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  • 对偶问题基本性质

    2009-05-18 17:44:00
    http://course.cug.edu.cn/cugFirst/operational_research/main/charpter2/p2.htm 转载于:https://www.cnblogs.com/macula7/archive/2009/05/18/1960660.html

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  • 对偶性质对偶性 原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界。(推论:原对 偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解) 强对偶性 原对偶问题只要有一个有最优解,另一个就有最优解,并且最优...

    对偶性质

    弱对偶性

    原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界。(推论:原对
    偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解)

    强对偶性

    原对偶问题只要有一个有最优解,另一个就有最优解,并且最优目标值相等。

    对偶问题解之间的关系

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    线性规划与其对偶规则的关系

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    互补松弛定理

    ​ 原问题 maxCTX\max C^{T} X 对偶问题 minbTY\min \vec{b}^{T} Y
     s.t. AXb s.t. ATYCX0Y0 \begin{array}{lll} \text { s.t. } A X \leq \vec{b} & \text { s.t. } A^{T} Y \geq C \\ X \geq 0 & \quad\quad Y \geq 0 \end{array}
    X^\hat{X}Y^\hat{Y} 分别是原问题和对偶问题的可行解,则它 们分别是各自问题最优解的充要条件是满足互补松弛定理等式
    Y^T(bAX^)=0,X^T(ATY^C)=0 \hat{Y}^{T}(\vec{b}-A \hat{X})=0, \hat{X}^{T}\left(A^{T} \hat{Y}-C\right)=0
    含义:如果原问题某个不等式是松的(不等于0), 则其相应的对偶变量必须是紧的(等于0), 反之亦然。

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  • 对偶问题

    2014-03-16 10:12:00
     发展简史 在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题,即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题(称为对偶问题)。1928年美籍匈牙利数学家J.von诺伊曼在研究对策论时已发现...

    对偶理论 - 对偶理论

    (from 互动百科)

      发展简史  在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题,即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题(称为对偶问题)。1928年美籍匈牙利数学家 J.von诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。他于1947年提出对偶理论。1951年G.B.丹齐克引用对偶理论求解线性规划的运输问题,研究出确定检验数的位势法原理。1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法,成为管理决策中进行灵敏度分析的重要工具。对偶理论有许多重要应用:在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时,会自动地给出另一个规划的最优解;当对偶问题比原始问题有较少约束时,求解对偶规划比求解原始规划要方便得多;对偶规划中的变量就是影子价格。 
      对偶问题  每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题,称为对偶问题。原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题,简称原始问题。对偶问题有许多重要的特征,它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料,有助于原始问题的求解和分析。对偶问题与原始问题之间存在着下列关系:①目标函数对原始问题是极大化,对对偶问题则是极小化。②原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数,而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号方向相反。④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。⑤原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数,而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。⑥对偶问题的对偶问题是原始问题,这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。 
      基本定理  原始问题和对偶问题的标准形式如下: 
    原始问题        对偶问题
    max  z=cx        min  对偶理论yb
    s.t.  Axb        s.t.  yA≥c 
    x≥0        y≥0
    式中max表示求极大值,min表示求极小值,s.t.表示“约束条件为”;z为原始问题的目标函数,w为对偶问题的目标函数;x为原始问题的决策变量列向量(n×1),y为对偶问题的决策变量行向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端常数列向量(m×1),c为原始问题的目标函数系数行向量(1×n)。在原始问题与对偶问题之间存在着一系列深刻的关系,业已得到严格数学证明的有如下一些定理。 
      弱对偶定理  若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0y0,则y0b≥cx0。这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。 
      强对偶定理  若上述原始问题和对偶问题都可行,则它们分别有最优解x*y*,且cx*=y*b。 
      最优准则定理  若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0y0,且两者的目标函数值相等,即y0b=cx0,则两个可行解分别为对应线性规划的最优解。 
      互补松弛定理  若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0y0,且u0v0分别为它们的松弛变量,则当且仅当v0x0+u0y0时,x0y0分别为它们的最优解。 
      松弛定理  若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0y0,且u0v0分别为它们的松弛变量,则当且仅当v0x0=0 和u0y0=0时, x0y0分别为它们的最优解。v0x0=0和u0y0=0这两个等式称为互补松弛条件。 
      对称对偶线性规划  具有对称形式的线性规划的特点是:①全部约束条件均为不等式,对极大化问题为≤,对极小化问题为≥。②全部变量均为非负。列出对称对偶线性规划的步骤是:①规定非负的对偶变量,变量数等于原始问题的约束方程数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。 
      非对称对偶线性规划  
    有时线性规划并不以对称方式出现,如约束条件并不都是
    同向不等式,变量可以是非正的或没有符号约束。列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表(见表)按下列步骤进行:①规定对偶变量,变量个数等于原始问题约束不等式数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤根据原始问题的约束不等式情况,确定对偶变量的符号约束。⑥根据原始问题决策变量的符号约束,确定对偶问题约束不等式的符号方向。 
      对偶问题的最优解  从原始问题的最终单纯形表中(最优单纯形算子)可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解(符号相反)。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0,且cx0=y0b,若x0不是原始问题的最优解,y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*,且cx*=y*by*是原始问题的影子价格。

    转载于:https://www.cnblogs.com/ljdawn/p/3603049.html

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