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  • 对关键字序列进行递增排序
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    2020-06-27 18:29:26

    给出一组关键字序列{29,18,25,47,58,12,51,10},分别给出用希尔排序、直接选择排序算法从小到大排序的结果。

    算法思想:
    选择排序的基本思想是依次从待排序记录序列中选择出关键字值最小(或最大)的记录、关键字值次之的记录、……,并分别将它们交换到序列的第1个位置、第2个位置、……,从而使记录成为按关键字值由小到大(或由大到小)顺序排列。
    希尔排序的基本思想(1)将待排序的记录划分成若干个子序列,分别进行直接插入排序(2)再划分几个大的子序列,进行直接插入排序;反复进行几遍 (3)最后作为一个完整的序列,实施直接插入排序*

    #include<stdio.h>//蓝多多算法实验八
    #define MAXSIZE 20
    
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  • 排序算法之堆排序

    千次阅读 2016-10-01 19:13:49
    排序:什么是堆:堆是一颗完全二叉树。堆又分大顶堆跟小顶堆,大顶堆即其任意一个非叶子结点都不小于其子节点,即key[i]>=key[2*i+1]&&key...如下图:堆排序复杂度:对于n个关键字序列,最坏情况下每个节点需比较log2

    堆排序:

    什么是堆:

    堆是一颗完全二叉树。堆又分大顶堆跟小顶堆,大顶堆即其任意一个非叶子结点都不小于其子节点,即key[i]>=key[2*i+1]&&key[i]>=key[2*i+2],如下图:
    大顶堆

    小顶堆即其任意一个非叶子结点都不大于其子节点,即满足Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]。
    如下图:

    小顶堆

    堆排序复杂度:

    对于n个关键字序列,最坏情况下每个节点需比较log2(n)次,因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。

    堆排序稳定性:

    堆排序为不稳定排序,不适合记录较少的排序。

    堆排序算法基本思想:

    以大顶堆为例:
    给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8,6,1}
    大顶堆

    一、先将指定序列变为大顶堆,步骤如下:
    1)选择最后一个非叶子节点的父节点,从其开始,比较其与其左、右(如果存在)子结点的大小,如果子节点比父节点大,则交换位置。

    这里写图片描述

    如上图,最后一个非叶子结点即7号结点,与其父节点3号结点,a[7] < a[3]所以不用交换。

    2)重复递增选择刚比较完的结点的相邻非叶结点直到根节点,比较其与其子结点以及子节点的子节点(若存在,如果子节点还存在子节点的话就一直递归下去,直到叶子结点)的大小,按大顶堆的结点大小规则,交换结点的值。

    选择3号结点的相邻前一结点,即二号结点
    这里写图片描述

    比较其与子节点的大小,并与最大的那个节点交换值。交换后如下图:

    这里写图片描述

    继续选择1号结点:
    这里写图片描述

    比较其与其子结点以及子节点的子节点(若存在,如果子节点还存在子节点的话就一直递归下去,直到叶子结点)的大小

    这里写图片描述

    先比较子节点与其的大小,并交换值,在比较子节点的子节点与子节点的大小
    这里写图片描述

    1比7小不需要交换
    这里写图片描述

    接下去选择1号前一相邻结点,即0号结点

    这里写图片描述

    比较其与其子结点以及子节点的子节点(若存在,如果子节点还存在子节点的话就一直递归下去,直到叶子结点)的大小,并交换
    这里写图片描述

    比较子节点与其子节点的子节点的大小即下图中①部分,交换值

    这里写图片描述

    再比较子节点的子节点的子节点与该节点的父节点的大小(上图②部分),即7号结点与3号结点的大小,1比7小,不需要交换。

    接下去比较0号节点的左结点与其子结点,不需要交换
    这里写图片描述

    如此,无需序列就变成了大顶堆了。

    二、对大顶堆进行排序:
    步骤
    1)将根元素与最后一个未排元素进行交换
    2)剔除最新一个交换的元素,将新生成的序列重新排成大顶堆。
    3)重复以上步骤,直到成为有序序列。

    将根元素与最后一个未排元素进行交换:
    这里写图片描述

    排成大顶堆:
    这里写图片描述

    重复以上步骤:
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    如此一来,堆排序便完成了。

    java实现代码:

    父节点为i,左、右子节点分别可以用 2*i+1,2* i+2表示。

    public class HeapSortTest {  
    
        public static void main(String[] args) {  
            int[] data5 = new int[] { 5, 3, 6, 2, 1, 9, 4, 8, 7 };  
            print(data5);  
            heapSort(data5);  
            System.out.println("排序后的数组:");  
            print(data5);  
        }  
    
        public static void swap(int[] data, int i, int j) {  
            if (i == j) {  
                return;  
            }  
            data[i] = data[i] + data[j];  
            data[j] = data[i] - data[j];  
            data[i] = data[i] - data[j];  
        }  
    
        public static void heapSort(int[] data) {  
            for (int i = 0; i < data.length; i++) {  
                createMaxdHeap(data, data.length - 1 - i);  
                swap(data, 0, data.length - 1 - i);  
                print(data);  
            }  
        }  
    
        public static void createMaxdHeap(int[] data, int lastIndex) {  
            for (int i = (lastIndex - 1) / 2; i >= 0; i--) {  
                // 保存当前正在判断的节点  
                int k = i;  
                // 若当前节点的子节点存在  
                while (2 * k + 1 <= lastIndex) {  
                    // biggerIndex总是记录较大节点的值,先赋值为当前判断节点的左子节点  
                    int biggerIndex = 2 * k + 1;  
                    if (biggerIndex < lastIndex) {  
                        // 若右子节点存在,否则此时biggerIndex应该等于 lastIndex  
                        if (data[biggerIndex] < data[biggerIndex + 1]) {  
                            // 若右子节点值比左子节点值大,则biggerIndex记录的是右子节点的值  
                            biggerIndex++;  
                        }  
                    }  
                    if (data[k] < data[biggerIndex]) {  
                        // 若当前节点值比子节点最大值小,则交换2者得值,交换后将biggerIndex值赋值给k  
                        swap(data, k, biggerIndex);  
                        k = biggerIndex;  
                    } else {  
                        break;  
                    }  
                }  
            }  
        }  
    
        public static void print(int[] data) {  
            for (int i = 0; i < data.length; i++) {  
                System.out.print(data[i] + "\t");  
            }  
            System.out.println();  
        }  
    
    }  
    展开全文
  • 数据结构基础课程的上课笔记,用C实现希尔排序,并与一般插入排序进行比较。 已更新Sedgewick’s best sequence相关内容。

    希尔排序的理解

    作为插入排序的升级版,希尔排序的优化体现在何处呢?具体需要如何实现呢?

    一、写在前面

    【Definition】An inversion in an array of numbers is any ordered pair ( i, j ) having the property that i < j but A[i] > A[j].

    逆序:是指序列中大小关系不正确的数目。

    举个栗子:

    34, 8, 64, 51, 32, 21 这样一个数字序列具有9个逆序。
    分别是(34, 8) (34, 32) (34, 21) (64, 51) (64, 32) (64, 21) (51, 32) (51, 21) (32, 21)。

    从逆序角度理解插入排序

    我们的插入排序在每一步时都要像打扑克一样,将未排好序的牌中取一张,插入到已排序的牌堆中,在插入的过程,我们可以理解成为逆序减少的过程,因为每次都是相邻元素的交换,很容易理解交换一次最多消除一个逆序。
    而N个元素逆序的最大值是 N ( N − 1 ) 2 \frac{N(N-1)}{2} 2N(N1),不难理解插入排序的时间复杂度是 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

    二、希尔排序的思想

    自然语言(文字)描述

    希尔排序为了使得交换减少,采取的策略是进行较远元素的比较,这样一次交换即可实现多个逆序的减少,如{5,4,2,6},如果采取插入排序,需要交换三次;而希尔排序如果进行5与2的交换,则一次可以减少三个逆序,成功使序列有序。

    而这样的分组一般是有规律的,采取不同的分组策略会有不同的时间复杂度。

    最常用到的递增序列:
    h t = ⌊ N / 2 ⌋ , h k + 1 = ⌊ h k / 2 ⌋ h_t= \lfloor N/2 \rfloor,h_k+1 = \lfloor h_k/2\rfloor ht=N/2,hk+1=hk/2

    伪代码描述

    void Shellsort( ElementType A[ ], int N ) 
    { 
          int  i, j, Increment; 
          ElementType  Tmp; 
          for ( Increment = N / 2; Increment > 0; Increment /= 2 )  
    	/*h sequence :希尔序*/
    	for ( i = Increment; i < N; i++ ) { /* insertion sort */
    	      Tmp = A[ i ]; 
    	      for ( j = i; j >= Increment; j - = Increment ) 
    		if( Tmp < A[ j - Increment ] ) 
    		      A[ j ] = A[ j - Increment ]; 
    		else 
    		      break; 
    		A[ j ] = Tmp; 
    	} /* end for-I and for-Increment loops */
    }
    

    二话不说,先上栗子:

    在这里插入图片描述
    上图是以{5,3,1}作为希尔递增序列(increment sequence)完成的希尔排序:

    1. 首先是间隔为5进行排序,我们可以分成五组,在图中的第一行,用蓝、橙、粉红、绿和紫罗兰色进行了分组,组内分别进行插入排序,即81,35,41先进行排序,结果为35,41,81分别填入原来这三个数所在的三个空,其它四个组以此类推。
    2. 接着是间隔为3进行排序,我们可以分成三组,在图中的第二行,如{35,28,75,58,95}就是一组,排序结果应为{28,35,58,75,95},重新填入所在位置,其它两个组以此类推。
    3. 进行完这两步,我们发现序列基本有序,这个时候再进行插入排序就可以减少比较多的交换了。

    三、希尔排序的C语言实现

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    
    #define SIZE 20
    
    void Shell_sort(int a[],int size);
    
    void prt(int a[],int len){
        for(int i=0;i<len;i++){
            printf("%4d",a[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    int cnt = 0;
    
    int main(){
        int a[SIZE];
        srand(1);
        for(int i=0;i<SIZE;i++){
            a[i] = rand() % SIZE; 
        }
        prt(a,SIZE);
        printf("-------------------------------------------------\n");
    
        Shell_sort(a,SIZE);
        printf("The number of swap :%d\n",cnt);
        int suc =1;
        for(int i=0;i<SIZE-1;i++){
            if(a[i] > a[i+1]){
                suc =0;break;
            }
        }
        if(suc ){
            printf("ok\n");
        }else{
            printf("fail\n");
    
        }
    }
    
    void Shell_sort(int a[],int n){
        int Increment, i, j, temp;
        //希尔序:这里采取的递增序列是 n/2,n/4,...,1
        for (Increment = n/2; Increment >= 1; Increment = Increment /2) {
        	//插入第一个元素,直接跳过这一步,从插入第二个元素开始.因为这个小组的元素中隔了Increment 个,所以排的时候也要隔Increment 个
            for (i = Increment ; i < n; i++) {
                //一次进行各个小组的排序,并非是先进行一次排序(顺序是按照再数组中储存的位置)
                if(a[i] < a[i-Increment])
                {
                    temp = a[i];
                    for (j = i-Increment ; j >= 0 && temp < a[j];j -= Increment) {
                        a[j+Increment] = a[j];
                        cnt++;
                    }
                    a[j+Increment] = temp;
                }
            }
            prt(a,n);
        }
    }
    

    变更实验数据可以更改随机数种子,srand(num).

    四、实验结果

    希尔排序

    在这里插入图片描述

    插入排序

    在这里插入图片描述

    五、提高与改进

    使用 Hibbard’s Increment Sequence:
    h k = 2 k + 1 h_k=2^k+1 hk=2k+1 ---- 连续增量没有公共因子(互素)。
    时间复杂度可以减少为 O ( N 5 / 4 ) O(N^{5/4}) O(N5/4).
    还有更加复杂的序列,总之使用到了互素的性质进一步减少每次分组之间的重叠,增大分组的作用。

    Sedgewick’s best sequence: 9 ∗ 4 i – 9 ∗ 2 i + 1 9*4^i – 9*2^i + 1 94i92i+1 or 4 i – 3 ∗ 2 i + 1 4^i – 3*2^i + 1 4i32i+1.

    程序实现:

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <math.h>
    
    #define SIZE 500000
    #define MAXN 40
    
    void Shell_sort(int a[],int size);
    
    //打印输出数组
    void prt(int a[],int len){
        for(int i=0;i<len;i++){
            printf("%5d ",a[i]);
            if(i%15 == 14){
                printf("\n");
            }
        }
        printf("\n");
    }
    
    //计数交换次数
    int cnt = 0;
    int shell_series[MAXN];
    int index = 0;
    
    int main(){
        int a[SIZE];
        //生成随机数组
        srand(1);
        for(int i=0;i<SIZE;i++){
            a[i] = rand() % SIZE; 
        }
        // prt(a,SIZE);
        printf("-------------------------------------------------\n");
    
        //希尔排序
        //希尔序:Sedgewick's best sequence
        int ix,iy;
        for(index = 0,ix = 0,iy = 2;;ix++,iy++){
            int num1 = 9*pow(4,ix)-9*pow(2,ix)+1;
            int num2 = pow(4,iy)-3*pow(2,iy)+1;
            if(num2 < SIZE && num1 < num2){        //当num1 < num2 < n时,依次读入num1以及num2
                shell_series[index++] = num1;
                shell_series[index++] = num2;
            }
            else if(num1 < SIZE && num1 > num2){   //当num2 < num1 < n时,依次读入num2以及num1
                shell_series[index++] = num2;
                shell_series[index++] = num1;
            }
            else if(num2 < SIZE){                  //当num2 < n < num1时,读入num2
                shell_series[index++] = num2;
            }
            else if(num1 < SIZE){                  //当num1 < n < num2时,读入num1
                shell_series[index++] = num1;
            }
            else if(num1 > SIZE && num2 > SIZE)       //当n < num1 && n < num2,结束寻找
                break;
        }
        Shell_sort(a,SIZE);
        printf("The number of swap :%d\n",cnt);
        //判断结果正确性
        int suc =1;
        for(int i=0;i<SIZE-1;i++){
            if(a[i] > a[i+1]){
                suc =0;break;
            }
        }
        if(suc ){
            printf("ok\n");
        }else{
            printf("fail\n");
    
        }
    }
    
    void Shell_sort(int a[],int n){
        prt(shell_series,index);
    
        int Increment, i, j, temp;
        index --;
        for (Increment = shell_series[index]; index >= 0; Increment = shell_series[--index]) {
        	//插入第一个元素,直接跳过这一步,从插入第二个元素开始.因为这个小组的元素中隔了Increment 个,所以排的时候也要隔Increment 个
            for (i = Increment ; i < n; i++) {
                //一次进行各个小组的排序,并非是先进行一次排序(顺序是按照在数组中储存的位置)
                if(a[i] < a[i-Increment])   //当前小组进行插入排序
                {
                    temp = a[i];            //找到正确的位置
                    for (j = i-Increment ; j >= 0 && temp < a[j]; j -= Increment) {
                        a[j+Increment] = a[j];
                        cnt++;
                    }
                    //插入当前元素
                    a[j+Increment] = temp;
                }
            }
            // prt(a,n);
        }
    }
    

    以500000为数据量,进行测试,上面为采用Sedgewick’s best sequence的结果,优于下面的一般希尔排序(简单二分)。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 二叉排序树的定义、查找、插入、构建、删除、查找效率分析。

    一、二叉排序树

    1.1 二叉排序树的定义

    二叉排序树,又称二叉查找树(BST,Binary Search Tree)具有如下性质的二叉树:

    • 左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字;
    • 右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字。
    • 左子树和右子树又各是一棵二叉排序树;
    • 左子树结点值 < 根结点值 < 右子树结点值;
    • 进行中序遍历,可以得到一个递增的有序序列。
      在这里插入图片描述
     // 二叉排序树存储结构
     typedef struct BSTNode{
        int key;
        struct BSTNode *lchild, *rchild;
    }BSTNode, *BiTree;
    

    1.2 二叉排序树的查找

    【分析】: 1、如果树非空,k的值与根结点比较,如果相等则查找成功;2、k<根,在左子树上查找,否则在右子树上查找;3、查找成功,返回结点指针;查找失败则返回NULL。

    // 在二叉排序树中查找值为key的结点
    BSTNode *BST_Sreach(BiTree T, int key){
        while(T!=NULL && key!=T->key){ //若树空或等于根结点值,则结束循环
            if(key < T->key)
                T = T->lchild;  //小于,则在左子树上查找
            else
                T = T->rchild;  //大于,则在右子树上查找
        }
        return T;
    }
    // 在二叉排序树中查找值为key的结点(递归实现)
    BSTNode *BSTSreach(BiTree T, int key){ 
        if(T=NULL)
            return NULL;    // 查找失败
        if(key=T->key)
            return T;       // 查找成功
        else if(key < T->key)
            return BSTSreach(T->lchild, key);  //在左子树找
        else
            return BSTSreach(T->rchild, key);  //在右子树找
    }
    

    这两个算法,递归实现需要的最坏空间复杂度O(h);因此选用第一个算法为好。


    1.3 二叉排序树的插入

    【分析】:1、如果树为空,直接插入结点;2、若关键字k小于 根结点值,则插入到左子树;3、若关键字k大于根结点值,则插入到右子树。
    插入的结点一定是一个新添加的叶结点,且是查找失败时的查找路径上访问的最后一个结点的左孩子或右孩子。

    // 在二叉排序树插入关键字为k的新结点(递归实现)
    int BST_Insert(BiTree &T, int k){
        if(T=NULL){
            T = (BiTree)malloc(sizeof(BSTNode));
            T->key = k;
            T->lchild = T->rchild = NULL;
            return 1; //返回1,插入成功
        }
        else if(k==T->key)
            return 0;
        else if(k<T->key)
            return BST_Insert(T->lchild,k);
        else
            return BST_Insert(T->rchild,k);
    }
    

    1.4 二叉排序树的构建

    从一棵空树出发, 依次输入元素,将它们插入二叉排序树中的合适位置。设查找的关键字序列为{45, 24, 53, 45, 12, 24},则生成的二叉排序树如图所示。
    [分析]:开始令树为空,while循环插入操作,i计数知道插入的总数

    // 按照str[]中的关键字序列建立二叉排序树
    void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){
        T=NULL;        //初始时T为空树
        int i=0;
        while(i<n){    // 依次将每个关键字插入到二叉排序树中
            BST_Insert(T,str[i]); // 进行插入
            i++;
        }
    }
    

    在这里插入图片描述

    不同的关键字序列可能得到同款二叉排序树,也可能得到不同款二叉排序树。


    1.5 二叉排序树的删除

    在二叉排序树中删除一个结点时,不能把以该结点为根的子树上的结点都删除,必须先把被删除结点从存储二叉排序树的链表上摘下,将因删除结点而断开的二叉链表重新链接起来,同时确保二叉排序树的性质不会丢失。删除操作的实现过程按3种情况来处理:

    先搜索找到目标结点:

    • ① 若被删除结点z是叶结点,则直接删除,不会破坏二叉排序树的性质。
    • ② 若结点z只有一棵左子树或右子树,则让z的子树成为z父结点的子树,替代z的位置。
    • ③ 若结点z有左、右两棵子树,则令z的直接后继(或直接前驱)替代z,然后从二叉排序树中删去这个直接后继(或直接前驱),这样就转换成了第一或第二种情况。

    z的后继:z的右子树中最左下结点(该节点一定没有左子树)
    在这里插入图片描述
    z的前驱:z的左子树中最右下结点(该节点一定没有右子树)
    在这里插入图片描述

    1.6 查找效率分析

    查找长度——在查找运算中,需要对比关键字的次数称为查找长度,反映了查找操作时间复杂度。
    二叉排序树的查找效率,主要取决于树的高度。若二叉排序树的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1,则这样的二叉排序树称为平衡二叉树,它的平均查找长度为O(logn)。

    若二叉排序树是一个只有右(左)孩子的单支树(类似于有序的单链表),则其平均查找长度为O(n)。在最坏情况下,即构造二叉排序树的输入序列是有序的,则会形成一个倾斜的单支树,此时二叉排序树的性能显著变坏,树的高度也增加为元素个数n,如图右所示。
    在这里插入图片描述

    查找成功的平均查找长度 ASL(Average Search Length)

    ():ASL = (1*1 + 2*2 + 3*4 + 4*1)/8 = 2.625():ASL = (1*1 + 2*2 + 3*1 + 4*1 + 5*1 + 6*1+ 7*1)/8 = 3.75
    

    在这里插入图片描述
    查找失败的平均查找长度 ASL(Average Search Length)

    ():ASL = (3*7+4*2)/9 = 3.22():ASL = (2*3+3+4+5+6+7*2)/9 = 4.22
    
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