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  •  ——y=f(x)中的对应法则f≠函数y=f(x)  黄小宁(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)  [摘要]指出:变数y与x之间的函数(对应)关系f与该关系中的函数y是两根本不同概念即y=f(x)中的对应法则(关系)f...

     高中课本“函数近代严格定义”有赤裸裸错误

                        ——y=f(x)中的对应法则f≠函数y=f(x)

                                    黄小宁(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)

         [摘要]指出:变数y与x之间的函数(对应)关系f与该关系中的函数y是两根本不同概念即y=f(x)中的对应法则(关系)f≠函数y=f(x),y与f有种种非常明显的区别;“函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一”的原因不是学生们的学力太低而是教材与教学有赤裸裸的概念性错误:指鹿为马地将对应法则(对应关系)f说成是f中的函数y,从而将学而思的学生搞糊涂了。恢复函数的本来面目:f中的对应变数y,就能使中学生感到函数概念是最简单易学的数学概念之一。

         [关键词]函数的近代严格定义;赤裸裸错误;函数关系与该关系中的函数是两根本不同概念

     

    交通法则f:“红灯停绿灯行”规定汽车的“行”与“停”与灯的颜色有对应(函数)关系。法则f是规定和约束汽车如何随灯的颜色的变化而行或停的一种规定。将汽车看成是质点y,其随着灯的颜色的变化而行或停,小学生都知y不是法则(规定)f本身而是f所约束其运动状态的车。对应关系(法则f)所约束的对象与法则本身是两根本不同概念。规定谁与谁有怎样的对应关系的规定以及该对应关系本身,与“谁”是两根本不同概念。小学生都懂“对应”的含义。运算法则f:i×i=-1中的法则f≠i和-1也≠运算过程。由除法的运算法则f:...,可算出5÷3=1.666...;小学生都知法则f≠3和5也≠运算过程。

    当所说集合是数集时所谓“x的函数y”就是自变数x的对应变数y,所谓“y与x有函数关系”就是“y与x有对应关系”,即:函数=对应变数,函数关系=对应关系。极显然:对应变数y=f(x)≠对应关系(法则)f,y是构成关系f的两个变数x、y中的y。只会背书者不知道函数关系与函数虽只有两字之差,却表示两根本不同概念;将两者混淆是概念性错误。x与y=x+1有大小关系f:x+1>x;但f中的x+1≠f,“x+1=f”是常识性错误。初中生都懂一种关系f和该关系中的数是两根本不同概念。张三和李四有上下级关系f:张三是排长,李四是班长;但张三和李四都不是此关系本身而是此关系f中的人。一种关系和构成此关系的成员、要素是两根本不同概念。A与B的元x与y有一一对应关系:x↔y=f(x),但y≠此关系本身,而是此关系中B的变元。

    集A一元x按变换法则f变为y=f(x)而另一元x+△x按≠f的变换法则g变为y=g(x+△x);这是不同的元按不同的变换法则进行变换的变换。对应法则f:f(x)=y=2x是说括号内的变数x只能与2倍于己的数对应,这f并不随x变为x+△x而变为≠f的g,即若括号内的变数是x+△x时,其也只能与2倍于己的数2(x+△x)相对应。可见对应法则f不是随x的变化而变化的变数。变换法则g:g(x)=y=5x。y=f(x)=2x=2(x=1时)中的y=2是数,而f就不是数而是一种规定:f(x=1)=2x=2即规定x=1只能与二倍于己的数相对应,亦即规定y与x=1的函数(对应)关系只能是y=2x=2。

    同一个数学表达式y=f(x)=2x既可表示(规定x只能与2倍于己的数y对应的)对应法则f以及表示y与x有怎样的函数(对应)关系,也可表示y=2x是随x的变化而变化的变数。对表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。

     “D各元x只能与10x对应”这一对应法则(关系)h可用数学表达式表为:对应关系(法则)h:y=h(x)=10x,x∈D。法则h中的对应变数10x才是x的函数。可见可将“对应法则”说成“对应关系”,正如可将“对应法则”说成“变换法则”一样。映射y=h(x)=10x(即映射h:D→R)表示D各元x都有元10x∈R与之对应,但这一映射h本身不是函数(=对应变数)y。

    对应(函数)关系y=f(x)=2x规定y与x的对应关系是y二倍于x,这一对应关系(函数关系)不随x变为x+△x而改变。鲜明对比的是函数y=f(x)是随x的变化而变化的变数:函数y=f(x)=2x(△y=2△x)随x变为x+△x≠x而变为y+△y=y+2△x≠y=2x即f(x+△x)≠f(x)。可见函数与函数关系(即对应关系)是两根本不同概念。变数y=f(x)是x的函数,而规定y如何随x的变化而变化的固定法则f不是x的函数。变数y=f(x)=2x→0有极限0而法则f不是随x的变化而变化的变数从而没有极限0;由大到小取值的变数y=2x→0可变到≈0而法则f不可变到≈0,因其与0没距离关系。谁见过有“由大到小取值的对应法则、函数关系f”?函数y=f(x)也可表为y=y(x)——表示y是x的函数,但y(x)中的y不是对应法则而是x的函数。对应法则f′:y=f′(2x)=2(2x)与法则f是相同的法则——都规定括号内的数只能与2倍于己的数对应。不少书本有“函数有两要素:定义域与对应法则”——仅从此语就可一眼看出对应法则f是确定一函数关系y=f(x)从而确定一函数y=f(x)的要素而非此函数y本身,正如定义域是确定一函数的要素而非此函数本身一样。若“对应法则f=函数y”成立则对应法则相同的函数就是同一函数,那么课本中的“定义域与对应法则都相同的函数才是同一函数”就不成立。

    法官若将两根本不同概念混淆就会将无罪人判为有罪人,将有罪人判为无罪人。这样的法官对社会的危害极其重大!同样,育人的课本将两根本不同概念混淆就会将学而思的学生搞糊涂,因学生们做梦都不敢怀疑教科书有指鹿为马的概念性错误。有数学家说: 搞错概念,脑子会变成一团浆糊。“以严格、严密为生命”的数学出现概念性错误是要命的错误。函数关系是自变量与因变量之间的互为对应关系。变数x与对应变数-x有互为相反数的对应(函数)关系,但x的函数-x不是此函数关系本身而是构成该关系中的x的对应变数。

    一函数2x(x>0且>>1或<<1)有相比下距0很远(或很近)的关系,而一对应法则(函数关系)或一种映射就与0没这种关系,因其与0没距离关系。当x>0且<<1时函数y=F(x)=x2≈0而对应法则F并不≈0,因F是规定x只能与x倍于己的数对应的一种规定从而与0没距离关系。有的函数≈0,有的函数不≈0,鲜明对比的是谁见过有“此对应法则(函数关系)或映射f距0很远而彼对应法则(函数关系)或映射g距0很近”?函数2x与各实数r有距离关系,而确定一函数关系的对应法则及“映射”与各r是没距离关系的。函数y可有增量(y的变化量)和变化率而对应法则及“映射”是没有增量和变化率的,因其不是变数。函数y(x)是变数而必有变域和可取正、负数,而对应法则f不是变数当然也就没变域(变域是数集)更不可取什么数。显然x与y可分别是x轴、y轴上有运动方向的动点的坐标,而规定x与y之间有怎样的对应关系的对应法则f不是数轴上动点的坐标x与y,更谈不上有正负号的问题。各函数与0都可比较大小而有>0及<0的函数,变数之间可有大小关系,例x>0的函数2x>x,...。有>0及<0的对应法则吗?对应法则之间可有大小关系吗?谁见过有“法则f>法则g”?函数4x两倍于函数2x,2x≠0是4x的1/2;谁见过有“法则a两倍于法则b, 法则b是法则a的1/2”? 函数y=g(x)→7可无穷逼近7而与7有距离关系。而函数关系(对应关系)、对应法则就不可逼近哪个数,因其与数之间没距离关系。数与数之间才能有距离关系。函数y即实变数y与任何固定实数c有距离关系和大小关系,而对应法则、函数关系与c没距离关系没大小关系。有许多函数有极值,而各对应法则(关系)、映射都无极值。例y=F(x)=x2≥0有极值0,而对应法则F不可=0。不少函数有最大(小)值,例函数y=6x≥2有最小值,而各对应法则(关系)、映射都无最值,因其不是变数或常数。对应变数即函数y固定一下就是固定数∈R,而对应法则(关系)即函数关系、映射能是变数从而可固定一下∈R吗?若函数y=函数z则y-z=0,但“若对应规则f=g则f-g=0”是错误的,因“两函数相等”与“两函数关系(对应关系、法则)相等”是两根本不同概念。概念性错误是根本性错误。

    以上说明对应法则f与f中的函数y=f(x)有一系列非常明显的区别。然而中外许多课本竟大同小异地有将函数和函数(对应)关系f混为一谈,以及将函数即变数的变化过程与函数本身混为一谈的说法。例不少书本有说法b:“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”(申大维等译《数学的原理与实践》,高教出版社、德国施普林格出版社,1998)。又例高中课本有函数定义d:A与B是非空数集,若有一确定的对应关系(法则)f使对A任何元x,B中总有唯一的一个元y(x)与它对应,这对应关系(映射)f叫做从A到B的一个函数,记为函数f:A→B,…。后来的课本将“记为函数f:A→B”改为“记为y=f(x)”。为何作此改动?这是很耐人寻味的。“函数关系f:A→B(即规定A 各数x 有对应y=f(x)∈B)”正确,而“函数f:A→B(即规定A......)”是将函数关系f中的函数y说成是f。[1]书6页(因可将“对应法则”说成“对应关系”故定义d与此页的定义是等价的):“定义1.2:设x,y是两个变量,D为一个非空的实数集,如果存在一个对应规则f,使得对于每一个x∈D都能由f唯一地确定一个实数y,则称对应规则f为定义在D上的一个函数,记为y=f(x),…”。其实变数y才是函数而规定变数y如何变的法则f不是函数。 [1]书6页:“按照对应规则f:x→kx+b,y=kx+b为一线性函数。”即说对应规则f(规定x只能与kx+b对应)中的变数y=kx+b才是函数。同一本书的同一页内一会说f是函数,一会又说f中的变数y才是函数。这是典型的思想混乱,原因是定义1.2有连“偷换概念”也远远谈不上的概念性错误:指鹿为马地将对应法则(对应关系)f说成是由f所确定的函数y。将定义1.2中的“则称对应规则f为定义在D上的一个函数”改为“则称对应变数y=f(x)为…”就消除此思想混乱了。[1]书7页有说法a:“给出了一个函数就是同时给出了它的对应规则和定义域”,极显然“它”即函数的对应规则≠它本身,正如它的定义域≠它一样。若“对应规则=函数”成立则说法a =“给出了一个函数就是同时给出了它的函数和定义域”或=“给出了一个对应规则就是同时给出了它的对应规则和定义域”;显然“函数的函数”与“函数的对应规则”是两根本不同概念,请问:给出了对应规则f:x→kx+b,那么此规则f的对应规则是什么?广大师生多年不察定义1.2和上述说法b是赤裸裸错误,就如童话故事中大人们不察光身皇帝光身那样。教(学)而不思是师生的大敌。

    对应法则f确定了函数(对应)关系f:x→y=f(x)。姚孟臣教授:“…,那么这个关系f就叫做从X到R的函数关系,简称为函数,…[2]”。“大”与“犬”是两根本不同概念,若“可将犬简写为大”成立则“你爸爸是大官”=“你爸爸是犬官”。纠正此极其荒唐错误是“小题大做”吗?!同样,本文作者多年前就在网上发文指出:函数关系中的函数不是关系本身而是构成此关系的变数中的对应变数,“函数=函数关系”是非常低级错误;一种关系和构成此关系的成员、要素是两根本不同概念。所以“可将函数关系简称为函数”是非常低级错误。[2]书32页有说法c:“一个函数主要是由函数关系和其定义域X所确定”,若“可将函数关系简称为函数”成立则教授的说法c=“一个函数主要是由函数和其定义域X所确定”;其实只有定义域X而没函数关系即对应关系(法则)是不能确定一函数的。函数关系即对应关系中的函数与关系本身是有非常明显的区别的。

    函数定义有“对应变数”说、“对应关系(法则)”说、“映射”说、“变化过程”说;由上可见“对应变数”说才是正确的(当所说集是数集时),其它的说法都是赤裸裸的“一叶”错误。“一叶知秋”。

    课本将函数关系与关系中的函数动点两者混为一谈,就使本来极其简单易懂的函数概念变得“函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一[3]”(网上章建跃《函数概念的学与教》)。函数可形象化为动点就能使学生对函数概念一看就懂。备注:本文已在“预印本”上公布。

     参考文献

    [1]刘晓斌、向子贵主编。经济数学基础(一分册) 2版[M],汕头:汕头大学出版社,2002。

    [2]姚孟臣。大学文科基础数学(一)[M],北京:北京大学出版社,1990.3:31。 [3]www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/llysj/201008/t20100826_763919.htm

    [4]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J],数学学习与研究,2016(5):151。

    电联:13178840497。E-mail:hxl268@163.com

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  • Python中对多个list的对应元素求和,前提是每个list的长度一样。比如:a=[1,2,3], b=[2,3,4],... 直接求解,按照对应元素相加的原则,可先定义一个函数。 def list_add(a,b): c = [] for i in range(len(a)): ...

    Python中对多个list的对应元素求和,前提是每个list的长度一样。比如:a=[1,2,3], b=[2,3,4], c=[3,4,5], 对a,b,c的对应元素求和,输出应为[6,9,12].
      
    方法一:
      直接求解,按照对应元素相加的原则,可先定义一个函数。

    def list_add(a,b):
        c = []
        for i in range(len(a)):
            c.append(a[i]+b[i])
        return c
    
    if __name__ == '__main__':
        a = [1,2,3]
        b = [2,3,4]
        c = [3,4,5]
        print(list_add(list_add(a,b),c))
    


    方法二:
      利用numpy模块求解。

    import numpy as np
    a = np.array([1,2,3])
    b = np.array([2,3,4])
    c = np.array([3,4,5])
    print(a+b+c)


    需要注意的是,a+b+c后的类型为numpy.ndarray.
    方法三:
      利用numpy模块的sum()函数进行求解。

    import numpy as np
    a = [1,2,3]
    b = [2,3,4]
    c = [3,4,5]
    print(np.sum([a,b,c], axis = 0))


    其中的axis参数表示纵向求和。


    还可以使用高阶函数:

    a = [1,2,3]
    b = [2,3,4]
    c = [3,4,5]
    print(list(map(lambda x, y, z: x+y+z, a, b, c)))  # [6, 9, 12]

     


     

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  • 在一般情况下,它们是一对一的关系:即一张原始单据对应且只对应一个实体。在特殊情况下,它们可能是一对多或多对一的关系,即一张原始单证对应多个实体,或多张原始单证对应一个实体。这里的实体可以理解为基本表。...
  • Python之list对应元素求和

    万次阅读 2017-09-28 00:18:54
    Python之list对应元素求和

    本次分享将讲述如何在Python中对多个list的对应元素求和,前提是每个list的长度一样。比如:a=[1,2,3], b=[2,3,4], c=[3,4,5], 对a,b,c的对应元素求和,输出应为[6,9,12].
      
    方法一:
      直接求解,按照对应元素相加的原则,可先定义一个函数。

    def list_add(a,b):
        c = []
        for i in range(len(a)):
            c.append(a[i]+b[i])
        return c
    
    if __name__ == '__main__':
        a = [1,2,3]
        b = [2,3,4]
        c = [3,4,5]
        print(list_add(list_add(a,b),c))
    

    方法二:
      利用numpy模块求解。

    import numpy as np
    a = np.array([1,2,3])
    b = np.array([2,3,4])
    c = np.array([3,4,5])
    print(a+b+c)
    

    需要注意的是,a+b+c后的类型为numpy.ndarray.
    方法三:
      利用numpy模块的sum()函数进行求解。

    import numpy as np
    a = [1,2,3]
    b = [2,3,4]
    c = [3,4,5]
    print(np.sum([a,b,c], axis = 0))
    

    其中的axis参数表示纵向求和。


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  • 分析思维框架:66法则与SQVID原则

    千次阅读 2017-06-05 09:28:50
    “66法则”是指一种观察事物的方法。SQVID则是指导我们在用66法则观察完问题后,如何将每个问题都分析清楚,并采用可视化的方式表现出来。这两点可以有效帮助我们搭建分析思维框架。 本文选自《数据化运营速成手册》...

    引言:“66法则”是指一种观察事物的方法。SQVID则是指导我们在用66法则观察完问题后,如何将每个问题都分析清楚,并采用可视化的方式表现出来。这两点可以有效帮助我们搭建分析思维框架。
    本文选自《数据化运营速成手册》。

      我们做一个决策时,最重要的是什么?你的答案极有可能是“信息”。有了充分的信息,我们做决策才能更理性,犯错的概率才会减少。如果做多个决策,最重要的是什么?你的答案或许是“逻辑思维能力”。从众多的选项中综合各方信息,理清楚逻辑关系,而后做出一系列的决策。这听上去也是非常对的一个答案。那么,长时间的连续做决策,最重要的是什么?
      其实,上面三个问题都没有绝对的答案。尤其是第三个,只能说为了保证长期进行高质量的决策,你需要强大的分析思维;而强大的分析思维,一定不是启发式的,必须是在一定的框架下建立起的体系化的分析思维。通俗地说,就是有套路。随着工作经验的积累,作者觉得套路比脑子重要。套路来自于学习,更来自于参悟。
      也许您会觉得枯燥,但负责任地说,能否搭建适合自己的分析思维框架,决定了未来的事业高度。
      这是作者最近才接触到的一种分析框架,来自于《餐巾纸的背面》这本名字看起来颇为奇葩的小书,作者是美国人丹·罗姆。本书声称,任何商业问题都能用一支笔和一张餐巾纸描述清楚。作者虽然对此论断不敢苟同,但书中所阐述的观察事物的方法(66法则)和剖析问题的步骤(SQVID原则)确实深深打动了作者。虽然它是一本以可视化思维为出发点的书,但把它里面的部分内容引申为业务问题的分析框架,再合适不过了。
      


      所谓的“66法则”是指一种观察事物的方法。当我们观察某种事物时,需要从“谁/什么?”、“有多少?”、“在哪里?”、“什么时候?”、“怎么样?”和“为什么?”6个角度理解。准确回答这6个问题,说明我们真正将一个事物观察到位了,而只有将一个问题观察透彻了,才能开始准确地分析问题。
      我们先举一个易于理解的例子,看看如何用“66法则”观察事物。一进公司,你环顾四周,开始了针对办公室的观察。有几个年轻的女同事和实习生(谁/什么),两个女同事和一个男实习生(有多少),实习生在座位上而两个女同事在茶水间(在哪里),现在是早上9点30分(什么时候),茶水间的人正在欢声笑语(怎么样),座位上的人正在埋头苦干着什么(怎么样),茶水间的两人正在讨论昨晚一起追的韩剧(为什么),座位上的人正在写茶水间的女上司昨天应该写的会议报告(为什么)。通过6个角度,你将早上的办公室观察得很细致。
      再举一个不那么直观的例子。你在办公室坐下,打开数据追踪软件,观察日追踪BI报表,发现昨天的活跃用户数量下降了,于是开始仔细观察数据。活跃用户数(谁/什么)周同比下降了15%(有多少),下降其实从前天就已经发生(什么时候);你操作软件,进行维度的下钻,在地区维度下钻后,你发现是普降,并没有地区性的差异;你又进行了时间点的下钻,发现是前天开始在每天早上10:00~11:00这个时间段的活跃用户下滑剧烈(在哪里);在观察用户的使用行为后,你发现这个时间点登录的用户数没有降,而有效使用的用户数大幅下降(怎么样),于是你怀疑是否是某些技术故障导致了用户没有有效使用。你打开追踪产品加载速度的追踪数据表,发现最近三天每天的10:00~11:00的加载速率非常慢,导致了用户没有使用就退出了(为什么)。
      通过第二个例子,大家一定嗅出了数据分析的味道。其实,大部分的数据分析都是有逻辑地观察而已。只要观察得到位,基本的数据分析也就结束了。


      “SQVID”这么个高大上的名字又指什么呢?它其实是“简单/精细(simple/specific)”“定性/量化(qualitative/quantization)”“愿景/执行(vision/validate)”“个别/对比(individual/compare)”、“变化/现状(delta/status)”。SQVID实质上是指导我们在用66法则观察完问题后,如何将每个问题都分析清楚,并采用可视化的方式表现出来。在SQVID中,每组相对的概念都需要在遇到具体问题时进行选择。作者将书中的图按自己的理解画出来了,如图1所示。看过原版书的朋友不要笑话作者绘图能力的低劣。
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                           图1 66法则与SQVID的应用

      如何将其应用到分析问题中呢?首先要将一些可视化的表现形式与66法则进行对应。如图2所示,每个步骤实际上都有适用于自身的可视化展现形式。需要提醒的是,每个商业问题的观察,都必然可以用66法则所包含的6个角度去观察,但并不是每个商业问题都需要套用SQVID方法,在每个环节上都进行分析。我们只需要有选择性的应用SQVID。
                       图片描述
                            图2 66法则与对应的图形

      承接上文中的第一个观察办公室的例子,要用到SQVID中的哪几项呢?首先,在“谁/什么”这个环节,我们就用到了“简单/精细”这个选项中的“精细”,因为我们不仅观察到人,还观察了性别、职位、谈论的内容和工作的内容。可以说,CEO的一撇,已经将办公室内的人的画像描绘得非常精细了;同时也用到了“个别/对比”中的“对比”,因为你观察到女上级在聊天,对比实习生下属在辛劳工作。接着,在“有多少”的环节你使用了“定量”。然后在“在哪里”和“什么时候”的环节你使用了“简单”,知道了在9:30茶水间和办公室有人。在“怎么样”的环节你使用了“简单”和“现状”,你观察到当前的茶水间有笑声,而有人在工作。在“为什么”的环节你使用了“精细”、“对比”和“现状”,即你详细了解了女同事谈论的韩剧、实习生做的工作内容。
      通过上面的例子应该能明白66法则和SQVID的使用方式了。我们再做一层推进。这两种方法的真正价值不仅是全面细致地观察和分析问题,它还能使我们具备可视化描述问题的能力。想想研究报告,你是倾向于用生动的图形说明复杂问题,还是用密密麻麻的文字将简单的问题复杂化?所以,以后和人讨论问题时记得带上纸和笔,记住《餐巾纸的背后》书中所介绍的两种方法,把你的分析能力和想象力用图形的方式展现出来。
      本文选自《数据化运营速成手册》,点此链接可在博文视点官网查看此书。
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  • 了解九型人格对应的职业类型

    千次阅读 2012-03-27 17:56:56
    了解九型人格对应的职业类型 作者:新乡人才网 添加时间:2009年1月10日 查看:2583 工作不愉快,效率低下;不是员工不敬业只是不适合这类工作,所以做不出成绩来;  管理者不但要了解每...
  • Spring Cloud是一个伞形项目,由独立的项目组成,原则上具有不同的发布节奏。为了管理项目中各种组合的BOM(bill of materials),所以为了避免子项目的混乱,在火车发布模型中有名称而不是版本号。这个版本名称是一...
  • C#与C++和C语言之间数据类型的对应

    千次阅读 2019-01-14 17:04:49
    一、C#与C++数据类型的对应表 &nbsp; Windows Data Type .NET Data Type BOOL, BOOLEAN Boolean or Int32 BSTR String BYTE Byte CHAR Char DOUBLE Double DWORD Int32 or UInt32 ...
  • 定制服务:将一个接口划分宽度不同的接口,以对应不同的客户 4.接口的污染 《1》一个接口封装太多的方法,划分不合理 《2》将不同角色的任务合并到一个接口里面     二组合聚合复用...
  • NMS的版本对应问题

    千次阅读 2006-02-15 10:22:00
    昨天在使用NMS函数的时候,发现出现一些以前没有出现过的异常,后来发现问题的所有,原来NMS的驱动和编译的版本不一致。发现这个问题后,重新编译了...所以,这里阐明一个基本原则,更换了驱动版本需要重新编译程序。
  • 对数据库的Select查询结果字段多少、名称、类型先与Ibatis的ResultMap对应是否一致,然后Ibatis的ResultMap再与JavaBean对应是否一致。Ibatis的ResultMap是核心。 1、Select查询结果的字段个数多于Ibatis的ResultMap...
  • 射影几何入门(连载一)- 1-1对应.

    千次阅读 2010-12-10 19:17:00
    第1章 1-1对应 1. 1-1对应的定义  [定义]给定任意两个集合,如果在这两个集合之间能够建立这样的一个对应,使得任意一个集合中的每一个元素,都能对应到另一集合中的一个且仅一个元素,那么,这两个集合就...
  • MVC原则上是一个View对应一个Model,也就是在Controller里对View进行一次数据的传递,那么像一个网站的首页包含很多的Models的信息应该怎么传递传递进一个View呢?其实很简单,就是把很多个Model封装成一个Model类再...
  • stm32的can总线理解及应用——程序对应stm32f103系列

    万次阅读 多人点赞 2016-11-19 15:20:04
    stm32的can总线理解及应用——程序对应stm32f103系列CAN 是Controller Area Network 的缩写(以下称为CAN),是ISO国际标准化的串行通信协议。它的通信速度较快,通信距离远,最高1Mbps(距离小于40米),最远可达10...
  • 辛普森法则

    2016-06-23 13:26:00
    辛普森法则是数值分析领域中一个非常简单好用的近似求解函数区间上的一种方法,概括起来,它是将区间端点和区间中点做对应的三个点近似看成抛物线(至于为什么是抛物线而不是直线或者三次曲线……相对于三次曲线甚至...
  • 【重学UML】UML类图关系及其对应代码

    千次阅读 多人点赞 2020-06-15 13:38:11
    思考:合成(聚合)复用原则由来 此原则本质便为:为什么少用继承关系多用组合(合成)聚合关系 以下参考这篇大佬的博客 1.子类继承父类公有和受保护的所有方法,即使父类方法是有害或者对子类无用 2. 耦合度高,父类...
  • 编写程序,输入一个百分制成绩,输出所对应的成绩等级“ A ”、“ B ”、“ C ”、“ D ”、“ E ”。 (使用switch语句) 转换原则为:100~90 分为“A”,80 ~ 89 分为“B”,70 ~ 79 分为“C”,60 ~ 69 分为“D ...
  • PHP获取远程主机文件内容方法很多,例如:file_get_contents,fopen 等。 echo file_get_contents('... ?>但如果同一域名对应了不同IP,例如 demo.fdipzone.com 对应3个IP 192.168.100.101, 192.168.100.102, 192.
  • Dao层接口和对应Mapper.xml的关系

    千次阅读 2020-07-29 09:10:26
    原理: mybatis会根据Mapper.xml中配置的信息创建一个实现了Maper.java接口的代理类(使用JDK动态代理) 配置Mapper.xml时会要求: 1、在Mapper.xml中namespace等于Mapper.java接口地址(即UserMapper的全限定名) ...

空空如也

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