作者：Hua Xiao
  
 链接：https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/132756971
  
 来源：知乎
  
 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
  
 
  
 
  
 
   
“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”。
 
   
仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它，我们先说说“集合”：所有的“线性空间”都是“集合”，然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子，足球，鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——
 
   
什么样的集合，才可以被称作是线性空间呢？
 
   
答：如果某集合对加法和数乘封闭，也就是说：
 （1） 任意一个元素 加上 任意一个元素 结果仍然在集合里；
 （2） 任意一个数 乘以 任意一个元素 结果仍然在集合里。 
 那这个集合就是一个线性空间。
 
   
比如，{0}这个集合只有一个元素，而且——
 （1） 0 加上0，结果是0，在集合内；
 （2） 任何数 乘以 0，结果是0，也在集合内。
 所以{0}是一个线性空间。
 而{0,1,2}这个集合，就不是一个线性空间。因为1加上2，结果是3, 而3却不在集合内。
   
 
   

    如果你能够在{0,1,2}这个集合上，自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下，还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件，那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然，你也看出来了，这非常的困难。事实上，线性空间是极其特殊的集合。
   
 
   
我们已经搭好了“线性空间”的概念，它就像游戏的场景，有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。
 
   
我们继续用{0}这个最简单的线性空间，
 然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素（也就是0啦）乘以1：
 0 0
 然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2：
 0 0
 然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3：
 0 0
 ……
 
   
我们很快就发现，{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个！如果我们这无穷多个映射放在一个集合里：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }，那么，这个由“线性映射”构成的集合，是否也是一个线性空间？
 
   
答案竟然是yes！而且它就是{0}的对偶空间！
 
   
等一下——
 如果这个集合是个线性空间，那么根据上文，它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加，比如1+2，很好理解，线性映射也能相加吗？怎么加，结果是什么？
 注意，上文中提到：
   
 
   

    ……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”，在——满足交换律、结合律、乘法分配律，具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……
   
 也就是说，我们可以在线性映射的集合上定义
   “线性映射的加法”！只要能满足那些要求就可以了！
   
 下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”：
   
 
   

    线性映射二：x
    2x ， 线性映射三：x
     3x，那么：
    
 线性映射二 
    加上 线性映射三等于
     一个新的线性映射：x
    2x+3x
   
 不难发现，这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义，我们乘胜追击，再用个例子来描述一个数和线性映射相乘，
   
 
   

    线性映射一：x
    x ， 那么：
    
 3 
    乘以 线性映射一等于
     一个新的线性映射：x
    3x
   
 
   
然后就可以发现，{0}上的所有线性映射的集合：{线性映射一，线性映射二，线性映射三…… }
 对加法和数乘封闭，也就是说，它也是一个线性空间，于是我们把它叫做{0}的对偶空间。
 
   
再回头看看本回答的第一句话：“对偶空间”是“线性空间”，它里面的元素是“线性映射”，这句话里其实还隐含了一个信息：我们在对偶空间里，定义了线性映射的加法以及数乘。
 最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。
  
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

  对偶空间
  的想法本身是很自然的，就是
  的线性空间
  上全体线性函数组成的（在通常的函数加和乘下）线性空间。这个空间其实就是全体 
   的矩阵而已。那么自然的，对偶空间就是一个
  维的线性空间。注意在
  的一组基
  下，我们给出的任意一个赋值
  都唯一地确定了一个线性函数
  。那么自然地诱导出
  的一组基
  ，这就称作
  的对偶基（互相对偶）。
 
 
 
 
 
 作者：陆葳蕤
 
 链接：https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/137481200
 
 来源：知乎
 
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文章目录
 
对偶空间
二重对偶
参考
 

 
线性映射01——映射的概念和性质
线性映射02—— 线性映射概念与运算
线性映射03——线性空间的同构
线性映射04——像与核
线性映射05——代数与代数同构
线性映射06——线性变换
线性映射07——线性变换的矩阵表示
线性映射08——不变子空间
 线性映射9——对偶空间
 
对偶空间
 
本节约定: $V$ 是 $n$ 维 $\mathbf{F}$ -空间
 
对偶空间 : $V$ 上全体 $\mathbf{F}$ -线性函数所成集合
 
     
      
       
        
         
          V
         
         
          ∗
         
        
        
         :
        
        
         =
        
        
         {
        
        
         f
        
        
         :
        
        
         V
        
        
         →
        
        
         F
        
        
         ∣
        
        
         f
        
        
          是线性映射 
        
        
         }
        
       
       
         V^{*}:=\{f: V \rightarrow F \mid f \text { 是线性映射 }\} 
       
      
     V∗:={f:V→F∣f 是线性映射 }
 关于线性映射的加法与数乘所成 $\mathbf{F}$ -空间称为 $V$ 的对偶空间.
 
$\boxed{定理1}$ 设 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 的一组基, $\forall c_1,\cdots ,c_n\in F$, 存在唯一的线性函数 $f\in V^{\ast }$ 使得
 $$f\left({\alpha }_i\right)=c_i(1\le i\le n).$$
 证明：这是 $1$ 节定理 1 中线性映射存在唯一性的特殊情形,只需令
 $$f\left(x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n\right)=x_1{c}_1+\cdots +x_n{c}_n,\forall x_1,\cdots ,x_n\in F$$
 对偶基 :设 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 的一组基,规定 $f_i\in V^{\ast }(1\le i\le n)$ 如下:
 $$\begin{array}{c}{f}_i\left({\alpha }_1\right)=\cdots =f\left({\alpha }_{i-1}\right)=f_i\left({\alpha }_{i+1}\right)=\cdots =f\left({\alpha }_n\right)=0,f_i\left({\alpha }_i\right)=1\\ \text{ 或 }{f}_i\left({\alpha }_j\right)={\delta }_{ij}:=\{\begin{array}{l}1,\text{ 若 }i=j\\ 0,\text{ 若 }i\ne j\end{array}(\text{ Knonecker记号 })\text{ 或 }{f}_i\left(c_1{\alpha }_1+\cdots +c_n{\alpha }_n\right)=c_i\end{array}$$
 $例1$ $f_1,\cdots ,f_n$ 是 $V^{\ast }$ 的一组基,称为 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 的对偶基.
 
证明: $\forall f\in V^{\ast },f=f\left({\alpha }_1\right)f_1+\cdots +f\left({\alpha }_n\right)f_n.$
 
设 $c_1{f}_1+\cdots +c_n{f}_n=0$, 则
 
$0=\left(c_1{f}_1+\cdots +c_n{f}_n\right)\left({\alpha }_i\right)=c_i{f}_i\left({\alpha }_i\right)=c_i,(1\le i\le n)\Rightarrow f_1,\cdots ,f_n$ 线性无关.
 
$\boxed{定理2}$
 
 
$f_1,\cdots ,f_n:\text{ 基 }{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\text{ 的对偶基 }$
 
 
$g_1,\cdots ,g_n:\text{ 基 }{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\text{ 的对偶基 }$
 
 
$A=\left(a_{ij}\right):{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 到 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 的过渡矩 阵
 
 
$B=\left(b_{ij}\right):f_1,\cdots ,f_n$ 到 $g_1,\cdots ,g_n$ 的过渡矩阵
 
 
$\Rightarrow B={\left(A^{-1}\right)}^T$
 
证明: $\left({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\right)=\left({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n\right)A,\left(g_1,\cdots ,g_n\right)=\left(f_1,\cdots ,f_n\right)B$
 
$g_1,\cdots ,g_n$ 是 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n$ 的对偶基 $\Rightarrow$
 $$\begin{array}{rl}{\delta }_{ij}=g_i\left({\beta }_j\right)& =\left(b_{1i}{f}_1+\cdots +b_{ni}{f}_n\right)\left(a_{1j}{\alpha }_1+\cdots +a_{nj}{\alpha }_n\right)\\ & =b_{1i}{a}_{1j}+\cdots +b_{ni}{a}_{nj}\\ & =\sum _{k=1}^n{b}_{ki}{a}_{kj}={\left(B^{T}A\right)}_{ij}\Rightarrow B^{T}A=I\Rightarrow B={\left(A^{-1}\right)}^T={\left(A^T\right)}^{-1}\end{array}$$
 $例2$ $F[x{]}_3$ 的基 $\mathbf{I}:1,x,x^2$, 基 $II$ $:(x-1{)}^2,(x-1),1$
 
$I$ 的对偶基$I^{\prime }$: $f_1,f_2,f_3$ 定义为 $:f_i\left(a_1+a_{2}x+a_3{x}^2\right)=a_i,(1\le i\le 3)$
 
注意到 $a+bx+c{x}^2=c(x-1{)}^2+(b+2c)(x-1)+(a+b+c)$
 
$II$ 的对偶基 ${\mathbf{I}\mathbf{I}}^{\prime }{\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2,{\mathbf{g}}_3$ 定义为 $:$
 $$\begin{array}{l}{g}_1\left(a+bx+c{x}^2\right)=c\\ g_2\left(a+bx+c{x}^2\right)=b+2c\\ g_3\left(a+bx+c{x}^2\right)=a+b+c;\\ \left(g_1,g_2,g_3\right)=\left(f_1,f_2,f_3\right)\left(\begin{array}{lll}0& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)\end{array}$$
 基 $I$ 到基 $II$ 的过渡矩阵为
 $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -2& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$
 基 $I^{\prime }$ 到基 $I{I}^{\prime }$的过渡矩阵为
 $$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)B^{T}A=I\Rightarrow B={\left(A^T\right)}^{-1}$$
 $例3$ : 设 $V$ 是 $n$ 维 $F$ -空间, $f_1,\cdots ,f_s\in V^{\ast }$ 是非零函数. 证明:存在 $\alpha \in V$ 使得 $f_i(\alpha )\ne 0,\forall 1\le i\le s.$
 
【证明】: 
    
     
      
       
      
      
       \quad
      
     
     令 
    
     
      
       
        
         V
        
        
         i
        
       
       
        :
       
       
        =
       
       
        
         {
        
        
         α
        
        
         ∈
        
        
         V
        
        
         ∣
        
        
         
          f
         
         
          i
         
        
        
         (
        
        
         α
        
        
         )
        
        
         =
        
        
         0
        
        
         }
        
       
       
        =
       
      
      
       V_{i}:=\left\{\alpha \in V \mid f_{i}(\alpha)=0\right\}=
      
     
    Vi​:={α∈V∣fi​(α)=0}= ker $f_i,1\le i\le s.$
 
则 $V_i$ 作为 $f_i$ 的核是 $V$ 的子空间.
 
$f_i$ 是非零函数, 于是 $f_i$ 在某向量 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 处的函数值非零
 
$\Rightarrow {\alpha }_i\notin V_i\Rightarrow V_i$ 是 $V$ 的真子空间.
 
有限个真子空间不能覆盖整个空间 $\Rightarrow V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_s\ne V$
 $\Rightarrow \exists \alpha \in V$, s.t. $\alpha \notin V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_s$
 $\Rightarrow f_i(\alpha )\ne 0,\forall 1\le i\le s$
 
二重对偶
 
$V$ 的对偶空间: 
    
     
      
       
        
         V
        
        
         ∗
        
       
       
        :
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        f
       
       
        :
       
       
        V
       
       
        →
       
       
        F
       
       
        ∣
       
       
        f
       
      
      
       V^{*}:=\{f: V \rightarrow F \mid f
      
     
    V∗:={f:V→F∣f 是线性映射 $\}\dim V^{\ast }=\dim V=n$
 
$V$ 的二重对偶: 
    
     
      
       
        
         V
        
        
         
          ∗
         
         
          ∗
         
        
       
       
        :
       
       
        =
       
       
        
         {
        
        
         f
        
        
         :
        
        
         
          V
         
         
          ∗
         
        
        
         →
        
        
         F
        
        
         ∣
        
        
         f
        
       
      
      
       V^{* *}:=\left\{f: V^{*} \rightarrow F \mid f\right.
      
     
    V∗∗:={f:V∗→F∣f 是线性映射 $\}\dim V^{\ast \ast }=\dim V^{\ast }=n$
 
$\forall \alpha \in V$, 规定 ${\alpha }^{\ast \ast }\in V^{\ast \ast }:$
 $${\alpha }^{\ast \ast }:V^{\ast }\to Ff\mapsto f(\alpha ),\forall f\in V^{\ast }$$
 $\boxed{定理3}$ 映射 $\sigma :V\to V^{\ast \ast },\alpha \mapsto {\alpha }^{\ast \ast }$ 是线性同构.
 
优点: 空间与其二重对偶之间存在自然的与基无关的线性同构.
 
参考
 
高等代数 电子科技大学
 
高等代数_安阳师范学院
 
《高等代数》（第五版）

1. 定义
 
设 $V$ 为定义在数域 $F$ 上的向量空间，定义 $V$ 上的线性函数是从 $V$ 到 $F$ 的映射：$f:V\rightarrow F$，且满足 $\forall x, y\in V, k\in F$ 有：$f(x+y)=f(x)+f(y), f(ka)=kf(a)$。
 
现考虑 $V$ 上所有线性函数（$f: V\rightarrow F$）的集合 $V^{\star}$。对 $\forall f, g \in V^\star, x\in V, k\in F$，可以在 $V^\star$ 定义如下的标量乘法和加法（向量加法）：
 
标量乘法：$g(kx)=kg(x)$
加法：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$（向量加法，是由定义出来的）
 
在上述意义下，可以证明 $V^\star$ 是域 $F$ 上的向量空间，称为 $V$ 的对偶空间。
 
最后，更准确的说，对偶空间里的元素是“线性泛函”（linear functional），这是一种特殊的线性映射。
 
2. 简单性质
 
covector：vectors in the dual space，对偶空间中的向量称为 covector（协向量） 
 $\alpha\in V^\star, v\in V ⇒ \alpha(v)\in \mathbb R$，covector 以 vector 为输入，以 scalar 为输出；
从基的角度继续考察对偶空间，如果 $V$ 表示一个有限维空间，则 $\dim V=\dim V^\star$
 
  
假定 $V: \{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$（由基向量长成的线性空间），$V^\star=\{e^i\}_{i=1,\ldots,n}$，则有如下的定义：
 

   $$e^{i}(e_j)=\delta_{ij}=\left\{
	\begin{split}
	1, \quad &i=j\\
	0,\quad &\text{otherwise}
	\end{split}
	\right.$$ 
 
对偶空间中的向量称为 covector，如性质一所说，covector 接受线性空间中的向量，输出一个标量；

一.线性函数(9.10)
 1.概念:
 
 
 2.表达式:
 
 
 二.对偶空间(9.10)
 
 
 
以下只研究有限维的线性函数空间
 
 
1.线性函数空间
 (1)概念:
 
 (2)维数:
 
 (3)基:
 
 2.对偶空间与对偶基
 (1)概念:
 
 
 
 
注意:当$V$为域$F$上的无限维线性空间时,我们不把$Hom(V,F)$记作$V^{\ast }$
 
 
(2)对偶基下函数的坐标:
 
 
 (3)对偶基的过渡矩阵:
 
 
 
定理1:设$V$是域$F$上的$n$维线性空间,在$V$中取2个基${\alpha }_1...{\alpha }_n$与${\beta }_1...{\beta }_n,V^{\ast }$中相应的对偶基分别为$f_1...f_n$与$g_1,g_n$,如果$V$中基${\alpha }_1...{\alpha }_n$到基${\beta }_1...{\beta }_n$的过渡矩阵是$A$,那么$V^{\ast }$中基$f_1...f_n$到基$g_1,g_n$的过渡矩阵$B$为$$B=(A^{-1}{)}^{\prime }(17)$$
 
 
 
(4)向量在对偶空间中的象:
 
 3.双重对偶空间:
 
 
 4.自然同构: