在考研数学中，曲线积分数学一重要考点之一，每年必考，并且时常考一道大题和一道小题，因此一定要掌握其基本计算方法和技巧。下面我总结第一类曲线积分和第二类曲线积分的一些基本的计算方法，供各位考生参考。
对弧长的线积分计算常用的有以下两种方法：
(1)直接法：
(2)利用奇偶性和对称性
平面上对坐标的线积分(第二类线积分)计算常用有以下四种方法：
(1)直接法
(2)利用格林公式
注：应用格林公式一定要注意以下两点：
a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续一阶偏导数
b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。
(3)补线后用格林公式
若要计算的线积分的积分曲线不封闭，但直接法计算不方便时，此时可补一条曲线，使原曲线变成封闭曲线。
(4)利用线积分与路径无关性
题型一：对弧长的线积分(第一类线积分)
例1：
解法一：利用直角坐标方程计算
解法二：利用参数方程计算
题型二：对坐标的线积分(第二类曲线积分)计算
例2：
解题思路：本题中积分路径L为封闭曲线，首先考虑格林公式，容易验证被积函数在L围成区域上满足格林公式条件。
解：

背景

发现很多教材讲微积分中的格林定理忽略其引申，显得粗糙。看了不同版本教材比对之后，这种感受更深了。$\rm Green's\; theorem$ 联系着二重积分和第二类平面曲线积分,是个漂亮的结果.

对原始定理稍作引申，不仅加深理解，在计算几何的某些算法实现中灵活应用起来也很方便。不但格林定理，散度定理也有类似的应用，让人惊讶。



定理和引申

定理 ($\text{Green's theorem, also  Jordan curve theorem}$): 向量场 $(x,y)\xrightarrow{\Large F} \left\langle X,Y\right\rangle$, $\dfrac{\partial X}{\partial y}$和$\dfrac{\partial Y}{\partial x}$在有界单连通区间 $D$ 上连续；$D$ 的边界为Jordan曲线 $C$：${\bf r}(s)=\left\langle {x(s),y(s)} \right\rangle$。则环量形式 circulation form: 

 $$\iint\limits_D\left(\dfrac{\partial Y}{\partial x}-\dfrac{\partial X}{\partial y}\right){\rm d}x{\rm d}y=\oint\limits_C F\cdot {\rm d}{\bf r}=\oint\limits_C\left(X{\rm d}x+Y{\rm d}y\right)$$  

类似地有通量形式flux form: 

 $$\iint\limits_D\left(\dfrac{\partial X}{\partial x}+\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right){\rm d}x{\rm d}y=\oint\limits_C{F\cdot}{\bf n}{\rm d}s=\oint\limits_C\left(X{\rm d}y-Y{\rm d}x\right)$$  

引申 对circulation form, 如果$\left(\dfrac{\partial Y}{\partial x}-\dfrac{\partial X}{\partial y}\right)=1$, 定理的公式左边就是区域 $D$的面积。满足这样条件的$F$ 有很多, 比如$\left\langle0,x\right\rangle$, $\left\langle-y,0\right\rangle$, $\dfrac{1}{2}\left\langle-y,x\right\rangle$等等。从而有： 

 $$D_\text{Area}=\iint\limits_D{\rm d}x{\rm d}y=\oint\limits_C x{\rm d}y=-\oint\limits_C y{\rm d}x=\dfrac{1}{2}\oint\limits_C \left(x{\rm d}y-y{\rm d}x\right)$$ 


适当更换$F$，$\left\langle x,0\right\rangle$, $\left\langle 0,y\right\rangle$, $\dfrac{1}{2}\left\langle x,y\right\rangle$，可以类似得到flux form的等价的引申结果。

用户评价：使用了上面公式之后发现，
 $$A=\dfrac{1}{2}\oint\limits_C \left(x{\rm d}y-y{\rm d}x\right)$$  

比起另外两个只用了被积函数的左右一半部分的公式有独特的优越性。比如，它使得所有经过 $(0,0)$ 的直线上的积分都为 $0$ （而另外两个只对坐标轴适用！），当封闭区域类似扇形时，可以只计算弯曲弧线上的积分；又如，在下面椭圆面积计算中也对被积函数有更显著的简化。


Jordan曲线作为适用范围只是定理适用的充分但非必要条件。边界为封闭曲线，区域内任何点关于边界曲线的 卷绕数 都为 $1$ 似乎更理想, 尤其是如果面积也允许有符号时; 因为这样得到的面积与曲线方向有关, 否则也有反例存在： Lemniscates of Bernoulli,跟曲线参数方程特定的形式有关(因为这影响曲线的走向),此时极坐标积分反而可能更好。

http://math.uga.edu/~pete/handouteight.pdf



应用案例



椭圆面积

国外教科书中多讲椭圆面积的计算。大概因为这个最具有代表性。用其它方法计算都没有这个省力。 

比如$C=\left\langle{a\cos{t},b\sin{t}}\right\rangle, t\in[0,2\pi]$所包围的区域的面积。

格林定理的引申： 

令向量场$F=\dfrac{1}{2}\left\langle-y,x\right\rangle$, 利用定理的引申:



 $$S=\dfrac{1}{2}\oint\limits_C{a\cos{t} \;{\rm d}(b\sin{t})-b\sin{t}\;{\rm d}(a\cos{t})}=\dfrac{ab}{2}\int\limits_0^{2\pi}{\left(\cos^2{t}+\sin^2{t}\right){\rm d}t}=\pi a b$$ 


如果用极坐标呢？

因为参数方程中的参数 $t$ 并不是极坐标下的角度 $\theta$, 所以变极坐标形式还是有一点点繁琐的。先写成隐函数形式： 

 $$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$  

再把$x=\rho\cos\theta, y=\rho\sin\theta$代入解出$\rho$ 

 $$\rho(\theta) =\dfrac{ab}{\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}$$  

进而: 

 $$S=\int\limits_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\tfrac{ab}{\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}}\rho{\rm d}\rho{\rm d}\theta=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}{\dfrac{a^2b^2}{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}{\rm d}\theta$$  

再把被积函数变成 $\cos{2\theta}$ 形式变量代换, 比如 $\cos{2\theta}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\theta=\tan^{-1}t$， 成为有理函数积分, 结果也是$\pi a b$，但是这里省略的那些步骤其实是比较麻烦的。说不定看到这里的同学有一半都想不起来了: 不过我刚刚专门花半小时看了下有理函数积分的教材, 所以, 我已经脱离这个行列了。




四瓣花形曲线的面积

如果用一个形状更特殊, 常规方法繁琐的例子则容易给人更深的印象。

比如： 

 $$\left\{\;
\begin{array}{rl}
x=&   \!\!\!\!\cos (t) \sqrt[4]{\cos ^2(2 t)} \\
y=&  \!\!\!\!\sin (t)  \sqrt[4]{\cos ^2(2 t)} \\
\end{array}\quad t\in[0,2\pi]
\right.$$  

 

 

用格林定理的引申可以得到其面积恰好为 $2$。 这个例子实际上用极坐标下的积分也很容易验证结果(实际上我没有验证,看上去不见得容易)。然而格林定理可以直接应用还是让人意外。


这个例子四个花瓣有公共点$(0,0)$应该就不算Jordan曲线了,但封闭的开区域内 卷绕数 都为 $1$ 且曲线方向一致(如果方向相反可能有负卷绕数), 所以仍然适用格林定理；此外，四个象限中,曲线都正好等分单位正方形,这让人也感觉很好。

此外, 这个案例 $\left\langle{\sin{2t},\sin{t}}\right\rangle$ 也不错。



伯努利双纽线Lemniscates of Bernoulli

前面提到这类曲线能否适用Green’s theorem实际上跟曲线参数方程特定的形式有关(因为这影响曲线的走向), 这里举两个例子, 同样都是 Lemniscates of Bernoulli , 但参数方程决定的曲线走向差异, 一个适用, 一个太难适用。

先说适用的:

参数方程 

 $$\left\{\;
\begin{array}{rl}
x=& \cos (t) \sqrt{\cos (2 t)} \\
y=& \sqrt{\cos (2 t)} \sin (t) \\
\end{array}\qquad t\in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]\cup \left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right]
\right.$$  

曲线及其方向是这样的: 

 

容易知道它是前面四瓣花形曲线的一半, 面积是$1$.


而这条曲线: 

 $$\left\{\;
\begin{array}{rl}
 x=&\frac{343 \cos t-245 \cos (2 t)+10}{149-140 \cos t} \\
y=& \frac{49 (5 \sin (2 t)-7 \sin t)}{140 \cos t-149} \\
\end{array}\qquad  t\in \left[0,2\pi\right]
\right.$$  

曲线的走向随参数$t$的增加是这样的: 

 

用格林公式计算面积总是正负抵消,结果为$0$


调整参数方程的形式之后用前面方法计算它的面积其实还是可以得到解析形式 $7 \sqrt{51}-\dfrac{\pi }{2}+\cot ^{-1}\left(7 \sqrt{51}\right)\approx 48.43920$ 的。这类曲线可以看成可以应用格林定理的不同封闭区域之间单连通。



常拿来说事的不能用此定理的曲线

参数方程为:
 $$\begin{cases}
 x &= -9 \sin (2 t)-5 \sin (3 t) \\[6pt]
 y & = 9 \cos (2 t)-5 \cos (3 t)
\end{cases}\quad t\in[0,2\pi]$$  

刚刚计算过它的隐函数曲线形式, 形状如:  



如果直接用 格林定理 则得到 $87\pi$, 跟半径$\sqrt{87}$的圆一比较, 发现实际面积并没有圆大，显然是错误的。中心卷绕数为2、近似于正五边形的部分实际被重复计算了。



它的面积的计算是这样实现的，也用到了Green定理!

应用的实例



求积仪(planimeter)

 

(James Stewart, Calculus, 7th Ed. p1111) 

 

用于计算不规则图形区域的面积, 比如生物学里测量植物叶片的面积或鸟类翅膀的面积, 医学上器官或肿瘤切面面积, 以及地图学或遥感林业研究中地图或遥感影像图上特定地理区域的面积.(数字化时代可能已经有更简单快捷的替代方法) 



仪器原理 即格林定理,介绍性材料(Oliver Knill, 12/9/2000)


  
The planimeter is a mechanical device for measuring areas in the plane. It has the shape of a ruler with two legs. One leg of length $1$ connects the fixed origin $(0,0)$ to $(a,b)$. A second leg of length $1$ connects $(a,b)$ with the end point $(x,y)$. The point $(x,y)$ determines (a,b) as the intersection of two unit circles centered at $(0,0)$ and $(x,y)$. The intersection is unique if the angle between the two planimeter legs is smaller than $180$ degrees. 
  
  
The planimeter vector field Let $F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle$ be the Planimeter vector field. It is defined by attaching a unit vector orthogonal to the vector $(x-a,y-b)$ at $(x,y)$. The wheel rotation is the line integral of $F$ along the boundary of $R$. Green’s theorem tells that this integral is the double integral of ${\rm curl}(F)$ over the region $R$. The planimeter vector field is explicitely given by $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(-(y-b(x,y)),(x-a(x,y)))$. Furthermore, ${\rm curl}(F)=Q_x-P_y$ is equal to $2+(-ax-by)$ which is $2$ plus the curl of the vector field $G(x,y)=\langle b(x,y),-a(x,y)\rangle$. A direct verification shows that ${\rm curl}(G)=-1$. The Planimeter lineintegral is therefore the area of the enclosed region.


上面这段原理,前半部分可以看看; 后面讲到向量场的旋量时似乎糊涂了, 这个向量场的旋量实际上绝对值就是$1$, 只需要把两个函数$a(x,y),b(x,y)$解析形式的两种可能显式表示出来一计算就有了,讲得太罗嗦了.

最早的原理介绍1947年就有了:


  
Bibliography. Green’s theorem is the classic way to explain the planimeter. The explanation of the planimeter through Green’s theorem seems have been given first by G. Ascoli in 1947:
  
  

  
Guido Ascoli. Vedute sintetiche sugli strumenti integratori (Italian). Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, 18:36, 1947.
  
R.W. Gatterdam. The planimeter as an example of Green’s theorem. American Mathematical Monthly, 88:701-704, 1981.
  
L.I. Lowell. Comments on the polar planimeter. American Mathematical Monthly, 61:467-469, 1954.
  


更新已完成 

首先说明，尽管公司已经复工，但住的地还是封闭的，回不去，只能在家待着了。复习《概率率与数理统计》发现对微积分不是清楚。对于怎么解题，也是看不懂。虽说概率论的思想（或称思路）比较重要，但对于题，总归是要有个结果，才能得分的吧。

之前的理解，其实都是古典微积分的内容：

古典微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积求和后得到的

无穷小量：在用古典微积分求解曲线围成的面积事，把曲线对 的定义域[a,b]均分成间隔长度   为n份，当n  时， 变成无穷小量，记作dx，即  X 的微分
	
微分：微分是微小的增量，即无穷小量。在古典微积分学中，无穷小量是建立微积分的基础。
	
切线：通过无穷小量定义了切线。
	
导数：导数就是切线的斜率。
无穷小量有严重的问题：



所以就古典微积分中切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些，  的导数是这样计算的：



仔细看看运算过程， dx 先是在约分中被约掉， 

然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。

无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？

无穷小量还违反了 阿基米德公理 （公理等价于说，对于任何正实数a、b，如果 a<b，则存在自然数n，有



），这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。

基于极限重建微积分概念：



可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。

导数的极限定义



用极限重新严格定义了导数，此时已经脱离了微商的概念。也就是此时，导数应该被看成一个整体。 

原来古典微积分是先定义微分再定义导数，

现在极限微积分是先定义了导数再有微分。



 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义： 

 

把切线的增量定义为微分函数dy

我们令 ，由此可得 微分 dx的定义。

最后我们可以得到  ： 



 

对于极限微积分的总结

导数：导数被定义为一个极限，其意义就是变化率
	
微分：微分是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
	
切线：有了导数之后就可以被确定下来了

一、基本概念理解
1、方向导数：在函数定义域内的点，对某一方向求导得到的导数。

2、梯度：是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值。

3、通量：在流体运动中，单位时间内流经某单位面积的某属性量，是表示某属性量输送强度的物理量。

4、环量：一个矢量沿一条封闭曲线积分。譬如在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。就像力做功的计算方法一样，形象地称速度环量为速度绕封闭曲线的速度功。

5、散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。

6、旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。

7、对散度的理解

散度不为零说明场是有源场，电场有源无旋，磁场无源有旋。电场是由于分离电荷的存在而产生的，所以有源；但磁场目前还没有发现磁单极，所以无源。

8、对旋度的理解

俗话说有图有真相，我们看图说话！




我的理解是会“旋转”，是因为受力不均匀所导致。如第一张图水流的例子，水流在垂直的上下平面上大小是相同的，所以左边不产生涡旋。右边里面会产生涡旋，是因为受力不均匀，在垂直的上下这个平面上，越往下，力越小，所以产生了涡旋。
二、梯度、散度和旋度的本质和联系
1、作用对象、运算对象和结果
梯度

作用对象：标量场

运算对象：标量

运算结果：向量（矢量）

散度

作用对象：向量场

运算对象：向量

运算结果：标量

旋度

作用对象：向量场

运算对象：向量

运算结果：向量
1.梯度针对一个标量场（势场），衡量一个标量场的变化方向。梯度为0说明该势场是个等势场。其结果为向量。
2.散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。散度为0说明这个场没有源头。其结果为标量。
3.旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个标量场的梯度场。其结果为矢量。
2、图解 任何标量场的梯度的旋度为0
如下图，电容器内部的电场，其实也就是梯度。对每个垂直方向的平面来说，电势位相等。所以，这就好比刚才水流的那个例子，上下来说受力相等，所以旋度为零。


3、电磁场中散度与旋度的求解
在电磁场中任一点处

（1）（▽·E）电场强度的散度==该点处自由电荷的体密度与介电常数之比。
（2）（▽xE）电场强度的旋度== 该点处磁感应强度变化率的负值。
（3）（▽·B）磁感应强度的散度 == 处处等于零。
（4）（▽xB）磁感应强度的旋度 == 该点处电流密度与磁导率的乘积。
（5）（▽·D）电位移的散度== 该点处自由电荷的体密度 .
（6）（▽xH）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度 的矢量和。



注释：

E 是电场强度矢量

B 是磁感应强度矢量

D 是电位移矢量（也叫电感应强度） 应该还有一个电传导向量 E=D+?

H 是磁场强度矢量    H=B+?

其中内在的联系是：

D=εE

B=μH

大写字母都是矢量
4、场的分类
向量场A，数量场u

▽称为汉密尔顿算子——  ▽·▽=▽2=△

△称为拉普拉斯算子。

1.梯度的旋度▽×▽u=0

梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场（无旋场、有势场）。例如重力场。

2.旋度的散度▽·(▽×A)=0

旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。
特别说明一下，匀强场是保守场，磁场本身是有旋度的。因此绝对的匀强磁场是不可能的。
拉普拉斯算子△就是偏偏x，偏偏y，偏偏z；拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为散度。
托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。