单个正态总体均值的区间估计
 
单个正态总体的均值的区间估计可以分为两类：方差已知和方差未知。
 
方差已知
 
枢轴量为$\frac{\overline{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
其置信水平为$1-\alpha$的双侧置信区间为：
 $$(\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}})$$
其置信水平为$1-\alpha$的单侧置信下限为：
 $$\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha }$$
其置信水平为$1-\alpha$的单侧置信上限为：
 $$\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha }$$
 
方差未知
 
枢轴量为$\frac{\overline{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim T(n-1)$
其置信水平为$1-\alpha$的双侧置信区间为：
 $$(\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{T}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{T}_{\frac{\alpha }{2}})$$
其置信水平为$1-\alpha$的单侧置信下限为：
 $$\overline{x}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{T}_{\alpha }$$
其置信水平为$1-\alpha$的单侧置信上限为：
 $$\overline{x}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{T}_{\alpha }$$
 
Python实现求解
 
import numpy as np
from scipy import stats
def confidence_interval_u(data, sigma=-1, alpha=0.05, side_both=True):
    xb = np.mean(data)
    s = np.std(data, ddof=1)
    if  sigma > 0: # sigma已知，枢轴量服从标准正态分布
        Z = stats.norm(loc=0, scale=1.)
        if side_both: # 求双侧置信区间
            tmp = sigma/np.sqrt(len(data))*Z.ppf(1-alpha/2)
            return (xb-tmp, xb+tmp)
        else: # 单侧置信下限或单侧置信上限
            tmp= sigma/np.sqrt(len(data))*Z.ppf(1-alpha)
            return {'bottom_limit': xb-tmp, 'top_limit': xb+tmp}
    else: # sigma未知，枢轴量服从自由度为n-1的t分布
        T = stats.t(df=len(data)-1)
        if side_both:
            tmp = s/np.sqrt(len(data))* T.ppf(1-alpha/2)
            return (xb-tmp, xb+tmp)
        else:
            tmp = s/np.sqrt(len(data))* T.ppf(1-alpha)
            return {'bottom_limit': xb-tmp, 'top_limit': xb+tmp}
 
例题
 
某袋装食品重量（单位：克）$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ . 现从一大批该产品中随机抽取10件，称的重量为：
 101.3, 96.6, 100.4, 98.8, 94.6, 103.1, 102.3, 97.5, 105.4, 100.2
 (1) $\sigma =3$, (2) $\sigma$未知, 求(1)(2)两种情况下$\mu$的置信水平为95%的双侧置信区间.
 解：(1) $\sigma =3$
 
data = np.array([101.3, 96.6, 100.4, 98.8, 94.6, 103.1, 102.3, 97.5, 105.4, 100.2])
confidence_interval_u(data,3)
 
结果为：
 $$(98.160614903086312,101.87938509691368)$$
 (2) $\sigma$ 未知
 
data = np.array([101.3, 96.6, 100.4, 98.8, 94.6, 103.1, 102.3, 97.5, 105.4, 100.2])
confidence_interval_u(data)
 
结果为：
 $$(97.703745477642599,102.33625452235739)$$
 
参考文献
 
《概率论与数理统计》浙大
python scipy document

学习笔记
 参考书籍：《统计学》-贾俊平；《统计学：从数据到结论》-吴喜之；
 原理部分移步：参数估计
 
 
一个正态总体均值的区间估计
 
产品重量数据：
 
74.3  78.8  68.8  78.0  70.4  80.5  80.5  69.7  71.2  73.5
79.5  75.6  75.0  78.8  72.0  72.0  72.0  74.3  71.2  72.0
75.0  73.5  78.8  74.3  75.8  65.0  74.3  71.2  69.7  68.0
73.5  75.0  72.0  64.3  75.8  80.3  69.7  74.3  73.5  73.5
 

 
假定，产品重量数据所代表的总体服从正态分布，且我们不知道总体方差，利用R我们可以计算出总体均值的置信度为95%的置信区间.
 
读取数据：
 
Tdata <- read.table("data5.txt", header = F)
new_data <- as.vector(as.matrix(Tdata))
 
计算置信区间：
 
> t.test(new_data, con = 0.95)$conf
[1] 72.38747 74.89253
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
 
输出的总体均值的置信度为95%的置信区间为：(72.38747, 74.89253)
 

 

 
两个正态总体均值之差的区间估计
 
两个城市的AQI数据：
 
AQI1	55	52	42	32	37	36	57	66	66	62	45	77	78	60	65	66	91	98	99	90	76
AQI2	117	52	92	108	142	160	148	167	181	89	79	96	115	56	50	70	69	144	73	85	104
 

 
假定俩个城市的AQI数据所代表的总体服从正态分布，我们可以利用R语言计算出置信度为95%的两个总体均值之差的置信区间。
 
按照步骤，在进行区间估计之前，我们应该先判断两个总体的方差是否相等，如何判断方差是否相等呢？, 可以用var.test(x, y)函数去检验。如果检验得到的p值很小，小于我们设定的显著性水平，则认为方差不相等；若得到的p值很大，也不能判断方差相等，只能说证明不了方差不等。有些时候，我们可以直接用方差不等的方法去进行区间估计，也不会存在任何问题，因为即使方差相等，结果差别也不大。
 
这里我们依然给出方差相等和方差不等的区间估计的两种计算结果
 
读取数据：
 
aqi <- read.csv("Tdata.csv", header = T)
 

 
方差不等
 
> (mean(aqi$AQI1) - mean(aqi$AQI2))
[1] -40.33333
> t.test(aqi$AQI1, aqi$AQI2)$conf
[1] -60.01738 -20.64928
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
 

 
方差相等
 
> t.test(aqi$AQI1, aqi$AQI2, var = T)$conf
[1] -59.80372 -20.86295
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

背景
 
一个平平无奇的下午，领导突然问我会不会做区间估计，我心想：啊哈，这不是我的老本行么？终于可以创造价值了！我摩拳擦掌，跃跃欲试，准备大展身手。结果嘛，反而给咋们学统计的丢脸了！学艺不精惹的祸，之前学的知识差不多忘了，搜集了大半个小时的资料，凭借着自己模糊的记忆才想起来的。
 根据领导整理出来的数据，他需要我把七日差值跟28日差值分别看作一个整体，然后估计总体均值的范围。
 
理论基础
 
对于单个正态总体X，
 （注：实际业务中，“总体分布为正态分布”这一论断有待检验，检验的方法也有很多种，最简单的方法就是画QQ图或者经验分布函数图初步观察判断，后续可以做W检验等等）
 如果$X服从于N(\mu ,{\sigma }^2)$，那么总体的均值$\bar{X}$服从正态分布，即：
 $$\bar{X}服从于N(\mu ,{\sigma }^2/n)$$
 
方差已知
 
当方差已知时，若想对均值进行区间估计，那么可以构造枢轴量
 $$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$
 由于$Z$服从于标准正态分布，这时就好办了，我们可以通过查分位数表，进而反解出置信区间。
 假如我们给定置信度为95%，即$\alpha =0.05$，有
 $$P(|Z|\le z_{0.025})=0.95$$
 其中$z_{0.025}$是上0.025分位数，也就是
 $$P(-z_{0.025}\le Z\le z_{0.025})=0.95$$
 通过查表或者利用R语言的qnorm(0.975)分位数函数，可知上$\alpha$分位数$z_{0.025}=1.959964$。（注：上$\alpha$分位数和分位数是两个不同的概念）
 反解得关于均值为$\mu$，置信度为95%的双侧置信区间为
 $$[\bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha /2},\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\alpha /2}]$$
 
方差未知
 
但是在实际情况下，既然我们连总体均值都不知道，那又怎么能知道总体的方差呢？这时就需要构造另外一个枢轴量
 $$T=\frac{\bar{X}-\mu }{s/\sqrt{n}}$$
 此时T服从于$t(n-1)$分布
 同样的，我们依旧可以反解出关于$\mu$的置信区间为：
 $$[\bar{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1),\bar{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{\alpha /2}(n-1)]$$
 其中$t_{\alpha /2}(n-1)$是自由度为n-1的上$\alpha /2$分位数，通过R语言的关于t分布的分位数函数qt(p,df)得知，其中$p=1-\alpha /2$，df是自由度n-1。
 
上机实战
 
方法一 ：Excel
 
最笨的办法就是按照公式把均值、方差都算出来，然后查一下上$\alpha$分位数，最后加加减减就可以把结果算出来了。当然，对Excel用得滚过烂熟的大佬可能一分钟就搞定了。
 计算结果附图(红框就是最终结果)：
 
 
统计量
公式
均值
=AVERAGE(J2:J457)
方差
=VAR.P(J2:J457)
标准差
=SQRT(J459)
n
=COUNTA(J2:J457)
根号n
=SQRT(J461)
qt(0.975,456)
1.96518
左
=J458-J460*J463/J462
右
=J458+J460*J463/J462
结果很简单，关键是理解原理，知道用那个模型来做。
 
方法二：R语言
 
1、读入数据
 
R软件是不能直接导入xlx、xlsx文件，首先得把xlx、xlsx文件转换为txt、csv形式的文件。
 在转换为csv或txt的过程中，只能转换其中一个工作表，如果有多个sheet，那么会出现下面这种提示：
 
 所以只能一个一个转化sheet啦
 我这转换成了txt格式的，部分数据如下：
 
 ok，在转换的过程时，如果是多维变量，要保证不能有缺失值，要不然在用read.table("路径")读入的过程中就会出现以下提示：
 
 当然，用scan("路径")也可以读入，但是这个函数对于矩阵来说就不太友好了，不太好处理了，一维的还能用。
 okk，接下来，还得做一件事情，就是要把txt文件所在的文件夹在RStudio里面设置为working directory（在session里面）
 最后可以正常读入数据了
 
w <-read.table("data.txt")
w
 
读入的数据如下：
 
 
处理数据
 
R语言的t.test()可以做假设检验的同时也可以做区间估计
 比如我要对w的第一列数据的均值进行区间估计，可以这样：
 
t.test(w[,1])
 
结果如下：
 
 红色框框就是置信区间啦，另外，这组样本的均值为1.256692
 两行代码就解决了，unbiliveble！
 还是那句老话，虽然代码简单，关键是知道用什么模型来做区间估计。比如说这里用的是t.test()这个函数估计，但是用chisq.test()也会有一个结果。别慌，不要乱！如果是单个总体，t.test()是对总体均值的估计，chisq.test()是对总体方差的估计。
 
本人水平有限，如文章有说错或说得不好的地方，请各位指正。

正态总体，$\sigma$已知
 
公式：
 
$\bar{x}\pm z_{a/2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
 
例:
 
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的唱片大约为8000袋。按规定每袋的重量应为100克。为对产品重量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求，现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋，测得每袋重量如下：
 
import pandas as pd
import numpy as np
import scipy as sp
from scipy import stats

lst = [112.5,102.6,100,116.6,136.8,101,107.5,123.5,95.4,102.8,103,95,102,97.8,101.5,102,108.8,101.6,108.6,98.4,100.5,115.6,102.2,105,93.3]
data = pd.Series(lst)

 
已知产品重量服从正态分布，且总体标准差为10克，试估计该天产品平均重量的置信区间，置信水平为95%
 
# 已知 标准差sigma=10，样本量 n = 25, 置信水平 1-a=95%
sigma = 10
n = 25
a = 0.05
# 均值 x_bar = data.mean()

x_bar = data.mean()
 
计算$z_{a/2}$
 


z_a2 = stats.norm.isf(a/2)
z_a2

1.9599639845400545
 
带入公式计算：
 
left = x_bar - z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
right = x_bar + z_a2*(sigma/np.sqrt(n))

left,right
 
(101.44007203091988, 109.27992796908009)
 
print('该批食品平均重量95%的置信区间为（{:.3f}，{:.3f}）'.format(left,right))
 
该批食品平均重量95%的置信区间为（101.440，109.280）
 
正态总体，$\sigma$未知
 
公式：
 
$\bar{x}\pm z_{a/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$
 
例
 
一家保险公司收集到由36位投保人组成的随机样本，得到每位投保人的年龄数据如下：
 
lst = [23,36,42,34,39,34,35,42,53,28,49,39,39,46,45,39,38,45,27,43,54,36,34,48,36,31,47,44,48,45,44,33,24,40,50,32]
data = pd.Series(lst)
 
设建立投保人平均年龄的90%的置信区间
 
# 已知 样本量 n = 36, 置信水平 1-a=90%
sigma = 10
n = 36
a = 0.1
# 均值 x_bar = data.mean()

# 样本均值
x_bar = data.mean()

# 样本标准差 s
sigma = data.std()

 
计算$z_{a/2}$
 
z_a2 = stats.norm.isf(a/2)
z_a2
 
1.6448536269514729
 
left = x_bar - z_a2*(sigma/np.sqrt(n))
right = x_bar + z_a2*(sigma/np.sqrt(n))

left,right
 
投保人平均年龄的90%的置信区间为（37.369，41.631）
 
正态总体，$\sigma$未知，小样本
 
公式：
 
$\bar{x}\pm t_{a/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$
 
例
 
已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16个，测得其使用寿命如下：
 
lst = [1510,1480,1450,1510,1480,1530,1460,1470,1520,1500,1480,1520,1490,1510,1460,1470]
data = pd.Series(lst)
 
试建立该灯泡平均使用寿命的95%的置信区间。
 
#置信度
a = 0.05
# 样本均值
x_bar = data.mean()

# 样本标准差
sigma = data.std()
# 样本量
n = 16

 
计算$t_{a/2}$
 
t_a2 = stats.t.isf(a/2,n-1)
t_a2
 
2.131449545559323
 
left = x_bar - t_a2*(sigma/np.sqrt(n))
right = x_bar + t_a2*(sigma/np.sqrt(n))

left,right
 
(1476.8033606044887, 1503.1966393955113)
 
print('该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为（{:.3f}，{:.3f}）'.format(left,right))
 
该种灯泡平均使用寿命的95%的置信区间为（1476.803，1503.197）