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  • 对应矩阵是什么意思
    千次阅读
    2021-07-01 22:39:31

    对称矩阵(Symmetric Matrices)是指以主对角线为对称轴,各元素对应相等的矩阵。在线性代数中,对称矩阵是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身相等。1855年,埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

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    什么是矩阵

    矩阵,在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。
    长这个样子:
    在这里插入图片描述
    矢量也可以转为矩阵,可以看成nX1的行矩阵,或1Xn的矩阵。
    矩阵列的运行比较复杂,下面就来一一探讨。

    矩阵和标量的乘法

    直接标量与各个分量相乘即可,不多废话了…同时kM=Mk即,谁在哪边都一样。

    矩阵与矩阵的乘法

    它会得到一个新的矩阵,而且维度与这两个矩阵有关系。
    如A为4X3矩阵,B为3X6矩阵那么 AB维度就是4X6。
    左矩阵的列数必须与右矩阵的行数想同,否则不能相乘。
    矩阵不满足交换律:AB!=BA
    满足结合律:(AB)C=A(BC) 甚至可以扩展至 ABCDE=((A(BC))D)E=(AB)(CD)E

    方阵

    方块矩阵,即行列数相同的矩阵。有一些运算和性质是只有方阵有具有,如对角元素
    对角矩阵:
    在这里插入图片描述
    单位矩阵(I):
    单位矩阵乘完还等于原本的矩阵,设I为转:
    MI=IM=M
    在这里插入图片描述

    转置矩阵(Mt)

    对原矩阵的一种运算,即行变列,列变行。可以记作Mt
    在这里插入图片描述
    性制一:转两次就转回来了:
    (Mt)t=M
    性制二:矩阵串接转置,等于反射串接各矩阵
    (AB)t=BtAt

    逆矩阵(M-1)

    这应该是这里最复杂的一种操作了。不是所有矩阵都有逆矩阵,它必须是一个方阵。
    给定M-1来表示。最重要的特性就是M和M-1相乘会得到一个单位矩阵。也就是说:
    MM-1=M-1M=I

    并非所有有对应的逆矩阵,如果一个矩阵有对应的逆矩阵则这个矩阵称为是可逆的,否则称为不可逆的。
    如果一个矩阵行列式不为0,那么它就是可逆的。

    性质一:逆矩阵的逆矩阵就是它本身
    (M-1)-1=M

    性质二:单位矩阵的逆矩阵就是它本身
    I-1=I

    性制三:转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
    (Mt)-1=(M1)t

    性质四:矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵
    (ABCD)-1=D-1C-1B-1A-1

    性质五:允许我们还原这个变换
    M-1(Mv)=(M-1M)v=Iv=v

    正交矩阵

    方正M和它的转置矩阵乘积为单位矩阵的话,它就是一个正交矩阵,即:
    MMt=MtM=I

    正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵是一样的
    Mt=M-1

    三维变换中我们经常会需要作用逆矩阵来求解反射的变换。而逆矩阵的求解往往计算量很大,但转置矩阵就非常容易。

    在这里插入图片描述
    矩阵的每一行,即c1、c2、c3的是单位矢量,由于其相互垂直只有与自己点乘才能得到1,其他为0.

    矩阵与矢量相乘

    我们需要把矢量先转成行矩阵或是列矩阵,但要满足矩阵相乘的条件。通常我们使用右乘。

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    二次型(quadratic form):n个变量的二次多项式称为二次型,即在一个多项式中,未知数的个数为任意多个,但每一项的次数都为2的多项式

    二次型对应的矩阵:(一定是实对称矩阵)
    x 1 2 + 3 x 1 x 2 + 5 x 3 2 ⇒ [ 1 3 2 0 3 2 0 0 0 0 5 ] x_1^2+3x_1x_2+5x_3^2 \Rightarrow\begin{bmatrix}1&\frac32&0\\\frac32&0&0\\0&0&5\end{bmatrix} x12+3x1x2+5x3212302300005

    矩阵对应的二次型:(矩阵A对应的二次型)
    [ 1 2 1 2 − 1 0 1 0 3 ] ⇒ x ² − y ² + 3 z ² + 4 x y + 2 x z \begin{bmatrix}1&2&1\\2&-1&0\\1&0&3\end{bmatrix}\Rightarrow x²-y²+3z²+4xy+2xz 121210103x²y²+3z²+4xy+2xz

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    1.初始化两个矩阵

    import numpy as np

    a=np.array([11,22,33,44,55,66])

    b=np.arange(6)

    print(a)

    print(b)

    #输出

    [11 22 33 44 55 66]

    [0 1 2 3 4 5]

    上述代码中的 a 和 b 是两个属性为 array 也就是矩阵的变量,而且二者都是1行6列的矩阵, 其中b矩阵中的元素分别是从0到5。

    2.矩阵加法

    c = a + b

    print(c)

    #输出

    [11 23 35 47 59 71]

    3.矩阵减法

    d = a - b

    print(d)

    #输出

    [11 21 31 41 51 61]

    4.矩阵乘法

    e = a * b

    print(e)

    #输出

    [ 0 22 66 132 220 330]

    5.矩阵的乘方

    f = a**2

    print(f)

    #输出

    [ 121 484 1089 1936 3025 4356]

    6.矩阵的三角函数

    g = 2*np.sin(a)

    print(g)

    h = 2*np.cos(a)

    print(h)

    #输出

    [-1.99998041 -0.01770262 1.99982372 0.03540385 -1.99951035 -0.05310231]

    [ 0.0088514 -1.99992165 -0.02655349 1.99968662 0.04425351 -1.99929491]

    7.矩阵的逻辑运算

    print(a < 50)

    print(a == 44)

    #输出

    [ True True True True False False]

    [False False False True False False]

    8.二维矩阵计算

    上述运算均是建立在一维矩阵,即只有一行的矩阵上面的计算,如果我们想要对多行多维度的矩阵进行操作,可以在上面做一些改动。

    a = np.array([[11,22,33],[44,55,66]])

    b = np.arange(6).reshape((3,2))

    print(a)

    print(b)

    #输出

    [[11 22 33]

    [44 55 66]]

    [[0 1]

    [2 3]

    [4 5]]

    此时构造出来的矩阵a和b便是2行3列的,其中 reshape 操作是对矩阵的形状进行重构, 其重构的形状便是括号中给出的数字。 稍显不同的是,Numpy中的矩阵乘法分为两种, 其一是前文中的对应元素相乘,其二是标准的矩阵乘法运算,即对应行乘对应列得到相应元素

    c_dot = np.dot(a,b)

    print(c_dot)

    d_dot = a.dot(b)

    print(d_dot)

    #输出

    [[176 242]

    [374 539]]

    [[176 242]

    [374 539]]

    9.sum(), min(), max()的使用

    import numpy as np

    a=np.random.random((3,5))

    print(a)

    #输出

    [[0.94004266 0.06821417 0.53298969 0.37368218 0.98274263]

    [0.22059055 0.9521291 0.12160635 0.50142968 0.08024663]

    [0.6041042 0.41411029 0.84898433 0.73680101 0.92060592]]

    上面是随机生成数字, 所以你的结果可能会不一样. 在第二行中对a的操作是令a中生成一个3行5列的矩阵,且每一元素均是来自从0到1的随机数

    sum = np.sum(a)

    print(sum)

    min = np.min(a)

    print(min)

    max = np.max(a)

    print(max)

    #输出

    8.298279370480403

    0.06821416737474717

    0.982742627864798

    对应的便是对矩阵中所有元素进行求和,寻找最小值,寻找最大值的操作。 可以通过print()函数对相应值进行打印检验

    10.行和列的查找运算

    如果你需要对行或者列进行查找运算,就需要在上述代码中为 axis 进行赋值。 当axis的值为0的时候,将会以列作为查找单元, 当axis的值为1的时候,将会以行作为查找单元。

    sum_hang = np.sum(a, axis = 1)

    print(sum_hang)

    min_lie = np.min(a, axis = 0)

    print(min_lie)

    max_hang = np.max(a, axis = 1)

    print(max_hang)

    #输出

    [2.89767132 1.87600231 3.52460575]

    [0.22059055 0.06821417 0.12160635 0.37368218 0.08024663]

    [0.98274263 0.9521291 0.92060592]

    11.最大值、最小值的索引

    日常使用中,对应元素的索引也是非常重要的.其中的 argmin() 和 argmax() 两个函数分别对应着求矩阵中最小元素和最大元素的索引

    A = np.array([[11,22,33,44,55],[55,44,33,22,11],[0,22,44,66,88],[11,33,55,77,99]])

    print(A)

    print(np.argmin(A))

    print(np.argmax(A))

    12.均值、平均值、中位数

    A = np.array([[11,22,33,44,55],[55,44,33,22,11],[0,22,44,66,88],[11,33,55,77,99]])

    print(A)

    print(np.mean(A))

    print(np.average(A))

    print(A.mean()) #这种方法也可以,同理内积

    print(np.median(A))

    13.累加、累差

    和matlab中的cumsum()累加函数类似,Numpy中也具有cumsum()函数,

    在cumsum()函数中:生成的每一项矩阵元素均是从原矩阵首项累加到对应项的元素之和。

    【注】diff()函数计算的便是每一行中后一项与前一项之差。故一个4行5列矩阵通过函数计算得到的矩阵便是4行4列的矩阵。

    A = np.array([[11,22,33,44,55],[55,44,33,22,11],[0,22,44,66,88],[11,33,55,77,99]])

    print(A)

    print(np.cumsum(A))

    print(np.diff(A))

    14.排序

    我们可以对所有元素进行仿照列表一样的排序操作,但这里的排序函数仍然仅针对每一行进行从小到大排序操作

    A = np.array([[11,22,33,44,55],[55,44,33,22,11],[0,22,44,66,88],[11,33,55,77,99]])

    print(A)

    print(np.sort(A))

    15.转置

    矩阵的转置有两种表示方法:

    A = np.array([[11,22,33,44,55],[55,44,33,22,11],[0,22,44,66,88],[11,33,55,77,99]])

    print(A)

    print(np.transpose(A))

    print(A.T)

    16.clip()函数

    这个函数的格式是clip(Array,Array_min,Array_max),顾名思义,Array指的是将要被执行用的矩阵,而后面的最小值最大值则用于让函数判断矩阵中元素是否有比最小值小的或者比最大值大的元素,并将这些指定的元素转换为最小值或者最大值。

    A = np.array([[11,22,33,44,55],[55,44,33,22,11],[0,22,44,66,88],[11,33,55,77,99]])

    print(A)

    print(np.clip(A,44,77)) #小于44的都为44,大于77的都为77,其它照写

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