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  • 二次型(quadratic form):n个变量的二次多项式称为二次型,即在一个多项式中,未知数的个数为任意多个,但每一项的次数都为...二次型对应矩阵:(一定是实对称矩阵矩阵对应的二次型:(矩阵A对应的二次型) ...

    二次型(quadratic form):n个变量的二次多项式称为二次型,即在一个多项式中,未知数的个数为任意多个,但每一项的次数都为2的多项式

    二次型对应的矩阵:(一定是实对称矩阵)
    x 1 2 + 3 x 1 x 2 + 5 x 3 2 ⇒ [ 1 3 2 0 3 2 0 0 0 0 5 ] x_1^2+3x_1x_2+5x_3^2 \Rightarrow\begin{bmatrix}1&\frac32&0\\\frac32&0&0\\0&0&5\end{bmatrix} x12+3x1x2+5x3212302300005

    矩阵对应的二次型:(矩阵A对应的二次型)
    [ 1 2 1 2 − 1 0 1 0 3 ] ⇒ x ² − y ² + 3 z ² + 4 x y + 2 x z \begin{bmatrix}1&2&1\\2&-1&0\\1&0&3\end{bmatrix}\Rightarrow x²-y²+3z²+4xy+2xz 121210103x²y²+3z²+4xy+2xz

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  • 什么矩阵

    千次阅读 2019-03-19 16:55:24
    什么矩阵 矩阵,在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。 长这个样子: 失量也可以转为矩阵,...

    什么是矩阵

    矩阵,在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。
    长这个样子:
    在这里插入图片描述
    矢量也可以转为矩阵,可以看成nX1的行矩阵,或1Xn的矩阵。
    矩阵列的运行比较复杂,下面就来一一探讨。

    矩阵和标量的乘法

    直接标量与各个分量相乘即可,不多废话了…同时kM=Mk即,谁在哪边都一样。

    矩阵与矩阵的乘法

    它会得到一个新的矩阵,而且维度与这两个矩阵有关系。
    如A为4X3矩阵,B为3X6矩阵那么 AB维度就是4X6。
    左矩阵的列数必须与右矩阵的行数想同,否则不能相乘。
    矩阵不满足交换律:AB!=BA
    满足结合律:(AB)C=A(BC) 甚至可以扩展至 ABCDE=((A(BC))D)E=(AB)(CD)E

    方阵

    方块矩阵,即行列数相同的矩阵。有一些运算和性质是只有方阵有具有,如对角元素
    对角矩阵:
    在这里插入图片描述
    单位矩阵(I):
    单位矩阵乘完还等于原本的矩阵,设I为转:
    MI=IM=M
    在这里插入图片描述

    转置矩阵(Mt)

    对原矩阵的一种运算,即行变列,列变行。可以记作Mt
    在这里插入图片描述
    性制一:转两次就转回来了:
    (Mt)t=M
    性制二:矩阵串接转置,等于反射串接各矩阵
    (AB)t=BtAt

    逆矩阵(M-1)

    这应该是这里最复杂的一种操作了。不是所有矩阵都有逆矩阵,它必须是一个方阵。
    给定M-1来表示。最重要的特性就是M和M-1相乘会得到一个单位矩阵。也就是说:
    MM-1=M-1M=I

    并非所有有对应的逆矩阵,如果一个矩阵有对应的逆矩阵则这个矩阵称为是可逆的,否则称为不可逆的。
    如果一个矩阵行列式不为0,那么它就是可逆的。

    性质一:逆矩阵的逆矩阵就是它本身
    (M-1)-1=M

    性质二:单位矩阵的逆矩阵就是它本身
    I-1=I

    性制三:转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
    (Mt)-1=(M1)t

    性质四:矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵
    (ABCD)-1=D-1C-1B-1A-1

    性质五:允许我们还原这个变换
    M-1(Mv)=(M-1M)v=Iv=v

    正交矩阵

    方正M和它的转置矩阵乘积为单位矩阵的话,它就是一个正交矩阵,即:
    MMt=MtM=I

    正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵是一样的
    Mt=M-1

    三维变换中我们经常会需要作用逆矩阵来求解反射的变换。而逆矩阵的求解往往计算量很大,但转置矩阵就非常容易。

    在这里插入图片描述
    矩阵的每一行,即c1、c2、c3的是单位矢量,由于其相互垂直只有与自己点乘才能得到1,其他为0.

    矩阵与矢量相乘

    我们需要把矢量先转成行矩阵或是列矩阵,但要满足矩阵相乘的条件。通常我们使用右乘。

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  • 第三十课时:线性变换与对应矩阵 本讲从线性变换这一概念出发,每个线性变换都对应于一个矩阵。矩阵变换的背后正是线性变换的概念。理解线性变换的方法就是确定它背后的矩阵,这是线性变换的本质 通过线性变换来...
    本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址: http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html  
    第三十一课时:线性变换与对应矩阵
    本讲从线性变换这一概念出发, 每个线性变换都对应于一个矩阵。矩阵变换的背后正是线性变换的概念。理解线性变换的方法就是确定它背后的矩阵,这是线性变换的本质

    通过线性变换来描述一个投影
    通过线性变换使得平面内的一个向量变成平面内的另一个向量。T: R2—>R2这种变换关系通常称为“映射”。
    如下图:在平面中将向量v投影到直线上,T(v)就像一个函数,对某输入进行变换,结果得到一个输出。

    线性变换的两大条件
    特例:T(0)=0,这可以用来判断某些变换是否是线性变换
    任何一个线性组合的线性变换等于同样的线性组合,但向量变成T(v)和T(w)。
    线性变换应该保证这两种运算的不变性。比如上图中的投影,假设v变成2v,那么投影到直线上的向量也会变成两倍2T(v)。
    平面平移:假如平面内的所有向量,沿着某个方向平移v0,T(v)=v+v0,这不是线性变换,因为不符合以上两个条件。平面平移不是一个线性变换。
    这个也不是一个线性变换。

    旋转45°,存在映射关系
     

    某线性变换:T(v)=Av,表示一系列线性变换。它符合线性变换的两个条件。
    假设在二维平面,A是投影矩阵,那么结果就得到房子的投影,A是旋转矩阵,就得到如上图房子的旋转图。
    假如A=[(1 0),(0 -1)],那么房子会怎样变换,这是一个对角阵,x分量不变,y分量相反。得到的房子就是一个上下颠倒的房子。

    假设线性变换T: R 2 —> R 2  输入是三维向量,输出是二维向量。将三维空间映射至二维空间。

    某个线性变换对于所有的输入空间会造成什么影响
    选定输入空间中的一组基(由基向量可以生成空间中任意向量),只要确定线性变换对于基向量的影响,就可确定对整个输入空间的影响。
       T(v)=c1T(v1)+c2T(v2)+...+...cnT(vn)
    every v=c1v1+c2v2+...+cnvn
    v1,v2...vn是一组标准基,可看着坐标轴,线性组合的系数c1,c2...cn就是v的坐标值。坐标源自一组基,v的坐标是一组数字,这些数字表示v由多少个基向量组成。

    矩阵A表示线性变换T:Rn—>Rm ,需要两组基,来分别确定输入向量的坐标和输出向量的坐标。设v1,v2,...vn为输入空间的一组基,w1,w2...wn为输出向量的一组基。
    例如:确定平面内的投影矩阵所表示的线性变换
    输入空间的基向量,第一个基向量就是直线上的单位向量v1,第二个基向量是垂直于该直线的单位向量v2,输出空间的基向量与输入空间的一样。
    假设输入向量为v,则v=c1v1+c2v2,那么输出向量为w=c1v1。投影矩阵为[(1 0),(0 0)]。
    这组基实际上都是投影矩阵的特征向量,所以得到的矩阵A是对角阵Λ。
    如果以特征向量为基,可以得到对角阵Λ,对角线上都是特征值。如上例中,线性变换的特征向量分别与直线方向相同,以及垂直于直线,特征值分别是1,0。最好的坐标系由特征向量组成。
    假如上例中 以原始坐标系作为基,将得到不一样的投影矩阵,同样的投影,但矩阵不再是对角阵。也就是说不同的矩阵可表示同一线性变换。

    如何 确定矩阵A——求线性变换对应矩阵的基本方法
    假设输入基和输出基分别是v1...vn和w1,...,wm
    矩阵的第一列:线性变换对于第一个基向量产生怎样的影响?最直接的方法是:对v1进行线性变换T(v1)=a11w1+a21w2+...+am1wm,这些系数a11,a21,...am1组成了矩阵的第一列。
    第二列:
    T(v2)=a12w1+a22w2+...+am2wm,得到矩阵的第二列。
    .......
    这样就可以得到变换矩阵A,A乘以输入向量可得到变换后的向量。
    线性变换可以在没有坐标系的情况下进行,而矩阵用坐标来表示线性变换
    更重要的是: 矩阵的逆相当于线性变换的逆。矩阵的乘积相当于线性变换的乘积。矩阵乘法也源于线性变换

    一个特别的线性变换
    这个线性变换的作用是求导。三维空间到二维空间的线性变换,输入空间和输出空间的基,输入和输出如图所示。其实,求导就是线性运算。
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  • 线性变换及其对应矩阵

    万次阅读 2014-08-06 21:36:25
    变换有很多种形式,它描述了输入和输出间的映射(mapping/map)关系,这篇文章主要讨论线性变换,每个线性变换都对应一个矩阵,线性变换与坐标无关,而矩阵与坐标有关,因此矩阵是基于坐标来描述线性变换,例如投影...

    变换有很多种形式,它描述了输入和输出间的映射(mapping/map)关系,这篇文章主要讨论线性变换,每个线性变换都对应一个矩阵,线性变换与坐标无关,而矩阵与坐标有关,因此矩阵是基于坐标来描述线性变换,例如投影就是一种常见的线性变换,与其对应的是投影矩阵,判断是线性变换需满足以下两个条件:

    其中v和w分别是向量,T表示对向量的变换,上两式表明线性变换应该保证加法和乘法的不变性,这两个条件可合并为一个条件: ,前面提及的投影变换,满足一个向量乘以倍数,其投影也乘以相应倍数,两向量和的投影等于各自投影的和,再举几个例子,用上面的两个条件来判断其是否为线性变换。

    例1:向量平移。假设向量v沿着某方向平移v0,即T(v)=v+v0,很明显这不是线性变换,因为如果向量v的长度加倍,T(v)并不会加倍。除了用上面的两个条件来判断之外,还可以通过T(0)来判断是否为线性变换,线性变换必须满足零向量经过变换后一定等于零向量,从这一点也可看出例1不是线性变换。

    例2:平方运算。例如求向量的长度,T(v)=||v||,如果向量乘以-2,则其长度还是变为原来的2倍,而不是乘以-2,因此平方运算是一种非线性变换。

    例3:旋转变换。假设输入向量为v,将其旋转45度后得到输出向量T(v),如果加倍v,则输出向量也加倍,对于v+w,其旋转的结果等于v和w各自旋转的结果相加,因此旋转也是一种线性变换。

    由于每一个线性变换都对应了一个矩阵,因此线性变换的过程可以表示为T(v)=Av,其中A是变换矩阵,x是输入向量,理解线性变换的方法就是确定其背后的矩阵A,因为线性变换的本质都包含在矩阵中。例如有一线性变换T,其输入是3维向量,输出是2维向量,即 ,则该变换对应的A应该是一个2*3矩阵。

    我们现已理解单个向量线性变换的结果,例如T(v1),但如果要考虑线性变换对于整个输入空间造成的影响呢?难道要对输入空间中的向量一个个进行计算吗?答案很明显不是,只要确定了线性变换对于该空间基向量的影响,就能了解线性变换对于整个输入空间的影响,也就是说只要确定了 T(v1) T(v2) …T(vn),其中v1…vn是输入空间的一组基,简称输入基,就足以确定任何v的线性变换T(v),因为v总是基向量的线性组合v=c1v1+…cnvn,T(v)=c1T(v1)+c2T(v2)+cnT(vn)。

    线性变换与变换矩阵的转换

    线性变换本身是坐标无关的,但将其与坐标有关的矩阵联系起来后,就需要建立坐标系,建立坐标系就要确定坐标系的基,如果选择的基不同,坐标也会不同,一般来说,坐标系建立在标准基的基础上,我们平时甚至不会意识到标准基的存在,因为如果给一个向量 ,我们甚至想都没想过,就早已接受了这样的假设,其实存在这样一组标准基 ,标准基前面的系数就是向量在该坐标系的坐标,虽然基有很多种,但一般要选择有意义的基。所以如果我们希望通过一个矩阵来描述线性变换,即构造一个矩阵A,用于表示一个线性变换T, ,实际上需要两组基,输入基用来确定输入向量坐标,输出基用于确定输出向量坐标,当然两组基也可以选相同的,假设v1,v2,…vn为输入向量的基,它们来自于Rn,另一组基w1,w2,…wm为输出向量的基,它们来自于Rm,基一旦确定,对应的矩阵也就确定,现在我们引入坐标,Rn中的输入向量v,根据输入基表示出它的坐标,然后把这些坐标值乘以某个矩阵A,得到输出向量的坐标值,输出坐标通过输出基表示,以上就是线性变换的全部过程。可以举一个投影的例子来加深对上述线性变换过程的理解,为简化计算,取n=m=2,也就是说参与变换的向量都在平面上,如下图所示,通过变换使得平面上的任意向量投影到直线1上,这里不采用标准基(标准基即为(0,1)和(1,0),这是最常用的一组基向量)作为基,而是用投影方向和投影方向的垂直方向作为基,也就是说第一个基向量就在直线1上,为直线1上的单位向量,第2个基向量也是单位向量,在直线2上,直线2与直线1是垂直的,输入和输出空间都采用这组基,对于输入向量v1,其输出仍是v1,对于输入向量v2,投影等于0,对于任意向量v,都可以表示成两个基向量的线性组合,v=c1v1+c2v2,因此有T(v)=c1v1,所以变换矩阵的作用是输入 ,输出 ,很明显能完成这个功能的矩阵就是A= ,总结一下线性变换的过程:原来的线性变换与坐标无关,但是为输入空间和输出空间选定基向量后,就得到了一个起同样变换作用的矩阵,它乘以输入向量坐标可得输出坐标。

    上面例子中的投影是在特征向量基中进行的,也可以将其放在标准基中进行,假设需将所有向量投影到一根倾斜45度的直线上,输入输出空间都采用标准基,标准基 ,根据子空间投影,投影矩阵 ,如果输入基向量 ,则输出是 ,如果输入基向量 ,输出还是 ,可以看到选择不同的基向量,得到的向量坐标不同,投影矩阵也不再是上面的对角阵。

     

    如何确定变换矩阵?

    假设已知输入基和输出基分别是v1…vn,w1…wn,那么变换矩阵A的第一列就是第一个基向量的线性变换,因为输入第一个基向量v1也就意味着输入坐标是 ,矩阵A乘以v1就等于A的第一列,因此矩阵A的第一列就是第一个基向量的线性变换,这对于第一列成立,对于第二列也成立,对于所有基向量都成立。因此求变换矩阵A最直接的方法就是,对基向量v1进行线性变换,写出其输出 作为矩阵第1列,对基向量v2进行线性变换,写出其输出 作为矩阵A的第2列,如此类推,最终得到整个变换矩阵A。

    最后还是用例子加深一下对线性变换的理解。

    求导数是常用的一种变换, ,它也是一个线性变换,假设输入是所有组合c1+c2x+c3x2,它的基是一些简单的幂函数1,x,x2,对输入求导后得输出是c2+2c3x,输出基是1,x,这是一个从三维输入空间到二维输出空间的线性变换,变换矩阵A乘以输入向量坐标,得到输出坐标,即 ,从该式我们容易推出, ,可以验证一下A的三列是否分别是三个基的输出,第1个基的坐标为 ,则输出为 ,第2个基的坐标为 ,则输出为 ,第3个基的坐标为 ,则输出为 ,变换矩阵的列与基向量坐标值的线性变换是对应的,用矩阵来描述线性变换的好处就是矩阵的逆相当于线性变换的逆,矩阵的乘积相当于线性变换的乘积。

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