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  • 积分思想借用二维积分,先确定x的范围,在x线扫描,对于每一个x,确定可能的y的范围,并将这一段范围内的值全部赋值为零。 输入数据:封闭曲线、 输出数据:填充实心图形 代码 path = './test2.png'; bibao(path...

    思路

    如何填充画图布中画出的任意一个封闭曲线?
    基本思路如下:
    积分思想借用二维积分,先确定x的范围,在对x线扫描,对于每一个x,确定可能的y的范围,并将这一段范围内的值全部赋值为零。
    在这里插入图片描述

    输入数据:封闭曲线、

    在这里插入图片描述

    输出数据:填充实心图形

    在这里插入图片描述

    代码

    path = './test2.png';
    bibao(path);
    for i  = 1:20
        imag_path = ['./',num2str(i),'.png'];
        save_path = ['./data/',num2str(i),'.png'];
        result = bibao(imag_path);
        result =imresize(result,[512,512]);
        result = uint8(result*255);
        imwrite(result,save_path);
    end
    function result = bibao(path)
    image = imread(path);
    image = image(:,:,2);
    [h,w]= size(image);
    edge = image>100;
    imshow(edge);
    result = ones(h,w);
    cord = [];
    
    
    for i = 1:w
        for j =1:h
            if(edge(j,i)==0)
                cord = [cord; j,i];
            end
        end
    end
    cord;
    
    uniq = unique(cord(:,1));
    for i = 1:length(uniq)
        index = find(cord(:,1) ==uniq(i));
        candidate = cord(index,2)
        [Min,a] = min(candidate);
        [Max,b] = max(candidate);
        result(uniq(i),Min:Max) = 0;    
    end
    imshow([image==255,result])
    end
    
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  • 主要讨论平面上弧长的曲线积分的计算。首先利用曲线c关于坐标轴...其次利用此公式,讨论了某些函数在封闭曲线弧段上弧长的曲线积分的计算问题。可以看出,这一公式的使用,简化了繁杂的计算过程,有明显的实用价值。
  • 1 弧长的曲线积分 2 坐标的曲线积分 3 格林公式及其应用 4 面积的曲面积分 5 坐标的曲面积分 6 高斯公式 7 斯托克斯公式 然而今天看了斯托克斯公式,明白了其用法。昨天看了坐标的曲面积分。明白了...

     

     

    曲线积分,曲面积分分别有七个小节。

    1 对弧长的曲线积分

    2 对坐标的曲线积分

    3 格林公式及其应用

    4 对面积的曲面积分

    5 对坐标的曲面积分

    6 高斯公式

    7 斯托克斯公式

    然而今天看了斯托克斯公式,明白了其用法。昨天看了对坐标的曲面积分。明白了是怎么回事。

    之前对弧长,坐标的曲线积分。做过相关的题也知道是怎么回事。然后格林公式还自己推导过。只是这些都忘记了。

    说明了一件事,写博客太重要了,应该好好写。回顾过去,要是当年学PHP 和 JAVA时写好博客,要是当年学操作系统,IOS时也写好博客。

    那现在的积累肯定是巨大的。也不用担心工作,和GPA, 和出国的问题。唉!!!这让我想起了,SCOTT YOUNG说过的一句话。只有在教别人的时候,

    人们的理解水平,实践能力才达到最高的效率。写博客和GITHUB也一样,就是自己来教过去的自己,教未来的自己。也教所有其他在网络世界中寻找知识的游客。

     

     

    废话不多说,说说,一道题。

    题1若质点在变力F,作用下,沿着螺旋线T:x=2cost,y=2sint,z=t.从点M(2,0,0)出发。到点N(-2,0,PI),变力所做的功是多少?

    这是一道曲线积分题,同时也是一道,看起来是第二种曲线积分,实际上是第一种曲线积分的题。

    矢量和常量

    因为,如果是对弧长的曲线积分的话,物理意义是曲线f(x,y)是密度,ds是一小段长度,算质量。其中,小段长度和密度都是没有方向的量。

    计算方法,就是将曲线函数化成参数方程:

    证明方法先不提。而做功不同,力是有方向的矢量,位移也是。就是在点x,y存在多个被积函数( P(x,y) , Q(x,y) , R(x,y) ...)这就是有方向和没有方向的区别。

    第二种曲线积分是两个矢量的相乘,第一种是两个常量的相乘。性质满足线性,可加性,反向性:

    计算方法:证明方法先不提。

    但是上述的题目,所写出的公式,最后没有Q,没有R,只有P。如果把它改成 P,Q,R模式就满足第二种曲线积分。

    现在找找一些题来看看。

    题2

     另外这里要注意,灵活运用cosx^2 - sinx^2 =cos2x

    题3

    这个解题过程有点乱,就是中间有一部分是不需要的。

     

    题4

    这个解题过程中有一个错的地方,就是F,力向量我是写错方向的。因为指向原点所以本该是X,Y都

    带负号。

     

     

    如何把做题的内容上传呢?打字是不行的。还是写好拍照上传到微信截图。

    格林公式又是怎么回事,格林公式说明了一件事。平面闭区域D上的积分,和它边界线的曲线积分有关。

    相当于,莱布尼兹的公式的平面版本:

    这是公式的平面版,哈哈看起来和原版有些不同。证明先不说。

    1 一般是先通过右式得到P,Q函数,然后求偏导得到左式的二重积分。

    2 或者是知道左式,然后令P等于0然后,得知右式。然后去计算。

    3 或者是求其证明过程。这是证明过程的一个副产品。

     

    题5

    在做题的过程中,把公式写错了。导致后面所有的错误,切记右边是,q对x求偏导-p对y求偏导.

     

    题6

    做题的时候,把原式转换成一个曲线积分后,就无法再继续下去了。其实还可以继续。

    分成多段曲线积分,发现其中两段为0,实际只需要求一段,根据那一段线的公式,

    可以把x,y都用一个变量替换后,来求。

    题7

    这个求得正确,还不错。先把要用的格林面积公式推导写出来,是有用的。

     题8

     

    这里就是多元化函数偏导数求错了,p对y的偏导求错,q对x偏导数求错。实际上,

    这样,相等的话后面就很容易得出答案了。这样才是对的,我的偏导数求错了。后面导致了错误。

    但是实际上还可以考虑,经过原点的情况。很难懂,估计要问问人。

     

    还有寻找并且证明曲线积分与路径无关的条件

    那么首先得思考清楚,什么是路径无关。

    这就是路径无关,要证明路径无关,非常容易。把右边的式子移动到左边,下标则变成了逆向l2.

    于是整个左边的式子就变成了,封闭曲线的积分,利用格林公式,把封闭曲线积分,转换成对曲面的

    积分,于是得到:(不过这是证明了条件充分性,即路径无关可以推出该3-5公式)

    那要证明,条件的必要性,就让3-5推导出路径无关,这里可以用反证法,先让p对y偏导数-q对x偏导数不等于0。

     

    当然还有全微分的问题。

    定理2

     

    证明就先不说了。

    推论2

    这个证明也就先不说了。

    先搞两道题做一做,感悟一下,这定理和推论。

     

    很明显,求复合偏导数,还是相当容易出错的,特别是符号。

    然后不知道如何得到u是个问题。我从定理2证明过程中,证明必要性的过程中。

    知道了u是可以用两条直线的积分去求。

    但是为什么ab直线的积分为0,bc直线积分是这个。为甚么x0=1 y0=0?

     我知道ab为何为0,因为此时y的范围(0,0),所以不存在dy,dy=0

    二bc直线的积分需要知道1/a^2+x^2的积分是啥,我不知道,所以是积分的基础不行。

    至于从(1,0)开始可能是方便计算,因为不能从 (0,0)开始呀。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/zzzPark/p/6933977.html

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  • 曲线积分;实例中图分类号:O13 文献标识码:A在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与...

    内容摘要:在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算。有时这种方法较困难,且不易计算。下面介绍一些计算曲线和曲面的积分方法。

    关键词:曲面积分;曲线积分;实例

    中图分类号:O13 文献标识码:A

    在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。

    一、曲面积分的运算

    (一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算

    第二类曲面积分 也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指:

    1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母 按轮换次序xyzx代换后,积分不变;

    2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。

    若 满足上述轮换对称性,

    上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。

    例1:计算其中Σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。

    解:因变量按次序xyzx轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。

    ,其中Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4

    因Σ2,Σ3垂直于面xoy,故

    又因在Σ1上有z=0,

    于是

    从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。

    (二)高斯公式法

    定理(高斯公式):设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线S围成,若函数

    P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续,且有一阶连续偏导数,则:

    (1)

    其中S取外侧。(1)式成为高斯公式。高斯公式也可以表示成:

    (2)

    其中(cosα,cosβ,cosγ)是S外法线的单位向量。

    应用高斯公式时,应注意条件:①S必须是封闭曲面,若所讨论的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;②P、Q、R在V上连续且偏导数也连续,若它们及其偏导数在某点不连续,应当利用“挖去奇点”的技巧,在余下的区域内应用高斯公式。

    例2:计算曲面积分 ,其中Σ是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧。

    解:取Σ1为xoy平面上被圆x2+y2=0所围部分的下侧,记Ω为由Σ与Σ1围成的空间闭区域,则

    由高斯公式知:

    2Л,

    而,

    故。I=2Л-3Л=-Л

    二、曲线积分的运算

    利用Green公式求解

    定理(Green公式),设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则:

    ,其中L是D的取正向的边界曲线。

    利用Green公式可以把曲线积分转化为二重积分。

    例3:已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤п,0≤y≤Л},L为D的正向边界。试证:

    (1)

    (2)

    解:(1)根据格林公式,得:

    因为D具有轮换对称性,所以:

    ,

    故:

    (2)由(1)知:

    (利用轮换对称性)

    =

    参考文献:

    [1]曾华,孙霞林.三重积分及曲面积分的算法研究[J].长江工程职业技术学院学报,2006.09

    [2]夏敦行,甘欣荣.若干曲线积分的求解定理[J].甘肃联合大学学报,2009.03

    [3]梁存利.高数考研中有关曲面积分问题的求解方法[J].考试周刊,2009.11

    [4]胡承钧.一类曲线、曲面积分方法的探讨[J].甘肃联合大学学报2009.07

    作者简介:

    韩艳光(1986- ),汉族,北京人,西北民族大学数学与计算机科学学院数学与应用数学专业。

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  • 主要讨论平面上弧长的曲线积分的计算。首先利用曲线c关于坐标...其次利用此公式,讨论了某些函数在封闭曲线弧段上弧长的曲线积分的计算问题。可以看出,这一公式的使用,简化了繁杂的计算过程,有明显的实用价值。
  • 弧长和坐标的曲线积分

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    弧长的曲线积分 引言:弧长的曲线积分可以求线段的质量。 假设线段在每一点的线密度为f(x,y),那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds,则ds与dx,dy满足勾股定理。 倘若x=φ(t),y=Ω(t)(一般都可以...

    笔记
    (可能不好理解,公式是用WPS中的公式编辑器写的)

    对弧长的曲线积分

    引言:对弧长的曲线积分可以求线段的质量。

    假设线段在每一点的线密度为f(x,y),那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds,则ds与dx,dy满足勾股定理。
    在这里插入图片描述
    倘若x=φ(t),y=Ω(t)(一般都可以化为参数方程形式),则有以下等式。
    在这里插入图片描述
    所以对弧长的曲线积分可表示为:
    在这里插入图片描述
    a<=b

    对坐标的曲线积分

    引言:对坐标的曲线积分可以求变力(大小变,方向不变)沿曲线做的功
    f(x,y)表示力F在(x,y)的大小,力F是具有方向的,设F与x轴夹角为α,与y轴夹角为β。因为F是可以用向量表示(有大小,有方向),所以力F可以用两个分别沿着x轴和y轴的向量表示,记沿x轴的为P,沿y轴的为Q,则在线段上每一点均有P=Fcosα,Q=Fcosβ。这样力F做的功就分解为P沿着x轴做的功和Q沿着y轴做的功,因为F的大小改变,所以P,Q的大小也是随着(x,y)的改变而改变,可以记为P(x,y),Q(x,y)。所以有以下变力做工公式:
    在这里插入图片描述

    两个积分之间的关系

    在这里插入图片描述
    可以从下图形象的理解:
    在这里插入图片描述
    由图可见,无论F的方向朝哪,总会有上式成立。

    格林公式

    在这里插入图片描述
    由公式可知,格林公式把对封闭曲线的积分转换成了对封闭曲线内的曲面积分。
    先了解几个概念:
    单连通区域:D为一封闭平面区域,若D内任意曲线围成的封闭平面仍在D中,则称D为单连通区域。否则为复连通区域。说白了就是单连通区域没有洞,哪怕是一个空点也不行。
    在这里插入图片描述

    D的封闭曲线L的正向:沿着L走的时候,若D总在其左手边,则这个曲线方向称为L的正向。
    在这里插入图片描述
    若D不满足X型或Y型区域,可对D进行分割。

    平面上曲线积分与路径无关的条件:
    D为单连通区域,函数P,Q在G内具有一阶连续偏导数
    在这里插入图片描述

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空空如也

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对封闭曲线积分