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2020-07-11 11:29:03
前言
本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。
如有缺漏错误，欢迎补充指正！
最近更新时间：
2020.07.13 添加曲面积分内容
2020.07.15 添加多元积分应用题内容
2020.07.17 曲线积分与曲面积分奇点问题曲线积分
将题目分为四类，
- 对弧长的线积分
- 对坐标的线积分
- 曲线积分证明题
- 空间中的线积分
对弧长的线积分
根据第一类线积分的定义，是各小弧段长度的最大值趋近于0时与函数f(xi,yi)乘积的和的极限，其中xi,yi是各小弧段中的任意一点。
长度是一个标量，所以第一类线积分与积分路径无关。可以想象为求不均匀密度曲线型构件的质量。
计算
- 参数方程
- 直角坐标系
- 极坐标方程
- 奇偶性和对称性
前三种计算方法要根据题目的具体情况而定，计算量差别不大。当遇见像双纽线这种高次方程时，前两种方法计算量很大，极坐标方程有解题优势，应考虑用极坐标方程。
奇偶性和对称性对直角坐标系作用最明显也最常用，因为两个变量如果能消去一个计算量大减。参数方程和极坐标方程也需考虑。
对坐标的线积分
以平面为例，第二类线积分的定义就已经定义了P(x,y)和Q(x,y)两个对应x轴和y轴的函数。当各小弧段的最大值趋于0时，将弧段视为有向弧段，且弧段可以近似用有向曲线元Δr = dxi + dyj代替，计算P(xi,yi)对dxi和的极限，为有向曲线段对坐标x的曲线积分，计算Q(xi,yi)对dyi和的极限，为有向曲线段对坐标y的曲线积分。
第二类线积分积分路径的方向有关，可以想象为平面上的变力做功，将变力分解为沿x轴和y轴的两个分力。从点A到点B和从点B到点A的做的功互为相反数。
计算
- 直接参数方程法
- 格林公式
直接参数方程法
直接参数方程法虽然通用，但是很少用，要掌握有这个方法。
格林公式
线积分绝大部分题都离不开格林公式，格林公式十分优美，证明方法也熟悉，但还是没能直观理解。
以下为使用格林公式解题的基本思路。基本思路：
线积分证明题
只要是证明题，就具有综合性。下面是一部分出题的角度，可以作为思考方向的辅助。
出题角度：
- 给出一些与线积分计算有关的条件，结合综合知识点（微分方程、基本不等式、三角函数、极限）等进行证明。
- 给出一些与线积分计算有关的条件，利用画出的辅助积分区域进行证明。
- 第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系，外法线方向余弦和切向量方向余弦的关系。
空间中的线积分
到了三维角度，直接参数法就变得有用了起来，格林公式不再适用，需使用斯托克斯公式。但因为三维是二维的延伸，考查对线积分的掌握无需扩展到三维，且三维计算量大。三维的部分目前阶段只需做了解，掌握直接参数法。
曲面积分
主要分为以下三个部分
- 对面积的曲面积分
- 对坐标的曲面积分
- 曲面积分证明题
与线积分相比，面积分的证明题更加局限。我感觉本章的难点还是在格林公式综合应用那一部分。
对面积的面积分
第一类曲面积分的定义可直接类比第一类曲线积分
根据第一类曲面积分的定义，是各小曲面直径的最大值趋近于0时,各小曲面的面积与函数f(xi，yi，zi)乘积的和的极限，其中xi,yi，zi是各小弧段中的任意一点。
面积是一个标量，所以第一类面积分与曲面的侧的选取无关。可以想象为求不均匀密度曲面构件的质量。
计算
- 直角坐标系
- 奇偶性和对称性
- 形心公式
相比与曲线积分少了参数方程和球坐标系，应该是不易计算。
直角坐标系
在使用直接坐标系中要注意dS面积微元的多样性以及投影域D的选择。
比如在圆柱侧曲面中，可取环状曲线做面积微元。
在积分曲线中没有z变量，比如柱面x^2 + y^2 = 9中，便不能投影到xOy面，尝试投影到xOz或yOz面。奇偶性
对称性是根据面对称来定义的，比如关于xOy面对称，观察被积函数中z的奇偶性。
如果积分曲面∑方程中两个变量对调其方程不变，则将被积函数中这两个变量对调积分值不变。
曲面积分同样可以关于比如x=a形式对称，意义为关于平面x=a对称，那么被积函数为x-a时，积分为0，简化计算。形心公式
形心公式不仅适用于二重与三重积分，同时还适用于曲线和曲面积分。公式与重积分相似。对坐标的面积分
对坐标的面积分仍然可以和对坐标的线积分类比。
有向弧段 >>>> 有向曲面块
对x,y坐标的曲线积分(曲线投影) >>>> 对xOy、yOz、xOz面的曲面积分（曲面投影）
有向曲线元Δr = dxi + dyj >>>> 有向面积元ΔS = dydzi + dzdxj + dxdyk
对坐标的面积分定义了P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)这三个对应yOz、xOz，xOy面投影的函数。当各小曲面块的直径最大值趋于0时，将曲面块视为有向曲面块，且曲面段可以近似用有向曲面积元代替，分别计算各被积函数对应的坐标面和的极限，便为对曲面的第二类积分。
第二类面积分与积分面的侧有关，可以想象为在湍流中的渔网，假设湍流中的液体是不可压缩流体。从渔网进去的流量和从从渔网出去的流量应视为相反。
计算
- 分别计算（直接计算）
- 高斯公式
直接计算
由于写出曲面的参数方程不易，第二类曲面积分直接对各投影面分别计算，将曲面积分转为二重积分计算。高斯公式
当空间闭区域由分片光滑的曲面围城，且各被积函数有一阶连续偏导数时，闭曲面取外侧，则可以利用高斯公式。
同样的，可以补曲面利用高斯公式，再将补的曲面减回来。曲面积分证明题
只见过一种，即第一类面积分与第二类面积分的转化。涉及外法线向量。
积分应用题
多元积分应用题
多元积分应用题，大致分为两类
- 单纯求物理量的应用题，包括质心、转动惯量、变力做功、通量、质量，几何度量等。质心和转动惯量的公式要记得。
- 需要分析问题的应用题，这种题更像是物理题，也更难一些。比如经典的雪堆融化题目，需要求出雪堆的体积和侧面积两个物理量，并且列出微分方程。解题的时候要注意可能求解的布置一个物理量，坐标系可能要自己建立，如果有局限的点，注意点在坐标系中选取的位置尽量简便。
多说几句
写写我错了几次的地方
- “截”出 与 “围”成
- 重积分与线面积分
- 曲线积分与曲面积分的奇点问题
第一点，记得有道题，说是圆柱面x^2 + y^2 = 4被平面x + z = 2和z = 0所截出部分的外侧，我寻思这是个封闭图形啊。便用了高斯公式，一看答案说是不封闭图形，我画了好久也没看出哪不封闭了。我觉得可能是我想错了，便花了半个多小时找到了一个3D函数绘制网页验证，果然是封闭的。我没办法只能接着看答案，发现它只算了侧面的部分，平面没有算。当时我打心底感叹(bb)how you made 中国话。
第二点，曲线和曲面积分，积分域是可以等式成立的，比如x^2 + y^2 +z^2 = 1,若计算曲面积分，且被积函数有x^2 + y^2 +z^2 项，可以将1直接带入，简化计算。而重积分不可以，因为重积分是x^2 + y^2 +z^2 <= 1，不等关系。在计算中我们用格林公式或高斯公式，转来转去时，一定要搞清楚现在算的积分是重积分还是曲线面积分，不要混淆了。
第三点，在判断奇点的时候一定要把能替换成常数的式子都替换出来。比如有个题的题意大概是求两问，第一问是求上半球面的外侧，第二问是求上半椭圆面的外侧。被积函数在原点处不连续。我先入为主认定它不连续，即第一问和第二问都有奇点。补面补的很麻烦。但实际是第一问的分母可以直接提出去，之后就含有一阶偏导数补了平面就好了。
那个超好用的3D绘图网站叫做GeoGebra。
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1．变力沿曲线作功
某一物体沿着位于力场
内的路径ΓA→B从A移动到B，则力场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为
其中ds=(△x,△y,△z)为所取弧长微元ds从运动起点(x,y,z)到终点(x+△x,y+△y,z+△z)的位移，该微元段的力近似为该微元中任意点的力.这样由数量积的物理意义，可以得到如上的积分模型(分割取近似，做和求极限)，并根据求和的性质可得
对于平面力场和平面运动路径：
则物体在力场F中沿曲线路径LA→B从A移动到B作功的计算公式
2．相关计算性质
(1)积分的方向性：由物理上作功的方向性，有
(2)方向的一致性：对于曲线分段积分的可加性，注意保证方向的一致性，其起点、终点首尾相接。
(3)注意使用图形的对称性要考虑方向也要求对称，即关于坐标轴折叠图形与方向要能完全重合，这个时候可以考虑“偶零奇倍”，同样“轮换对称性”为反轮换对称性。由于条件限制很容易用错，所以一般不使用！
二、对坐标的曲线积分的基本计算方法的计算思路与步骤
1．基本计算思路与步骤
第一步：写出积分曲线的参数方程，并写出参数的取值范围，明确起点的参数值与终点的参数值。
第二步：直接将被积表达式中的所有变量用各变量的参数表达式替换，写成关于参变量的定积分描述形式，并且积分的下限取为有向积分曲线起点的参数值，上限取为终点对应的参数值，写出定积分表达式。
如平面曲线L与空间曲线Γ的参数方程为：
L:x=x(x),y=y(t), t：a→b；
Γ:x=x(x),y=y(t), z=z(t),t：a→b，
则有
第三步：计算定积分得到最终积分结果。
【注1】如果积分曲线不能用一个参数方程描述，则对积分曲线进行分段处理，并对各分段曲线按照上面的步骤计算出相应的积分值，然后依据积分对积分曲线的可加性，累加各积分值得到最终结果。
【注2】对于曲线积分，不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分，描述积分曲线的等式可以直接代入被积函数转换或者简化被积函数。
2．一般计算思路与步骤
对坐标曲线积分的一般思路与思考步骤：
第一步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(d前面的P(x,y)，dy前面的是Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号。)
第二步：计算Q(x,y)关于x的偏导数，P(x,y)关于y的偏导数。如果两者之差比较简单，则我们分以下两种情况进行处理。
(1)如果两者之差不等于0，则考虑使用格林公式转换为二重积分进行计算。如果积分曲线不为封闭曲线，则考虑添加辅助线，让积分曲线转换为封闭曲线。然后用二重积分计算的结果减去辅助线上的积分就得到需要的曲线积分。
(2)当如果两者之差等于0，则表明积分与路径无关，这个时候可以自己选择合适的路径，利用曲线积分计算的基本方法完成计算。
在不满足以上条件下，继续考虑第三步。
第三步：如果问题中包含有与弧长相关的元素，则考虑将借助于两类曲线积分之间的关系，即
将对坐标的曲线积分转换为对弧长的曲线积分来进行计算，其中(cosα,cosβ)为与有向积分曲线同向的曲线的单位切向量。然后利用曲线积分的基本计算方法来完成计算，或者根据问题的需求对积分进行变换。
第四步：如果以上方法都不适用，则直接使用对坐标的曲线积分的基本计算方法来完成计算。即写出积分曲线的参数方程，然后将被积表达式中的所有变量用各变量对应的参数表达式替换，并取有向曲线的起点对应的参数值作为定积分的下限，终点对应的参数值作为定积分的上限，将对坐标的曲线积分直接转换为定积分来计算。
三、两类曲线积分之间的关系
将曲线的切向量r’(t)化为单位向量
则有
即有
其中为积分曲线在处的单位切向量，其方向为顺着积分曲线的方向.即有
其中(cosα,cosβ)为与积分曲线L同向的曲线的单位切向量；(cosα,cosβ,cosγ)为与积分曲线Γ同向的曲线的单位切向量。
四、对坐标的曲线积分的物理应用
设在平面上某区域D中分布一向量场
L为D内的简单光滑闭曲线，其方程为
由a变至b对应L的逆时针方向.称积分
分别为场沿曲线L的环量和通过L的流量，其中T为L在(x,y)处与L方向一致的单位切向量，即
n为L在(x,y)处指向外侧的法向量，假设向量场v为流速场，则环量和流量分别刻画了向量场沿曲线L流动的速度和通过L的流动速度.
从而由两类曲线积分之间的关系，有：
环量可表示成下面对坐标曲面积分的形式
由于L上的外侧单位法向量n为
所以，流量亦可表示为对坐标的曲面积分
因此，对于向量场，沿场中闭曲线L的环量和通过L的流量分别为
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向量场中的曲线积分、环量、通量
2021-12-25 23:07:24向量场中的曲线积分、环量、通量1.向量场中的曲线积分、环量、通量1.1 二维向量场中的曲线积分1.2 三维向量场中的曲线积分1.3 简单闭合曲线上的环量1.4 简单闭合曲线上的通量 1.向量场中的曲线积分、环量、通量 1.1 ...展开全文向量场中的曲线积分、环量、通量
1.向量场中的曲线积分、环量、通量
1.1 二维向量场中的曲线积分
以下三张图来源于：Line integrals and vector fields | Multivariable Calculus | Khan Academy
1.2 三维向量场中的曲线积分
V e c t o r F i e l d s ： F ⃗ ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k C u r v e C ： r ⃗ ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k ， a ≤ t ≤ b d W = F ⃗ ⋅ r ⃗ ( t ) W = ∫ C d W = ∫ C F ⃗ ⋅ r ⃗ ( t ) d r ⃗ d t = x ′ ( t ) i + y ′ ( t ) j + z ′ ( t ) k d r ⃗ = x ′ ( t ) d t i + y ′ ( t ) d t j + z ′ ( t ) d t k F ⃗ ⋅ r ⃗ ( t ) = ( P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ) ⋅ ( x ′ ( t ) d t i + y ′ ( t ) d t j + z ′ ( t ) d t k ) F ⃗ ⋅ r ⃗ ( t ) = P ( x , y , z ) x ′ ( t ) d t + Q ( x , y , z ) y ′ ( t ) d t + R ( x , y , z ) z ′ ( t ) d t ∫ t = a t = b F ⃗ ⋅ r ⃗ ( t ) = ∫ t = a t = b P ( x , y , z ) x ′ ( t ) d t + Q ( x , y , z ) y ′ ( t ) d t + R ( x , y , z ) z ′ ( t ) d t F ⃗ ( r ( t ) ) = P ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) i + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) j + R ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) k ∫ t = a t = b F ⃗ ⋅ r ⃗ ( t ) = ∫ t = a t = b F ⃗ ( r ( t ) ) d r ⃗ d t d t （其中 F ⃗ ( r ( t ) ) 表示向量场中起点在曲线上的向量） Vector Fields：\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\boldsymbol{i}+Q(x,y,z)\boldsymbol{j}+R(x,y,z)\boldsymbol{k}\\ ~\\ Curve\, C：\vec{r}(t)=x(t)\boldsymbol{i}+y(t)\boldsymbol{j}+z(t)\boldsymbol{k}，a\leq t \leq b\\ ~\\ dW=\vec{F}\cdot\vec{r}(t)\\ ~\\ W=\int_CdW=\int_C\vec{F}\cdot\vec{r}(t)\\ ~\\ \frac{d\vec{r}}{dt}=x'(t)\boldsymbol{i}+y'(t)\boldsymbol{j}+z'(t)\boldsymbol{k}\\ ~\\ d\vec{r}=x'(t)dt\boldsymbol{i}+y'(t)dt\boldsymbol{j}+z'(t)dt\boldsymbol{k}\\ ~\\ \vec{F}\cdot\vec{r}(t)=(P(x,y,z)\boldsymbol{i}+Q(x,y,z)\boldsymbol{j}+R(x,y,z)\boldsymbol{k})\cdot(x'(t)dt\boldsymbol{i}+y'(t)dt\boldsymbol{j}+z'(t)dt\boldsymbol{k})\\ ~\\ \vec{F}\cdot\vec{r}(t)=P(x,y,z)x'(t)dt+Q(x,y,z)y'(t)dt+R(x,y,z)z'(t)dt\\ ~\\ \int_{t=a}^{t=b}\vec{F}\cdot\vec{r}(t)=\int_{t=a}^{t=b}P(x,y,z)x'(t)dt+Q(x,y,z)y'(t)dt+R(x,y,z)z'(t)dt\\ ~\\ \vec{F}(r(t))=P(x(t),y(t),z(t))\boldsymbol{i}+Q(x(t),y(t),z(t))\boldsymbol{j}+R(x(t),y(t),z(t))\boldsymbol{k}\\ ~\\ \int_{t=a}^{t=b}\vec{F}\cdot\vec{r}(t)=\int_{t=a}^{t=b}\vec{F}(r(t))\frac{d\vec{r}}{dt}dt（其中\vec{F}(r(t))表示向量场中起点在曲线上的向量） VectorFields：F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k CurveC：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，a≤t≤b dW=F⋅r(t) W=∫CdW=∫CF⋅r(t) dtdr=x′(t)i+y′(t)j+z′(t)k dr=x′(t)dti+y′(t)dtj+z′(t)dtk F⋅r(t)=(P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k)⋅(x′(t)dti+y′(t)dtj+z′(t)dtk) F⋅r(t)=P(x,y,z)x′(t)dt+Q(x,y,z)y′(t)dt+R(x,y,z)z′(t)dt ∫t=at=bF⋅r(t)=∫t=at=bP(x,y,z)x′(t)dt+Q(x,y,z)y′(t)dt+R(x,y,z)z′(t)dt F(r(t))=P(x(t),y(t),z(t))i+Q(x(t),y(t),z(t))j+R(x(t),y(t),z(t))k ∫t=at=bF⋅r(t)=∫t=at=bF(r(t))dtdrdt（其中F(r(t))表示向量场中起点在曲线上的向量）
例子：
1.3 简单闭合曲线上的环量
环量的定义
环量（circulation）是流体的速度沿着一条闭曲线的路径积分
例子：
1.4 简单闭合曲线上的通量
Simple：曲线没有穿过自身
closed：起点与终点重合
通量的定义
在流体运动中，单位时间内流经某单位面积的某属性量，是表示某属性量输送强度的物理量
例子：
1.5 计算向量场的散度和通量
1.6 计算向量场的旋度和环量
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[曲线积分笔记]第一类曲线积分
2022-04-22 19:44:29曲线积分分为很多种，其中对弧长的曲线积分被称为第一类曲线积分。展开全文曲线积分
参考自https://www.bilibili.com/video/BV11b411W7et
对弧长的曲线积分
也被称为第一类曲线积分（特点是对弧长积分没有方向）
对 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)上的一段弧可以进行划分为若干段 Δ S i \Delta S_i ΔSi，其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)也可以理解为弧的一个性质，例如若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)表示线密度，在该条件下曲线积分则表示：弧长 × 线密度 = 曲型物体质量。
M = lim λ → 0 ∑ i = 1 h ρ ( ξ i , η i ) Δ S i = ∫ L ρ ( x , y ) d s M=\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^h \rho(\xi_i,\eta_i)\Delta S_i ={ \int_L {\rho \left( x,y \left) ds\right. \right. }} M=λ→0limi=1∑hρ(ξi,ηi)ΔSi=∫Lρ(x,y)ds
所以一个典型的积分定义式是这样的：
∫ L f ( x , y ) d s { \int_L {f \left( x,y \left) ds\right. \right. }} ∫Lf(x,y)ds
L是积分区域，也就是那段弧。（类比于一元积分，积分区域可以是x轴或y轴，二元积分的积分区域是一个二维区域）
对于这样一个积分
- f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是定义在 L L L上的函数且有界
- L的分法任意
- 在每一段中 ( ξ i , η i ) (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi)的取法任意（取这一段的头、尾、中间什么的都行）
- 当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)恒等于1时，即 ∫ L 1 d s \int _L1ds ∫L1ds其意义是求弧的长度
- 如下图的 ∫ L z d s \int_L zds ∫Lzds表示的是其到 x O y xOy xOy平面组成的面的面积
物理意义
质量 M M M
M = ∫ L f ( x , y ) d s M=\int_L f(x,y)ds M=∫Lf(x,y)ds
质心 x ‾ \overline x x和 y ‾ \overline y y
x ‾ = ∫ L x f ( x , y ) d s ∫ L f ( x , y ) d s y ‾ = ∫ L y f ( x , y ) d s ∫ L f ( x , y ) d s \overline x=\frac{\int_Lxf(x,y)ds}{\int_Lf(x,y)ds}\quad \overline y=\frac{\int_Lyf(x,y)ds}{\int_Lf(x,y)ds} x=∫Lf(x,y)ds∫Lxf(x,y)dsy=∫Lf(x,y)ds∫Lyf(x,y)ds
转动惯量
I x = ∫ L = y 2 f ( x , y ) d s I y = ∫ x 2 f ( x , y ) d s I_x=\int_L=y^2f(x,y)ds \quad I_y=\int x^2f(x,y)ds Ix=∫L=y2f(x,y)dsIy=∫x2f(x,y)ds性质
被积函数可加性
∫ L [ α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ] d s = α ∫ L f ( x , y ) d s + β ∫ L g ( x , y ) d s \int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_L f(x,y)ds+\beta\int_L g(x,y)ds ∫L[αf(x,y)+βg(x,y)]ds=α∫Lf(x,y)ds+β∫Lg(x,y)ds
积分区域可加性
∫ L 1 + L 2 f ( x , y ) d s = ∫ L 1 f ( x , y ) d s + ∫ L 2 f ( x , y ) d s \int_{L_1+L_2} f(x,y)ds=\int_{L_1} f(x,y)ds+\int_{L_2} f(x,y)ds ∫L1+L2f(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds
若 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x,y) \le g(x,y) f(x,y)≤g(x,y)对于 ( ∀ ( x , y ) ∈ L ) (\forall(x,y) \in L) (∀(x,y)∈L)则有：
∫ L f ( x , y ) d s ≤ ∫ L g ( x , y ) d s \int_L f(x,y)ds \le \int_L g(x,y)ds ∫Lf(x,y)ds≤∫Lg(x,y)ds
（类比于一元积分而二元积分）亦存在对称性，这个时候要看某个变量的奇偶性
其中绿色笔迹是对于L关于y轴对称的情况计算技巧及例题
方法一：统一变量，例如y用x表示
- 积分区域换方法表示 L : y = y ( x ) , a ≤ y ≤ b L:y=y(x),a\le y\le b L:y=y(x),a≤y≤b
- 被积函数换方法表示 f ( x , y ) → f ( x , y ( x ) ) f(x,y) \to f(x,y(x)) f(x,y)→f(x,y(x))
- 弧微分的改变 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + ( d y d x ) 2 d x = 1 + ( y ′ ) 2 d x ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2 }dx=\sqrt{1+(y')^2}dx ds=(dx)2+(dy)2=1+(dxdy)2dx=1+(y′)2dx
这样整个积分就有了这样的转化（曲线积分转化为定积分）
∫ L f ( x , y ) = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + ( y ′ ) 2 d x \int_Lf(x,y)=\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+(y')^2}dx ∫Lf(x,y)=∫abf(x,y(x))1+(y′)2dx
当然也可以是对y轴进行积分（假设 c ≤ y ≤ d c \le y \le d c≤y≤d）
∫ L f ( x , y ) = ∫ c d f ( x ( y ) , y ) 1 + ( x ′ ( y ) ) 2 d y \int_Lf(x,y)=\int_c^df(x(y),y)\sqrt{1+(x'(y))^2}dy ∫Lf(x,y)=∫cdf(x(y),y)1+(x′(y))2dy
例1：对于 ∫ L y d s \int_L \sqrt{y}ds ∫Lyds其中 L L L是 y = x 2 y=x^2 y=x2上 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)到 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)的一段弧，则有：
∫ L y = ∫ 0 1 x 2 1 + ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 1 x 1 + 4 x 2 d x \int_L \sqrt{y}=\int_0^1 \sqrt{x^2} \sqrt{1+(2x)^2}dx=\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx ∫Ly=∫01x21+(2x)2dx=∫01x1+4x2dx
拆根号要注意可能需要添加绝对值，由于这里的 x ∈ [ 0 , 1 ] x \in [0,1] x∈[0,1]所以不用加，但是某些情况还是需要加一下的。
∫ 0 1 x 1 + 4 x 2 d x = 1 12 ( 5 5 − 1 ) \int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) ∫01x1+4x2dx=121(55−1)
或者对Y轴进行一个分的积，咱就是说由于 x = y x=\sqrt{y} x=y，把这个带入得到
∫ L y = ∫ 0 1 y 1 + 1 4 y d y = ∫ 0 1 y + 1 4 d y = 1 12 ( 5 5 − 1 ) \int_L \sqrt{y}=\int_0^1 \sqrt{y} \sqrt{1+\frac{1}{4y}}dy=\int_0^1 \sqrt{y+\frac{1}{4}}dy=\frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) ∫Ly=∫01y1+4y1dy=∫01y+41dy=121(55−1)
由于被积函数没得 x x x所以是不用改动的，加一下积分上下限替换一下 d x dx dx就行
有必要注意的是 ∫ L f ( x , y ( x ) ) \int_L f(x,y(x)) ∫Lf(x,y(x))是一个形式，只是说这样的表示下，那里是一个与x有关的函数，并不真的是写个 f ( x , y ( x ) ) f(x,y(x)) f(x,y(x))上去，比如说在本例里是 ∫ L y \int_L \sqrt{y} ∫Ly
有没有一种可能，我是说，坐标是参数方程描述的。不过也没关系，对于
f ( x ) = { x = x ( t ) y = y ( t ) t 1 ≤ t ≤ t 2 f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & x(t) \\ y & = & y(t) \\ \end{aligned} \right. \quad t_1 \le t \le t2 f(x)={xy==x(t)y(t)t1≤t≤t2
这样就有
∫ L f ( x , y ) d x = ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t \int_Lf(x,y)dx=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt ∫Lf(x,y)dx=∫t1t2f(x(t),y(t))(x′(t))2+(y′(t))2dt
例2.1：计算 I = ∫ L 1 x 2 + y 2 d s I=\int_{L1} \sqrt{x^2+y^2}ds I=∫L1x2+y2ds其中 L 1 : x 2 + y 2 = a x ( y > 0 , a > 0 ) L_1:x^2+y^2=ax\quad(y>0,a>0) L1:x2+y2=ax(y>0,a>0)
这里积分区域可以转化为圆 ( x − a 2 ) 2 + y 2 = a 2 4 (x-\frac a2)^2+y^2=\frac{a^2}{4} (x−2a)2+y2=4a2的y轴上半部分，但是参数方程做起来会更方便
利用 cos 2 t + sin 2 t = 1 \cos^2t+\sin^2t=1 cos2t+sin2t=1得到
{ x − a 2 = a 2 cos t y = a 2 sin t → { x = a 2 cos t + a 2 y = a 2 sin t ( 0 ≤ t ≤ π ) \left\{ \begin{aligned} x-\frac a2=\frac a2 \cos t \\ y=\frac a2 \sin t \\ \end{aligned} \right. \quad \to \quad \left\{ \begin{aligned} x=\frac a2 \cos t +\frac a2\\ y=\frac a2 \sin t \\ \end{aligned} \right. \quad (0 \le t \le \pi) ⎩⎪⎨⎪⎧x−2a=2acosty=2asint→⎩⎪⎨⎪⎧x=2acost+2ay=2asint(0≤t≤π)
依据上式将积分化为
∫ L 1 = ∫ 0 π ( a 2 + a 2 cos t ) 2 + a 2 4 sin 2 t ⋅ ( − a 2 sin t ) 2 + ( a 2 cos t ) 2 d t \int_{L1}=\int_0^\pi \sqrt{(\frac a2+\frac a2 \cos t)^2+\frac{a^2}{4}\sin^2t}· \sqrt{(-\frac a2 \sin t)^2+(\frac a2 \cos t)^2}dt ∫L1=∫0π(2a+2acost)2+4a2sin2t⋅(−2asint)2+(2acost)2dt
因而化简为
∫ 0 π a 2 4 + a 2 2 cos t + a 2 4 ⋅ a 2 d t = a 2 \int_0^\pi \sqrt{\frac{a^2}4 + \frac{a^2}2 \cos t+\frac{a^2}4}·\frac a2dt=a^2 ∫0π4a2+2a2cost+4a2⋅2adt=a2
例2.2：计算 I = ∫ L 2 x 2 + y 2 d s I=\int_{L2} \sqrt{x^2+y^2}ds I=∫L2x2+y2ds其中 L 1 : x 2 + y 2 = a x ( a > 0 ) L_1:x^2+y^2=ax\quad(a>0) L1:x2+y2=ax(a>0)
这玩意就是对称性，两倍上面的结果就是了。画图一眼看出来。 L 2 L_2 L2关于 x x x轴对称且是偶函数。所以有：
∫ L 2 = 2 ∫ L 1 \int_{L_2}=2\int{L_1} ∫L2=2∫L1
例3
对于周长为 a a a的椭圆 L : x 2 4 + y 2 3 = 1 L:\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1 L:4x2+3y2=1求 I = ∮ L ( 2 x y + 3 x 2 + 4 y 2 ) d s I=\oint_L{(2xy+3x^2+4y^2)}ds I=∮L(2xy+3x2+4y2)ds
首先这是一个封闭的曲线。先化简 I I I得到
I = 2 ∮ x y d s + ∮ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) d s I=2\oint{xy}ds +\oint{(3x^2+4y^2)ds} I=2∮xyds+∮(3x2+4y2)ds
对于该式由于第一部分的被积函数 x y xy xy关于y是奇函数，并且 L L L关于x轴对称，所以该部分和为0。接下来考虑第二部分
由椭圆定义可知 3 x 2 + 4 y 2 = 12 3x^2+4y^2=12 3x2+4y2=12，即原式可写为
I = 0 + ∮ L 12 d s = 12 ∮ 1 d s = 12 ∗ 周 长 = 12 a I=0+\oint_L{12}ds=12\oint 1ds=12*周长=12a I=0+∮L12ds=12∮1ds=12∗周长=12a
该性质可以推广到三维情况，即对于参数方程
{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) t 1 ≤ t ≤ t 2 \left\{ \begin{aligned} x=x(t) \\ y = y(t)\\ z=z(t) \end{aligned} \right. \quad t_1 \le t \le t_2 ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)t1≤t≤t2
其曲线积分的公式是∫ L f ( x , y , z ) = ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 + ( z ′ ) 2 d t \int_Lf(x,y,z)=\int_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2}dt ∫Lf(x,y,z)=∫t1t2f(x(t),y(t),z(t))(x′)2+(y′)2+(z′)2dt
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