对应分析的提出：因子分析的不足
 
    
因子分析法分为R型因子分析和Q型因子分析。R型因子分析研究变量（指标）之间的相关关系，Q型因子分析研究样本之间的相关关系。
有时不仅关心变量之间或样本之间的相关关系，还关心变量和样本之间的对应关系，这是因子分析方法不能解释的。
对应分析（correspondence analysis）概念
 
    
定义：研究样本和变量之间的关系
作用：对应分析是分析两组或多组因素之间关系的有效方法，在离散情况下，建立因素间的列联表来对数据进行分析。
应用条件：在对数据作对应分析之前，需要先了解因素间是否独立。如果因素之间相互独立，则没有必要进行对应分析
                        
 
                        
 
 
 
对应分析基本原理
 
                   
 
 
 
                  
 
 
 
对应分析计算步骤
 
    
Q型和R型因子分析分别反映了数据的不同方面，他们之间必然有内在的联系，对应分析通过巧妙的数学转换，将Q型和R型因子分析有机地结合起来
即通过求过渡矩阵Z，从而有变量差矩阵与样本的协方差矩阵.而矩阵A和B有相同的非零特征根，记为. 记矩阵A的特征根,特征向量为,矩阵B对应的特征向量就是
              
 
               
 
对应分析注意问题
 
    
不能用于相关关系的假设检验
维度由变量所含的最小类别决定
对极端值敏感性研究
研究对象要有可比性
变量的类别应涵盖所有情况
不同标准化分析的结果不同

简单相关分析的基本步骤如下：
 
 
下面以腰围、体重、脂肪比重为例，来说明应该怎样进行相关分析。
 
第1步：绘制散点图
在SPSS中，绘制散点图非常简单。操作步骤如下：
 
1）点击图形à图表构建程序。
 
2）在库中选择散点图，双击简单散点图。
 
3）分别将腰围和体重，拖入X轴和Y轴，确定即可。
 
 
 
观察散点图，可知：腰围与体重应该是存在线性相关性的，或者说，腰围对体重是有影响的。不过，这相关程度（或影响程度）有多大，则需要进一步计算相关系数来度量。
 
第2步：选择系数公式
因为，Pearson相关系数要求变量服从正态分布，所以在计算相关系数之前，需要先确定两变量是否都服从正态分布，或者近似正态分布。
 
如果采用其它相关系数（参考“相关系数种类”小节），则可以省略正态性检验。在SPSS中，判断两变量是否服从正态分布操作步骤如下：
 
1）点击分析à描述统计à探索，进入探索界面。
 
2）将待判断的变量选入因变量列表。
 
3）打开绘制界面，选中带检验的正态图，确定。
 
 
 
确定后得到如下的正态性检验结果：
 
 
在SPSS中，采用的是K-S检验以及Shapiro-Wilk检验的结果。当Sig>0.05时，表明该变量服从正态分布，否则为非正态分布。
 
注：当样本量大于50时用K-S检验结果，样本量小于50时用Shapiro-Wilk检验结果。
 
如表所示，显然腰围和体重两个变量都是服从正态分布的，所以可以采用Pearson相关系数。
 
下面在计算相关系数时，将采用Pearson相关系数。
 
第3步：计算相关系数
在SPSS中，计算相关系数的操作步骤如下：
 
1）打开数据文档，点击分析à相关à双变量，进入相关分析界面。
 
2）将要判断的几个变量全部选入变量列表，确定，即可得到相关系数矩阵。
 
 
 
确定后得到如下的相关系数矩阵：
 
 
显然，相关系数矩阵是对称矩阵，而且对角线上的相关系数全为1（即变量自身的相关系数为1）。从上表中可知，腰围和体重的相关系数r=0.853，存在强相关；脂肪比重和体重的相关系数r=0.697，存在中度相关。
 
第4步：显著性检验
在SPSS中，不但计算出变量间的相关系数，同时还进行了显著性检验（即计算了统计量t，且查询出对应的概率P值，见显著性一行）。
 
在相关系数矩阵中，查看显著性一行，腰围和体重对应的概率P=0.000（因精度的原因，看起来概率为0），显然P<0.05，即根据显著性检验，也可知腰围和体重、脂肪比重和体重，都存在显著的线性相关关系。
 
第5步：进行业务判断
根据前面的相关分析，可得到数据分析结论：
 
1、根据显著性判断，可知腰围与体重、脂肪比重与体重，都存在显著线性相关性。
 
2、根据相关系数，可知腰围与体重存在强相关，脂肪比重与体重存在中度相关。
 
然后，再从业务上对分析结果进行解读，并给出相应的业务策略或建议：
 
1、业务解读：腰围对体重的影响很大，脂肪比重对体重的影响较大。
 
2、业务建议：要减轻体重，最好先减小腰围，少吃脂肪类食物。
 
 
这样，就实现了从数据到业务的完整的相关分析过程。

目录
 
什么是对应分析
 
对应分析的计算步骤
 
R语言实现
 
对应分析应注意的几个问题
 

什么是对应分析
 
对应分析是在因子分析基础上发展起来的，因子分析分为R型和Q型因子分析，R型是对变量（指标）做因子分析，Q型是对样品做因子分析，研究样品之间的相互关系，对应分析是把R和Q统一起来，通过R型因子分析直接得到Q型因子分析的结果，同时把变量（指标）和样品反映到相同的坐标轴（因子轴）的一张图形上，以此来说明变量（指标）与其样品之间的关系。
 
对应分析的计算步骤
 
（1）由数据矩阵x，计算规格化的概率矩阵p
 
（2）计算过度矩阵
 
 
（3）进行因子分析
 
R型：
 
 
Q型：
 
 
（4）做变量点图与样本点图
 
R语言实现
 
	高	中高	中	中低	低
好	121	57	72	36	21
轻微症状	188	105	141	97	71
中等症状	112	65	77	54	54
受损	86	60	94	78	71
 
> X=read.table("clipboard",header=T)#读取例11.1数据
> chisq.test(X)#卡方检验

        Pearson's Chi-squared test

data:  X
X-squared = 45.594, df = 12, p-value = 8.149e-06

> 
 
> library(MASS)#加载MASS包  
> ca1=corresp(X,nf=2)#对应分析 
> ca1#对应分析结果
First canonical correlation(s): 0.16131842 0.03708777 

 Row scores:
                [,1]       [,2]
好       -1.60963036  0.3578469
轻微症状 -0.18259493  0.6086516
中等症状  0.08802881 -1.8862612
受损      1.47098263  0.5310007

 Column scores:
            [,1]       [,2]
高   -1.13377133 -0.4184972
中高 -0.36589975 -0.6051416
中    0.05506891  1.1414935
中低  1.02532006  1.1682280
低    1.78331343 -1.6684803
> 
 
> par(mar=c(4,4,3,1),cex=0.8)
> biplot(ca1)#双坐标轴图
> abline(v=0,h=0,lty=3)#添加轴线
 
 
在图像中，相似的类会聚在一起，靠得很近，因而我们根据两种定性变量之间的距离，就可以看出两个变量的那些类相似，从而进行分组。
 
对应分析应注意的几个问题
 
（1）不能用于相关关系的假设检验，对应分析两个变量之间的联系，而不能说明这两个变量存在的关系是否显著，只是用来揭示这两个变量内部类别之间的关系。
 
（2）维度有研究者根据变量所含的最小类别数决定，由于维度取舍不同，其所包含的信息量也有所不同，一般来讲，如果各变量所包含的类别较少，则在两个维度进行对应分析时损失的信息量才能减少。
 
（3）对极端值应该做敏感性研究
 
（4）研究对象要有可比性
 
（5）对应分析的基础是交叉汇总表，即是列联表，也表示行列的对应关系
 
（6）变量的类别应涵盖所有可能出现的情况
 
（7）对应分析、因子分析和主成分分析虽然都是多变量统计分析，但对于分析的目的与因子分析或主成分分析的目的是完全不同的，前者是通过图像直观地表现变量所含类别间的关系，后者则是降维。
 
（8）在解释图像变量类别间关系时，要注意所选择的数据标准化方式，不同的标准化方式会导致类别在图像上的不同分布。

1. 算法简介
 
层次分析法（AHP）是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
 层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
 
2. 算法基本原理
 
例子：
 
 
2.1. 解决问题的思路
 
层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要达成的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照这些因素的关联影响及其隶属关系，将因素按不同层次凝聚组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较并排列。
 
2.2. 层次分析法的步骤
 
1.建立层次结构模型
 
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层： 决策的目的、要解决的问题。
 最低层： 决策时的备选方案。
 中间层： 考虑的因素、决策的准则。
对相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
 
 
 
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。
 
 
2.构造判断矩阵
 层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
 
 
 
判断矩阵$a_{ij}$的标度方法
 
 
标度
含义
1
表示两个因素相比，具有同样重要性
3
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8
上述两相邻判断的中值
倒数
因素$i$于$j$比较的判断$a_{ij}$，则因素$j$与$i$比较的判断$a_{ji}=1/a_{ij}$
 
3.层次单排序及其一致性检验
 对应于判断矩阵最大特征根$\lambda max$的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）后记为$W$。$W$的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
 
 
 
定义一致性指标$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$：
 $CI=0$,有完全的一致性；
 $CI$接近于0，有满意的一致性；
 $CI$越大，不一致越严重。
 
 
为了衡量$CI$的大小，引入随机一致性指标$RI$
 
 
 
  随机一致性指标
  RI
   
   
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
  
 
 
定义一致性比率：$CR=\frac{CI}{RI}$，一般认为一致性比率$CR<0.1$时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对$a_{ij}$加以调整。
 
示例：
 
 
4.层次总排序及其一致性检验
 
计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。
这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
 
 A层$m$个因素$A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_m,$对总目标Z的排序为$a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_m$。
 B层$n$个因素对上层A中因素为$A_j$的层次单排序为$b_{1j},b_{2j},\cdot \cdot \cdot ,b_{nj}(j=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$。
 
 
 
B层的层次总排序(即B层第$i$个因素对总目标的权值为：${\sum }_{j=1}^m{a}_j{b}_{ij}$)为：
 $B_1:a_1{b}_{11}+a_2{b}_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_m{b}_{1m},$
 $B_2:a_1{b}_{21}+a_2{b}_{22}+\cdot \cdot \cdot +a_m{b}_{2m},$
 $\cdot \cdot \cdot$
 $B_n:a_1{b}_{n1}+a_2{b}_{n2}+\cdot \cdot \cdot +a_m{b}_{nm},$
 
 
层次总排序的一致性比率为:$CR=\frac{a_{1}C{I}_1+a_{2}C{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}C{I}_m}{a_{1}R{I}_1+a_{2}R{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}R{I}_m}$,当$CR<0.1$时，认为层次总排序通过一致性检验。
 例子：
 
 
3.算法总结
 
应用领域：经济计划个管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
构造成对比较矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
 
4.参考
 
层次分析法建模——《百度文库》