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  • 对偶空间和对偶基

    万次阅读 多人点赞 2017-12-27 10:44:03
    作者:Hua Xiao ... 来源:知乎 ...“对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”。 仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它,我们先说说“集合”:所有的“线性空间”都是“集合
    作者:Hua Xiao
    链接:https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/132756971
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

    “对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”。

    仅仅是这句话就足以让许多人一头雾水了。为了理解它,我们先说说“集合”:所有的“线性空间”都是“集合”,然而“集合”未必都是“线性空间”。比如{帽子,足球,鱼香肉丝}这样的集合就很可能不是线性空间。那么问题来了——

    什么样的集合,才可以被称作是线性空间呢?

    答:如果某集合对加法和数乘封闭,也就是说
    (1) 任意一个元素 加上 任意一个元素 结果仍然在集合里;
    (2) 任意一个数 乘以 任意一个元素 结果仍然在集合里。
    那这个集合就是一个线性空间。

    比如,{0}这个集合只有一个元素,而且——
    (1) 0 加上0,结果是0,在集合内;
    (2) 任何数 乘以 0,结果是0,也在集合内。
    所以{0}是一个线性空间。

    而{0,1,2}这个集合,就不是一个线性空间。因为1加上2,结果是3, 而3却不在集合内。
    如果你能够在{0,1,2}这个集合上,自己定义一种特殊的“加法”和“数乘”,在——满足交换律、结合律、乘法分配律,具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下,还能使得{0,1,2}中所有的元素满足对加法和数乘封闭的条件,那么{0,1,2}就可以被看做是线性空间。当然,你也看出来了,这非常的困难。事实上,线性空间是极其特殊的集合。

    我们已经搭好了“线性空间”的概念,它就像游戏的场景,有了它我们才可以尽情的玩耍。下面来看一个更有意思的东西——线性映射。

    我们继续用{0}这个最简单的线性空间,
    然后给出一个线性映射——把{0}中的所有元素(也就是0啦)乘以1
    0\rightarrow 0
    然后又给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以2
    0\rightarrow 0
    然后又双叒叕给出一个线性映射——把{0}中的所有元素乘以3
    0\rightarrow 0
    ……

    我们很快就发现,{0}这个线性空间上的线性映射竟然有无穷多个!如果我们这无穷多个映射放在一个集合里:{线性映射一,线性映射二,线性映射三…… },那么,这个由“线性映射”构成的集合,是否也是一个线性空间?

    答案竟然是yes!而且它就是{0}的对偶空间

    等一下——
    如果这个集合是个线性空间,那么根据上文,它必须对加法和数乘封闭。可是数字之间相加,比如1+2,很好理解,线性映射也能相加吗?怎么加,结果是什么?

    注意,上文中提到:
    ……你能自己定义一种特别的“加法”和“数乘”,在——满足交换律、结合律、乘法分配律,具备加法恒等元、加法逆、乘法恒等元——的前提下……
    也就是说,我们可以在线性映射的集合上定义 “线性映射的加法”!只要能满足那些要求就可以了!
    下面用个例子来描述一下“线性映射之间的加法”:
    线性映射二:x \rightarrow 2x , 线性映射三:x \rightarrow 3x,那么:
    线性映射二 加上 线性映射三等于 一个新的线性映射:x \rightarrow 2x+3x
    不难发现,这个定义是满足加法的那一票要求的。有了加法的定义,我们乘胜追击,再用个例子来描述一个数和线性映射相乘,
    线性映射一:x \rightarrow x , 那么:
    3 乘以 线性映射一等于 一个新的线性映射:x \rightarrow 3x

    然后就可以发现,{0}上的所有线性映射的集合:{线性映射一,线性映射二,线性映射三…… }
    对加法和数乘封闭,也就是说,它也是一个线性空间,于是我们把它叫做{0}的对偶空间。

    再回头看看本回答的第一句话:“对偶空间”是“线性空间”,它里面的元素是“线性映射”,这句话里其实还隐含了一个信息:我们在对偶空间里,定义了线性映射的加法以及数乘。

    最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。


    对偶空间 V^*的想法本身是很自然的,就是 \dim V=n的线性空间 V上全体线性函数组成的(在通常的函数加和乘下)线性空间。这个空间其实就是全体  1\times n 的矩阵而已。那么自然的,对偶空间就是一个 n维的线性空间。注意在 V的一组基 e_i下,我们给出的任意一个赋值 f(e_i)=\beta_i都唯一地确定了一个线性函数 f(x=\sum \alpha_i e_i)=\sum \alpha_i \beta_i。那么自然地诱导出 V^*的一组基 e^i(e_j)=\delta_{i,j},这就称作 e_j的对偶基(互相对偶)。


    作者:陆葳蕤
    链接:https://www.zhihu.com/question/38464481/answer/137481200
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。


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  • 文章目录对偶空间二重对偶参考 对偶空间 本节约定: VVV 是 nnn F\boldsymbol{F}F -空间 对偶空间 : VVV 上全体 F\boldsymbol{F}F -线性函数所成集合 V∗:={f:V→F∣f 是线性映射 } V^{*}:=\{f: V \...

    1. 线性映射01——映射的概念和性质
    2. 线性映射02—— 线性映射概念与运算
    3. 线性映射03——线性空间的同构
    4. 线性映射04——像与核
    5. 线性映射05——代数与代数同构
    6. 线性映射06——线性变换
    7. 线性映射07——线性变换的矩阵表示
    8. 线性映射08——不变子空间
    9. 线性映射9——对偶空间

    对偶空间

    本节约定: V V V n n n F \boldsymbol{F} F -空间

    对偶空间 : V V V 上全体 F \boldsymbol{F} F -线性函数所成集合
    V ∗ : = { f : V → F ∣ f  是线性映射  } V^{*}:=\{f: V \rightarrow F \mid f \text { 是线性映射 }\} V:={f:VFf 是线性映射 }
    关于线性映射的加法与数乘所成 F \boldsymbol{F} F -空间称为 V V V 的对偶空间.

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} 1 α 1 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn V V V 的一组基, ∀ c 1 , ⋯   , c n ∈ F \forall c_{1}, \cdots, c_{n} \in F c1,,cnF, 存在唯一的线性函数 f ∈ V ∗ f \in V^{*} fV 使得
    f ( α i ) = c i ( 1 ≤ i ≤ n ) . f\left(\alpha_{i}\right)=c_{i}(1 \leq i \leq n) . f(αi)=ci(1in).
    证明:这是 1 1 1 节定理 1 中线性映射存在唯一性的特殊情形,只需令
    f ( x 1 α 1 + ⋯ + x n α n ) = x 1 c 1 + ⋯ + x n c n , ∀ x 1 , ⋯   , x n ∈ F f\left(x_{1} \alpha_{1}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}\right)=x_{1} c_{1}+\cdots+x_{n} c_{n}, \quad \forall x_{1}, \cdots, x_{n} \in F f(x1α1++xnαn)=x1c1++xncn,x1,,xnF
    对偶基 :设 α 1 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn V V V 的一组基,规定 f i ∈ V ∗ ( 1 ≤ i ≤ n ) f_{i} \in V^{*}(1 \leq i \leq n) fiV(1in) 如下:
    f i ( α 1 ) = ⋯ = f ( α i − 1 ) = f i ( α i + 1 ) = ⋯ = f ( α n ) = 0 , f i ( α i ) = 1  或  f i ( α j ) = δ i j : = { 1 ,  若  i = j 0 ,  若  i ≠ j (  Knonecker记号  )  或  f i ( c 1 α 1 + ⋯ + c n α n ) = c i \begin{array}{c} f_{i}\left(\alpha_{1}\right)=\cdots=f\left(\alpha_{i-1}\right)=f_{i}\left(\alpha_{i+1}\right)=\cdots=f\left(\alpha_{n}\right)=0, \quad f_{i}\left(\alpha_{i}\right)=1 \\ \text { 或 } f_{i}\left(\alpha_{j}\right)=\delta_{i j}:=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { 若 } i=j \\ 0, \text { 若 } i \neq j \end{array}(\text { Knonecker记号 }) \text { 或 } f_{i}\left(c_{1} \alpha_{1}+\cdots+c_{n} \alpha_{n}\right)=c_{i}\right. \end{array} fi(α1)==f(αi1)=fi(αi+1)==f(αn)=0,fi(αi)=1  fi(αj)=δij:={1,  i=j0,  i=j( Knonecker记号 )  fi(c1α1++cnαn)=ci
    例   1 \Large\color{violet}{例~1}  1 f 1 , ⋯   , f n f_{1}, \cdots, f_{n} f1,,fn V ∗ V^{*} V 的一组基,称为 α 1 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn 的对偶基.

    证明: ∀ f ∈ V ∗ , f = f ( α 1 ) f 1 + ⋯ + f ( α n ) f n . \forall f \in V^{*}, \quad f=f\left(\alpha_{1}\right) f_{1}+\cdots+f\left(\alpha_{n}\right) f_{n} . fV,f=f(α1)f1++f(αn)fn.

    c 1 f 1 + ⋯ + c n f n = 0 c_{1} f_{1}+\cdots+c_{n} f_{n}=0 c1f1++cnfn=0, 则

    0 = ( c 1 f 1 + ⋯ + c n f n ) ( α i ) = c i f i ( α i ) = c i , ( 1 ≤ i ≤ n ) ⇒ f 1 , ⋯   , f n 0=\left(c_{1} f_{1}+\cdots+c_{n} f_{n}\right)\left(\alpha_{i}\right)=c_{i} f_{i}\left(\alpha_{i}\right)=c_{i},(1 \leq i \leq n) \Rightarrow f_{1}, \cdots, f_{n} 0=(c1f1++cnfn)(αi)=cifi(αi)=ci,(1in)f1,,fn 线性无关.

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 2

    • f 1 , ⋯   , f n :  基  α 1 , ⋯   , α n  的对偶基  f_{1}, \cdots, f_{n}: \text { 基 } \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} \text { 的对偶基 } f1,,fn:  α1,,αn 的对偶基 

    • g 1 , ⋯   , g n :  基  β 1 , ⋯   , β n  的对偶基  g_{1}, \cdots, g_{n}: \text { 基 } \beta_{1}, \cdots, \beta_{n} \text { 的对偶基 } g1,,gn:  β1,,βn 的对偶基 

    • A = ( a i j ) : α 1 , ⋯   , α n A=\left(a_{i j}\right): \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} A=(aij):α1,,αn β 1 , ⋯   , β n \beta_{1}, \cdots, \beta_{n} β1,,βn 的过渡矩 阵

    • B = ( b i j ) : f 1 , ⋯   , f n B=\left(b_{i j}\right): f_{1}, \cdots, f_{n} B=(bij):f1,,fn g 1 , ⋯   , g n g_{1}, \cdots, g_{n} g1,,gn 的过渡矩阵

    ⇒ B = ( A − 1 ) T \Rightarrow B=\left(A^{-1}\right)^{T} B=(A1)T

    证明: ( β 1 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , ⋯   , α n ) A , ( g 1 , ⋯   , g n ) = ( f 1 , ⋯   , f n ) B \quad\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{n}\right)=\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) A,\left(g_{1}, \cdots, g_{n}\right)=\left(f_{1}, \cdots, f_{n}\right) B (β1,,βn)=(α1,,αn)A,(g1,,gn)=(f1,,fn)B

    g 1 , ⋯   , g n g_{1}, \cdots, g_{n} g1,,gn β 1 , ⋯   , β n \beta_{1}, \cdots, \beta_{n} β1,,βn 的对偶基 ⇒ \Rightarrow
    δ i j = g i ( β j ) = ( b 1 i f 1 + ⋯ + b n i f n ) ( a 1 j α 1 + ⋯ + a n j α n ) = b 1 i a 1 j + ⋯ + b n i a n j = ∑ k = 1 n b k i a k j = ( B T A ) i j ⇒ B T A = I ⇒ B = ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 \begin{aligned} \delta_{i j}=g_{i}\left(\beta_{j}\right) &=\left(b_{1 i} f_{1}+\cdots+b_{n i} f_{n}\right)\left(a_{1 j} \alpha_{1}+\cdots+a_{n j} \alpha_{n}\right) \\ &=b_{1 i} a_{1 j}+\cdots+b_{n i} a_{n j} \\ &=\sum_{k=1}^{n} b_{k i} a_{k j}=\left(B^{T} A\right)_{i j} \Rightarrow B^{T} A=I \quad \Rightarrow B=\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1} \end{aligned} δij=gi(βj)=(b1if1++bnifn)(a1jα1++anjαn)=b1ia1j++bnianj=k=1nbkiakj=(BTA)ijBTA=IB=(A1)T=(AT)1
    例   2 \Large\color{violet}{例~2}  2 F [ x ] 3 \quad F[x]_{3} F[x]3 的基 I : 1 , x , x 2 \mathbf{I}: 1, x, x^{2} I:1,x,x2, 基 I I II II : ( x − 1 ) 2 , ( x − 1 ) , 1 :(x-1)^{2},(x-1), 1 :(x1)2,(x1),1

    I I I 的对偶基 I ′ I' I: f 1 , f 2 , f 3 f_{1}, f_{2}, f_{3} f1,f2,f3 定义为 : f i ( a 1 + a 2 x + a 3 x 2 ) = a i , ( 1 ≤ i ≤ 3 ) : f_{i}\left(a_{1}+a_{2} x+a_{3} x^{2}\right)=a_{i},(1 \leq i \leq 3) :fi(a1+a2x+a3x2)=ai,(1i3)

    注意到 a + b x + c x 2 = c ( x − 1 ) 2 + ( b + 2 c ) ( x − 1 ) + ( a + b + c ) \quad a+b x+c x^{2}=c(x-1)^{2}+(b+2 c)(x-1)+(a+b+c) a+bx+cx2=c(x1)2+(b+2c)(x1)+(a+b+c)

    I I II II 的对偶基 I I ′ g 1 , g 2 , g 3 \mathbf{I I}^{\prime} \boldsymbol{g}_{1}, \boldsymbol{g}_{2}, \boldsymbol{g}_{3} IIg1,g2,g3 定义为 : : \quad :
    g 1 ( a + b x + c x 2 ) = c g 2 ( a + b x + c x 2 ) = b + 2 c g 3 ( a + b x + c x 2 ) = a + b + c ; ( g 1 , g 2 , g 3 ) = ( f 1 , f 2 , f 3 ) ( 0 0 1 0 1 1 1 2 1 ) \begin{array}{l} g_{1}\left(a+b x+c x^{2}\right)=c\\ g_{2}\left(a+b x+c x^{2}\right)=b+2 c\\ g_{3}\left(a+b x+c x^{2}\right)=a+b+c ;\\ \left(g_{1}, g_{2}, g_{3}\right)=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right)\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \end{array} g1(a+bx+cx2)=cg2(a+bx+cx2)=b+2cg3(a+bx+cx2)=a+b+c;(g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)001012111
    I I I 到基 I I II II 的过渡矩阵为
    A = ( 1 − 1 1 − 2 1 0 1 0 0 ) A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) A=121110100
    I ′ I' I 到基 I I ′ II' II的过渡矩阵为
    B = ( 0 0 1 0 1 1 1 2 1 ) B T A = I ⇒ B = ( A T ) − 1 B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right) \quad B^{T} A=I \Rightarrow B=\left(A^{T}\right)^{-1} B=001012111BTA=IB=(AT)1
    例   3 \Large\color{violet}{例~3}  3 : 设 V V V n n n F F F -空间, f 1 , ⋯   , f s ∈ V ∗ f_{1}, \cdots, f_{s} \in V^{*} f1,,fsV 是非零函数. 证明:存在 α ∈ V \alpha \in V αV 使得 f i ( α ) ≠ 0 , ∀ 1 ≤ i ≤ s . f_{i}(\alpha) \neq 0, \forall 1 \leq i \leq s . fi(α)=0,1is.

    【证明】: \quad V i : = { α ∈ V ∣ f i ( α ) = 0 } = V_{i}:=\left\{\alpha \in V \mid f_{i}(\alpha)=0\right\}= Vi:={αVfi(α)=0}= ker f i , 1 ≤ i ≤ s . f_{i}, \quad 1 \leq i \leq s . fi,1is.

    V i V_{i} Vi 作为 f i f_{i} fi 的核是 V V V 的子空间.

    f i f_{i} fi 是非零函数, 于是 f i f_{i} fi 在某向量 α i \boldsymbol{\alpha}_{i} αi 处的函数值非零

    ⇒ α i ∉ V i ⇒ V i \Rightarrow \alpha_{i} \notin V_{i} \Rightarrow V_{i} αi/ViVi V V V 的真子空间.

    有限个真子空间不能覆盖整个空间 ⇒ V 1 ∪ V 2 ∪ ⋯ ∪ V s ≠ V \Rightarrow V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s} \neq V V1V2Vs=V
    ⇒ ∃ α ∈ V \Rightarrow \exists \alpha \in V αV, s.t. α ∉ V 1 ∪ V 2 ∪ ⋯ ∪ V s \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s} α/V1V2Vs
    ⇒ f i ( α ) ≠ 0 , ∀ 1 ≤ i ≤ s \Rightarrow f_{i}(\alpha) \neq 0, \forall 1 \leq i \leq s fi(α)=0,1is

    二重对偶

    V V V 的对偶空间: V ∗ : = { f : V → F ∣ f V^{*}:=\{f: V \rightarrow F \mid f V:={f:VFf 是线性映射 } dim ⁡ V ∗ = dim ⁡ V = n \} \quad \operatorname{dim} V^{*}=\operatorname{dim} V=n }dimV=dimV=n

    V V V 的二重对偶: V ∗ ∗ : = { f : V ∗ → F ∣ f V^{* *}:=\left\{f: V^{*} \rightarrow F \mid f\right. V:={f:VFf 是线性映射 } dim ⁡ V ∗ ∗ = dim ⁡ V ∗ = n \} \quad \operatorname{dim} V^{* *}=\operatorname{dim} V^{*}=n }dimV=dimV=n

    ∀ α ∈ V \forall \alpha \in V αV, 规定 α ∗ ∗ ∈ V ∗ ∗ : \alpha^{* *} \in V^{* *}: αV:
    α ∗ ∗ : V ∗ → F f ↦ f ( α ) , ∀ f ∈ V ∗ \alpha^{* *}: V^{*} \rightarrow F \quad f \mapsto f(\alpha), \forall f \in V^{*} α:VFff(α),fV
    定 理 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }} 3 映射 σ : V → V ∗ ∗ , α ↦ α ∗ ∗ \sigma: V \rightarrow V^{* *}, \alpha \mapsto \alpha^{* *} σ:VV,αα 是线性同构.

    优点: 空间与其二重对偶之间存在自然的与基无关的线性同构.

    参考

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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  • 对偶空间(dual linear space)

    万次阅读 2017-01-03 22:07:10
    对偶空间的定义 对偶空间的向量与对偶空间的基;

    1. 定义

    V 为定义在数域 F 上的向量空间,定义 V 上的线性函数是从 V F 的映射:f:VF,且满足 x,yV,kF 有: f(x+y)=f(x)+f(y),f(ka)=kf(a)

    现考虑 V 上所有线性函数(f:VF)的集合 V 。对 f,gV,xV,kF ,可以在 V 定义如下的标量乘法和加法(向量加法):

    • 标量乘法: g(kx)=kg(x)
    • 加法: (f+g)(x)=f(x)+g(x) (向量加法,是由定义出来的)

    在上述意义下,可以证明 V 是域 F 上的向量空间,称为 V 的对偶空间。

    最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。

    2. 简单性质

    • covector:vectors in the dual space,对偶空间中的向量称为 covector(协向量)
      αV,vVα(v)R ,covector 以 vector 为输入,以 scalar 为输出;

    • 从基的角度继续考察对偶空间,如果 V 表示一个有限维空间,则 dimV=dimV

      • 假定 V:{ei}i=1,,n (由基向量长成的线性空间), V={ei}i=1,,n ,则有如下的定义:

      ei(ej)=δij={1,0,i=jotherwise

      对偶空间中的向量称为 covector,如性质一所说,covector 接受线性空间中的向量,输出一个标量;

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  • 一.线性函数 1.概念: ...(2)维数: (3)基: 2.对偶空间与对偶基 (1)概念: 注意:当VVV为域FFF上的无限维线性空间时,我们不把Hom(V,F)Hom(V,F)Hom(V,F)记作V∗V^*V∗ (2)对偶基下的坐标: ...

    一.线性函数(9.10)
    1.概念:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    2.表达式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    二.对偶空间(9.10)

    以下只研究有限维的线性函数空间

    1.线性函数空间
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
    (2)维数:
    在这里插入图片描述
    (3)基:
    在这里插入图片描述
    2.对偶空间与对偶基
    (1)概念:
    在这里插入图片描述

    注意:当 V V V为域 F F F上的无限维线性空间时,我们不把 H o m ( V , F ) Hom(V,F) Hom(V,F)记作 V ∗ V^* V

    (2)对偶基下函数的坐标:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (3)对偶基的过渡矩阵:

    定理1:设 V V V是域 F F F上的 n n n维线性空间,在 V V V中取2个基 α 1 . . . α n α_1...α_n α1...αn β 1 . . . β n , V ∗ β_1...β_n,V^* β1...βn,V中相应的对偶基分别为 f 1 . . . f n f_1...f_n f1...fn g 1 , g n g_1,g_n g1,gn,如果 V V V中基 α 1 . . . α n α_1...α_n α1...αn到基 β 1 . . . β n β_1...β_n β1...βn的过渡矩阵是 A A A,那么 V ∗ V^* V中基 f 1 . . . f n f_1...f_n f1...fn到基 g 1 , g n g_1,g_n g1,gn的过渡矩阵 B B B B = ( A − 1 ) ′ ( 17 ) B=(A^{-1})'\qquad(17) B=(A1)(17)
    在这里插入图片描述

    (4)向量在对偶空间中的象:
    在这里插入图片描述
    3.双重对偶空间:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    4.自然同构:
    在这里插入图片描述

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  • 我们研究de Sitter空间中规范理论的规范/重力对偶性。 更准确地说,我们研究了IIB型超重力的五一致截断,其中包括强耦合规范理论的多种重力对偶,包括Maldacena-Nunez解及其行走变形。 我们找到了具有dS4时空和非...
  • 空间的定义,子空间对偶锥是其正交补 线性代数中子空间的定义 设W为数域F上的n线性空间V的子集合(即W∈V),若W中的元素满足 (1)若任意的α,β∈W,则α+β∈W;(对加法是封闭的) (2)若...
  • 我们发现(2,1)超空间中二(2,1)超对称sigma模型的T对偶变换规则。 我们的研究结果阐明了(2,1)sigma模型几何的某些方面与T对偶的讨论有关。 我们发现,复杂的对偶变换与普通的布歇对偶变换(包括重要的改进)...
  • 为了理解这种结构,我们证明了特定的自等价作用于这些几何上的拓扑B形的范畴,并在严格的Kähler模空间上产生了Γ1(N)的作用。 我们认为,这些动作总是可以用相对于6臂的普通Seidel-Thomas扭曲以及B场的移动来...
  • 在三维空间中,将伪向量左乘代数中的任意一个代数对象,相当于对该对象进行了对偶变换 对偶变换有什么作用,什么是对偶变换
  • 第四列同样是相关的,列空间减到了二平面。最重要的是矩阵的秩rr,在消元过程中得到主元的个数是引入了这个。等价的,最终矩阵UU有rr的非零行,这个定义是从计算中给出的,但是就这样结束不太妥当,因为这样的...
  • 从3d对偶到2d对偶

    2020-04-09 07:47:13
    对于一般质量参数,当我们在二元性的两端都采用相同的极限时,我们获得了通过所有常规检验的二二元性(在规范理论和/或Landau-Ginzburg理论之间)。 但是,当存在非紧凑分支时,讨论是微妙的,因为模量空间上的...
  • 目标空间对偶性是弦论最深刻的特性之一。 然而,通常要求背景场满足某些不变性条件才能一致地执行。 例如,沿着执行T对偶的方向的矢量场必须生成等距。 在本文中,我们详细研究了沿非等距方向执行T对偶的可能性。 ...
  • 我们在四减法和循环树对偶性(FDU / LTD)的框架中重新分​​析了这些幅度,并显示了局部重归一化如何解决潜在的正则化歧义。 希格斯玻色子相互作用还用于说明这种形式主义的新的附加优点。 我们表明LTD自然会在...
  • 通过以2形式进行对偶公式化(如最近在零无穷大分析中所做的那样),我们将一些标量电荷与作用于2形式和表面自由度上的对称变换相关联 在空间无穷大处添加。 这些新的自由度对于在双重画面中获得一致的相对论描述是...
  • 3D自我对偶

    2020-04-15 18:44:37
    我们在三N = 2超对称规范理论中研究自我对偶。 电磁理论共享同一个规范组。 示例包括具有各种物质含量的SU(2N),SO(7)和SO(8)规范理论。 在某些示例中,对偶交换了重子和库仑分支算子的角色。 在其他示例中...
  • 对偶问题就是之前学过的使用拉格朗日乘求条件极值!例如: 原问题:min f(x,y)=x2+y2 对偶问题:由▽f=λ*▽g得,  s.t. xy=3 fx=λ*gx,  ...
  • R.I.Bot和G.Wanka(SIAM J Optim,2005,15(2):540-554.)利用凸优化问题中的共轭对偶定理,研究了两类对偶问题,即广义Fenchel对偶问题和Fenchel-Lagrange对偶问题,提出了有限维空间中具有有限个和无限个凸限制...
  • 我们提出了两个3d N $$ \ mathcal {N} $$ = 8超共形的Chern-Simons物质理论之间的新对偶:U(3)1×U... 作为支持该对偶性的证据,我们证明两种理论中BPS算子的模空间,超保形指数,S 3分区函数和某些OPE系数都一致。
  • 为了建立粒子质量,时空维数随着光速的降低,真空能量的降低以及静止质量的增加而减小。 4D和10D分别具有零和最高真空能。 循环宇宙宇宙学从零能量4D宇宙空隙,正能量膜和负能量无碳膜11D对偶宇宙开始,该宇宙被...
  • 写写对偶四元数(Dual Quaternions),这一篇就先写对偶四元数的基本性质,随后再写写它在骨骼蒙皮动画,三重建中的应用等。   一.四元数  相比对偶四元数,有些人可能更熟知四元数quaternion,因为其早已在...
  • 拉格朗日对偶详解

    2020-03-15 11:11:04
    对偶,是解决最优化问题的一种常用的手段。它能够将一个最优化问题转化成另一个更容易求解的对偶问题。对偶研究中常用的方法是拉格朗日对偶。拉格朗日对偶有以下几个良好的特点: 无论原问题是否为凸问题,对偶问题...
  • SVM的对偶问题与核方法

    千次阅读 2017-03-13 16:34:27
    对偶问题通过优化拉格朗日乘子矢量α来间接得到权值矢量ω,因此与样本的特征维数d无关;并且,训练样本以任意两个矢量内积的形式出现,而不必知道每一维的具体特征。这两个特点是引入核方法的基础。 核方法的实质是...

空空如也

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对偶空间的维数