首先从以下四个方面来阐述并求解出实际问题中所要求的置信区间。
一、概率思维
实际生活的任意问题都不可能说误差不存在，因为面对一件事情，或者问题时，有时候并不能穷尽所有数据，一般都是通过抽样，对样本进行统计计算对总体进行估计。概率思维，即面对现实生活中的问题时，针对不同概率问题能立马联想到相应的概率知识点。
二、置信区间
点估计量：由样本数据得出，是对总体参数的估计。我们通过选取的样本对总体的平均值进行估计，点估计的计算过程是得到一个精确的值，但是当选取的样本不同所得到相同参数的点估计值不同，如果想要知道所求出的只能在多大范围上评估问题准确性，这时候需要对所需估计总体平均值给出一个估计区间范围，即下面所要介绍的置信区间。
置信区间：估计总体统计量的方法，但是置信区间考虑了问题的不确定性，它表达的是一个误差范围，是对总体统计量给出一个区间估计，即统计学中的置信区间。
置信水平：置信水平表示希望对置信区间包含总体统计量这一说法有多大把握。例如，我们希望总体平均值的置信水平为95%，这表示总体均值处于置信区间中的概率为0.95。
置信区间的求解步骤：
1、根据要解决的实际问题选取要为之构建置信区间的统计量。
2、求出所选统计量的抽样分布。
比如，要求出总体均值的抽样分布，我们需要知道均值 
 的期望和方差，对于置信区间的简单求解，我们只需知道样本均值和标准误差。，所以第二步可以简化为求解
样本均值和标准误差。
这里对标准差和标准误差进行一个解释：
标注差（standard deviation）：是计算数据偏离其均值的波动程度；
标准误差（standard error）：其实质也是标准差，但是又有差别，它是用来衡量我们用样本统计量去估计相应总体参数时的一种估计精度。样本统计量本身就是随机变量，每一次抽样，因为样本之间有差异性所以计算出一个不同的样本统计量值。理论上来讲，从既定的总体中按照既定的样本规模n，穷尽所有可能抽出的样本（不妨假设为NN），根据这些样本可以计算出NN个样本统计量值，把这些统计量值分组绘成直方图（X轴为分组的统计量数值，Y轴为落在某一分组区间内的频率），则这个直方图就反应了样本统计量的分布情况（即抽样分布）。既然是分布，当然就有均值和方差。如果所有可能的样本统计量值的平均值就是总体均值，这就是无偏估计。如果所有可能的样本统计量值的方差在所有用于估计总体参数的统计量里最小，这就是有效估计。因此，抽样分布的标准差（也就是标准误差）越小，则用样本统计量去估计总体参数时，精度就越高。standard error反映的是用样本统计量去估计总体参数的时候，可能发生的平均“差错”。
例如：如果总体平均值是160，抽样误差是5，就是说用抽得的样本平均数去推断总体平均数时，平均差错可能在5左右；如果抽样误差是3，精度当然就比5要高啦。不同的总体、不同的样本规模，这个精度当然是不同的。如果总体的变异本身很小（也就是总体标准差小），样本规模越大，这种情况下精度当然就高啦。另外，根据大数定律，当样本规模大到一定程度的时候，不管总体是什么分布，样本平均数都会近似服从正态分布，这就为计算抽样误差（标准误差）提供了理论依据。
标准误差的求解方法：
3、决定置信水平
置信水平的选取：关键在于让区间尽可能窄，但又要足够宽。
4、求出置信区间的上下限
我们可以利用简化的方法，知道总体统计量服从什么分布，然后知道相应条件，代入公式即可求出：
对上面置信区间的翻译就是：置信区间上限=样本平均值-c乘以标准误差，
置信区间下限=样本平均值+C乘以标准误差。
C的取值：
总结如下：
注：z和C表示相同意义。
以上都是针对样本数量较大（>30）是求解执行区间的做法，当样本数量比较小的时候，样本均值是符合t分布。
t分布是由自由度来定义的，他只有一个参数，df=n-1，df为自由度，n为样本大小
当样本平均值抽样分布符合t分布时，求解置信区间的步骤和抽样分布符合正态分布大方法相同，只是第3步求解求解误差范围时略有不同。
t分布的标准分的算是如下：
其中： 
 是总体均值， 
 是 
 的标准差，也即为均值标准误差。
当求解小样本计算置信区间时，计算步骤也分为四步
t值求解：利用t分布概率表
通过t分布概率表求解 
的概率，先从t表格中的第一列找到所对应的自由度df，在查找第一行的P值，两者重合的地方就是所要找的T的值
如下，当样本大小为8时，则自由度为7
这样就找到了t分布下的T值，从而可以确定置信区间
自由度：自由度是指在不影响给定限制条件的情况下，可以自由变换信息的数量。
可以将自由度看做估算其他信息时可有的独立信息数量。
总结：

	

从《高斯—马尔可夫定理》和《参数条件协方差矩阵的估计》我们知道现代高斯—马尔可夫定理认为广义最小二乘法的参数估计量是满足“线性关系”、“随机抽样”、“不存在完全共线性”、“条件均值为零”等假设时，最有效的线性无偏估计量。而且通过对误差方差估计量的研究我们也可以通过对残差进行调整得到条件协方差矩阵的最佳估计量和。这里只剩下最后一个问题：服从什么样的概率分布？如果有了它的概率密度函数，我们就可以利用软件计算对应置信度的临界值(critical value)，并进行假设检验和区间估计。本文从介绍多元正态分布密度函数开始，推导同方差条件下的最大似然估计量，并给出该估计量的分布，在此基础上对估计量进行单个参数以及多参数联合的假设检验和区间估计。
 1 多元正态分布的概率密度函数 
具有个元素的多元标准正态分布的概率密度函数可以写为可以看出，其中的个元素之间是相互独立的。如果，，那么服从维多元正态分布，写作，其中。如果，其概率密度函数可以写作
其期望和协方差矩阵分别为和。
定理 如果，则
 2 正态回归模型 
线性回归模型增加独立正态分布误差假设之后称为正态回归模型要该模型并不要求服从联合正态分布，只要求服从条件正态分布即可，即因此，似然函数在样本之间相互独立的条件下可以写成为了方便计算，通常对其取对数得到对数似然函数
似然函数代表的是参数下，样本发生的概率，而根据小概率事件法则，我们能够得到的样本都是大概率事件对应的数据。因此想要估计此时总体的参数就需要最大化似然函数的值，对应的估计量就是最大似然估计量。这个过程可以写作
利用一阶条件可得
可以看出，最大似然估计量与最小二乘估计量的数值上是相等的，但要注意它们的含义是完全不同的。
 3 OLS参数的分布 
根据误差的正态性、同方差和独立性假设，可以将其条件概率写成
误差向量独立于且为正态分布。
因为是误差的一个线性方程，所以它在X的条件下也是服从正态分布的因为是固定值，所以上式可以改写为。
 4 OLS残差的分布 
由于，采用同样的方法可以得到把以上结论写成向量的形式可以得到和的联合分布为由于 ，其协方差矩阵可以写作
其非对角线元素都是0，即参数估计量和残差在统计上相互独立。
 5 方差估计量的分布 
考虑误差方差的无偏估计量，所以。而可以分解为，其中，是由特征值构造的对角矩阵。由于是幂等矩阵，且秩为，它具有个等于1的特征值和个等于0的特征值，所以令，且可以分割为，其中第一部分对应特征值为1的位置则，那么因此，误差方差与其无偏估计量之间存在关系：
 6 单个参数的t统计量 
可以标准化为由于误差方差未知，所以我们用它的无偏估计量对其进行替换，可得其t统计量其中，是同方差条件下的标准误。之所以称之为t统计量是因为它可以写作服从标准正态分布和卡方分布二次根式之比，也就是服从t-分布的形式
注意：以上结果的前提是标准误估计量具有同方差性，对于稳健的标准误估计量并不适用。
有了单个参数统计量的分布，我们就可以进行假设检验和区间估计了。
 7 多个参数的LR统计量 
只对线性回归模型中的单个参数进行假设检验还不够，很多时候我们要同时对一组参数进行假设检验，这样就能判断出我们所找的这些解释变量是否存在冗余。这种检验的思路是对不同线性模型的似然值进行对比，如果其比率显著不同则说明两个模型存在差别，反之两个模型没有显著差别，应该选择较为简单的形式。对于模型1其中。我们想要检验它与模型2是否存在差别。那么，原假设可以写作：，备择假设为。
若模型1的估计值为，则其似然值(likelihood)为
若模型2的估计值为，则其似然值(likelihood)为
可以构造两模型似然值之比(likelihood ratio)为
利用这种关系构造统计量F为
若，，可以证明，，因此
当F统计量大于临界值时，我们拒绝原假设，接受备择假设。
- END -

当您需要确定特定某总体特征（例如均值）的信息时，通常从总体中取一些随机样本，因为对总体进行度量是不可行的。通过使用该样本，您可以计算对应样本的特征，其用于概括关于未知总体特征的信息。所需的总体特征称为参数，相应样本特征为样本统计量或参数估计值。由于统计量是对从样本获取的参数的信息的摘要，因此统计量值取决于从总体中取的特定样本。其值随机地从一个随机样本更换到下一个随机样本，因此统计量是一个随机量（变量）。此随机变量的概率分布称为取样分布。（样本）统计量的采样分布很重要，因为它使我们能够基于随机抽样得出关于相应总体参数的结论。
例如，当我们从一个正态分布总体中取随机样本时，样本均值就是一个统计量。基于样本的样本均值是对总体均值的估计。如果从该同一正态总体中取不同的样本，该估计值将随机变化。用于描述这些变化的概率分布是样本均值的抽样分布。统计量的采样分布指定了统计量的所有可能值，以及统计量值的极差的变化频率。如果总体为正态，则样本均值的采样分布也为正态。
以下各节提供有关参数、参数估计值和采样分布的详细信息。
关于参数
参数是整个总体的描述性度量，它可用作概率分布函数 (PDF) 的输入以生成分布曲线。参数通常用希腊字母表示，以与样本统计量区别开来。例如，总体均值由希腊字母 mu (μ) 表示，总体标准差由希腊字母 sigma (σ) 表示。参数是固定常量，也就是说，它们不会像变量一样变化。不过，它们的值通常是未知的，因为对整个总体进行度量是不可行的。
每个分布完全由若干个特定参数来定义，参数的个数通常为一到三个。下表提供了三种分布所需参数的示例。参数值决定了分布图上的曲线的位置和形状，参数值的每个唯一组合可产生唯一的分布曲线。分布参数 1参数 2参数 3卡方自由度  正态均值标准差 3 参数 Gamma形状尺度阈值
例如，正态分布由两个参数定义，即均值和标准差。如果指定了这两个参数，可以精确确定整个分布。
关于参数估计值（也称为样本统计量）
参数是对整个总体的描述性度量。不过，它们的值通常是未知的，因为对整个总体进行度量是不可行的。因此，您可以从总体取一个随机样本以获得参数估计值。统计分析的一个目标是获得总体参数的估计值，以及与这些估计关联的误差量。这些估计值也称为样本统计量。
存在若干种类型的参数估计值：
点估计值是参数的单一且最可能值。例如，总体均值（参数）的点估计值是样本均值（参数估计值）。
置信区间是可能包含总体参数的值范围。

对于参数估计值的示例，假设您为一家火花塞制造商工作，该公司正在研究火花塞间隙存在的问题。要检验其所生产的每个火花塞，成本太高。于是，您随机抽取了 100 个火花塞，并以毫米为单位度量间隙。样本均值为 9.2。这是总体均值 (μ) 的点估计值。您还为 μ 创建了一个 95% 置信区间，该区间为 (8.8, 9.6)。您也可以为 μ（8.8，9.6）创建一个 95% 的置信区间。
关于采样分布
采样分布是给定统计量（例如均值）的概率分布。为了说明抽样分布，让我们来看一个简单示例，其中完整总体是已知的。例如，下表显示了整个总体（6 个南瓜）的重量。这些南瓜的重量只能是下表中列出的重量值之一。南瓜123456重量191415121617
虽然整个总体是已知的，但是为了便于说明，我们从总体中取包含 3 个南瓜的所有可能随机样本（20 个随机样本）。然后，计算各样本的均值。样本均值的取样分布由每个可能随机样本（包含 3 个南瓜）的所有样本均值描述，其显示在下表中。
样本重量平均重量概率2, 3, 414, 15, 1213.71/202, 4, 514, 12, 16141/202, 4, 614, 12, 1714.32/203, 4, 515, 12, 163, 4, 615, 12, 1714.71/201, 2, 419, 14, 12153/202, 3, 514, 15, 164, 5, 612, 16, 172, 3, 614, 15, 1715.32/201, 3, 419, 15, 121, 4, 519, 12, 1615.72/202, 5, 614, 16, 171, 2, 319, 14, 15163/203, 5, 615, 16, 171, 4, 619, 12, 171, 2, 519, 14, 1616.31/201, 2, 619, 14, 1716.72/201, 3, 519, 15, 161, 3, 619, 15, 17171/201, 5, 619, 16, 1717.31/20
此图显示了平均重量值的采样分布。此分布围绕 15.5（这也是总体均值的真值）。其样本均值较接近 15.5 的随机样本的发生概率，比其样本均值较远离 15.5 的随机样本的发生概率更高。

在实际中，生成以上所示的采样分布表是不可行的。即使在最佳情况下（即知道样本的父级总体），可能仍无法确定所需样本统计量的精确采样分布。但是，在某些情况下，可能能够大致地确定样本量统计的采样分布。例如，如果从正态总体中取样，则样本平均值具有完全的正态分布。
但是，如果从一个非正态分布中抽样，则可能无法确定样本均值的准确分布。但是，由于中心极限定理，样本均值近似地呈正态分布，前提是您的样本足够大。然后，如果总体未知并且样本足够大，则您也许能够做出判断（例如，85% 地判断样本均值在一定数量的总体均值的标准差之内）。

对单个正态总体方差区间估计可以分为两类：总体均值($\mu$)已知，和未知。
总体均值未知

枢轴量为 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$
则其置信度为$1-\alpha$的双侧置信区间为：

$(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)})$
单侧置信下限为：

$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha}(n-1)}$
单侧置信上限为：

$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha}(n-1)}$

总体均值已知

枢轴量为

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)$
置信度为$1-\alpha$的双侧置信区间为：

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)}, \frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}$
单侧置信下限为：

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{\alpha}(n)}$
单侧置信上限为：

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}$

Python 代码
import numpy as np
from scipy import stats

def confidence_interval_sigma(data, mu=-1, alpha=0.05, side_both=True):
    xb = np.mean(data)
    s_square = np.var(data, ddof=1)
    
    if mu > 0:
        sum_tmp = 0.0
        for i in data:
            sum_tmp = sum_tmp + (i-mu)**2
        if side_both:
            return (sum_tmp/stats.chi2.ppf(1-alpha/2, df=len(data)), sum_tmp/stats.chi2.ppf(alpha/2, df=len(data)))
        else:
            return {'bottom_limit':sum_tmp/stats.chi2.ppf(1-alpha, df=len(data)), 'top_limit':sum_tmp/stats.chi2.ppf(alpha, df=len(data))}
    else:
        tmp = (len(data)-1)*np.var(data, ddof=1)
        if side_both:
            return (tmp/stats.chi2.ppf(1-alpha/2, df=len(data)-1), tmp/stats.chi2.ppf(alpha/2, df=len(data)-1))
        else:
            return {'bottom_limit':tmp/stats.chi2.ppf(1-alpha, df=len(data)-1), 'top_limit':tmp/stats.chi2.ppf(alpha, df=len(data)-1)}

例题

有一大批袋装糖果，现从中随机地取出16袋， 称的重量（以克）如下：

506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496

假设袋装糖果的重量近似服从正态分布，求总体方差$\sigma^2$ 的置信水平为0.95的置信区间。

解：

data = np.array([506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496])
confidence_interval_sigma(data)

返回结果为：

(20.99067787871137, 92.141057716219521)