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  • 只听名字的话会感觉对偶单纯形法和对偶问题关系很大,其实不然(想要了解对偶问题的话可以看我之前的文章)。对偶单纯形法在我看来和大M法以及两阶段法很像,都是用来补充纯粹的单纯形法无法解决特殊问题的缺陷。而且...

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    只听名字的话会感觉对偶单纯形法和对偶问题关系很大,其实不然(想要了解对偶问题的话可以看我之前的文章)。对偶单纯形法在我看来和大M法以及两阶段法很像,都是用来补充纯粹的单纯形法无法解决特殊问题的缺陷。而且对偶单纯形法更加“强大”,因为它可以在等式右端(b)为负值时直接求解,这也是选择使用它的大多数场景。
    接下来以下图中题为例直接进行讲解:

    6a512fb18b3389647140963593f8fd0c.png

    设:对偶法 = 对偶单纯形法第一步: 与单纯形法一样,对偶法第一步仍然是要化成标准形式,但是注意这里化成标准形式时和单纯形法不同。由于对偶法计算时等式右端可以为负值,所以为了简化计算,统一将不等式符号化为“<=”,也就是只添加松弛变量。即原式化为:

    7ed83e45561a7b6d845bd215378bd0aa.png


    相应的单纯形表:

    c935626d23f05982521f538b92a8dde3.png

    判断对偶法为最优解的方法:左下值(b值)全为正数(也就是-4,8,-2那里),以及检验数全为非正。

    第二步: 如果该基本解不是最优解那么就要进行换基迭代,但是对偶法的迭代法和单纯形法的方式不太一样。回忆下单纯形法的迭代方式(这里以min类型函数为例,我一般都是这样写):①找检验数中最大的值(假如以上图中的单纯形表为例),这里要找的值就是-1,然后用x4,x5,x6对应的b值去除以相应的-1下的每一行数(-4/-1,8/1),注意下我没有写-2/0,因为当要除的数为0时一般就不考虑将该x换出的可能了。然后根据计算出的数值(4,8)取其中最小的数所对应的x,并将其做出基处理。接着说对偶法的换基迭代方式 ,与单纯法所考虑的重点不同,对偶法主要目的是要将b值全部化为正数,因此要优先考虑将b值中最小的数做出基处理,这里选的值为-4,然后用检验数除以该行对应的相应列的数(-1/-1,-3/-1),注意这里除的时候只有两个需要考虑,因为做除数的值必须要为负值,否则不考虑入基的情况(被除数÷除数),取最小的值做入基处理,即本题选的是-1,也就是x1。然后进行初等行变换即可,如果达不到最优解的条件就要继续换基迭代。

    剩余步骤如下:

    a0ebe951cbf1c785209a7f78072d9613.png

    5cdf09cf9266765d537990e9ab2d509f.png

    af2fde3a21c258eda2fbadca91658675.png

    因为b值全都非负,得最优单纯形表,所以得原问题得最优解为x1 = 6,x2 = 2,x3 = 10,最优值为S = 10.

    下面再举一个例子,并附上对应步骤:

    69d6948c0eb61d72f4b6e88535a2d127.png

    ffc508cd0b5bf13736a0132e693686cc.png

    714401b00882a6a86e93fe9e97690080.png

    eb2f7b593d12c1a4b7a5a8b5c3d7157d.png

    579fe3abca9eb741c247e07e81f22b15.png


    得原问题的最优解为 x1 = 11/5,x2 = 2/5,x3 = 0;最优值为 w = 28/5。

    原创不易,你的鼓励是最大的支持。(约耗时1小时30分钟)

    后续随着进一步学习还会出更多的运筹学文章,关注的话可以看到热乎乎的文章哦。

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  •  这里xi和yi都是已知约束条件有m个,每个样本点有个约束,有m个样本点有m个约束,w是个变量,w和b是个向量。 2.对上式利用拉格朗日乘子法可以得到其对偶问题,即对上式每条约束添加个拉格朗日乘子,...

    1.我们希望通过下式:最小化w的范数来得到最大间隔划分超平面对应的模型,其中w和b是模型参数:

      这里xi和yi都是已知的,约束条件有m个,每一个样本点有一个约束,有m个样本点有m个约束,w是一个变量,w和b是一个向量。

     2.对上式利用拉格朗日乘子法可以得到其对偶问题,即对上式每条约束添加一个拉格朗日乘子,该问题可以写为:

      

      上式中第一项是目标函数,后面是利用拉格朗日乘子法。将上述问题转化为求导数为0(求函数极值)的问题:梯度是数值变化最大的方向

      

     3.拉格朗日乘子法的几何解释:

      

      约束条件是g(x,y)=c,如果将其投影在平面上面那么看到的就是下面画的这张图,虚线是等高线,

       

      在刚接触的时候,约束条件和模型是相切的,垂直于切线的向量是垂直于梯度的,蓝色的向量是在这一点上的梯度,相切要求在同一根直线上。

     4.接下来要求minf(x,y),约束条件是g(x,y)=c,如果要将其写成拉格朗日函数的话, 那么式子就可以写成:

      L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y-c)

      那么这个函数取极值的条件是在梯度为0的时候取极值,

       

      

     5.Karush-Kuhn-Tucker最优条件(KKT条件)

      6.进一步简化为对偶问题

        (1)前一步得出的KKT条件中变量太多,为后续引入核函数模型准备,将前一步的梯度计算结果重新代入到拉格朗日函数,就将w和b消除了

        

        最后得到的是:有变量的ai和aj的式子。 

        

        这就变成了原拉格朗日问题的对偶问题,将求解几何问题变成求解凸优化问题,凸优化问题通过KKT条件变成拉格朗日乘子法问题,把偏导数代进去就可以将拉格朗日乘子法变成一个对偶问题。

        现在这里有一个约束,

      

      如果样本点是支持向量的话,那么αiyi不等于0,其他的不是支持向量的样本点的话αi全部等于0。,

      在解出α之后,求出w和b,就可以得到模型:

        

      上述过程是满足KKT条件的,就是要求:

      

      

     

       7.线性不可分的情况:松弛变量与惩罚函数

        (1):大部分情况都不是线性可分的,线性不可分的时候无法使用前面的数学技巧,但是可以使用添加惩罚函数的解决方法。

        

        (2)

          

    转载于:https://www.cnblogs.com/bigdata-stone/p/10348870.html

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  • 四、序列最小最优化算法如上篇所述,SMO算法的目的是求非线性支持向量机的对偶问题:的解:SMO算法是种启发式算法,基本思路为:假如解中所有变量都满足最优化问题的KKT条件,那么这时的解就是最优化问题的解,...

    四、序列最小最优化算法

    如上篇所述,SMO算法的目的是求非线性支持向量机的对偶问题:

    f3460e67aae428cf959c8b75dd586c15.png

    的解:

    7fbf47969342369ebf722f7bd6f2c2d6.png

    SMO算法是一种启发式算法基本思路为:假如解中所有变量都满足最优化问题的KKT条件,那么这时的解就是最优化问题的解,因为KKT条件是该最优化问题的充分必要条件。否则,选择两个变量(其中一个变量是违反KKT条件最严重的那一个,另一个变量由约束条件自动确定),固定其他变量(即把

    中的两个元素看做是变量,其他的看做是常量),
    针对这两个变量构建一个二次规划问题

    (为什么一次优化两个变量而不是一个呢?很简单,如果选择一个变量,其他固定为常量,那么由于约束条件

    的存在,所以得到这个变量也只有一个取值,这样就没意义了。)

    这个二次规划问题关于两个变量的解,肯定是向原始二次规划问题的解靠近的。SMO算法就是将原始问题不断分解为子问题并对子问题求解,进而达到求解原问题的目的。而且分解成子问题后有一个很大的好处,就是可以通过解析的方式来求解,大大提高整体计算的速度。

    由于约束条件

    ,知,子问题的两个变量中
    只有一个是自由变量。例如,假设我们选择
    作为两个变量,其他的
    固定为常量,那么由这个约束条件可知:

    即,如果

    确定,那么
    也随之确定。所以子问题中
    同时更新两个变量。

    整个SMO算法包括两个部分:求解两个变量二次规划的解析方法和选择变量的启发方法

    我们分别来介绍:

    1.两个变量二次规划的求解方法

    不失一般性,假设两个变量

    ,其他元素
    是固定的
    常量。于是SMO的最优化问题的子问题可以写成:

    (常数)

    其中,

    是常数,仔细
    对比子问题的目标函数与原问题的目标函数,可以看到子问题中省去了不包含
    的常数项。

    有了目标函数和约束条件,我们正式开始求解:首先分析约束条件然后在此约束条件之下来求极小

    (1)分析约束条件

    由于只有两个变量,所以约束条件可以用二维空间上的图形来表示,如下:

    8fde79f8d25875ce5aaac1774321914c.png
    图1:https://blog.csdn.net/witnessai1/article/details/51475580?locationNum=8

    别被这种图吓到了,这种图往往是那种一眼看上去很牛逼,研究清楚了其实也没啥,初中数学吧~我们细细道来~

    由约束条件

    ,我们将解限制在了图中的
    正方形盒子里(书中将这个正方形盒子记为
    );再根据约束条件
    ,可知解得结果
    有两种情况一种是
    ,即
    另一种是
    ),这两种情况对应两种
    线族
    ,或
    ,都平行于正方形盒子的
    对角线。这使得两个变量的最优化问题成为实质上的单变量的最优化问题,我们不妨考虑为变量
    的最优化问题。(即先将目标函数表示为仅关于变量
    的函数,求最小值对应的
    最优解,再根据约束条件求得
    的最优解)

    3c60efda6a9246f975623840f0043bc8.png
    图2 可行解α2的取值范围

    如上图,假设问题的初始可行解

    最优解
    ,并且假设在沿着约束方向
    未经剪辑(没有正方形盒子约束)时
    最优解

    由于

    需要满足
    不等式约束
    ,所以最优值
    取值范围满足条件:
    ,其中,L和H是
    所在对角线段的端点的界。

    (如图1左图所示),则有:

    (如图1右图所示),则有:

    分析了约束条件之后,我们来求解两个变量二次规划。

    (2)求约束条件下的极小

    求解过程也可以分为两步:第一步,求沿着约束方向未经剪辑(即未考虑不等式

    的约束)时
    的最优解
    第二步,再求剪辑后
    的解

    下面以定理的形式来表述这个结果:(这是一个很长的推导过程,目的是给出约束条件下两个变量二次规划的最优解,即

    。如果你现在精神状态不佳,就先休息一下吧~我希望能用100%的关注力来跟着思路推导一遍~只要你能实打实地冲过去,你会发现这个推导的理解也不过如此,非常简单~)

    =================================================

    为了叙述简单,记:

    (新的输入
    的预测值)

    令:

    (表示对输入
    的预测输出与真实输出的差,

    (上面定义的两个式子是为了方便后面定理证明那部分的~在后面如果遇到了,记得回来看看哈~)

    【重要】定理: 最优化问题:

    6b21003b554d79acf035d1fc9cb534fd.png

    沿着约束方向未经剪辑时的解是:

    (先别被它吓住,后面有推导,很简单的~)

    其中,

    是输入空间到特征空间的
    映射

    经剪辑后

    的解是

    5ca776ecff8cee22df83dbcbe2b350bf.png

    求得

    =====================================================

    上面的这个定理,就求得了两个变量二次规划的最优解

    接着,我们来看看这个定理的证明过程(实打实地推导过程~打起精神来~~)

    证明:首先引进一个记号

    (这个记号的引进是为了化简二次规划目标函数~回去再看看这个目标函数吧~~)

    目标函数即可写成:

    根据约束条件

    以及
    ,可将
    表示为

    代入到目标函数,就得到了只含变量

    的目标函数:

    求导数,有:

    令其为0,得到:

    代入,得到:

    代入其中,得到:

    到此,就得到了未经剪辑的最优解

    了。要使其满足不等式约束必须将其
    限制在区间
    ,这样就得到了:

    5ca776ecff8cee22df83dbcbe2b350bf.png

    又根据不等式:

    f932f50e7a966cb40673d239e05e8cc2.png

    得到

    的表达式:

    2bbbec281620ef6c31277b5af51fe571.png

    到此,就得到了两个变量二次规划目标函数的最优解

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  • 原优化问题在于在约束条件下找到最小t,G为约束函数值和目标函数值所有取值集合,约束函数为,即在坐标轴左侧找最小t,故找到最优解(如上图)。 上图三条直线则表示三个对应支撑超平面,与t轴交点是...

    5.3 几何解释

    1. 对偶函数的解释
    2. 上境图

    对偶函数的解释

    简单考虑只有一个不等式约束f_1(x)\leq 0

    定义

    G =\left \{ (f_1(x),f_0(x))|x\in D \right \}

    已知对偶函数:

    g(\lambda )=\underset{(u,t)\in G}{inf}(t+\lambda u)=\underset{(u,t)\in G}{inf}(\lambda ,1)^T(u,t)

    所有对偶函数相当于在G上极小化(\lambda ,1)^T(u,t),得到斜率为-\lambda的支撑超平面。

    下图,t表示f_0(x),u表示约束函数值f_1(x)

    原优化问题在于在约束条件下找到最小的t,G为约束函数值和目标函数值的所有取值的集合,约束函数为u\leq 0,即在坐标轴左侧找最小的t,故找到最优解p^*(如上图)。

    上图三条直线则表示三个\lambda对应的支撑超平面,与t轴的交点是g(\lambda)的取值。

    上境图形式

    A =\left\{ (u,t)|\exists x \in D,f_1(x) \leq u,f_0(x) \leq t\right \}

    可以将A理解为G的上境图形式,包含了G中所有的点,以及一些较坏的点。

    强对偶性成立,当且仅当存在某些对偶可行变量,使得P^*=d^*,即对于集合A,存在一个在边界点(0,0,p^*)处有非竖直的支撑超平面。

    对于凸问题,A显然也是凸集,对于任意的凸集,其边界点处均有支撑超平面。所以对大部分凸问题,强对偶性总是成立。

     

    来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86902873

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  • 5.3几何解释 ...原优化问题在于在约束条件下找到最小t,G为约束函数值和目标函数值所有取值集合,约束函数为,即在坐标轴左侧找最小t,故找到最优解(如上图)。   上图三条直线则表...
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空空如也

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