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  • 本文采用微分解法,利用全微分形式的不变性,多元抽象函数求导问题进行了研究.
  • 抽象函数求导 1. 利用导数定义求极限 导数的两种定义 f′(x0)f'{(x_0)}f′(x0​) = lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

    DAY 3.

    一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量,而是虚荣嫉妒不甘心

    1. 利用导数定义求极限

    导数的两种定义

    1. f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f(x0) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} limxx0xx0f(x)f(x0)
    2. f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f(x0) = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0+Δx)f(x0)

    解题基本用到的是上面两种形式的思想。

    例题1
    求 A = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x − Δ x ) − f ( x ) Δ x \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{ \Delta x} Δxf(xΔx)f(x) 的极限

    这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号 f ( x + Δ x ) f(x + \Delta x) f(x+Δx)所以很显然我们要凑第二类导数的定义

    解:
    A = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0Δx)f(x0)

    = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x 0 + ( − Δ x ) ) − f ( x 0 ) − Δ x \frac{f(x_0 +(- \Delta x)) - f(x_0)}{ -\Delta x} Δxf(x0+(Δx))f(x0) *(-1)

    = f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0) * (-1)

    = - f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)

    例题2
    如果 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 ,且 f ′ ( 0 ) f'(0) f(0)存在,求A = lim ⁡ x → 0 f ( x ) x \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} limx0xf(x)

    解:由题意得

    A = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − 0 x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 0}{x - 0} limx0x0f(x)0

    = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} limx0x0f(x)f(0)

    = f ′ ( 0 ) f'(0) f(0)

    例题3
    求A = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} limh0hf(x0+h)f(x0h)

    解:原式

    = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) + f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h} limh0hf(x0+h)f(x0)+f(x0)f(x0h)

    = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h} limh0hf(x0+h)f(x0) - lim ⁡ h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} limh0hf(x0h)f(x0)

    = f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0) - lim ⁡ h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} limh0hf(x0h)f(x0)

    = f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0) - (- f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0))

    =2 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)

    2.判断连续与可导的关系

    可导一定连续,连续不一定可导

    一般有两种题型:

    1. f ( x ) = { . . . ( x ! = x 0 ) . . . ( x = x 0 ) f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x != x_0) \\ ... & & (x = x_0) \\ \end{aligned} \right. f(x)={......(x!=x0)(x=x0)

    例题4

    讨论 f ( x ) = { 0 x=0 x 2 s i n 1 x x!=0 f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\x^2sin\frac{1}{x}& \text{x!=0} \end{cases} f(x)={0x2sinx1x=0x!=0 的连续性与可导性

    解:依题意得该函数的断点为 x = 0

    则: lim ⁡ x → 0 x 2 sin ⁡ 1 x \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} limx0x2sinx1 = 0
    (DAY 1.中的一个重要结论 无穷小量*有界函数 = 0)
    由此可知该函数连续。
    而: f ′ ( 0 ) f'(0) f(0) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} limx0x0f(x)f(0) = lim ⁡ x → 0 x 2 sin ⁡ 1 x − 0 x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} limx0x0x2sinx10 = 0
    所以该函数也可导

    1. f ( x ) = { . . . ( x ≤ x 0 ) . . . ( x > x 0 ) f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x \le x_0) \\ ... & & (x > x_0) \\ \end{aligned} \right. f(x)={......(xx0)(x>x0)

    例题5

    f ( x ) = { x 2 x <= 1 a x + b x>1 f(x)=\begin{cases} x^2& \text{x <= 1}\\ax+b& \text{x>1} \end{cases} f(x)={x2ax+bx <= 1x>1 在 x = 1处可导,求a,b

    解:首先函数可导则一定连续

    可得, lim ⁡ x → 1 a x 2 + b = f ( 1 ) = 1 \lim_{x \to 1} ax^2 + b = f(1) = 1 limx1ax2+b=f(1)=1 可推 ⇒ \Rightarrow a + b = 1
    然后,函数可导,则左右导数相等;
    利用定义求导可得,
    f ′ ( 1 − ) = lim ⁡ x → 1 − f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} f(1)=limx1x1f(x)f(1) = lim ⁡ x → 1 − x 2 − 1 x − 1 \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} limx1x1x21 = 2

    f ′ ( 1 + ) = lim ⁡ x → 1 + f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} f(1+)=limx1+x1f(x)f(1)

    = lim ⁡ x → 1 + a x + b − 1 x − 1 \lim_{x \to 1^+} \frac{ax +b - 1}{x - 1} limx1+x1ax+b1

    = lim ⁡ x → 1 + ( 1 − b ) x + b − 1 x − 1 \lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)x +b - 1}{x - 1} limx1+x1(1b)x+b1

    = lim ⁡ x → 1 + ( 1 − b ) ( x − 1 ) x − 1 \lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)(x - 1)}{x - 1} limx1+x1(1b)(x1)

    = 1-b
    所以: 1 - b = 2 ⇒ \Rightarrow b = -1
    由于:a + b = 1 ⇒ \Rightarrow a = 2

    3.关于导数定义的证明题

    例题6
    设 f (x) 满足条件:

    1. f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ; x , y ∈ R f(x + y) = f(x)f(y) ; x,y \in R f(x+y)=f(x)f(y);x,yR
    2. f ( x ) = 1 + x g ( x ) , lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 1 f(x) = 1+xg(x), \lim_{x \to 0} g(x) = 1 f(x)=1+xg(x),limx0g(x)=1
      证明f(x)在 R 上处处可导,且 f ′ ( x ) = f ( x ) f'(x) = f(x) f(x)=f(x)

    解: f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} f(x)=limΔx0Δxf(x+Δx)f(x)

    = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x ) f ( Δ x ) − f ( x ) Δ x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)f( \Delta x) - f(x)}{\Delta x} limΔx0Δxf(x)f(Δx)f(x)

    = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x ) ( f ( Δ x ) − 1 ) Δ x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)(f( \Delta x) - 1)}{\Delta x} limΔx0Δxf(x)(f(Δx)1)

    = f ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 f ( Δ x ) − 1 Δ x f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( \Delta x) - 1}{\Delta x} f(x)limΔx0Δxf(Δx)1

    = f ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 1 + Δ x g ( Δ x ) − 1 Δ x f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + \Delta x g(\Delta x)- 1}{\Delta x} f(x)limΔx0Δx1+Δxg(Δx)1

    = f ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 g ( Δ x ) f(x)\lim_{\Delta x \to 0} g(\Delta x) f(x)limΔx0g(Δx)

    = f ( x ) f(x) f(x)

    证毕

    4.基本复合函数求导

    在这里插入图片描述注意牢记基本公式

    5. 基本高阶求导

    和例题7安排在一起

    注意求导的先后次序,以及中间是否可以化简等,不骜述。

    6. 抽象函数求导

    例题7 包含第五点基本高阶求导

    y = f ( x 2 ) y = f(x^2) y=f(x2) d y d x , d 2 y d x 2 \frac{d_y}{d_x}, \frac{d^2{_y}}{d_x^2} dxdy,dx2d2y

    解:

    d y d x \frac{d_y}{d_x} dxdy = f ′ ( x 2 ) ∗ 2 x f'(x^2) * 2x f(x2)2x (先函数求导再中间量求导)

    d 2 y d x 2 \frac{d^2{_y}}{d_x^2} dx2d2y = ( f ′ ( x 2 ) ∗ 2 x ) ′ (f'(x^2) * 2x)' (f(x2)2x) (乘积的求导) = f ′ ′ ( x 2 ) ∗ 2 x ∗ 2 x + f ′ ( x 2 ) ∗ 2 f''(x^2) *2x *2x + f'(x^2) *2 f(x2)2x2x+f(x2)2 = 4 x 2 f ′ ′ ( x 2 ) + 2 f ′ ( x 2 ) 4x^2 f''(x^2) + 2f'(x^2) 4x2f(x2)+2f(x2)

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  • 多元隐函数求导

    2020-04-05 13:01:19
    多元隐函数求导求助

    多元隐函数求导求助

    在这里插入图片描述

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    内容提要:

    1、导数的四则运算法则

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          有时可以用自己的语言来描述它,帮助记忆,例如乘积的求导法则,可以表述为“前导乘后不导+前不导乘后导”

    2、反函数的求导法则

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        这个法则主要是用于推导反三角函数的几个求导公式,有点抽象,可以把它简单地理解为:函数求导等于它的反函数的导数的倒数。

    3、常用的求导公式

          根据上述两个法则,又可以推出好几个求导公式了。我们把所学的求导公式归纳一下,常用的一共有16个公式,一定要记住,后面的运算都会用到。

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    世上无难事,只要背公式

    4、复合函数求导

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         简单来讲,复合函数求导的秘诀是:先分层,逐层求导再相乘。

        关键在于分层。关于复合函数的分层,我在第2课已经讲过了,不太会分层的同学可以看回我第2个视频。

        最初做题时,可以将中间变量写出来,分层求导。熟练以后,层次结构就在你的大脑里了,可以不用写出中间变量,一步到位,直接求导,希望大家能达到这样的境界。

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  • 指数函数求导的代数理解;有关自然常数e的理解!!

    微积分的本质


    P5 指数函数求导

    • 本节从指数函数的实际意义出发,通过代数运算,推导出指数函数的一般性质
    • 从而引出e的定义,理解所谓“指数函数”的形式的可行性,以及神秘的常数。

    #1 从实际角度看f(x) = 2x

    1. 把2t这个函数看成是随着时间t按照比例增长的人口数量
      在这里插入图片描述

    p.s. 这里如果把2t看成是人口数量,那么函数整个还是比较离散的概念。为了后续按照导数的定义,使得微小变化量有实际意义,往往也会采取将函数值看成是人口总重量。

    1. 定性求解dM/dt(也就是人口重量的微小变化量除以时间的微小变化量)

    ①先来考虑单天的微小变化量的比值

    如下图,考虑从第三天到第四天的微小变化。第三天人口总重为23=8,第四天人口总重为24=16,所以dM=8,而dt=1.
    在这里插入图片描述

    总的来说,多进行几次推导计算(比如从第四天到第五天,增长了16,第五天到第六天增长了32…),不难发现:每天的增长率就等于当天开始时π酱的数量

    于是,做出一个合理猜想——2t的导数等于该函数本身。

    猜想的不合理性:虽然整个趋势预测的并没有错,但是所谓导数的定义,是要在有限小的一个变化趋势中去看比值,比如说1/10,1/100,1/1000这样的微小量。

    1. 定量求解dM/dt
      在这里插入图片描述
      ①微小量比值式的转换

    将2t+dt拆解成2t*2dt;这个变换可以说是指数函数最重要的性质之一,将加法的思想(微小量)转换成乘法的思想(变化率和比率)

    ②提取公因式,将微小量比值式转换成两个分部相乘的形式。

    这一步转换看起来似乎比较平常,也是顺应变化趋势的,但是其实蕴含着一个很重要的思想。
    它将右边式子(关于dt求极限)变得与具体的时间t无关了,所有与确切时间t相关的因子都放在在式子的左边。
    在这里插入图片描述

    而关于右边这个式子的取值,虽然笔记还没有做到极限的内容,但是根据极限的思想和定义,我们都可以知道,右部最终是趋于一个常数的。

    ③得到最终的导数表达式
    在这里插入图片描述
    4. 形如y = ax的导数的一般式子

    形如这样的函数(也即指数函数)的导数都等于自身的一定常数倍。

    而常数的取值和a底数的数值有关。

    #2 指数函数y=ex的重要性

    引出e的原因?
    ——根据前文,我们知道ax的导数就等于其自身乘上某一常数,我们好奇是否存在某个底数a使得函数ax的导数就等于其自身,也就是常数为1.

    1. e的定义
    • ex这样的指数函数,就满足我们的要求——其导数等于自身。
    • 为什么呢?
      ——因为自然指数e就是这样的定义而来的
      在这里插入图片描述
    1. y=ex图像的理解

    性质:该图像上任意一点的切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。

    在这里插入图片描述
    3. y=ax导数式中常数的含义

    ①指数复合函数的链式求导法则

    f(x) = e^cx^ f'(x) = ce^cx^

    ②以2x为例来理解导数中常数的意义
    在这里插入图片描述

    按照对数的定义可知2可以写成eln2
    那么可以把一个一般的指数函数2x写成一个自然常数为底的复合指数函数

    从而根据链式法则,推导出——
    y=ax的导数中的常数为lna

    #3 形如y=ect的指数函数

    指数函数有很多可行的表达方式。

    在日常生活或是实际应用中,我们往往会采取将指数函数写成y=ect的形式,因为这样c这个常数的意义可以一目了然。

    1. 在许多自然现象里,变化率都和变化量成正比

    因此——可以建模成指数函数进行求解

    水温变化
    投资的总额增长


    后记

    本文为观察《微积分的本质》B站公开课所做,如果问题欢迎评论或私信交流。

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    【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集

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