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  • 关于一元回归检验中的F检验问题

    千次阅读 2019-09-18 23:42:29
    今天上多元回归的时候,学到经验回归方程进行检验的时候,到了FFF检验这里的时候,一直想不出来F=SSR/1SSE/(N−2)F=\frac{SSR/1}{SSE/(N-2)}F=SSE/(N−2)SSR/1​这个东西是怎么出来的。回寝室之后,想了许久并在...

    今天上多元回归的时候,学到对经验回归方程进行检验的时候,到了FF检验这里的时候,一直想不出来F=SSR/1SSE/(N2)F=\frac{SSR/1}{SSE/(N-2)}这个东西是怎么出来的。回寝室之后,想了许久并在网上查了一些东西,但是还没有具体的证明方法,只是暂时对查到的结果做一个简单的整理,为看到的人指一个模糊的方向,也为自己留一个记录,之后可以证下去。

    1、网上的一份文档

    这个是在网上查的时候看到的最多的一份文档,看过去应该是完成了证明,但是里面有涉及正交线性变换,我还没学过,也没有看懂,但先记下来,以后万一看懂了呢。
    《证明残差平方和除随机项方差服从卡方分布》
    https://www.docin.com/p-1185555448.html

    2、谢宇《回归分析》

    这本书是直接用的自由度来计算的,可惜没有完整的数学证明,但也是一个方向,也记一下吧,在原书第63页,下面是涉及到的大致内容:

    我们将因变量YY的总变异分解为两个部分:被解释的变异和未被解释的变异。这里,被解释的变异是回归模型中的结构项或系统性变动,反映着自变量和因变量之间的线性关系;而未被解释的变异是回归模型中的随机项,它体现了来自变量之外的影响。利用这一关系,我们将回归平方和(SSRSSR)和残差平方和(SSESSE)分别除以各自的自由度,就得到了回归均方(MSR)(MSR)和残差均方(MSE)(MSE)

    在简单回归的情况下,只有一个自变量,故回归平方和(SSR)(SSR)的自由度为1。而对于残差平方和(SSE)(SSE),我们需要以回归直线为基准进行计算(即对yiyi^y_i-\hat{y_i}进行估计)。同时,由于决定这条直线需要截距b0b_0和斜率b1b_1两个参数,故其自由度为n2n-2。另外,MSEMSE是总体误差的方差的无偏估计。

    MSR=SSR1MSR=\frac{SSR}{1}
    MSE=SSEn2MSE=\frac{SSE}{n-2}
    然后求两者的比值,这就形成了一个可以对模型进行整体检验的统计量:
    F=SSR/1SSE/(n2)=MSRMSEF=\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}=\frac{MSR}{MSE}
    因为该统计量服从自由度为11n2n-2FF分布,因此可以直接用它做检验。

    3、知乎网友的智慧

    在知乎上看到了一个网友的关于SSR/σ2χ2(1)SSR/\sigma^2\sim\chi^2(1)的证明,虽然只有SSRSSR的,但也是很可以了,而且证明思路是我想不出的,也许可以根据它证出SSESSE的分布。证明过程如下:

    首先,已知:
    Lxx=i=1n(xixˉ)2,βi^N(βi,σ2Lxx)yi^=βo^+β1^xi,yˉ=βo^+β1^xˉL_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2,\hat{\beta_i}\sim N(\beta_i,\frac{\sigma^2}{L_{xx}}),\hat{y_i}=\hat{\beta_o}+\hat{\beta_1}x_i,\bar{y}=\hat{\beta_o}+\hat{\beta_1}\bar{x}
    因此:
    SSR=i=1n(yi^yˉ)2=i=1n(β0^+β1^xiβ0^β1^xˉ)=i=1n[β1^(xixˉ)]2=β1^2i=1n(xixˉ)2=β1^2Lxxβ1^N(β1,σ2Lxx)SSR=β1^LxxSSRN(Lxxβ1,σ2) \begin{aligned} SSR&=\sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\bar{y})^2\\ &=\sum_{i=1}^n\big(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}\bar{x}\big)\\ &=\sum_{i=1}^n\big[\hat{\beta_1}(x_i-\bar{x})\big]^2\\ &=\hat{\beta_1}^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\\ &=\hat{\beta_1}^2L_{xx}\\ &\because \hat{\beta_1}\sim N(\beta_1,\frac{\sigma^2}{L_{xx}})\\ &又\because\sqrt{SSR}=\hat{\beta_1}\sqrt{L_{xx}}\\ &\therefore\sqrt{SSR}\sim N(\sqrt{L_{xx}}\beta_1,\sigma^2)\\ & \end{aligned}
    接下来要考虑回归方程检验的目的,是为了能有足够的理由拒绝原假设,从而接受备择假设,故检验统计量的建立是在原假设成立的基础上成立的:
    H0:β1=0,H1:β10H_0:\beta_1=0,H_1:\beta_1\neq 0
    所以如果在H0H_0成立的前提下,可接下去证明:
    SSRN(0,σ2)SSRσN(0,1)SSRσ2χ2(1) \begin{aligned} &\sqrt{SSR}\sim N(0,\sigma^2)\\ &\therefore\frac{\sqrt{SSR}}{\sigma}\sim N(0,1)\\ &\therefore\frac{SSR}{\sigma^2}\sim\chi^2(1) \end{aligned}
    得证

    4、《线性模型引论》

    知乎上有人推荐的,可能有完全的数学证明,但里面涉及矩阵论,太难了!!,没看懂。

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  • 做线性回归的时候,检验回归方程和各...2.F检验F检验整体回归方程显著性的检验,即所有变量被解释变量的显著性检验3.P值:P值就是t检验用于检测效果的一个衡量度,t检验值大于或者p值小于0.05就说明该变量前...

    做线性回归的时候,检验回归方程和各变量对因变量的解释参数很容易搞混乱,下面对这些参数进行一下说明:

    1.t检验:t检验是对单个变量系数的显著性检验   一般看p值;    如果p值小于0.05表示该自变量对因变量解释性很强。

    2.F检验:F检验是对整体回归方程显著性的检验,即所有变量对被解释变量的显著性检验

    3.P值:P值就是t检验用于检测效果的一个衡量度,t检验值大于或者p值小于0.05就说明该变量前面的系数显著,选的这个变量是有效的。

    4.R方:拟合优度检验

    5.调整后的R方:

    小结:

    t检验 --用于对各变量系数显著性检验 --判断标准:一般用p值 0.05来衡量  小于0.05 显著    大于0.05不显著

    F检验 --整体回归方程显著性检验(所有自变量对因变量的整体解释) --判定:

      需查统计分布表来确定

    P值:就是用于t检验和F检验的衡量指标。

    R方:整体回归方程拟合优度检验,R方的结果越接近于1越好,但是R方会因增加变量而增大,所以引进了调整R方检验。

    调整R方:对R方检验的提升,避免受增加变量对R方的影响,配合向后删除模型观测。

    不显著的原因概述:不显著有很多原因造成,可能是你的这个变量本身与被解释变量没有相关关系,所以不显著;也可能是解释变量过多,由多重共线性引起,也可能是其他原因。

    以上观点不一定完全正确,需进一步参考学习,欢迎大神来指正。

    在进行多元线性回归时,常用到的是F检验和t检验,F检验是用来检验整体方程系数是否显著异于零,如果F检验的p值小于0.05,就说明,整体回归是显著的。然后再看各个系数的显著性,也就是t检验,计量经济学中常用的显著性水平为0.05,如果t值大于2或p值小于0.05就说明该变量前面的系数显著不为0,选的这个变量是有用的。

    参考文献:

    F检验:

    F检验(F-test)

    最常用的别名叫做联合假设检验(英语:joint hypotheses test),此外也称方差比率检验、方差齐性检验。

    它是一种在零假设(null hypothesis, H0)之下,统计值服从F-分布的检验。

    其通常是用来分析用了超过一个参数的统计模型,以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体。

    ————————————————

    原文链接:https://blog.csdn.net/sinat_25873421/article/details/80889757

    R方,调整后的R放,F检验:

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  • 线性回归标准化 R^2, T检验, F检验

    万次阅读 2018-05-13 16:29:46
    标准化方法:即将原始数据减去相应变量的均数后再除以该变量的标准差,而标准化得到的回归方程称为标准化回归方程,相应得回归系数为标准化回归系数。2、T检验T检验各个回归系数的检验,绝对值越大,sig就越小,...

    1、标准化

    对于多元线性回归需要对各个自变量进行标准化,排除单位的影响。

    标准化方法:即将原始数据减去相应变量的均数后再除以该变量的标准差,而标准化得到的回归方程称为标准化回归方程,相应得回归系数为标准化回归系数。

    2T检验

    T检验是对各个回归系数的检验,绝对值越大,sig就越小,sig代表t检验的显著性,在统计学上,sig<0.05一般被认为是系数检验显著,显著的意思就是你的回归系数的绝对值显著大于0,表明自变量可以有效预测因变量的变异,做出这个结论你有5%的可能会犯错误,即有95%的把握结论正确。

    3F检验

    F检验是对所有回归系数的检验,代表你进行回归的所有自变量的回归系数的一个总体检验,如果sig<0.05,说明至少有一个自变量能够有效预测因变量,这个在写数据分析结果时一般可以写出。

    F检验和R平方同向变化,当R=0F=0

    R方越大,F值也就越大

    R=1时,F为无穷大。

    F检验是所有回归系数的总显著性的度量也是R方的显著性检验,即检验回归系数为等价于R方为0,也就是在计算R方后,就不必做F检验。

    另外对于一元线性回归,F检验等价于T检验,因为回归系数只有一个。

    4R

    对于每组数据,我们可以用最小二乘法来求得一个线性模型,但对于这个模型的效果如何,如何来比较模型之间的好坏呢。R方就是来处理这个问题,它可以来计算预测值和真实y值的匹配程度,当R方(0~1)越接近1,这线性关系越明显。

    而在使用的时候要用调整后的R方,这个值是针对自变量的增多会不断增强预测力的一个矫正(因为即使没什么用的自变量,只要多增几个,R方也会变大,调整后的R方是对较多自变量的惩罚),R可以不用管,标准化的情况下R也是自变量和因变量的相关

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  • 多元线性回归检验

    2020-07-13 10:43:33
    F检验整体回归方程显著性的检验,即所有变量被解释变量的显著性检验 F检验其通常是用来分析用了超过一个参数的统计模型,以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体。 3.P值 P值...

    多元线性回归模型通常用来研究一个应变量依赖多个自变量的变化关系,如果二者的以来关系可以用线性形式来刻画,则可以建立多元线性模型来进行分析。

    1.t检验

    t检验是对单个变量系数的显著性检验,一般看p值; 如果p值小于0.05表示该自变量对因变量解释性很强。

    2.F检验

    F检验是对整体回归方程显著性的检验,即所有变量对被解释变量的显著性检验     

       

     

        

    F检验其通常是用来分析用了超过一个参数的统计模型,以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体。

    3.P值

    P值就是t检验用于检测效果的一个衡量度,t检验值大于或者p值小于0.05就说明该变量前面的系数显著,选的这个变量是有效的。

    4.R方

    拟合优度检验

       

    R平方也有其局限性:R平方随着自变量的增加会变大,R平方和样本量是有关系的。因此,我们要到R平方进行修正。得到R平方值adjusted,来评判线性回归模型的拟合度。修正的方法:

         

    n为样本数量,p为特征数量

    • 消除了样本数量和特征数量的影响

    5.调整后的R方

    t检验 --用于对各变量系数显著性检验 --判断标准:一般用p值 0.05来衡量  小于0.05 显著    大于0.05不显著

     F检验 --整体回归方程显著性检验(所有自变量对因变量的整体解释) --判定:  需查统计分布表来确定

    P值:就是用于t检验和F检验的衡量指标。

    R方:整体回归方程拟合优度检验,R方的结果越接近于1越好,但是R方会因增加变量而增大,所以引进了调整R方检验。

    调整R方:对R方检验的提升,避免受增加变量对R方的影响,配合向后删除模型观测。

    不显著的原因概述:不显著有很多原因造成,可能是你的这个变量本身与被解释变量没有相关关系,所以不显著;也可能是解释变量过多,由多重共线性引起,也可能是其他原因。

     

    在进行多元线性回归时,常用到的是F检验和t检验,F检验是用来检验整体方程系数是否显著异于零,如果F检验的p值小于0.05,就说明,整体回归是显著的。然后再看各个系数的显著性,也就是t检验,计量经济学中常用的显著性水平为0.05,如果t值大于2或p值小于0.05就说明该变量前面的系数显著不为0,选的这个变量是有用的。

    https://www.cnblogs.com/tinglele527/p/12015449.html

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对回归方程进行f检验