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  • 本文讲述如何用Python进行基本的数据拟合,以及如何拟合结果的误差进行分析。本例中使用一个2次函数加上随机的扰动来生成500个点,然后尝试用1、2、100次方的多项式该数据进行拟合。拟合的目的是使得根据训练...

    如何用Python进行线性回归以及误差分析

    数据挖掘中的预测问题通为2类:回归与分类。

    简说回归就是预测数值,而分类是给数据打上标签归类。

    本文讲述如何用Python进行基本的数据拟合,以及如何对拟合结果的误差进行分析。

    本例中使用一个2次函数加上随机的扰动来生成500个点,然后尝试用1、2、100次方的多项式对该数据进行拟合。

    拟合的目的是使得根据训练数据能够拟合出一个多项式函数,这个函数能够很好的拟合现有数据,并且能对未知的数据进行预测。

    代码如下:

    importmatplotlib.pyplot as plt

    importnumpy as np

    importscipy as sp

    fromscipy.stats importnorm

    fromsklearn.pipeline importPipeline

    fromsklearn.linear_model importLinearRegression

    fromsklearn.preprocessing importPolynomialFeatures

    fromsklearn importlinear_model

    ''''' 数据生成 '''

    x = np.arange(0, 1, 0.002)

    y = norm.rvs(0, size=500, scale=0.1)

    y = y x**2

    ''''' 均方误差根 '''

    defrmse(y_test, y):

    returnsp.sqrt(sp.mean((y_test - y) ** 2))

    ''''' 与均值相比的优秀程度,介于[0~1]。0表示不如均值。1表示完美预测.这个版本的实现是参考scikit-learn官网文档 '''

    defR2(y_test, y_true):

    return1- ((y_test - y_true)**2).sum() / ((y_true - y_true.mean())**2).sum()

    ''''' 这是Conway

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  • 关于一元回归检验中的F检验问题

    千次阅读 2019-09-18 23:42:29
    今天上多元回归的时候,学到经验回归方程进行检验的时候,到了FFF检验这里的时候,一直想不出来F=SSR/1SSE/(N−2)F=\frac{SSR/1}{SSE/(N-2)}F=SSE/(N−2)SSR/1​这个东西是怎么出来的。回寝室之后,想了许久并在...

    今天上多元回归的时候,学到对经验回归方程进行检验的时候,到了FF检验这里的时候,一直想不出来F=SSR/1SSE/(N2)F=\frac{SSR/1}{SSE/(N-2)}这个东西是怎么出来的。回寝室之后,想了许久并在网上查了一些东西,但是还没有具体的证明方法,只是暂时对查到的结果做一个简单的整理,为看到的人指一个模糊的方向,也为自己留一个记录,之后可以证下去。

    1、网上的一份文档

    这个是在网上查的时候看到的最多的一份文档,看过去应该是完成了证明,但是里面有涉及正交线性变换,我还没学过,也没有看懂,但先记下来,以后万一看懂了呢。
    《证明残差平方和除随机项方差服从卡方分布》
    https://www.docin.com/p-1185555448.html

    2、谢宇《回归分析》

    这本书是直接用的自由度来计算的,可惜没有完整的数学证明,但也是一个方向,也记一下吧,在原书第63页,下面是涉及到的大致内容:

    我们将因变量YY的总变异分解为两个部分:被解释的变异和未被解释的变异。这里,被解释的变异是回归模型中的结构项或系统性变动,反映着自变量和因变量之间的线性关系;而未被解释的变异是回归模型中的随机项,它体现了来自变量之外的影响。利用这一关系,我们将回归平方和(SSRSSR)和残差平方和(SSESSE)分别除以各自的自由度,就得到了回归均方(MSR)(MSR)和残差均方(MSE)(MSE)

    在简单回归的情况下,只有一个自变量,故回归平方和(SSR)(SSR)的自由度为1。而对于残差平方和(SSE)(SSE),我们需要以回归直线为基准进行计算(即对yiyi^y_i-\hat{y_i}进行估计)。同时,由于决定这条直线需要截距b0b_0和斜率b1b_1两个参数,故其自由度为n2n-2。另外,MSEMSE是总体误差的方差的无偏估计。

    MSR=SSR1MSR=\frac{SSR}{1}
    MSE=SSEn2MSE=\frac{SSE}{n-2}
    然后求两者的比值,这就形成了一个可以对模型进行整体检验的统计量:
    F=SSR/1SSE/(n2)=MSRMSEF=\frac{SSR/1}{SSE/(n-2)}=\frac{MSR}{MSE}
    因为该统计量服从自由度为11n2n-2FF分布,因此可以直接用它做检验。

    3、知乎网友的智慧

    在知乎上看到了一个网友的关于SSR/σ2χ2(1)SSR/\sigma^2\sim\chi^2(1)的证明,虽然只有SSRSSR的,但也是很可以了,而且证明思路是我想不出的,也许可以根据它证出SSESSE的分布。证明过程如下:

    首先,已知:
    Lxx=i=1n(xixˉ)2,βi^N(βi,σ2Lxx)yi^=βo^+β1^xi,yˉ=βo^+β1^xˉL_{xx}=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2,\hat{\beta_i}\sim N(\beta_i,\frac{\sigma^2}{L_{xx}}),\hat{y_i}=\hat{\beta_o}+\hat{\beta_1}x_i,\bar{y}=\hat{\beta_o}+\hat{\beta_1}\bar{x}
    因此:
    SSR=i=1n(yi^yˉ)2=i=1n(β0^+β1^xiβ0^β1^xˉ)=i=1n[β1^(xixˉ)]2=β1^2i=1n(xixˉ)2=β1^2Lxxβ1^N(β1,σ2Lxx)SSR=β1^LxxSSRN(Lxxβ1,σ2) \begin{aligned} SSR&=\sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\bar{y})^2\\ &=\sum_{i=1}^n\big(\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}\bar{x}\big)\\ &=\sum_{i=1}^n\big[\hat{\beta_1}(x_i-\bar{x})\big]^2\\ &=\hat{\beta_1}^2\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\\ &=\hat{\beta_1}^2L_{xx}\\ &\because \hat{\beta_1}\sim N(\beta_1,\frac{\sigma^2}{L_{xx}})\\ &又\because\sqrt{SSR}=\hat{\beta_1}\sqrt{L_{xx}}\\ &\therefore\sqrt{SSR}\sim N(\sqrt{L_{xx}}\beta_1,\sigma^2)\\ & \end{aligned}
    接下来要考虑回归方程检验的目的,是为了能有足够的理由拒绝原假设,从而接受备择假设,故检验统计量的建立是在原假设成立的基础上成立的:
    H0:β1=0,H1:β10H_0:\beta_1=0,H_1:\beta_1\neq 0
    所以如果在H0H_0成立的前提下,可接下去证明:
    SSRN(0,σ2)SSRσN(0,1)SSRσ2χ2(1) \begin{aligned} &\sqrt{SSR}\sim N(0,\sigma^2)\\ &\therefore\frac{\sqrt{SSR}}{\sigma}\sim N(0,1)\\ &\therefore\frac{SSR}{\sigma^2}\sim\chi^2(1) \end{aligned}
    得证

    4、《线性模型引论》

    知乎上有人推荐的,可能有完全的数学证明,但里面涉及矩阵论,太难了!!,没看懂。

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  • SPSS多元线性回归结果分析

    万次阅读 多人点赞 2018-04-11 17:42:00
    回归方程进行F检验。显著性是sig。 结果的统计学意义,是结果真实程度(能够代表总体)的一种估计方法。专业上,p 值为结果可信程度的一个递减指标,p 值越大,我们越不能认为样本中变量的关联是 总体中各变量...

     

     输出下面三张表

     

    第一张R方是拟合优度

    对总回归方程进行F检验。显著性是sig。

    结果的统计学意义,是结果真实程度(能够代表总体)的一种估计方法。专业上,p 值为结果可信程度的一个递减指标,p 值越大,我们越不能认为样本中变量的关联是 总体中各变量关联的可靠指标。p 值是将观察结果认为有效即具有总体代表性的犯错概率。如 p=0.05 提示样本中变量关联有 5% 的可能是由于偶然性造成的。 即假设总体中任意变量间均无关联,我们重复类似实验,会发现约 20 个实验中有一个实验,我们所研究的变量关联将等于或强于我们的实验结果。(这并不是说如变量间存在关联,我们可得到 5% 或 95% 次数的相同结果,当总体中的变量存在关联,重复研究和发现关联的可能性与设计的统计学效力有关。)在许多研究领域,0.05 的 p 值通常被认为是可接受错误的边界水平。

    F检验:

    对于多元线性回归模型,在对每个回归系数进行显著性检验之前,应该对回归模型的整体做显著性检验。这就是F检验。当检验被解释变量yt与一组解释变量x1, x2 , ... , xk -1是否存在回归关系时,给出的零假设与备择假设分别是

    H0b1 = b2 = ... = bk-1 = 0 ,

    H1bi, i = 1, ..., k -1不全为零。

    首先要构造F统计量。由(3.36)式知总平方和(SST)可分解为回归平方和(SSR)与残差平方和(SSE)两部分。与这种分解相对应,相应自由度也可以被分解为两部分。

    SST具有T - 1个自由度。这是因为在T个变差 ( yt -), t = 1, ..., T,中存在一个约束条件,即 = 0。由于回归函数中含有k个参数,而这k个参数受一个约束条件  制约,所以SSR具有k -1个自由度。因为SSE中含有T个残差,= yt -, t = 1, 2, ..., T,这些残差值被k个参数所约束,所以SSE具有T - k个自由度。与SST相对应,自由度T - 1也被分解为两部分,

    (T -1) = ( k - 1) + (T - k)                                              (3.44)

    平方和除以它相应的自由度称为均方。所以回归均方定义为

    MSR = SSR / ( k - 1)

    误差均方定义为

    MSE = SSE / (T - k)

    (显然MSE = s 2 (见3.23式),它的期望是s 2)。定义F统计量为

                                                        (3.45)

    在H0成立条件下,有

    F = ~ F(k -1, T - k)

    设检验水平为 a,则检验规则是

    若用样本计算的F <= Fa (k -1, T - k),则接受H0

    若用样本计算的F > Fa (k -1, T - k),则拒绝H0

    拒绝H0意味着肯定有解释变量与yt存在回归关系。F检验的结论是接受H0,则说明k – 1个解释变量都不与yt存在回归关系。此时,假设检验应该到此为止。当F检验的结论是拒绝H0时,应该进一步做t检验,从而确定模型中哪些是重要解释变量,哪些是非重要解释变量。

    本实验中k-1=4,T-k=62,检验水平为0.05,则Fa(4,62) 利用excel表查询,输入公式=FINV(0.05,4,62)=2.520101,再试一下0.01检验水平,FINV=3.6378,本实验得到的F为7.563,所以拒绝H0,具有显著性。

    这部分是总体分析

    第三部分是看各个自变量对因变量的显著性,是T检验。

    T检验:

     1、建立虚无假设H01 = μ2,即先假定两个总体平均数之间没有显著差异;

      2、计算统计量t值,对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法;

      1)如果要评断一个总体中的小样本平均数与总体平均值之间的差异程度,其统计量t值的计算公式为:

      t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{S}{n-1}}}

      2)如果要评断两组样本平均数之间的差异程度,其统计量t值的计算公式为:

      t=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sum x_1^2+\sum x_2^2}{n_1+n_2-2}\times\frac{n_1+n_2}{n_1\times n_2}}}

      3、根据自由度df=n-1,查t值表,找出规定的t理论值并进行比较。理论值差异的显著水平为0.01级或0.05级。不同自由度的显著水平理论值记为t(df)0.01和t(df)0.05

      4、比较计算得到的t值和理论t值,推断发生的概率,依据下表给出的t值与差异显著性关系表作出判断。

    T值与差异显著性关系表
    tP值差异显著程度
    t\ge t(df)0.01 P\le 0.01 差异非常显著
    t\ge t(df)0.05 P\le 0.05 差异显著
    t < t(df)0.05 P > 0.05 差异不显著

     

    以0.05为检验水平的话,图中可以看到总股本和净资产收益率不显著,其他显著。

    图中B是各个自变量的系数,负值代表是负相关,所以资产负债率是负向影响。标准化的系数反应了这个自变量对因变量的影响程度。

    多重线性分析

     

    多个维度特征值约为0证明可能存在多重共线性  条件指标大于10时提示有多重共线性 

    再看相关系数矩阵 近似为1的有多重共线性 

      例如在回归分析中,线性回归-统计量-有共线性诊断。 多重共线性:自变量间存在近似的线性关系,即某个自变量能近似的用其他自变量的线性函数来描述。 多重共线性的后果: 整个回归方程的统计检验Pa,不能纳入方程 去掉一两个变量或记录,方程的回归系数值发生剧烈抖动,非常不稳定。 多重共线性的确认: 做出自变量间的相关系数矩阵:如果相关系数超过0.9的变量在分析时将会存在共线性问题。在0.8以上可能会有问题。但这种方法只能对共线性作初步的判断,并不全面。 容忍度(Tolerance):有 Norusis 提出,即以每个自变量作为应变量对其他自变量进行回归分析时得到的残差比例,大小用1减决定系数来表示。该指标越小,则说明该自变量被其余变量预测的越精确,共线性可能就越严重。陈希孺等根据经验得出:如果某个自变量的容忍度小于0.1,则可能存在共线性问题。 方差膨胀因子(Variance inflation factor, VIF): 由Marquardt于1960年提出,实际上就是容忍度的倒数。 特征根(Eigenvalue):该方法实际上就是对自变量进行主成分分析,如果相当多维度的特征根等于0,则可能有比较严重的共线性。 条件指数(Condition Idex):由Stewart等提出,当某些维度的该指标数值大于30时,则能存在共线性。 多重共线性的对策: 增大样本量,可部分的解决共线性问题 采用多种自变量筛选方法相结合的方式,建立一个最优的逐步回归方程。 从专业的角度加以判断,人为的去除在专业上比较次要的,或者缺失值比较多,测量误差比较大的共线性因子。 进行主成分分析,用提取的因子代替原变量进行回归分析。 进行岭回归分析,它可以有效的解决多重共线性问题。 进行通径分析(Path Analysis),它可以对应自变量间的关系加以精细的刻画。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/xiaobaohuizi/p/8797213.html

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  • 刚接触计量经济学和Eviews软件不久,并且本着能用就行的原则,只软件的操作和模型的结果分析进行说明,并不太在意具体的方法和具体的数学原理。 以下内容大多为在网上学习相关操作,按照自己的理解进行操作和分析...

    使用说明

    刚接触计量经济学和Eviews软件不久,并且本着能用就行的原则,只对软件的操作和模型的结果分析进行说明,并不太在意具体的方法和具体的数学原理。

    以下内容大多为在网上学习相关操作,按照自己的理解进行操作和分析,仅仅代现阶段个人看法,并不保证一定正确,如有错误欢迎指正!


    以某次多元线性回归为例介绍多元线性回归模型常见的检验方法,其中Farming为被解释变量,其他的所有变量为解释变量。此处要求进行:多重共线性检验、随机误差项正态分布检验、异方差检验、模型结构稳定性检验。

    0. 前期准备

    1. 创建工作文件:【File】 -> 【New】 -> 【WorkFile】Ctrl + N
      在这里插入图片描述

    2. 确定起止日期:
      在这里插入图片描述

    以上操作可通过在Command输入:wfcreate a 1985 2014实现

    1. 创建数据集:【Quick】 -> 【Empty Group】
      在这里插入图片描述

    2. 导入数据(也可从Excel直接导入):先将Group上滑再粘贴进入数据集
      在这里插入图片描述

    此时我们完成了所有的数据导入,可以开始进行回归模型分析。

    1. 模型和参数检验

    1. 定义影响因素组:为便于后续的操作,我们将可能影响的因素都定义为一个Group并命名为Factor
      在这里插入图片描述

    2. 对创建的数据组命名
      在这里插入图片描述

    3. 是否成功的检验
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    4. 创建方程进行估计:【Quick】 -> 【Esttimate Equation】

    在这里插入图片描述

    1. 进行全变量回归:将所有变量(实际上就是Group Factor代入回归模型求解)
      在这里插入图片描述

    上述操作也可以通过Command中输入ls farming c factor实现

    1. 回归模型及参数的检验
      在这里插入图片描述

    通过观察模型的Ft统计量以及其实际概率(P值,与显著性水平对比)可以看出模型和系数是否显著。

    在此模型中,由于Prob(F-statistic)<0.05故模型显著,变量中ElectricityGrain对应的Prob.<0.05,可认为这两个变量影响显著,其余的变量影响则不显著。

    2. 多重共线性检验

    多重共线性的检验方法有很多,模型中F检验能通过,但是t检验却不能通过是一种较为简洁的判断是否存在多重共线性的方式。上述原始模型满足此条件,大胆估计模型存在多重共线性,使用VIF值再进行判断。

    1. VIF检验多重共线性:【View】 -> 【Coefficient Diagnostics】 -> 【Variance Inflation Factors】
      在这里插入图片描述

    2. 观察VIF值判断结果:通常以10为界,大于10则认为存在较为严重的多重共线性
      在这里插入图片描述

    此处可以认为模型存在极其严重的多重共线性,需要对模型进行修正(通常需要删除某些变量)

    1. 采用逐步回归删除变量进行修正:和OLS操作相同,只是模型选择STEPLS
      在这里插入图片描述

    2. 确定逐步回归模型的相关参数,再次进行回归分析
      在这里插入图片描述

    上述的步骤可以通过在Command中输入stepls(ftol=0.1, btol=0.1) farming c @ factor实现

    1. 按照步骤(1,2)再次检测VIF值,判断是否通过多重共线性检验

    在这里插入图片描述

    3. 误差项正态分布检验

    误差项是否服从正态分布通常可以通过做图像或通过J-B检验判断

    1. 图像判断:在方程界面点击Resids选择图像
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    2. 图像结果观察:观察残差图像是否有明显的趋势性,若没有,大体上可认为其服从正态分布
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    3. J-B检验:先选中resid,选则 View -> Descriptive Statistics -> Histogram and Stats进行检验
      在这里插入图片描述

    4. J-B检验结果:观察结果,发现P=0.2005 > 0.05可认为保留原假设,即满足正态分布
      在这里插入图片描述

    4. 异方差检验

    异方差的检验方法也有很多,此处通过White检验进行判断

    1. White检验方法:View -> Residual Diagnostic -> Heteroskedasticity Test -> Wihte
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    2. White检验结果解读:观察t统计量及其实际概率,发现不能通过检验,认为存在异方差性
      在这里插入图片描述

    注:这里应该是不存在异方差,因为原假设为同方差,此处不拒绝原假设,故可认为不存在异方差。若存在异方差则按照下列步骤进行修正!

    1. 异方差的修正:进行赋权
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    4. 模型稳定性检验

    通过Chow检验判断模型是否存在截断点(拐点)

    1. 绘制被解释变量草图:操作同3.1-3.2,可得到原数据,拟合数据,误差项图像,认为06年为可能的拐点
      在这里插入图片描述

    2. 进行Chow检验:View -> Stability Diagnostic -> Chow Breakpoint Test
      在这里插入图片描述

    3. 设置断点:设置断点为2006年
      在这里插入图片描述

    4. 观察统计结果:主要看模型的F和对应的P值,发现模型结构不稳定存在断点
      在这里插入图片描述

    5. 模型的修正:对于这类情况,需要设置虚拟变量构造分段函数进行修正

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  • 稳定性检验

    千次阅读 2019-09-15 11:13:42
    1. 从数据出发, 替换不同的样本进行检验样本是否有问题; 2. 从变量出发,根据其它不同指标样本进行分类后,检查分类后的样本是否y特征的显著性有影响; 3. 从计量方法出发, 用不同的工具或检验方法。。 ...

空空如也

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对回归结果进行检验