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  • 单个正态总体均值区间估计 单个正态总体的均值的区间估计可以分为两类:方差已知和方差未知。 方差已知 枢轴量为x‾−μσ/n∼N(0,1)\frac{\overline x - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)σ/n​x−μ​∼N...

    单个正态总体均值的区间估计

    单个正态总体的均值的区间估计可以分为两类:方差已知和方差未知。

    方差已知

    1. 枢轴量为 x ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline x - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1) σ/n xμN(0,1)
    2. 其置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的双侧置信区间为:
      ( x ‾ − σ n Z α 2 , x ‾ + σ n Z α 2 ) (\overline x - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline x + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}) (xn σZ2α,x+n σZ2α)
    3. 其置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的单侧置信下限为:
      x ‾ − σ n Z α \overline x - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha} xn σZα
    4. 其置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的单侧置信上限为:
      x ‾ + σ n Z α \overline x + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha} x+n σZα

    方差未知

    1. 枢轴量为 x ‾ − μ s / n ∼ T ( n − 1 ) \frac{\overline x - \mu}{s / \sqrt{n}} \sim T(n-1) s/n xμT(n1)
    2. 其置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的双侧置信区间为:
      ( x ‾ − σ n T α 2 , x ‾ + σ n T α 2 ) (\overline x - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}T_{\frac{\alpha}{2}}, \overline x + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}T_{\frac{\alpha}{2}}) (xn σT2α,x+n σT2α)
    3. 其置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的单侧置信下限为:
      x ‾ − σ n T α \overline x - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}T_{\alpha} xn σTα
    4. 其置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的单侧置信上限为:
      x ‾ + σ n T α \overline x + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}T_{\alpha} x+n σTα

    Python实现求解

    import numpy as np
    from scipy import stats
    def confidence_interval_u(data, sigma=-1, alpha=0.05, side_both=True):
        xb = np.mean(data)
        s = np.std(data, ddof=1)
        if  sigma > 0: # sigma已知,枢轴量服从标准正态分布
            Z = stats.norm(loc=0, scale=1.)
            if side_both: # 求双侧置信区间
                tmp = sigma/np.sqrt(len(data))*Z.ppf(1-alpha/2)
                return (xb-tmp, xb+tmp)
            else: # 单侧置信下限或单侧置信上限
                tmp= sigma/np.sqrt(len(data))*Z.ppf(1-alpha)
                return {'bottom_limit': xb-tmp, 'top_limit': xb+tmp}
        else: # sigma未知,枢轴量服从自由度为n-1的t分布
            T = stats.t(df=len(data)-1)
            if side_both:
                tmp = s/np.sqrt(len(data))* T.ppf(1-alpha/2)
                return (xb-tmp, xb+tmp)
            else:
                tmp = s/np.sqrt(len(data))* T.ppf(1-alpha)
                return {'bottom_limit': xb-tmp, 'top_limit': xb+tmp}
    

    例题

    1. 某袋装食品重量(单位:克) X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma^2) XN(μ,σ2) . 现从一大批该产品中随机抽取10件,称的重量为:
      101.3, 96.6, 100.4, 98.8, 94.6, 103.1, 102.3, 97.5, 105.4, 100.2
      (1) σ = 3 \sigma =3 σ=3, (2) σ \sigma σ未知, 求(1)(2)两种情况下 μ \mu μ的置信水平为95%的双侧置信区间.
      解:(1) σ = 3 \sigma=3 σ=3
    data = np.array([101.3, 96.6, 100.4, 98.8, 94.6, 103.1, 102.3, 97.5, 105.4, 100.2])
    confidence_interval_u(data,3)
    

    结果为:
    ( 98.160614903086312 , 101.87938509691368 ) (98.160614903086312, 101.87938509691368) (98.160614903086312,101.87938509691368)
    (2) σ \sigma σ 未知

    data = np.array([101.3, 96.6, 100.4, 98.8, 94.6, 103.1, 102.3, 97.5, 105.4, 100.2])
    confidence_interval_u(data)
    

    结果为:
    ( 97.703745477642599 , 102.33625452235739 ) (97.703745477642599, 102.33625452235739) (97.703745477642599,102.33625452235739)

    参考文献

    • 《概率论与数理统计》浙大
    • python scipy document
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  • R语言与正态总体均值区间估计

    千次阅读 2020-04-16 17:05:16
    学习笔记 参考书籍:《统计学》-贾俊平;...一个正态总体均值区间估计 产品重量数据: 74.3 78.8 68.8 78.0 70.4 80.5 80.5 69.7 71.2 73.5 79.5 75.6 75.0 78.8 72.0 72.0 72.0 74.3 71.2 72.0 75.0 73....

    学习笔记
    参考书籍:《统计学》-贾俊平;《统计学:从数据到结论》-吴喜之;
    原理部分移步:参数估计


    一个正态总体均值的区间估计

    产品重量数据:

    74.3  78.8  68.8  78.0  70.4  80.5  80.5  69.7  71.2  73.5
    79.5  75.6  75.0  78.8  72.0  72.0  72.0  74.3  71.2  72.0
    75.0  73.5  78.8  74.3  75.8  65.0  74.3  71.2  69.7  68.0
    73.5  75.0  72.0  64.3  75.8  80.3  69.7  74.3  73.5  73.5
    

    假定,产品重量数据所代表的总体服从正态分布,且我们不知道总体方差,利用R我们可以计算出总体均值的置信度为95%的置信区间.

    读取数据:

    Tdata <- read.table("data5.txt", header = F)
    new_data <- as.vector(as.matrix(Tdata))
    

    计算置信区间:

    > t.test(new_data, con = 0.95)$conf
    [1] 72.38747 74.89253
    attr(,"conf.level")
    [1] 0.95
    

    输出的总体均值的置信度为95%的置信区间为:(72.38747, 74.89253)



    两个正态总体均值之差的区间估计

    两个城市的AQI数据:

    AQI1	55	52	42	32	37	36	57	66	66	62	45	77	78	60	65	66	91	98	99	90	76
    AQI2	117	52	92	108	142	160	148	167	181	89	79	96	115	56	50	70	69	144	73	85	104
    

    假定俩个城市的AQI数据所代表的总体服从正态分布,我们可以利用R语言计算出置信度为95%的两个总体均值之差的置信区间。

    按照步骤,在进行区间估计之前,我们应该先判断两个总体的方差是否相等,如何判断方差是否相等呢?, 可以用var.test(x, y)函数去检验。如果检验得到的p值很小,小于我们设定的显著性水平,则认为方差不相等;若得到的p值很大,也不能判断方差相等,只能说证明不了方差不等。有些时候,我们可以直接用方差不等的方法去进行区间估计,也不会存在任何问题,因为即使方差相等,结果差别也不大。

    这里我们依然给出方差相等和方差不等的区间估计的两种计算结果

    读取数据:

    aqi <- read.csv("Tdata.csv", header = T)
    

    • 方差不等
    > (mean(aqi$AQI1) - mean(aqi$AQI2))
    [1] -40.33333
    > t.test(aqi$AQI1, aqi$AQI2)$conf
    [1] -60.01738 -20.64928
    attr(,"conf.level")
    [1] 0.95
    

    • 方差相等
    > t.test(aqi$AQI1, aqi$AQI2, var = T)$conf
    [1] -59.80372 -20.86295
    attr(,"conf.level")
    [1] 0.95
    
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  • 理论基础 对于单个正态总体X, (注:实际业务中,“总体分布为正态分布”这一论断有待检验,检验的方法也有很多种,最简单的方法就是画QQ图或者经验分布...当方差已知时,若想对均值进行区间估计,那么可以构造枢轴

    背景

    一个平平无奇的下午,领导突然问我会不会做区间估计,我心想:啊哈,这不是我的老本行么?终于可以创造价值了!我摩拳擦掌,跃跃欲试,准备大展身手。结果嘛,反而给咋们学统计的丢脸了!学艺不精惹的祸,之前学的知识差不多忘了,搜集了大半个小时的资料,凭借着自己模糊的记忆才想起来的。
    根据领导整理出来的数据,他需要我把七日差值跟28日差值分别看作一个整体,然后估计总体均值的范围。

    理论基础

    对于单个正态总体X,
    (注:实际业务中,“总体分布为正态分布”这一论断有待检验,检验的方法也有很多种,最简单的方法就是画QQ图或者经验分布函数图初步观察判断,后续可以做W检验等等)
    如果 X 服 从 于 N ( μ , σ 2 ) X服从于N(\mu,\sigma^2) XN(μ,σ2),那么总体的均值 X ˉ \bar{X} Xˉ服从正态分布,即:
    X ˉ 服 从 于 N ( μ , σ 2 / n ) \bar{X}服从于N(\mu,\sigma^2/n) XˉN(μ,σ2/n)

    方差已知

    当方差已知时,若想对均值进行区间估计,那么可以构造枢轴量
    Z = X ˉ − μ σ / n Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} Z=σ/n Xˉμ
    由于 Z Z Z服从于标准正态分布,这时就好办了,我们可以通过查分位数表,进而反解出置信区间。
    假如我们给定置信度为95%,即 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05,有
    P ( ∣ Z ∣ ≤ z 0.025 ) = 0.95 P(\vert Z\vert \leq z_{0.025})=0.95 P(Zz0.025)=0.95
    其中 z 0.025 z_{0.025} z0.025是上0.025分位数,也就是
    P ( − z 0.025 ≤ Z ≤ z 0.025 ) = 0.95 P( -z_{0.025} \leq Z \leq z_{0.025})=0.95 P(z0.025Zz0.025)=0.95
    通过查表或者利用R语言的qnorm(0.975)分位数函数,可知上 α \alpha α分位数 z 0.025 = 1.959964 z_{0.025}=1.959964 z0.025=1.959964(注:上 α \alpha α分位数和分位数是两个不同的概念)
    反解得关于均值为 μ \mu μ,置信度为95%的双侧置信区间为
    [ X ˉ − σ n Z α / 2 , X ˉ + σ n Z α / 2 ] [\bar{X}- \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2},\bar{X}+ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\alpha/2}] [Xˉn σZα/2,Xˉ+n σZα/2]

    方差未知

    但是在实际情况下,既然我们连总体均值都不知道,那又怎么能知道总体的方差呢?这时就需要构造另外一个枢轴量
    T = X ˉ − μ s / n T=\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}} T=s/n Xˉμ
    此时T服从于 t ( n − 1 ) t(n-1) t(n1)分布
    同样的,我们依旧可以反解出关于 μ \mu μ的置信区间为:
    [ X ˉ − s n t α / 2 ( n − 1 ) , X ˉ + s n t α / 2 ( n − 1 ) ] [\bar{X}- \frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\bar{X}+ \frac{s}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)] [Xˉn stα/2(n1),Xˉ+n stα/2(n1)]
    其中 t α / 2 ( n − 1 ) t_{\alpha/2}(n-1) tα/2(n1)是自由度为n-1的上 α / 2 \alpha/2 α/2分位数,通过R语言的关于t分布的分位数函数qt(p,df)得知,其中 p = 1 − α / 2 p=1-\alpha/2 p=1α/2,df是自由度n-1。

    上机实战

    方法一 :Excel

    最笨的办法就是按照公式把均值、方差都算出来,然后查一下上 α \alpha α分位数,最后加加减减就可以把结果算出来了。当然,对Excel用得滚过烂熟的大佬可能一分钟就搞定了。
    计算结果附图(红框就是最终结果):
    在这里插入图片描述

    统计量公式
    均值=AVERAGE(J2:J457)
    方差=VAR.P(J2:J457)
    标准差=SQRT(J459)
    n=COUNTA(J2:J457)
    根号n=SQRT(J461)
    qt(0.975,456)1.96518
    =J458-J460*J463/J462
    =J458+J460*J463/J462

    结果很简单,关键是理解原理,知道用那个模型来做。

    方法二:R语言

    1、读入数据

    R软件是不能直接导入xlx、xlsx文件,首先得把xlx、xlsx文件转换为txt、csv形式的文件。
    在转换为csv或txt的过程中,只能转换其中一个工作表,如果有多个sheet,那么会出现下面这种提示:
    在这里插入图片描述
    所以只能一个一个转化sheet啦
    我这转换成了txt格式的,部分数据如下:
    在这里插入图片描述
    ok,在转换的过程时,如果是多维变量,要保证不能有缺失值,要不然在用read.table("路径")读入的过程中就会出现以下提示:
    在这里插入图片描述
    当然,用scan("路径")也可以读入,但是这个函数对于矩阵来说就不太友好了,不太好处理了,一维的还能用。
    okk,接下来,还得做一件事情,就是要把txt文件所在的文件夹在RStudio里面设置为working directory(在session里面)
    最后可以正常读入数据了

    w <-read.table("data.txt")
    w
    

    读入的数据如下:
    在这里插入图片描述

    处理数据

    R语言的t.test()可以做假设检验的同时也可以做区间估计
    比如我要对w的第一列数据的均值进行区间估计,可以这样:

    t.test(w[,1])
    

    结果如下:
    在这里插入图片描述
    红色框框就是置信区间啦,另外,这组样本的均值为1.256692
    两行代码就解决了,unbiliveble!
    还是那句老话,虽然代码简单,关键是知道用什么模型来做区间估计。比如说这里用的是t.test()这个函数估计,但是用chisq.test()也会有一个结果。别慌,不要乱!如果是单个总体,t.test()是对总体均值的估计,chisq.test()是对总体方差的估计。

    本人水平有限,如文章有说错或说得不好的地方,请各位指正。

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  • 产品重量进行监测,企业质检部门经常要进行抽检,以分析每袋重量是否符合要求,现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋,测得每袋重量如下: import pandas as pd import numpy as np import scipy as

    正态总体, σ \sigma σ已知

    公式:

    x ˉ ± z a / 2 σ n \bar{x}\pm z_{a/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} xˉ±za/2n σ

    例:

    一家食品生产企业以生产袋装食品为主,每天的唱片大约为8000袋。按规定每袋的重量应为100克。为对产品重量进行监测,企业质检部门经常要进行抽检,以分析每袋重量是否符合要求,现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋,测得每袋重量如下:

    import pandas as pd
    import numpy as np
    import scipy as sp
    from scipy import stats
    
    lst = [112.5,102.6,100,116.6,136.8,101,107.5,123.5,95.4,102.8,103,95,102,97.8,101.5,102,108.8,101.6,108.6,98.4,100.5,115.6,102.2,105,93.3]
    data = pd.Series(lst)
    
    

    已知产品重量服从正态分布,且总体标准差为10克,试估计该天产品平均重量的置信区间,置信水平为95%

    # 已知 标准差sigma=10,样本量 n = 25, 置信水平 1-a=95%
    sigma = 10
    n = 25
    a = 0.05
    # 均值 x_bar = data.mean()
    
    x_bar = data.mean()
    

    计算 z a / 2 z_{a/2} za/2

    
    
    z_a2 = stats.norm.isf(a/2)
    z_a2
    
    1.9599639845400545
    

    带入公式计算:

    left = x_bar - z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
    right = x_bar + z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
    
    left,right
    

    (101.44007203091988, 109.27992796908009)

    print('该批食品平均重量95%的置信区间为({:.3f},{:.3f})'.format(left,right))
    

    该批食品平均重量95%的置信区间为(101.440,109.280)

    正态总体, σ \sigma σ未知

    公式:

    x ˉ ± z a / 2 s n \bar{x}\pm z_{a/2}\frac{s}{\sqrt{n}} xˉ±za/2n s

    一家保险公司收集到由36位投保人组成的随机样本,得到每位投保人的年龄数据如下:

    lst = [23,36,42,34,39,34,35,42,53,28,49,39,39,46,45,39,38,45,27,43,54,36,34,48,36,31,47,44,48,45,44,33,24,40,50,32]
    data = pd.Series(lst)
    

    设建立投保人平均年龄的90%的置信区间

    # 已知 样本量 n = 36, 置信水平 1-a=90%
    sigma = 10
    n = 36
    a = 0.1
    # 均值 x_bar = data.mean()
    
    # 样本均值
    x_bar = data.mean()
    
    # 样本标准差 s
    sigma = data.std()
    
    

    计算 z a / 2 z_{a/2} za/2

    z_a2 = stats.norm.isf(a/2)
    z_a2
    

    1.6448536269514729

    left = x_bar - z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
    right = x_bar + z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
    
    left,right
    

    投保人平均年龄的90%的置信区间为(37.369,41.631)

    正态总体, σ \sigma σ未知,小样本

    公式:

    x ˉ ± t a / 2 s n \bar{x}\pm t_{a/2}\frac{s}{\sqrt{n}} xˉ±ta/2n s

    已知某种灯泡的寿命服从正态分布,现从一批灯泡中随机抽取16个,测得其使用寿命如下:

    lst = [1510,1480,1450,1510,1480,1530,1460,1470,1520,1500,1480,1520,1490,1510,1460,1470]
    data = pd.Series(lst)
    

    试建立该灯泡平均使用寿命的95%的置信区间。

    #置信度
    a = 0.05
    # 样本均值
    x_bar = data.mean()
    
    # 样本标准差
    sigma = data.std()
    # 样本量
    n = 16
    
    

    计算 t a / 2 t_{a/2} ta/2

    t_a2 = stats.t.isf(a/2,n-1)
    t_a2
    

    2.131449545559323

    left = x_bar - t_a2*(sigma/np.sqrt(n))
    right = x_bar + t_a2*(sigma/np.sqrt(n))
    
    left,right
    

    (1476.8033606044887, 1503.1966393955113)

    print('该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为({:.3f},{:.3f})'.format(left,right))
    

    该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为(1476.803,1503.197)

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  • 正态总体均值与方差的区间估计

    千次阅读 2019-05-26 09:34:24
  • 计算单个总体XXX~N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)的参数μ\muμ给定置信水平1−α1-\alpha1−α的单侧置信区间,方法与计算双侧置信区间大同小异。 计算枢轴量分布(已知σ2\sigma^2σ2为N(0,1)N(0,1)N(0,1),...
  • [R语言]总体概率的区间估计学习

    千次阅读 2017-06-25 13:07:13
    总体概率的区间估计没有总体均值区间估计常用,但是用途也不小,在科研论文中,经常会使用该区间报告p值的意义,所以将做法记录如下:First,remember that an interval for a proportion is given by:p_hat +/- z ...
  • 在学习计算题目的时候,会发现两类,一种是总体方差已经知道的情况下进行计算,另一种总体方差未知的情况下进行计算,...只要理解了这些,就会发现两个总体均值之差的区间估计计算就是套取相应公式,计算并收获喜悦。
  • 来源:数据蛙DataFrog阅读路线:概率介绍离散型概率分布和连续型概率分布抽样和抽样分布区间估计假设检验一、概率介绍概率是指的对于某一个特定事件的可能性的数值度量,且在0-1之间。我们...
  • 首先总体均值的方差估计做一个简单的概括,各个情况已在下表中列出 后文将详细介绍各个情况下的方法 并且介绍样本容量的估计方法 2.参数估计 首先了解一下两种参数估计的方法 点估计 区间估计 2.1点估计 ...
  • 两个正态总体均值差的区间估计.pdf
  • 单个正态总体方差区间估计可以分为两类:总体均值(μ\muμ)已知,和未知。 总体均值未知 枢轴量为 (n−1)S2σ2∼χ2(n−1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)σ2(n−1)S2​∼χ2(n−1) 则其置信度为1−α...
  • 匹配大样本 公式: dˉ±za/2σdn\bar{d}\pm z_{a/2}\frac{\sigma_d}{\sqrt{n}}dˉ±za/2​n​σd​​ 匹配小样本 公式 ...当总体的σd\sigma_dσd​未知时,可用样本差值的标准差sds_dsd​来代替 例
  • 双正态总体均值的置信区间估计及MATLAB实现.pdf
  • 为计算两个正态总体均值差μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1​−μ2​在指定置信度下的双侧置信区间,涉及样本均值x‾\overline{x}x,y‾\overline{y}y​,总体方差σ12\sigma_1^2σ12​,σ22\sigma_2^2σ22​(或样本方差s22...
  • 与计算双正态总体均值差的双侧区间估计相仿,我们可以调用单正态总体均值的单侧置信区间的计算函数muBound(详见博文《单个正态总体均值的单侧区间估计》)计算双正态总体均值差的单侧区间估计:只需参数mean传递...
  • 设样本(X1,...,Xn1)(X_1, ..., X_{n1})(X1​,...,Xn1​)和(Y1,...,Yn2)(Y_1,...,Y_{n2})(Y1​,...,Yn2​)分别来自总体N(μ1,σ12)N(\mu_1, \sigma1^2)N(μ1​,σ12)和N(μ2,σ22)N(\mu_2, \sigma_2^2)N(μ2​,σ22​...
  • 29,37.6,32.1,28.8,36,37.2,38.5,34.4,28,30]) # 方法2 lst_2 = pd.Series([27.6,22.2,31,33.8,20,30.2,26.5,31.7]) 假定两个总体的方差不相等,试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间。...
  • 这100个区间中,至少有95个区间包含上面计算出总体平均值 ''' print("\n 进行100次,随机抽取1000个样本,置信度95%,计算置信区间:") for i in range(100): sample=np.random.choice(all_people, size=1000) ...
  • 1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}} (xˉ1​−xˉ2​)±za/2​n1​s12​​+n2​s22​​ ​ 当两个总体的方差都已知时,用总体的方差 当两个总体的方差未知时,可以用两个样本方差来代替 例: 某地区教育管理部门想估计两所...
  • 总体比率的区间估计

    千次阅读 2018-09-20 15:28:11
    应用场景:美国900名高尔夫球员进行了一项全国性的调查,以便掌握女子高尔夫运动员如何看待她们在高尔夫球场所受到的待遇。调查显示有396名女子高尔夫运动球员开球时间的合理性感到满意。 应用场景:美国...
  • conf(tradeMoney_sam) 输出: ( 4351.307453, 5700.892547) 下面验证该区间估计的准确度,以一个正态总体,方差已知,均值区间估计为例: # 重复抽取数据,验证一个正态总体,方差已知,均值区间估计的准确度 ...
  • 本文简要介绍多元正态总体均值区间估计,并提出假设检验的一种重要方法——似然比检验。
  • 针对几种常见分布的总体在均值未知情况下,讨论了总体均值方差的联合经验似然估计,又利用均值的无偏估计量X
  • 计算单个总体XXX~N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)的参数μ\muμ给定置信水平1−α1-\alpha1−α的置信区间,除了置信度外,还需要如下几个要素:样本均值x‾\overline{x}x,样本方差s2s^2s2或总体方差σ2\sigma...
  • 总体统计量的估计方法

    千次阅读 2019-06-26 09:56:00
    总体统计量的估计方法 1 点估计量法 ...$\hat{\mu}$:总体均值的点估计量,在总体均值未知时,其可作为总体均值估计值。 $\bar{x}$:样本均值,和总体均值的计算方法一样。 如果想要十分近似的估...

空空如也

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对总体均值进行区间估计