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  • 本文大多内容系转帖。 三体问题  在引力计算中,两体问题可以得到完美解决。可是一涉及到三体,那... 地月之间的5个拉格朗日点  1767年,大数学家欧拉发现三体(地、月、卫星)问题中的3个限制性特解L1、L...

      本文大多内容系转帖。

    • 三体问题

      在引力计算中,两体问题可以得到完美解决。可是一涉及到三体,那就傻眼了。怎么办?找一些特殊条件的解。比如说,三体中一个天体质量非常小时(地、月、卫星),有五个特解,叫做拉格朗日点,属于限制性三体问题(普遍性三体问题没有通解)。

     

    • 地月之间的5个拉格朗日点

      1767年,大数学家欧拉发现三体(地、月、卫星)问题中的3个限制性特解L1、L2和L3。从下图中看到, L1是谁都能发现的点。

      1772年,欧拉的学生拉格朗日,又发现三体问题中的两个限制性特解L4和L5。

     

    • 拉格朗日点的好处及特点

      探测器在拉格朗日点处,既能保持相对稳定的轨道,还能为探测器入轨减少燃料。

      地月间的五个拉格朗日点,情况如下:

      L1:位于月球和地球之间,距离月球6.5万公里,可以理解为月球引力和地球引力相互抵消的点,该处的飞行器无法在水平位置保持自平衡,稍受扰动就会偏向其中一方。要围绕这个点飞行有点难度。

      L2:位于月球背面一侧,距离月球6.5万公里,该处附近的飞行器无法保持自平衡,飞行器需要围绕L2点绕行,从而达到动态平衡。

      L3:位于地球背向月球一侧,比月球轨道(38万公里)稍微小一点,该处的飞行器无法保持自平衡。估计飞行器也可以围绕飞行而动态平衡。

      L4、L5:对称的两个点,每个点与地球、月球都构成等边三角形,这两个拉格朗日点属于自平衡点,该处的飞行器就算受到一定的扰动,也能主动回到平衡点。这意思把卫星发射到这个位置,就不用管了,只要不坏可以永久停留在这个位置。

      位于这五个点的小天体,会达到引力平衡状态,其中地月拉格朗日L2点,就是此次“鹊桥”中继卫星的放置点,在该位置处,鹊桥卫星可以和在月球背面登陆的嫦娥四号通讯,也可以和地面通讯,从而作为两者的桥接通讯卫星。

     

    • 地球和太阳间也存在五个拉格朗日点

      这里的三体是:日、地、卫星。

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  • 插值法是数值分析的基础知识之一,本文介绍的拉格朗日插值法是一种多项式插值法,可以用于数据不完整时的填补工作,本文包含理论介绍和python实现两部分。1、什么是插值问题?假设自己拥有下面的数值序列,由于...

    插值法是数值分析的基础知识之一,本文介绍的拉格朗日插值法是一种多项式插值法,可以用于数据不完整时的填补工作,本文包含理论介绍和python实现两个部分。

    1、什么是插值问题?

    假设自己拥有下面的数值序列,由于某些原因只测到了一些离散的点,横坐标范围是(-3, 7),共包含11个点:

    x = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

    y = [14, 7, 5, 1, 2, 6, 7, 8, 13, 20, 21]

    其对应的图示如下:

    插值问题是:如何填补各点之间的空缺,从而连成一条曲线呢?

    2、拉格朗日插值法

    据说这个方法并不是拉格朗日最先提出的【1】,而是莱昂哈德·欧拉于1783年发现的(在他之前爱德华·华林与1779年发现)。没错,这个欧拉就是数学中经常出现的欧拉!但由于拉格朗日在《师范学校数学基础教程》一书中发表了此插值方法,后人就称之为拉格朗日插值法了。

    按照书中【2】的介绍我进行了如下的推导,首先是n=1,也就是拥有2个已知点的情况,两个点确定一条直线,所以插值多项式L(x)可以通过求解直线方程得到:

    其中(xk,yk)(xk+1,yk+1)表示两个端点,求解L(x)实际上就是计算直线的方程,需要注意的是lk(x)表示基函数,这个概念代码实现中比较重要。计算得到L(x)表达式后,将x赋值为任意的横坐标,都能预测得到对应的纵坐标,也就是插值过程。

    为了更直观的说明这个功能,假设自己有两个点(1,3)和(2,5):

    显然,仅仅两个点不能用于任何任务,所以需要预测这两个点之间的更多点。使用上面的推导过程得到表达式L(x)=1+2x,然后对于两个点之间的任意横坐标x=[1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4.....1.9, 2],都能得到对应的y=L(x)了:

    现在,通过插值拥有了更多的点,但是此时很难说明插值得到的新的点是不是能够符合数据本身额规律,因为2个点实在是太少了,不能体现出数据的内在规律。

    所以我们需要更多的点,来获得比上面的直线方程更加复杂的表达式,对于n>1的情况(拥有超过2个已知点)可以采用类似的程序进行推导,最终能通过数学归纳法得到n为任意值时插值多项式L(x)的表达式:

    获得L(x)的表达式以后,对于任意的x点都能获得对应的预测值y。但是有些资料上说n不能太大,也就是数据点个数n-1不能太多,否则拉格朗日插值法会出现问题。

    3、python实现

    用Python实现拉格朗日插值法并不复杂,只需计算基函数并求和即可,代码如下:

    def lagrange(x, y, num_points, x_test):

    # 所有的基函数值,每个元素代表一个基函数的值

    l = np.zeros(shape=(num_points, ))

    # 计算第k个基函数的值

    for k in range(num_points):

    # 乘法时必须先有一个值

    # 由于l[k]肯定会被至少乘n次,所以可以取1

    l[k] = 1

    # 计算第k个基函数中第k_个项(每一项:分子除以分母)

    for k_ in range(num_points):

    # 这里没搞清楚,书中公式上没有对k=k_时,即分母为0进行说明

    # 有些资料上显示k是不等于k_的

    if k != k_:

    # 基函数需要通过连乘得到

    l[k] = l[k]*(x_test-x[k_])/(x[k]-x[k_])

    else:

    pass

    # 计算当前需要预测的x_test对应的y_test值

    L = 0

    for i in range(num_points):

    # 求所有基函数值的和

    L += y[i]*l[i]

    return L

    上面定义的lagrange函数能够根据给定的n个点(x,y),预测任一点横坐标x_test对应的纵坐标y_predict。

    4、用插值填补数据空缺前后效果比较

    现在,可以使用前面定义的lagrange()函数对第1节中的数据插值。第1节中横坐标范围为(-3,7)共11个点,自己想在(-3,7)之间等间隔的取50横坐标,计算对应的纵坐标:

    x_test = list(np.linspace(-3, 7, 50))

    y_predict = [lagrange(x, y, len(x), x_i) for x_i in x_test]

    得到插值前后的对比如下:

    总结:

    插值的方法很多,拉格朗日插值不是万能的,可能有些时候数值的规律并不能通过插值获得,甚至会出现极端错误的插值结果。但是,在多数情况下,只要已有的数据规律性很强,插值仍然是很好的选择。

    参考:

    【1】https://baike.baidu.com/item/拉格朗日插值法/9301667?fr=aladdin

    【2】数值分析 李庆扬 第五版

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  • 请证明:a)如果在区间的 个点等于零,则满足 的 存在b)如果 是区间的,则满足 的不超过 次的多项式 唯一存在。此外,对于 可以求出点 ,使得 c)如果 是区间 的, 是满足 的自然数,并且当 时, ,则在区间 上...

    110143d34339b6935dfdbede9304746b.png

    是区间
    上的
    阶可微函数.请证明:

    a)如果

    在区间
    个点等于零,则满足
    的点
    存在

    b)如果

    是区间
    的点,则满足
    的不超过
    次的多项式
    唯一存在。

    此外,对于

    可以求出点
    ,使得

    c)如果

    是区间
    的点,
    是满足
    的自然数

    ,并且当

    时,
    ,则在区间
    上满足
    的点
    存在.

    d)满足

    阶多项式
    唯一存在.此外,在包含
    的最小区间内部,满足以下条件的点
    存在:


    证明:

    a)

    因为

    在区间
    个点等于零,反复运用罗尔定理知
    至少有
    个不同解,
    至少有
    个不同解,
    至少有一解

    b)

    直接给出拉格朗日插值多项式:

    43d02c0a11fee806655633348871d7a5.png

    其中每个

    1e5c9a0d2d825f867dffc5423fcbcabd.png

    为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为:

    4791c4f56358e02da5380739bd28058a.png

    其特点是在

    上取值为1,在其它的点
    上取值为0

    也就是说:

    其实,如果不通过构造,还可以利用行列式证明拉格朗日插值多项式的存在性与唯一性:

    首先假设

    ,它需要满足

    其中

    两两不同.

    根据范德蒙德行列式的性质知

    行列式不为零,可逆

    于是方程组(1)对

    有解,故满足条件的插值多项式存在

    ,则有

    构造函数

    其中

    中任意与
    不同的数

    则有

    由a)中结论知,存在

    使得

    于是得到

    代入

    的表达式中得到

    代入得到

    的任意性以及
    得到


    c)

    首先,

    时显然成立,当
    时,不妨设
    ,有

    可以看出,

    有两个零点
    ,故
    间会有一个零点,加上
    也是
    的零点,

    所以

    有三个零点。这三个零点会导致
    间有两个零点,再加上
    也是
    的零点,

    所以

    有四个零点

    反复进行这一逻辑推导,最终得到

    个零点,而这会导致
    个零点,由于
    也是
    的零点,故
    个零点,这又导致
    个零点

    再次反复进行上述逻辑推导,最终得到

    个零点,于是
    有一个零点.(注:这里的"有"都应当理解为"至少有")

    根据题设,

    ,那么我们证明了
    有一个零点,
    时的情况成立

    假设对

    成立,那么对
    的情况:

    首先对前

    个点运用归纳假设,我们得到了
    的一个零点,设为

    其次,由

    运用
    时的结论得到

    存在

    显然在
    上,故
    的情况也成立,故结论成立.

    d)

    仍然利用行列式证明埃尔米特插值多项式的存在性与唯一性:

    仍然假设

    ,它需要满足

    其中

    两两不同,
    表示
    处的第
    阶导数。

    我们需要证明:

    行列式不为零,可逆

    类似范德蒙德行列式,可以证明

    其中

    是由
    决定的参数,
    是由
    决定的参数。

    于是矩阵行列式不为零,可逆,线性方程组有唯一解。

    插值余项的估计:

    ,则有

    构造函数

    其中

    中任意与
    不同的数

    于是得到

    由c)中结论加上因构造多出来的一个零点

    可知

    存在

    使得

    代入

    的表达式中得到

    代入得到

    的任意性以及
    得到


    总结:

    我们知道,泰勒公式是取某一个点的前

    阶导数值
    来构造多项式逼近原函数,而拉格朗日插值公式则是取
    个不同个点的函数值
    来构造多项式逼近原函数。埃尔米特插值表明:多一阶导数和多一个点具有相同的地位,多项式的次数等于所有的点的重根数之和再减一。实质上,泰勒公式和拉格朗日插值公式可以看成是埃尔米特插值的两种极端情况。
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  • 在本文中,我们推导了涵盖所有非最小标准模型扩展... 在违反洛伦兹的情况下处于领先地位,拉格朗日方程满足了五个非线性方程组,这些方程控制着从场论到经典描述的映射。 该结果可用于重力领域中经典物体的现象学研究。
  • 该方法利用桑迪亚(Sandia)国家重点实验室I-V特性曲线上的五个点的值作为节点进行拉格朗日插值,最终得到 特性显式表达。为了验证此模型的准确性,对两种不同的光伏电池组件(SP-75,MSX-64)在不同的光照强度和...
  • 使用C++语言实现,通过随机出的一到五个点进行插值,能画出一条光滑的曲线。
  • 我在网上搜了一下,发现好像讲有限元入门的一来就是什么“最小势能原理”,我觉得很恶心,于是想自己写一个精简教程...因此除去初始条件,得到了4个未知的节点: 将这五个点用线链接起来,得到一个连续的函数图像,...

    我在网上搜了一下,发现好像讲有限元入门的一来就是什么“最小势能原理”,我觉得很恶心,于是想自己写一个精简教程。

    有限元方法是数值计算偏微分方程的一种普遍方法。

    这里有一个简单偏微分方程:

    equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x%7D%2Cx%5Cin%5B-1%2C0%5D ,已知初始条件:
    equation?tex=f%280%29%3D1

    为了求解这个偏微分方程,可以将该函数离散为若干个节点,如下图将该函数离散为了5个节点和四个单元。

    6d0375704a00879060f1b80ad89b735a.png

    因此除去初始条件,得到了4个未知的节点:

    equation?tex=f%28x_1%29%3Df%27%28x_1%29

    equation?tex=f%28x_2%29%3Df%27%28x_2%29

    equation?tex=f%28x_3%29%3Df%27%28x_3%29

    equation?tex=f%28x_4%29%3Df%27%28x_4%29

    equation?tex=f%28x_5%29%3Df%27%28x_5%29%3D1

    将这五个点用线链接起来,得到一个连续的函数图像,利用该连续图像来求解函数的偏导数。那么如何将这五个点链接起来呢?

    一,插值多项式

    对于以上有五个节点的函数

    equation?tex=f ,可以建立五个如图的插值函数:

    52c4d9fb87cab5190be089933095ab42.png

    由此可以得到一个函数

    equation?tex=f 的近似函数:
    equation?tex=f%28x%29%5Capprox%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%7Bf_k%5Cphi_k%28x%29%7D 其中,
    equation?tex=f_k 是第
    equation?tex=k 个节点的函数值,当然,此时的
    equation?tex=f_k 是作为未知量的存在,在这个新的近似函数中,
    equation?tex=%5Cphi_k%28x%29 则是完全已知的函数。由此可以得到链接节点后的函数图像:

    6060fb58c83586dae7d784f7fd70139a.png

    由于

    equation?tex=%5Cphi_k%28x%29 是已知的,并且
    equation?tex=f_k 是常数,因此对近似函数求导:
    equation?tex=f%27%28x%29%5Capprox%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7Bf_k%5Cphi_k%27%28x%29%7D 可以得到新的导数图像:

    bf502dfd758c76ee965e12ab9971078c.png

    f6b51f055f1662b641a63fb5f45333c8.png

    但是此时,四个未知量,还是无法求解,怎么办呢?

    二,变分法与偏微分方程的弱变形

    提问:有没有一个函数

    equation?tex=g%28x%29 ,使得函数
    equation?tex=f%28x%29
    equation?tex=g%28x%29 在某个确定的区间一致?

    强形式,即是

    equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%2C%5Cforall+x%5Cin%5COmega ,两个函数点对点一致。

    那么弱形式,即是两个函数的卷积相等:

    equation?tex=%5Cint_%7B%5COmega%7Dw%28x%29f%28x%29d%5COmega%3D%5Cint_%7B%5COmega%7Dw%28x%29g%28x%29d%5COmega%2C%5Cforall+w%28x%29

    equation?tex=w%28x%29 是一个测试函数,它可以是任意函数。但是根据变分原理,函数的边界值为0.

    接着上面的例子:

    equation?tex=f%28x%29%3Df%27%28x%29

    移项并乘以测试函数:

    equation?tex=w%28x%29%28f%28x%29-f%27%28x%29%29%3D0

    积分:

    equation?tex=%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7Dw%28x%29%28f%28x%29-f%27%28x%29%29dx%3D0

    而它与强形式等价的条件,则是

    equation?tex=%5Cforall+w%28x%29

    别忘了函数

    equation?tex=f 和它的导数
    equation?tex=f%27 的插值近似,将其带入上面的积分形式:

    equation?tex=%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7Dw%28x%29%28f_1%5Cphi_1%28x%29%2Bf_2%5Cphi_2%28x%29%2B...%2Bf_5%5Cphi_5%28x%29-f_1%5Cphi%27_1%28x%29-f_2%5Cphi%27_2%28x%29-...-f_5%5Cphi%27_5%28x%29%29dx%3D0

    equation?tex=w%28x%29 可以是任意函数,但是为了简便,这里用
    equation?tex=%5Cphi_i%28x%29 替换
    equation?tex=w%28x%29 (Galerkin法)

    也就是

    equation?tex=%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_i%28x%29%28%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B5%7D%7Bf_k%5Cphi_k%28x%29%7D-%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B5%7D%7Bf_k%5Cphi%27_k%28x%29%7D%29dx%3D0

    不要忘了上面的积分中,包含了一个已知节点,和四个未知节点。接下来分离已知量和未知量:

    equation?tex=%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_i%28x%29%28%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B4%7D%7Bf_k%5Cphi_k%28x%29%7D-%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7B4%7D%7Bf_k%5Cphi%27_k%28x%29%7D%29dx%3D-f_5%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_i%28x%29%28%5Cphi_5%28x%29-%5Cphi%27_5%28x%29%29dx

    由此我们得到了一个方程。

    但是四个未知量至少需要四个方程才能解,所以还需要遍历未知节点的

    equation?tex=%5Cphi_i%28x%29 ,得到一个线性方程组:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_1%28x%29%28%5Cphi_1%28x%29-%5Cphi%27_1%28x%29%29dx+%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_1%28x%29%28%5Cphi_2%28x%29-%5Cphi%27_2%28x%29%29dx+%26%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_1%28x%29%28%5Cphi_3%28x%29-%5Cphi%27_3%28x%29%29dx++%26%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_1%28x%29%28%5Cphi_4%28x%29-%5Cphi%27_4%28x%29%29dx+%5C%5C++%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_2%28x%29%28%5Cphi_1%28x%29-%5Cphi%27_1%28x%29%29dx+%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_2%28x%29%28%5Cphi_2%28x%29-%5Cphi%27_2%28x%29%29dx+%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_2%28x%29%28%5Cphi_3%28x%29-%5Cphi%27_3%28x%29%29dx+%26%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_2%28x%29%28%5Cphi_4%28x%29-%5Cphi%27_4%28x%29%29dx+%5C%5C++%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_3%28x%29%28%5Cphi_1%28x%29-%5Cphi%27_1%28x%29%29dx+%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_3%28x%29%28%5Cphi_2%28x%29-%5Cphi%27_2%28x%29%29dx+%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_3%28x%29%28%5Cphi_3%28x%29-%5Cphi%27_3%28x%29%29dx+%26%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_3%28x%29%28%5Cphi_4%28x%29-%5Cphi%27_4%28x%29%29dx+%5C%5C+++%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_4%28x%29%28%5Cphi_1%28x%29-%5Cphi%27_1%28x%29%29dx%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_4%28x%29%28%5Cphi_2%28x%29-%5Cphi%27_2%28x%29%29dx+%26%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_4%28x%29%28%5Cphi_3%28x%29-%5Cphi%27_3%28x%29%29dx++%26+%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_4%28x%29%28%5Cphi_4%28x%29-%5Cphi%27_4%28x%29%29dx+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+f_1%5C%5C++f_2%5C%5C++f_3%5C%5C++f_4+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+-f_5%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_1%28x%29%28%5Cphi_5%28x%29-%5Cphi%27_5%28x%29%29dx%5C%5C++-f_5%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_2%28x%29%28%5Cphi_5%28x%29-%5Cphi%27_5%28x%29%29dx%5C%5C++-f_5%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_3%28x%29%28%5Cphi_5%28x%29-%5Cphi%27_5%28x%29%29dx%5C%5C++-f_5%5Cint_%7B-1%7D%5E%7B0%7D%5Cphi_4%28x%29%28%5Cphi_5%28x%29-%5Cphi%27_5%28x%29%29dx+%5Cend%7Bbmatrix%7D

    如此,便可通过计算机得到全部的四个节点的值。

    三,热传导模型

    对于一个一维热传导微分方程:

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%28x%2Ct%29%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Clambda%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%28x%2Ct%29%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%2Cx%5Cin%5B0%2CL%5D ,它的两端边界的温度已知,并且初始时刻所有节点温度已知,因此未知量为除初始时刻外时间的中间节点。

    按照上面的套路,首先用插值函数重建一个近似函数:

    equation?tex=T%28x%2Ct%29%5Csimeq%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%7BT_k%28x%2Ct%29%5Cphi_k%28x%29%7D

    由于是线性插值,所以在一个元素内,

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%28x%2Ct%29%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%3D0

    对中间节点进行强弱转换:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+t%7D-%5Clambda%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%29%5Cphi_i%28x%29dx%3D0

    对二阶微分项降阶:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%5Cphi_i%28x%29dx%3D%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cphi_i%28x%29%5Cright%7C_%7BL%7D%5E%7B0%7D-%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddx

    由于在中间的节点中,

    equation?tex=%5Cphi_i%280%29%3D%5Cphi_i%28L%29%3D0 (狄利克雷边界条件)

    因此直接得到:

    equation?tex=-%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%5Cphi_i%28x%29dx%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddx

    将该二阶项带入强弱形式转换卷积方程,

    得到:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Cphi_i%28x%29%2B%5Clambda%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+x%7D%29dx%3D0%2C+++i%3D2%2C3%2C4%2C...%2CN-1

    代入插值后的近似函数

    equation?tex=T%5Csimeq%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%7BT%5Cphi_k%28x%29%7D

    于是 :

    equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+T_k%28t%29%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Cphi_k%28x%29%5Cphi_i%28x%29%2B%5Clambda+T_k%28t%29%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_k%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%29dx%3D0%2Ci%3D2%2C3%2C4%2C...%2CN-1

    为了解出时间项,还需要用欧拉后向差分:

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+T_k%7D%7B%5Cpartial+t%7D%5Capprox+%5Cfrac%7BT_k%5E%7Bn%2B1%7D-T_k%5E%7Bn%7D%7D%7B%5CDelta+t%7D

    equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cphi_k%28x%29%5Cphi_i%28x%29dx%29%5Cfrac%7BT_k%5E%7Bn%2B1%7D-T_k%5E%7Bn%7D%7D%7B%5CDelta+t%7D%2B%5Clambda+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7DT_k%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_k%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddx%29%3D0

    分离已知量和未知量:

    equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta+t%7D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cphi_k%28x%29%5Cphi_i%28x%29dx%29T_k%5E%7Bn%2B1%7D%2B%5Clambda+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7DT_k%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_k%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddx%29%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%28%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cphi_k%28x%29%5Cphi_i%28x%29dx%29T_k%5E%7Bn%7D

    由于插值函数是已知的,所以可以得到如下关系:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cphi_k%28x%29%5Cphi_i%28x%29dx%3D%5Cleft+%5C%7B++%5Cbegin%7Bmatrix%7D++%5Cfrac%7B2%5CDelta+x%7D%7B3%7D%26++i%3Dk%5C%5C++%5Cfrac%7B%5CDelta+x%7D%7B6%7D+%26+%5Cleft+%7C+i-k+%5Cright+%7C%3D1%5C%5C+++0%26+else+%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_k%28x%29%7D%7B%5Cpartial+x%7Ddx%3D%5Cleft+%5C%7B++%5Cbegin%7Bmatrix%7D++%5Cfrac%7B2%7D%7B%5CDelta+x%7D%26++i%3Dk%5C%5C++%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5CDelta+x%7D+%26+%5Cleft+%7C+i-k+%5Cright+%7C%3D1%5C%5C+++0%26+else+%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+

    两边同时乘以

    equation?tex=%5CDelta+t ,同时除以
    equation?tex=%5CDelta+x+ 则得到完整的方程组:

    equation?tex=%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D+%26++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D%26++0%26+...+%260+%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D+%26++%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D%26++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D%26+...+%26+0%5C%5C+++...%26+...+%26++...++%26...+%26...+%5C%5C++0+%26+0+%26++...%26++...%26+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D++%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+T_2%5E%7Bn%2B1%7D%5C%5C++T_3%5E%7Bn%2B1%7D%5C%5C++...%5C%5C++T_%7BN-1%7D%5E%7Bn%2B1%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DT_1%5E%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DT_2%5E%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DT_3%5E%7Bn%7D-%28%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D%29T_1%5E%7Bn%2B1%7D%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DT_2%5E%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DT_3%5E%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DT_4%5E%7Bn%7D%5C%5C++...%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DT_%7BN-2%7D%5E%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DT_%7BN-1%7D%5E%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DT_N%5E%7Bn%7D-%28%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B%5Clambda+%5CDelta+t%7D%7B%5CDelta+x%5E%7B2%7D%7D%29T_N%5E%7Bn%2B1%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D+

    可由计算机求解。

    四,二维网格

    例举一个二维网格:

    82e67e35d7bc57b760e652d58e071e33.png

    该网格有15个单元,14个节点。并且一个单元包含3个节点,因此某一个单元可以由两两相邻的三个节点唯一标识。

    比如第一单元格,三个节点分别为1,2,6节点。

    还是以热传导模型举例,这次是二维平面的热传导微分方程:

    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+T%7D%7B%5Cpartial+t%7D%3D%5Clambda%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+T%7D%7B%5Cpartial+y%5E2%7D%29%2C%28x%2Cy%29%5Cin%5COmega

    经过一系列套路后,它的弱形式方程与一维的例子只有很小的差别:

    equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn_n%7D%28%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_k%28x%2Cy%29%5Cphi_i%28x%2Cy%29d%5COmega%29%5Cfrac%7BT_k%5E%7Bn%2B1%7D-T_k%5E%7Bn%7D%7D%7B%5CDelta+t%7D%2B%5Clambda+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn_n%7DT_k%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cnabla%5Cphi_i%28x%2Cy%29%5Ccdot%5Cnabla%5Cphi_k%28x%2Cy%29d%5COmega%29%3D0

    其中

    equation?tex=n_n 表示第
    equation?tex=n 个节点。如果要表示单元,则用
    equation?tex=n_e

    一般来说需要三个边界条件,一个是初始状态,一个狄利克雷条件,外加一个诺伊曼条件,也就是某一边界的热量传入功率

    equation?tex=Q

    假设某一边界

    equation?tex=D 上是绝热的,则诺伊曼条件为:
    equation?tex=%5Chat%7Bn%7D%5Ccdot+%5Cnabla+T%5Cleft+%7C_%7B%28x%2Cy%29%5Cin+%5Cpartial+D%7D++%5Cright.%3DQ

    按照套路,首先用插值函数离散温度函数:

    equation?tex=T%28x%2Cy%2Ct%29%5Capprox%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn_n%7D%7BT_k%28t%29%5Cphi_k%28x%2Cy%29%7D+%5C%5C+%3DT_1%28t%29%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5C%5C++%2BT_2%28t%29%5Cphi_2%28x%2Cy%29%5C%5C++...%5C%5C++%2BT_6%28t%29%5Cphi_6%28x%2Cy%29%5C%5C++...%5C%5C++%2BT_%7B14%7D%28t%29%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29+

    6788530b9e4ed31399dcf0c0ac91ecd0.png
    第一节点插值

    48a1a065f2f6836baea6eddf1fd3c344.png
    第二节点插值

    7a8430f870ee99ace2da807e4b1d3e5b.png
    第六节点插值

    二维弱形式可以写成矩阵的形式:

    equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn_n%7D%28%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_k%28x%2Cy%29%5Cphi_i%28x%2Cy%29d%5COmega%29%5Cfrac%7BT_k%5E%7Bn%2B1%7D-T_k%5E%7Bn%7D%7D%7B%5CDelta+t%7D%2B%5Clambda+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn_n%7DT_k%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cnabla%5Cphi_i%28x%2Cy%29%5Ccdot%5Cnabla%5Cphi_k%28x%2Cy%29d%5COmega%29%3D0%2Ci%3D1%2C2%2C3%2C...%2Cn_n

    equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta+t%7DM%28d%5E%7Bn%2B1%7D-d%5En%29%2B%5Clambda+Dd%5E%7Bn%2B1%7D%3D0

    其中

    equation?tex=d%5E%7Bn%2B1%7D%3D%5Cleft%5C%7B+T_k%5E%7Bn%2B1%7D+%5Cright%5C%7D_%7Bk%3D1%2Cn_n%7D
    equation?tex=d%5E%7Bn%7D%3D%5Cleft%5C%7B+T_k%5E%7Bn%7D+%5Cright%5C%7D_%7Bk%3D1%2Cn_n%7D ,为两个节点向量。上标代表差分的时间节点。

    equation?tex=M%3D%5Cleft%5C%7B+M_%7Bik%7D%5Cright%5C%7D_%7Bi%2Ck%3D1%2Cn_n%7D 为质量矩阵,
    equation?tex=D%3D%5Cleft%5C%7B+D_%7Bik%7D%5Cright%5C%7D_%7Bi%2Ck%3D1%2Cn_n%7D 为热扩散矩阵。

    equation?tex=M_%7Bik%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_k%28x%2Cy%29%5Cphi_i%28x%2Cy%29d%5COmega
    equation?tex=D_%7Bik%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cnabla%5Cphi_i%28x%2Cy%29%5Ccdot%5Cnabla%5Cphi_k%28x%2Cy%29d%5COmega

    再进一步简化为:

    equation?tex=Kd%5E%7Bn%2B1%7D%3Df

    equation?tex=K%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta+t%7DM%2B%5Clambda+D
    equation?tex=f%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CDelta+t%7DMd%5En

    在给出的这个网格中,

    equation?tex=M 为一个
    equation?tex=14%5Ctimes14 的矩阵。

    因此完整的给出该矩阵:

    equation?tex=M%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_1%28x%2Cy%29d%5COmega%26++%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_2%28x%2Cy%29d%5COmega%26+...+%26%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29d%5COmega+%5C%5C+++%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_2%28x%2Cy%29%5Cphi_1%28x%2Cy%29d%5COmega%26+%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_2%28x%2Cy%29%5Cphi_2%28x%2Cy%29d%5COmega+%26+...+%26+%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_2%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%5C%5C+++...%26+...+%26+...+%26...+%5C%5C+++%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_1%28x%2Cy%29d%5COmega%26+%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_2%28x%2Cy%29d%5COmega+%26...++%26+%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29d%5COmega+%5Cend%7Bbmatrix%7D

    但是这个矩阵直接放到计算机里算,它的时间复杂度为

    equation?tex=O%28n_n%5Ctimes+n_n%29 , 而这其中有很多元素等于零,因此不能直接放到计算机里算,还需要挑选。

    问题:

    equation?tex=%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29d%5COmega 应该等于多少?

    观察插值函数的图像:

    3fa75ab714ed6ceeebe2e3ca0548184a.png
    第一节点和第十四节点插值函数图像

    节点一和节点十四两个插值函数并没有重叠的区域,因此

    equation?tex=%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B14%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%3D0

    对于一个有重叠的元素:

    equation?tex=M_%7B11%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B1%7D%28x%2Cy%29d%5COmega

    130aa78dbfd3bc1907d2dc4c34367966.png
    第一节点的插值函数同时占据了第一单元和第十五单元

    第一节点的插值函数同时占据了第一单元和第十五单元,因此可以将积分拆分为两个区域积分。

    equation?tex=M_%7B11%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega_1%7D%5Cphi_1%5E1%28x%2Cy%29%5Cphi_1%5E1%28x%2Cy%29d%5COmega%2B%5Cint_%7B%5COmega_%7B15%7D%7D%5Cphi_1%5E%7B15%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_1%5E%7B15%7D%28x%2Cy%29d%5COmega

    907c0dcd17e7949fba0ff392c9c3d863.png
    区域拆分

    equation?tex=%5Cphi_i%5E%7Be%7D%28x%2Cy%29 中,
    equation?tex=e 表示单元格的序号,
    equation?tex=i 表示构成单元格的节点序号。

    同样的,

    equation?tex=M_%7B12%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega%7D%5Cphi_1%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B2%7D%28x%2Cy%29d%5COmega 也可以拆分,并保留两个插值函数重叠的部分。

    equation?tex=M_%7B12%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega_1%7D%5Cphi_1%5E1%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B2%7D%5E1%28x%2Cy%29d%5COmega

    857767de0c544bdebd355de392e8b8f5.png
    两个插值函数仅在第一单元格重叠

    根据上面的原理,可以得到单一单元格的质量矩阵:

    equation?tex=M_%7Bpq%7D%5Ee%3D%5Cint_%7B%5COmega_e%7D%5Cphi_p%5Ee%28x%2Cy%29%5Cphi_%7Bq%7D%5Ee%28x%2Cy%29d%5COmega ,该矩阵只和某一单元格和它周围三个节点有关。

    而总质量矩阵

    equation?tex=M 则是由所有单元格的质量矩阵拼装起来的。

    4212e1c7457e5cdb5cf6680e0f8cc9b0.png

    a08a3fa984b8f9123586ce2d81a35deb.png

    如上图,第十单元格由节点

    equation?tex=%287%2C8%2C12%29 构成,因此拼装进总质量矩阵后需要把每个元素放入对应的点中,并和其他单元格的节点叠加。

    五,等参单元

    等参单元,就是设置一个简单的多边形单元格,并把它映射到模型的某个网格上。等参原理可以进一步加速卷积的运算速度。

    df931ef023792b21028b4e927fc216ff.png

    等参变量依然可以用插值函数离散化:

    equation?tex=x%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn_%7Ben%7D%7D%7Bx_k%5Ee%5Cphi_k%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%7D ,其中
    equation?tex=n_%7Ben%7D 表示
    equation?tex=e 单元格的
    equation?tex=n 节点。

    线性插值等参单元:

    对于一维等参单元:

    equation?tex=%5Cphi_1%5Ee%28%5Cxi%29%3D%5Cfrac%7B1-%5Cxi%7D%7B2%7D
    equation?tex=%5Cphi_2%5Ee%28%5Cxi%29%3D%5Cfrac%7B1%2B%5Cxi%7D%7B2%7D

    abc6aea99a74a61f138eba9e31ba3451.png

    二维三角形单元:

    equation?tex=%5Cphi_1%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Cxi
    equation?tex=%5Cphi_2%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Ceta
    equation?tex=%5Cphi_3%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D1-%5Cxi-%5Ceta

    3588ea7a8946d66e5742470483058707.png

    二维四边形单元:

    equation?tex=%5Cphi_1%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Cfrac%7B%281-%5Cxi%29%281-%5Ceta%29%7D%7B4%7D
    equation?tex=%5Cphi_2%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Cfrac%7B%281%2B%5Cxi%29%281-%5Ceta%29%7D%7B4%7D

    equation?tex=%5Cphi_3%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Cfrac%7B%281%2B%5Cxi%29%281%2B%5Ceta%29%7D%7B4%7D
    equation?tex=%5Cphi_1%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%3D%5Cfrac%7B%281-%5Cxi%29%281%2B%5Ceta%29%7D%7B4%7D

    0b1718a5c826677dab10a6df94038321.png

    由于坐标系的映射,所以从模型坐标系转换到等参坐标系,需要利用雅可比矩阵(jacobi-matrix)。我们在小学三年级已经学过,图形在不同平面的投影面积即是雅可比矩阵的行列式的值。

    equation?tex=M_%7Bpq%7D%5Ee%3D%5Cint_%7B%5COmega_e%7D%5Cphi_p%5Ee%28x%2Cy%29%5Cphi_%7Bq%7D%5E%7Be%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1-%5Ceta%7D%5Cphi_p%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cphi_%7Bq%7D%5E%7Be%7D%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cleft%7C+det%28J%5Ee%29+%5Cright%7Cd%5Cxi+d%5Ceta

    对于例子中的一维等参单元:

    equation?tex=%5Cleft%7C+det%28J%5Ee%29+%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cxi%7D+%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C+%5Cfrac%7Bx_2-x_1%7D%7B2%7D+%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B%5CDelta+x%7D%7B2%7D

    对于三角形等参单元:

    equation?tex=%5Cleft%7C+det%28J%5Ee%29+%5Cright%7C%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D++%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Cxi%7D%26%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Ceta%7D+%5C%5C+++%5Cfrac%7B%5Cpartial+y%7D%7B%5Cpartial+%5Cxi%7D%26+%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+%5Ceta+%7D+%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D+%5Cbegin%7Bvmatrix%7D+x_1-x_3+%26+x_2-x_3%5C%5C+++y_1-y_3%26y_2-y_3++%5Cend%7Bvmatrix%7D+

    以例子中的第十模型网格和三角形等参单元举例,第十网格的三个节点

    equation?tex=%287%2C8%2C12%29 对应等参单元的三个节点
    equation?tex=%281%2C2%2C3%29 。那么第十网格的单元质量矩阵如下:

    equation?tex=M_%7Bpq%7D%5E%7B10%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_7%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B7%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega+%26++%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_7%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B8%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%26+%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_7%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B12%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%5C%5C+++%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_8%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B7%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%26++%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_8%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B8%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%26+%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_8%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B12%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%5C%5C+++%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_%7B12%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B7%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega%26++%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_%7B12%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B8%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega+%26++%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cphi_%7B12%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29%5Cphi_%7B12%7D%5E%7B10%7D%28x%2Cy%29d%5COmega+%5Cend%7Bbmatrix%7D+

    那么它的第一行第一列的元素经过等参变换后:(

    equation?tex=e 表示等参单元。)

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1-%5Ceta%7D%5Cphi_1%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cphi_%7B1%7D%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cleft%7C+det%28J%5E%7B10%7D%29+%5Cright%7Cd%5Cxi+d%5Ceta

    第三行第二列:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1-%5Ceta%7D%5Cphi_3%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cphi_%7B2%7D%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cleft%7C+det%28J%5E%7B10%7D%29+%5Cright%7Cd%5Cxi+d%5Ceta

    对于热扩散矩阵

    equation?tex=D ,则熟练运用微积分的链式法则:
    equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%7D%7B%5Cpartial+x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%5Ee%7D%7B%5Cpartial+%5Cxi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cxi%7D%7B%5Cpartial+x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Cphi_i%5Ee%7D%7B%5Cpartial+%5Ceta%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+%5Ceta%7D%7B%5Cpartial+x%7D

    写成向量的形式也就是:

    equation?tex=%5Cnabla_%7Bx%2Cy%7D%5Cphi_i%28x%2Cy%29%3D%5Cleft%28+J%5Ee+%5Cright%29%5E%7B-T%7D%5Cnabla_%7B%5Cxi%2C%5Ceta%7D%5Cphi_i%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29

    举个例子:

    equation?tex=D_%7B87%7D%5E%7B10%7D%3D%5Cint_%7B%5COmega_%7B10%7D%7D%5Cnabla%5Cphi_8%28x%2Cy%29%5Ccdot%5Cnabla%5Cphi_7%28x%2Cy%29d%5COmega

    它就等于

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1-%5Ceta%7D%5Cleft%28%5Cleft%28+J%5E%7B10%7D+%5Cright%29%5E%7B-T%7D%5Cnabla_%7B%5Cxi%2C%5Ceta%7D%5Cphi_2%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cright%29%5Ccdot%5Cleft%28%5Cleft%28+J%5E%7B10%7D+%5Cright%29%5E%7B-T%7D%5Cnabla_%7B%5Cxi%2C%5Ceta%7D%5Cphi_1%5Ee%28%5Cxi%2C%5Ceta%29%5Cright%29%5Cleft%7C+det%28J%5E%7B10%7D%29+%5Cright%7Cd%5Cxi+d%5Ceta

    六,结构力学应用一,轴向拉伸杆

    3ba1a60e966cf74eba02e4588e1ab6e0.png
    一个简单的例子

    杆的端点收到一个

    equation?tex=P 的拉力,弹性模量为
    equation?tex=E ,杆长度为
    equation?tex=L

    3ac34f92c020d14600f584ae291cf14b.png

    equation?tex=q%28x%29 为轴向线载荷,
    equation?tex=u%28x%29 为截面轴向位移

    如此可以得到几个简单公式:

    应变

    equation?tex=%5Cvarepsilon%3D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D ,应力
    equation?tex=%5Csigma%3DE%5Cvarepsilon ,内力
    equation?tex=F%3DA%5Csigma%3DEA%5Cvarepsilon

    由静力平衡原理可以得到平衡方程:

    equation?tex=F%28x%2Bdx%29-F%28x%29%2Bq%28x%29dx%3D0

    移项得到一个微分方程:

    equation?tex=%5Cfrac%7BdF%28x%29%7D%7Bdx%7D%3D-q%28x%29

    ff669c643b7923481b4c0de3477bc4ee.png

    胡克定理:

    equation?tex=F%28x%29%3DEA%5Cvarepsilon%28x%29

    组合三个方程,形成一个新的微分方程:

    equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft%28+EA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%5Cright%29%2Bq%28x%29%3D0%2Cx%5Cin%5Bx%2CL%5D

    在有限元的应用中,截面位移

    equation?tex=u%28x%29 是要求解的未知量,因此按照套路,首先要把它用插值函数离散化:
    equation?tex=u%28x%29%5Capprox%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%7Bu_k%5Cphi_i%28x%29%7D ,再把线载荷也给离散化
    equation?tex=q%28x%29%5Capprox%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%7Bq_k%5Cphi_k%28x%29%7D

    狄利克雷边界条件:

    equation?tex=u%28x%3D0%29%3D0%5Crightarrow+u_1%3D0

    诺伊曼条件:

    equation?tex=F%28L%29%3DP%5Crightarrow+F_N%3DP

    强弱转换:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D%5Cleft%28+%5Cphi_i%28x%29%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft%28+EA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%5Cright%29%2Bq%28x%29%5Cphi_i%28x%29%5Cright%29dx%3D0

    给二阶微分项降阶:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7D+%5Cphi_i%28x%29%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cleft%28+EA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+%5Cright%29dx%3D%5Cleft.++%5Cphi_i%28x%29EA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%5Cright%7C_0%5EL-%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7DEA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bd%5Cphi_i%28x%29%7D%7Bdx%7Ddx

    由于

    equation?tex=F%28L%29%3DEA%5Cvarepsilon%28L%29%3DP

    因此

    equation?tex=%5Cleft.++%5Cphi_i%28x%29EA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%5Cright%7C_0%5EL%3D%5Cphi_i%28x%29P

    整理得到最终的弱形式:

    equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7DEA%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bd%5Cphi_i%28x%29%7D%7Bdx%7Ddx%3D%5Cphi_i%28x%29P%2B%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7Dq%28x%29%5Cphi_i%28x%29dx

    equation?tex=i%3D2%2C3%2C...%2CN

    带入插值后的函数:

    equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7DEAu_k%5Cfrac%7Bd%5Cphi_k%28x%29%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bd%5Cphi_i%28x%29%7D%7Bdx%7Ddx%3D%5Cphi_i%28x%29P%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7BL%7Dq_k%5Cphi_k%28x%29%5Cphi_i%28x%29dx

    到这里,就和之前的热传导模型很像了,转化为矩阵表达,该矩阵就叫刚度矩阵。

    其实还有几个例子,比如桁架结构和板壳结构的应用,但是写到这里感觉人生索然无味,就这样吧。

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    2019-08-12 11:30:36
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  • 文章目录、中值定理1 罗尔(Rolle)定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理3 柯西(Cauchy)定理4 洛必达法则5 泰勒(Taylor)定理5.1 泰勒定理5.2 麦克劳林公式5.3 一些初等函数的麦克劳林公式6 四中值定理之间的关系 、...
  • 受到LHCb的夸克态Pc(4312),Pc(4440)和Pc(4457)的观察启发,以有效的拉格朗日方法研究了通过相互作用γp→J /ψp产生的这三Pc状态。 T通道Pomeron交换衍射过程被认为是J /ψ光产生的主要背景。 数值结果...
  • margin-right:0cm">微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理),罗必塔法则,泰勒公式,函数单调性的判别、函数的凸凹性及拐点的判别、函数的极值概念及求法,最大值与...
  • 文章目录考点一:罗尔定理罗尔定理1、罗尔定理的验证2、利用罗尔定理证明根的存在性(1)构造辅助函数(2)验证罗尔定理的三条件(3)由罗尔定理得结论3、利用罗尔定理判断根的个数笔记考点二:拉格朗日中值定理...
  • 在本文中,我们讨论了树级p-adic开放字符串幅度之一的极限p方法及其与拓扑zeta函数的关系。 有经验证据表明,p-adic弦与p→1极限中的普通弦有关。 先前,我们确定p-adic Koba-... 最后,明确计算出四个和五个点的振幅。
  • SVM分类器解读

    2017-11-21 09:44:04
    支持向量机的核心知识是到直线距离计算、拉格朗日乘子法、求偏导和数值计算法。 思路: 第一:计算到直线的距离; 第二:确定影响距离的关键系数w; 第三:对第二步骤确定的关键系数构建拉格朗日乘子方程L; 第...
  • 通过分析标量场的三点,四五点顶点函数的可归一化性和尺度分离条件,我们固定了领先拉格朗日标量场自相互作用的两耦合。 接下来,我们添加电磁相互作用,并得出将带电矢量玻色子的磁矩与其电荷以及带电和中性...
  • 这一部分内容原见于第二版教材的第章,但是第三版改版以后,做了很大的改动:将拉格朗日插值放在了附录中,删去了多项式的Bernstein表示,将函数的Bernstein多项式放在了第15章,删去了Bernstein多项式的保型性和...
  • 题型 函数不等式的证明 题型六 中值定理的证明 一:微分中值定理 定理1 费马原理 定理2 罗尔定理 定理3拉格朗日中值定理 定理4 柯西中值定理 泰勒公式的本质与不同 建立与高阶导数的关系 ...
  • 问题: 为什么要满足这不等式约束? 问题六: 二次规划算法有哪些?序列最小化优化算法具体是什么样的?...二次规划求解方法:拉格朗日方法、Lemke方法、内法、有效集法、椭球算法等。 SMO详见:htt...
  • 我们从N = 4 $$ \ mathcal {N} = 4 $$ SYM理论在强耦合和强耦合下的胶球计算带电...根据IIB型超弦理论,我们得出了一有效的 拉格朗日描述局部近似中的四相互作用。 使用Pomeron技术研究了Bjorken参数的指数小范围。
  • 结果表明,在STG模型中,有五个临界可以取$$ f(Q)= Q + \ alpha Q ^ 2 $$ f(Q)= Q +αQ2。 临界$$ P_ {4} $$ P4和$$ P_ {5} $$ P5是稳定的。 $$ P_ {4} $$ P4对应于以几何暗能量为主的de Sitter宇宙($$ w_...
  • MATLAB语言常用算法程序集

    热门讨论 2009-07-19 20:28:29
    Language 求已知数据拉格朗日插值多项式 Atken 求已知数据的艾特肯插值多项式 Newton 求已知数据的均差形式的牛顿插值多项式 Newtonforward 求已知数据的前向牛顿差分插值多项式 Newtonback 求已知数据...
  • 计算机数值方法

    2013-10-17 21:25:44
    实验一 方程求根 熟悉使用二分法、迭代法、牛顿法、割线法等方法对给定的方程进行根的求解。...使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解:已知f(x)在6个点的函数值如下表所示,运用插值方法,求f(0.596)的近似值。

空空如也

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五个拉格朗日点