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  • 概率分布函数:给出取值小于某个值得概率,及概率的累加形式(对于离散型变量)或者求积分(连续型变量)。 概率分布函数的作用:(1)可以用来计算x落在某一区间的概率:如:P(a<x<b)=F(b)-F(a) (2)F(x)曲线...

    概率函数:用函数形式给出每个取值发生的ga概率,P(x)(x=x1,x2,...)。只对lisa离散型数据有意义。

    概率分布函数:给出取值小于某个值得概率,及概率的累加形式(对于离散型变量)或者求积分(连续型变量)。

    概率分布函数的作用:(1)可以用来计算x落在某一区间的概率:如:P(a<x<b)=F(b)-F(a)

     (2)F(x)曲线的斜率判断概率的变化快慢。曲线越倾斜,x落在对应区域的概率越大。

    概率密度函数:给出了xi落在某值x邻域内的概率变化快慢,概率密度函数的值不是概率,而是概率的变化率。概率密度函数下面的面积才是概率。

    定积分:表示一个面积,是一个数

    不定积分:跟导数有关,是一个表达式。

    这两者之间的关系只有计算关系,并没有什么含义的关系。

    导数和微分之间的关系:是函数图像在某一点处的斜率,也就是纵坐标增量(Δy)和横坐标增量(Δx)在Δx-->0时的比值。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后,纵坐标取得的增量,一般表示为dy。

     

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  • X~N(μ,σ²):一般正态分布:均值为μ、方差为σ² http://blog.csdn.net/zhanghongxian123/article/details/39008493 对于标准正态分布来说,存在一张表,称为:标准正态分布表: 该表计算的是:P(X<=x)...

     X~N(μ,σ²):一般正态分布:均值为μ、方差为σ²

    http://blog.csdn.net/zhanghongxian123/article/details/39008493

    对于标准正态分布来说,存在一张表,称为:标准正态分布表:

     

    该表计算的是:P(X<=x)【某个数落在某个[-@,x]】的概率。也就是下面阴影图形所示的面积:

     

    如果x=1.96.则将1.96拆分为1.9和0.06.横轴1.9和纵轴0.06的交汇处:0.975.就是x<=1.96的概率。

    也就是说,标准正态分布图形与x=a所围面积等于x<=a(某个值落在组数据的某个区间的)的概率。

    例如,对于某组成绩组数据,服从平均值为45,标准差是10的正态分布:

    那么,任抽取一个同学的成绩,它的分数在63以上的概率为多少【落在[63,+@]区间的概率】?

    也就是图中斜线的面积!

    如果对f(x)做-@到63的计分,在用1减去它。计分比较麻烦。那么,将组数据标准化,标准化后的数据服从标准整体分布~!就将63数据标准化。

    对63标准化就是“距离/标准差”

    (63-45)/10=1.8。就是说,在标准整体分布中,得分落在区间[1.8,+@]的概率是:

    1-0.9641=0.0359=3.59%

    也就说,对于正态分布,想求得数据区间概率(面积),将“分割点”标准化即可,查表即可!!

    以下描述是等同的:

    全体学生,分数超过63分的同学占3.59%;

    全体学生,任取一个分数大于63分的概率为3.59%;

    全体学生,任取一个分数,标准计分大于1.8的概率为3.59%;

    转载于:https://www.cnblogs.com/yanjunhelloworld/p/4844741.html

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  • 描述高斯函数积分方法,查表转换。用于计算高斯函数积分
  • 正态分布概率密度函数积分

    千次阅读 2020-07-01 23:29:52
    正态分布概率密度函数积分

    正态分布概率密度函数的积分
    I = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x \begin{aligned} I = \int _{- \infty} ^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac{(x - \mu) ^2}{2 \sigma ^ 2}} dx \end{aligned} I=2π σ1e2σ2(xμ)2dx

    指数中包含二次项,无法直接求解,需要做一些变换。

    夹逼定理

    F ( x ) , G ( x ) F(x), G(x) F(x),G(x) x 0 x_0 x0连续且极限相同,即
    lim ⁡ x → x 0 F ( x ) = lim ⁡ x → x 0 G ( x ) = A \begin{aligned} \lim_{x \to x_0}F(x) = \lim_{x \to x_0}G(x) = A \end{aligned} xx0limF(x)=xx0limG(x)=A

    f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0的某领域内恒有
    F ( x ) ≤ f ( x ) ≤ G ( x ) F(x) \le f(x) \le G(x) F(x)f(x)G(x)


    lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \begin{aligned} \lim_{x \to x_0}f(x) = A \end{aligned} xx0limf(x)=A

    二重积分的换元法

    ∬ x 2 + y 2 ≤ R 2 f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 R ∫ 0 2 π f ( r s i n θ , r c o s θ )   r   d r d θ \begin{aligned} &\iint_{x^2+y^2 \le R^2} f(x, y)dxdy \\ = &\int_0^R \int_0^{2\pi} f(rsin\theta, rcos\theta) \ r \ dr d\theta \end{aligned} =x2+y2R2f(x,y)dxdy0R02πf(rsinθ,rcosθ) r drdθ

    正态分布概率密度函数的积分

    (1) 令 y = x − μ 2 σ \begin{aligned} y = \frac{x - \mu}{\sqrt{2} \sigma} \end{aligned} y=2 σxμ, 得到 I = 1 π ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y \begin{aligned} I = \frac {1}{\sqrt{\pi}} \int _{-\infty} ^{\infty} e ^ {- y^2} dy \end{aligned} I=π 1ey2dy

    (2) 令 U = ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y \begin{aligned} U = \int _{-\infty} ^{\infty} e ^ {- y^2} dy \end{aligned} U=ey2dy, 则 I = 1 π U \begin{aligned} I = \frac {1}{\sqrt{\pi}} U \end{aligned} I=π 1U

    (3) U = lim ⁡ R → ∞ ∫ − R R e − y 2 d y \begin{aligned} U = \lim_{R \to \infty} \int _{-R} ^{R} e ^ {- y^2} dy \end{aligned} U=RlimRRey2dy

    (4) 转换为正方形区域内的二重积分
    U 2 = lim ⁡ R → ∞ ∫ − R R e − x 2 d x ∫ − R R e − y 2 d y = lim ⁡ R → ∞ ∫ − R R ∫ − R R e − x 2 − y 2 d x d y = lim ⁡ R → ∞ ∬ − R ≤ x ≤ R , − R ≤ y ≤ R e − x 2 − y 2 d x d y \begin{aligned} U^2 &= \lim_{R \to \infty} \int _{-R} ^{R} e ^ {- x^2} dx \int _{-R} ^{R} e ^ {- y^2} dy \\ &= \lim_{R \to \infty} \int _{-R} ^{R}\int _{-R} ^{R} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\ &= \lim_{R \to \infty} \iint _{-R \le x \le R, -R \le y \le R} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \end{aligned} U2=RlimRRex2dxRRey2dy=RlimRRRRex2y2dxdy=RlimRxR,RyRex2y2dxdy

    在这里插入图片描述

    (5) 内切圆积分
    U 1 = lim ⁡ R → ∞ ∬ x 2 + y 2 ≤ R 2 e − x 2 − y 2 d x d y = lim ⁡ R → ∞ ∫ 0 R ∫ 0 2 π e − r 2 r   d r d θ = ∫ 0 2 π d θ × lim ⁡ R → ∞ ∫ 0 R e − r 2 r   d r = 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r   d r = 2 π ( − 1 2 e − r 2 ∣ 0 ∞ ) = π \begin{aligned} U1 &= \lim_{R \to \infty} \iint _{x^2+y^2 \le R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\ &= \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{R} \int_{0}^{2 \pi} e ^ {- r^2} r \ dr d\theta \\ &= \int_{0}^{2 \pi} d\theta \times \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{R} e ^ {- r^2} r \ dr \\ &= 2 \pi \int _{0}^{\infty} e ^ {- r^2} r \ dr \\ &= 2 \pi (- \frac{1}{2} e ^ {- r^2} |_0^\infty) \\ &= \pi \end{aligned} U1=Rlimx2+y2R2ex2y2dxdy=Rlim0R02πer2r drdθ=02πdθ×Rlim0Rer2r dr=2π0er2r dr=2π(21er20)=π

    (5) 外接圆积分
    U 2 = lim ⁡ R → ∞ ∬ x 2 + y 2 ≤ 2 R 2 e − x 2 − y 2 d x d y = lim ⁡ R → ∞ ∫ 0 2 R ∫ 0 2 π e − r 2 r   d r d θ = ∫ 0 2 π d θ × lim ⁡ R → ∞ ∫ 0 2 R e − r 2 r   d r = 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r   d r = 2 π ( − 1 2 e − r 2 ∣ 0 ∞ ) = π \begin{aligned} U2 &= \lim_{R \to \infty} \iint _{x^2+y^2 \le 2R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\ &= \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{\sqrt{2}R} \int_{0}^{2 \pi} e ^ {- r^2} r \ dr d\theta \\ &= \int_{0}^{2 \pi} d\theta \times \lim_{R \to \infty} \int _{0}^{\sqrt{2}R} e ^ {- r^2} r \ dr \\ &= 2 \pi \int _{0}^{\infty} e ^ {- r^2} r \ dr \\ &= 2 \pi (- \frac{1}{2} e ^ {- r^2} |_0^\infty) \\ &= \pi \end{aligned} U2=Rlimx2+y22R2ex2y2dxdy=Rlim02 R02πer2r drdθ=02πdθ×Rlim02 Rer2r dr=2π0er2r dr=2π(21er20)=π

    (6) e − x 2 − y 2 e ^ {- x^2-y^2} ex2y2在整个平面上都大于0,因此有
    ∬ x 2 + y 2 ≤ R 2 e − x 2 − y 2 d x d y < ∬ − R ≤ x ≤ R , − R ≤ y ≤ R e − x 2 − y 2 d x d y < ∬ x 2 + y 2 ≤ 2 R 2 e − x 2 − y 2 d x d y \begin{aligned} &\iint _{x^2+y^2 \le R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\ \lt &\iint _{-R \le x \le R, -R \le y \le R} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \\ \lt &\iint _{x^2+y^2 \le 2R^2} e ^ {- x^2-y^2} dx dy \end{aligned} <<x2+y2R2ex2y2dxdyRxR,RyRex2y2dxdyx2+y22R2ex2y2dxdy

    夹逼定理可得 U 2 = U 1 = U 2 = π U^2 = U1 = U2 = \pi U2=U1=U2=π
    因此 U = π , I = 1 π U = 1 \begin{aligned}U=\sqrt{\pi}, I = \frac {1}{\sqrt{\pi}} U = 1 \end{aligned} U=π ,I=π 1U=1

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  • 累计分布函数与互补累计分布函数

    千次阅读 2018-08-14 15:03:51
    累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写CDF标记,,与概率密度函数probability density function(小写pdf)...

    累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写CDF标记,,与概率密度函数probability density function(小写pdf)相对。
    对于所有实数 ,累积分布函数定义如下:
    这里写图片描述
    即累积分布函数表示:对离散变量而言,所有小于等于a的值出现概率的和。

    互补累计分布函数(Complementary Cumulative Distribution Function,CCDF) 为了表示OFDM系统中的峰均值PAPR的统计特性所引入的的概念,它定义为多载波传输系统中峰均值超过某一门限值z的概率。互补累积分布函数是对连续函数,所有大于a的值,其出现概率的和。
    这里写图片描述

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  • 推导伽马函数的两个性质
  • 如何简单理解概率分布函数和概率密度函数?

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数 2.1概率函数和...
  • 累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写CDF标记,,与概率密度函数probability density function(小写pdf)...
  • 累积分布函数(Cumulative Distribution Function),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写CDF标记,,与概率密度函数probability density function(小写pdf)相对。...
  • 径向分布函数

    万次阅读 热门讨论 2018-10-14 17:22:15
    径向分布函数RDF实现算法 RDF实现算法 RDF是径向分布函数的Radical distribution function的缩写,指的是给定一个空间,在此空间以一个对象为中心,去寻找周围对象的的概率。对于分子模拟的径向分布函数实则也是求解...
  • 概率函数 概率分布 分布函数

    千次阅读 2018-07-29 10:34:13
    先来讨论离散型随机变量的概率分布,概率函数,分布函数 概率函数:用函数的形式来表达概率(一次只能表示一个取值的概率) 概率分布:理解这个概念的重点在“分布”二字。下图可以表示的是:离散型随机变量的值...
  • 密度函数、分布律、分布函数

    千次阅读 2019-09-15 13:24:52
    密度函数、分布律、分布函数,傻傻分不清。 密度函数 连续随机变量:概率密度函数(PDF),简称密度函数。在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率。 分布律 离散型随机变量:概率质量函数(PMF)称作...
  • 概率分布函数(简称:分布函数): 若 X 是一个随机变量,a 是任意实数,F(X) = P{ X < a }[P指概率],那么函数 F(X) 就称为 X 的概率分布函数,记作:X ~ F(a)。 通俗解释: 分布函数就是随机变量X在某个区间的...
  • δ冲击模型寿命分布积分计算及M函数的性质
  • 均匀分布的概率密度函数和分布函数学习笔记1

    万次阅读 多人点赞 2017-08-25 17:18:06
    1. 两者的定义  概率密度函数:用于直观地描述连续性随机变量(离散型的随机变量下该函数称为分布律), ... 分布函数:用于描述随机变量落在任一区间上的概率。如果将x看成数轴上的随机点的坐标 ...
  • 上篇文章为大家整理了概率论一维随机变量及其分布的内容并配合相应的例题让大家更好理解本章将讲解多维随机变量的内容,很关键如果有考研或是数学方面问题的话可以随时留言或者私信也可以点击下方链接加入社群正在...
  • 正态分布函数(高斯函数)详解

    万次阅读 2019-05-16 16:50:32
    正态分布 X ~:随机变量X的取值和其对应的概率值P(X = ) 满足正态分布(高斯函数) ...概率分布函数是正态分布曲线的定积分,公式为: 正态分布曲线与x轴围成的面积是1(积分区间是负无穷到正无穷) 的值代表...
  • 概率论分布函数

    2020-04-06 10:27:28
    1、什么是分布函数分布函数(英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF),是概率统计中重要的函数 2、它可以用来干什么?在这里插入代码片 分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量...
  • 正态分布 密度函数与分布函数

    千次阅读 2013-01-06 15:55:53
    概率密度函数(在不至于混淆时可以简称为密度函数)是一个描述这个随机变量的输出值在某一个确定的取值点附近的可能性的函数。 而随机变量的取值落某个点的概率 是零 落在在某个区域之内的... 物质的双体分布函数
  • 高斯分布概率密度函数积分推导

    千次阅读 2019-10-04 20:34:42
    高斯分布: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})$ ...一个高斯分布只需线性变换即可化为标准高斯分布,所以只需推导标准高斯分布概率密度的积分。由...
  • 逆累计分布函数

    千次阅读 2019-08-05 20:50:45
    累计分布函数(CDF)是概率分布函数(PDF)的积分。这很好理解。 逆累计分布函数(ICDF)简单地说,是累计分布函数的反函数。 CDF:已知横轴(某一事件)纵轴(概率); ICDF:已知纵轴(概率)横轴(某一事件...
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  • 一、CDF(cumulative distribution function)累积分布函数就是 分布函数,即概率密度函数的积分。 二、针对一组IOU值的CDF曲线:IOU值作为横坐标(从小到大),每个IOU值出现的概率等于IOU值出现的个数除于总个数...
  • 累积分布函数(Cumulative Distribution Function),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写CDF标记,与概率密度函数probability density function(小写pdf)相对。 ...
  • 其中的坐标系转换原理为:
  • 概率分布函数 概率密度函数

    千次阅读 2019-08-27 09:59:05
    离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量,设 为变量X的取值,而 ...对于连续型随机变量,设变量X取值于区间(a,b),并假设其分布函数F(x)为单调增函数,且在 间可微分及其导数F’(x...
  • 统计中经常会涉及到密度函数、分布函数与生存函数的概念,如何透彻的理解这三个函数呢,以下是我的一点理解与看法: 何为生存函数? 电梯用了六年还能否继续使用?一个人活了六年还能否再活5年?这些问题都是生存...
  • 正态分布函数

    千次阅读 2019-09-23 02:04:29
    1)使用MatLab画出正态分布的概率密度...%正态分布函数。figure;axes1=axes('Pos',[0.1 0.1 0.85 0.85]);plot(x,y);set(axes1,'YLim',[-0.01 0.43],'XLim',[-3 3]); 图1: 2)验证概率密度函数在区间(-∞,∞)上的积...

空空如也

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对分布函数求积分