( x 0 ) y_0=f(x_0) y0=f(x0)可微,则复合函数 h = g ∘ f : D → R r h=g\circ f:D→R^r h=gf:DRr x 0 x_0 x0可微,且 h ′ ( x 0 ) = ( g ∘ f ) ′ ( x 0 ) = g ′ ( y 0 ) f ′ ( x 0 ) ( 15 ) h'(x_0)=(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)\qquad(15) h(x0)=(gf)(x0)=g(y0)f(x0)(15)公式(15)也称为链式法则
    在这里插入图片描述
    在上述复合过程中,若令 u = g ( y ) , y = f ( x ) u=g(y),y=f(x) u=g(y),y=f(x),当用雅可比矩阵表示复合函数 ( g ∘ f ) ( x ) (g\circ f)(x) (gf)(x)的导数的链式法则(15)时,则有 [ ∂ u 1 ∂ x 1 . . . ∂ u 1 ∂ x n . . . . . . . . . ∂ u r ∂ x 1 . . . ∂ u r ∂ x n ] x = x 0 = [ ∂ u 1 ∂ y 1 . . . ∂ u 1 ∂ y m . . . . . . . . . ∂ u r ∂ y 1 . . . ∂ u r ∂ y m ] y = y 0 [ ∂ y 1 ∂ x 1 . . . ∂ y 1 ∂ x n . . . . . . . . . ∂ y m ∂ x 1 . . . ∂ y m ∂ x n ] x = x 0 \left[\begin{matrix}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}&...&\frac{\partial u_1}{\partial x_n}\\...&...&...\\\frac{\partial u_r}{\partial x_1}&...&\frac{\partial u_r}{\partial x_n}\end{matrix}\right]_{x=x_0}=\left[\begin{matrix}\frac{\partial u_1}{\partial y_1}&...&\frac{\partial u_1}{\partial y_m}\\...&...&...\\\frac{\partial u_r}{\partial y_1}&...&\frac{\partial u_r}{\partial y_m}\end{matrix}\right]_{y=y_0}\left[\begin{matrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&...&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\...&...&...\\\frac{\partial y_m}{\partial x_1}&...&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{matrix}\right]_{x=x_0} x1u1...x1ur.........xnu1...xnurx=x0=y1u1...y1ur.........ymu1...ymury=y0x1y1...x1ym.........xny1...xnymx=x0

    (3)微分中值不等式:

    定理23.14:设 D ⊂ R n D\sub R^n DRn是凸开集, f : D → R m f:D→R^m f:DRm,若 f f f D D D内可微,则对任意2点 a , b ∈ D a,b∈D a,bD,存在点 ξ = a + θ ( b − a )   ( 0 < θ < 1 ) \xi=a+θ(b-a)\,(0<θ<1) ξ=a+θ(ba)(0<θ<1),使得 ∣ ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ f ′ ( ξ ) ∣ ∣   ∣ ∣ b − a ∣ ∣ ① ( 18 ) ||f(b)-f(a)||≤||f'(\xi)||\,||b-a||^①\qquad(18) f(b)f(a)f(ξ)ba(18)
    在这里插入图片描述
    注:①这里的 ∣ ∣ f ′ ( ξ ) ∣ ∣ ||f'(\xi)|| f(ξ)是矩阵的模

    3.黑塞矩阵与极值
    (1)黑塞矩阵:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    注:①黑塞矩阵又称海塞矩阵

    (2)黑塞矩阵与极值:
    在这里插入图片描述

    定理23.15(极值的必要条件):设 D ⊂ R n D\sub R^n DRn为开集,实值函数 f : D → R f:D→R f:DR x 0 ∈ D x_0∈D x0D可微,且取极值,则:
    x 0 x_0 x0必为 f f f的稳定点,即 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f(x0)=0
    ②又若 f f f x 0 x_0 x0的某邻域 U ( x 0 ) ⊂ D U(x_0)\sub D U(x0)D上存在连续2阶偏导数,则当 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)a为极小值时, f f f x 0 x_0 x0的黑塞矩阵 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f(x0)为正定或半正定;当 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)a为极大值时, f f f x 0 x_0 x0的黑塞矩阵 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f(x0)为负定或半负定
    推论:若 f f f x 0 x_0 x0的黑塞矩阵 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f(x0)为不定,则 f f f x 0 x_0 x0不取极值

    定理23.16(极值的充分条件):上述函数 f f f若在 U ( x 0 ) ⊂ D U(x_0)\sub D U(x0)D上存在连续2阶偏导数,且 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f(x0)=0,则当 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f(x0)为正定(负定)时, f f f x 0 x_0 x0取严格极小(大)值

    三.反函数定理与隐函数定理(23.3)
    在这里插入图片描述
    1.反函数定理
    (1)向量函数的反函数:
    在这里插入图片描述
    (2)反函数定理:

    定理23.17:设 D ⊂ R n D\sub R^n DRn是开集,函数 f : D → R n f:D→R^n f:DRn满足以下条件:
    ( i )   (i)\: (i) D D D上可微,且 f ′ f' f连续
    ( i i )   ∃ x 0 ∈ D (ii)\:∃x_0∈D (ii)x0D,使 d e t   f ′ ( x 0 ) ≠ 0 det\,f'(x_0)≠0 detf(x0)=0
    则存在邻域 U = U ( x 0 ) ⊂ D U=U(x_0)\sub D U=U(x0)D使得:
    1 °   f 1°\:f 1°f U U U上是一一映射,从而存在反函数 f − 1 : V → U f^{-1}:V→U f1:VU,其中 V = f ( U ) V=f(U) V=f(U)是开集
    2 °   f − 1 2°\:f^{-1} 2°f1 V V V上存在连续导数 ( f − 1 ) ′ (f^{-1})' (f1),且 ( f − 1 ) ′ ( y ) = ( f ′ ( x ) ) − 1 , 其 中 x = f − 1 ( y ) , y ∈ V ( 3 ) (f^{-1})'(y)=(f'(x))^{-1},其中x=f^{-1}(y),y∈V\qquad(3) (f1)(y)=(f(x))1,x=f1(y),yV(3)
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    注:①并非所有函数的反函数都能由其自变量用显式来表示

    2.隐函数定理
    (1)隐函数:
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    (2)隐函数定理:

    定理23.18:设 X ⊂ R n , Y ⊂ R m , Ω = X × Y ⊂ R n + m X\sub R^n,Y\sub R^m,Ω=X×Y\sub R^{n+m} XRn,YRm,Ω=X×YRn+m都是开集, F : Ω → R m F:Ω→R^m F:ΩRm,如果 F F F满足下列条件:
    ( i )      ∃ x 0 ∈ X , y 0 ∈ Y (i)\:\:\:\,∃x_0∈X,y_0∈Y (i)x0X,y0Y,使得 F ( x 0 , y 0 ) = 0 F(x_0,y_0)=0 F(x0,y0)=0
    ( i i )     F (ii)\:\,\,F (ii)F Ω Ω Ω上可微,且 F ′ F' F连续
    ( i i i )   det ⁡ F y ′ ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 (iii)\:\det{F'_y(x_0,y_0)}≠0 (iii)detFy(x0,y0)=0
    则存在点 x 0 x_0 x0 n n n维邻域 U = U ( x 0 ) ⊂ X U=U(x_0)\sub X U=U(x0)X和点 y 0 y_0 y0 m m m维邻域 V = V ( y 0 ) ⊂ Y V=V(y_0)\sub Y V=V(y0)Y,使得在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) n + m n+m n+m维邻域 W = X × Y ⊂ Ω W=X×Y\subΩ W=X×YΩ内,由方程(14)唯一地确定了隐函数 f : U → V f:U→V f:UV,其满足
    1 °   y 0 = f ( x 0 ) 1°\:y_0=f(x_0) 1°y0=f(x0)
    2 °   2°\: 2° x ∈ U x∈U xU时, ( x , f ( x ) ) ∈ W (x,f(x))∈W (x,f(x))W,且有恒等式(15),即 F ( x , f ( x ) ) ≡ 0 F(x,f(x))\equiv0 F(x,f(x))0
    3 °   f 3°\:f 3°f U U U内存在连续偏导数 f ′ f' f,且 f ′ ( x ) = − [ F y ′ ( x , y ) ] − 1 F x ′ ( x , y )   ( ( x , y ) ∈ W ) ( 18 ) f'(x)=-[F'_y(x,y)]^{-1}F'_x(x,y)\,((x,y)∈W)\qquad(18) f(x)=[Fy(x,y)]1Fx(x,y)((x,y)W)(18)
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    3.拉格朗日乘数法:
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    定理23.19:对以上所设的函数 f , φ f,φ f,φ,若满足以下条件:
    ( i )      f , φ (i)\:\:\:\:f,φ (i)f,φ D D D内有连续导数
    ( i i )     φ ( x 0 ) = φ ( y 0 , z 0 ) = 0 (ii)\:\,\,φ(x_0)=φ(y_0,z_0)=0 (ii)φ(x0)=φ(y0,z0)=0
    ( i i i )   r a n k   φ ′ ( x 0 ) = r a n k [ φ y ′ ( y 0 , z 0 ) , φ z ′ ( y 0 , z 0 ) ] = m (iii)\:rank\,φ'(x_0)=rank[φ'_y(y_0,z_0),φ'_z(y_0,z_0)]=m (iii)rankφ(x0)=rank[φy(y0,z0),φz(y0,z0)]=m
    ( i v )    x 0 = ( y 0 , z 0 ) (iv)\:\,x_0=(y_0,z_0) (iv)x0=(y0,z0) f f f在条件(25)下的条件极值点
    ∃ Λ 0 ∈ R m ∃Λ_0∈R^m Λ0Rm,使得 ( x 0 , Λ 0 ) (x_0,Λ_0) (x0,Λ0)是(26)式所设函数 L L L的稳定点,即满足 L ′ ( x 0 , Λ 0 ) = [ L x ( x 0 , Λ 0 ) + L λ ( x 0 , Λ 0 ) ] = 0 ( 27 ) L'(x_0,Λ_0)=[L_x(x_0,Λ_0)+L_λ(x_0,Λ_0)]=0\qquad(27) L(x0,Λ0)=[Lx(x0,Λ0)+Lλ(x0,Λ0)]=0(27)但因 L λ ( x 0 , Λ 0 ) ] = [ φ ( x 0 ) ] T = 0 ( L_λ(x_0,Λ_0)]=[φ(x_0)]^T=0( Lλ(x0,Λ0)]=[φ(x0)]T=0(条件 ( i i ) ) (ii)) (ii)),故(27)式等同于 L x ( x 0 , Λ 0 ) ] = f ′ ( x 0 ) + Λ 0 T φ ′ ( x 0 ) = 0 ( 28 ) L_x(x_0,Λ_0)]=f'(x_0)+Λ_0^Tφ'(x_0)=0\qquad(28) Lx(x0,Λ0)]=f(x0)+Λ0Tφ(x0)=0(28)
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    在这里插入图片描述

    一、反对称矩阵

    定义运算 ⋅ ~ \tilde{\cdot} ~ 为:

    l ~ = ( 0 − c b c 0 − a − b a 0 ) \tilde{l} = \begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix} l~=0cbc0aba0

    其中

    l = [ a b c ] l = \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix} l=abc

    二、叉乘(外积、向量积)

    该运算定义为:

    a × b = ( a , b , c ) × ( x , y , z ) = ( b z − c y , c x − a z , a y − b x ) a\times b = (a,b,c)\times(x,y,z) = (bz-cy, cx-az, ay-bx) a×b=(a,b,c)×(x,y,z)=bzcy,cxaz,aybx

    我们将最后一个等号写成矩阵相乘的形式:

    a × b = ( 0 − c b c 0 − a − b a 0 ) ( x y z ) a\times b = \begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} a×b=0cbc0aba0xyz

    你会发现,

    a × b = a ~ b a\times b = \tilde a b a×b=a~b

    a a a b b b的外积,等于 a a a的反对称矩阵与 b b b的乘积

    三、向量微分

    定义 x ( s ) x(s) x(s)是一个{F}坐标系下的向量,其关于变量s的微分如下:

    d F x d s = d [ F x ( s ) ] d s = [ d x 1 ( s ) d s d x 1 ( s ) d s d x 1 ( s ) d s ] \frac{d_Fx}{ds} = \frac{d[^Fx(s)]}{ds} = \begin{bmatrix} \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \end{bmatrix} dsdFx=dsd[Fx(s)]=dsdx1(s)dsdx1(s)dsdx1(s)

    x ( s ) x(s) x(s)在{G}坐标系下关于s的微分可表示为:

    G d F x d s = G R F F d F d s \frac{^Gd_F x}{ds} = _{}^{G}\textrm{R} _F \frac{^Fd_F}{ds} dsGdFx=GRFdsFdF

    式中 R R R为旋转矩阵

    旋转矩阵的微分

    并非每一时刻的旋转矩阵都是一致的

    因此,旋转矩阵对时间的微分为:

    d F R G d t = F ω ~ F R G = F R G G ω ~ \frac{d^FR_G}{dt} = ^F \tilde \omega ^FR_G = ^FR_{G}\\ ^G \tilde \omega dtdFRG=Fω~FRG=FRGGω~

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