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    1 ($15'$) 平面 $\bbR^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点, 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\vGa$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线. 现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置 (切点) 为圆心的圆, 其半径为 $R$, 记 $$\bex \gamma:\ \bbR^2\cup\sed{\infty}\to \bbR^2\cup\sed{\infty} \eex$$ 为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in \bbR^2\bs \sed{P}$ 映成射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 且满足 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PQ'}=R^2$. 求证: $\gamma(\vGa)$ 为抛物线.

     

    2 ($10'$) 设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n\times 1$ 矩阵 $G(t)$ 分别是 $$\bex B(t)=(b_{ij}(t)),\quad b(t)=\sex{\ba{l} b_1(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \ea}, \eex$$ 其中 $b_{ij}(t)$ 和 $b_i(t)$ 均为关于 $t$ 的实系数多项式, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $d(t)=\det B(t)$, $d_i(t)$ 为用 $b(t)$ 代替 $B(t)$ 行列式中的第 $i$ 列后所得的 $n$ 阶矩阵的行列式. 若 $d(t)$ 有实根 $t_0$ 使得 $B(t_0)X=b(t_0)$ 成为关于 $X$ 的相容线性方程组. 试证明: $d(t), d_1(t), d_2(t),\cdots, d_n(t)$ 必有次数 $\geq 1$ 的公因式.

     

    3 ($15'$) 设 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上二阶连续可微, $f'(0)=1$, $f''(0)\neq 0$, 且 $0<f(x)<x, x\in (0,a)$. 令 $x_{n+1}=f(x_n), x_1\in (0,a)$.

    (1) 求证: $\sed{x_n}$ 收敛并求其极限;

    (2) 试问 $\sed{nx_n}$ 是否收敛? 若收敛, 求出其极限; 若不收敛, 请说明理由.

     

    4 ($15'$) 设 $a>1$, $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ 可微. 求证: 存在趋于 $+\infty$ 的正数列 $\sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)<f(ax_n),\ n=1,2,\cdots$.

     

    5 ($20'$) 设 $f:[-1,1\to\bbR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即 $$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x)+(1-t)g(y),\quad \forall\ x,y\in [0,1],\quad \forall\ t\in [0,1]. \eex$$ 试证: $$\bex 2\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x \geq \int_{-1}^1 f(x)\rd x\cdot \int_{-1}^1 g(x)\rd x. \eex$$

     

    6 ($25'$) 设 $\bbR^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $\vGa_r$ 表示秩为 $r$ 的实方阵全体, $r=0,1,2,\cdots,n$; 并让 $\phi: \bbR^{n\times n}\to \bbR^{n\times n}$ 为可乘映照, 即满足 $$\bex \phi(AB)=\phi(A)\cdot \phi(B),\quad \forall\ A,B\in \bbR^{n\times n}. \eex$$ 证明:

    (1) 对 $\forall\ A,B\in \vGa_r$, 有 $\rank\phi(A)=\rank\phi(B)$.

    (2) 若 $\phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩阵 $W$ 使得 $\phi(W)=0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $$\bex \phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},\quad \forall\ i,j=1,2,\cdots,n. \eex$$

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    1($4\times 6'=24'$) 解答下列各题.

    (1)求极限 $\dps{\ls{n}\sez{1+\sin\pi\sqrt{1+4n^2}}^n}$.

    (2)证明广义积分 $\dps{\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\rd x}$ 不是绝对收敛的.

    (3)设函数 $y=y(x)$ 由 $x^3+3x^2y-2y^3=2$ 所确定, 求 $y(x)$ 的极值.

    (4)过函数 $y=\sqrt[3]{x}\ (x\geq 0)$ 上的点 $A$ 作切线, 使该切线与曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\dps{\frac{3}{4}}$, 求点 $A$ 的坐标.

     

    2($12'$) 计算定积分 $\dps{\int_{-\pi}^\pi \frac{x\sin x \arctan e^x}{1+\cos^2x}\rd x}$.

     

    3($12'$) 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数, 且 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0}$. 证明: 级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \sev{f\sex{\frac{1}{n}}}}$ 收敛.

     

    4($10'$) 设 $[a,b]$ 上的可微函数 $f$ 满足 $$\bex f(x)\in [0,\pi];\quad f'(x)\geq m>0,\quad\forall\ a\leq x\leq b. \eex$$ 试证: $$\bex \sev{\int_a^b \sin f(x)\rd x}\leq\frac{2}{m}. \eex$$

     

    5($14'$) 设 $\vSa$ 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外, 给定第二型曲面积分 $$\bex I=\iint_\vSa (x^3-x)\rd y\rd z+(2y^3-y)\rd z\rd x +(3z^3-z)\rd x\rd y. \eex$$ 试确定曲面 $\vSa$, 使得积分 $I$ 的值达到最小, 并求该最小值.

     

    6($14'$) 设 $\dps{I_\alpha(r)=\oint_C\frac{y\rd x-x\rd y}{(x^2+y^2)^\alpha}}$, 其中 $\alpha$ 为常数, 曲线 $C$ 为椭圆 $x^2+xy+y^2=r^2$, 取正向. 求极限 $$\bex \lim_{r\to +\infty}I_\alpha(r). \eex$$

     

    7($14'$) 判断级数 $\dps{\sum_{n=1}^\infty \frac{ 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}} {(n+1)(n+2)}}$ 的敛散性, 若收敛, 求其和. 

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  • 《经济学人》杂志近日发表文章,对美国五大科技巨头囤积大量现金的现象进行了分析。这种做法不同于传统的寡头垄断公司,给人感觉好像是这些巨头在为将来的危机做准备。以下为原文内容: 美国五大科技公司苹果、谷歌...

    《经济学人》杂志近日发表文章,对美国五大科技巨头囤积大量现金的现象进行了分析。这种做法不同于传统的寡头垄断公司,给人感觉好像是这些巨头在为将来的危机做准备。以下为原文内容:

    美国五大科技公司苹果、谷歌(微博)(注意,本文中指的是谷歌的母公司Alphabet)、微软、亚马逊和Facebook近期成为世界上五大市值最高的上市公司。它们的总市值达到了2.9万亿美元,超过历史上的任何五大公司。

    科技公司的价值高估曾经被视为疯狂的征兆。而如今的投资者认为,他们做出的判断非常冷静——这些科技公司是21世纪的主要寡头垄断企业,将会获得巨大的、节节高升的利润。然而,一个疑虑仍然令人不安:这五大科技巨头的资产负债表上有大量现金,给人的感觉好像是它们并不想主宰世界,而是预计会有危机发生,想要未雨缪绸。

    投资者对它们趋之若鹜是有原因的。数十亿用户在使用这些公司的社交媒体网络、数字助理、操作系统和云计算平台。这五家公司正在挤压传统的竞争对手(比如IBM和梅西百货)。它们总共赚取了1000亿美元的年利润。分析师预计,到2020年,这个数字还将升至1700亿美元。硅谷的颠覆者已经演变成高效的赚钱机器。对投资者来说,这真是再美妙不过了。

    老一代的寡头垄断公司,比如电缆、电信和啤酒公司,对自己从客户那里收取可靠租金的能力充满信心,所以它们的主要融资方式是成本低廉却不灵活的债务,把获得的现金大部分返还给了股东。然而奇怪的是,五大科技巨头采取了相反的做法。它们总共拥有3300亿美元的净现金(现金减去负债),这是它们总现金流的两倍。

    该么多的现金,远远超过了科技公司和制药公司传统的现金缓冲储备——这些公司缺乏有形资产,因此需要一些现金作为资产。但早期的五个科技巨头(思科、英特尔、甲骨文,高通和德州仪器)自1996年以来,囤积的现金平均比例仅为1.3倍。

    五大科技巨头囤积巨额现金

    随着五大科技公司的利润飙升,它们囤积的现金还会越来越多。五家公司都有向股东返还现金的政策。例如,谷歌和Facebook不会在“可预见的未来”支付股息,但是提供了小型的回购计划,尽管没有截止期限。苹果会支付股息,也有一笔预算来回购股份,截止日期是2019年。考虑到这些回购计划,并综合分析师的利润预测,到2020年,它们的净现金总和将达到6800亿美元,是总现金流的三倍。即使亚马逊现在的净现金较少,届时也将达到500亿美元。

    出现这种现金囤积的一个原因是税收:这五家公司的现金总额中,有80%是在海外,因此推迟了在把利润汇回国的时候需要支付的税款。如果将这笔现金的一半汇回国,可能需要缴纳500亿美元的税金。合理避税倒也不会受到鄙视,但它已经成为了这些公司不整顿资产负债表的一个借口。

    它们的现金缓冲储备远远超过了缓解冲击(例如金融崩溃或黑客攻击)所需要的规模。熊彼特设计了一个“压力测试”,假定员工获得的报酬全是现金而非股票,公司支付了所有赋税以及监管和诉讼索赔。还付清了一年期的合同规定支出——例如苹果必须向零件供应商支付290亿美元。扣除这些开销之后,五大科技巨头到2020年仍将拥有3800亿美元的净现金。

    投资也用不光这些现金。五大科技巨头去年共投入1000亿美元用于研发和资本性支出,这个数字是10年前的三倍。大量资金流入了数据中心、软件、新建的总部和天马行空的项目,比如无人驾驶汽车和长生不老的药物。如果这些公司想要花费掉它们正在积累的现金流量,那么到2020年,它们的年投资额需要达到近3000亿美元才行。

    这个数字是全球风险投资行业每年投资额的两倍多。是Netflix、Uber和特斯拉每年烧钱总量的51倍(这三家公司都很善于烧钱)。而且还是五大巨头平均每年收购新技术和新产品所用现金额的37倍。比如Facebook在2014年斥资190亿美元收购消息服务WhatsApp,谷歌在2007年斥资31亿美元收购广告公司DoubleClick。

    这些公司囤积现金仅仅是因为其掌舵人是超级富豪,思维跳跃,不遵守任何规则吗?这不太可能。苹果和微软的CEO都不再是创始人了。谷歌的管理层非常务实,所以才会在2015年任命摩根士丹利的前大佬露丝·波拉特(Ruth Porat)当首席财务官,以加强公司管控。杰夫·贝索斯(Jeff Bezos)可能很愿意亚马逊向股东支付股息——由于没有什么股息,他每年出售自己手上10亿美元的股票,以便获得资金,注入到他的太空火箭公司。

    以后会怎么样?

    如果进行税法改革,这种现金囤积现象可能就会结束。成立较早的苹果和微软公司将会一次性地为股东发放大量现金。亚马逊、谷歌和Facebook则会选择合理的框架,随着其利润飙升,向股东返还现金。

    但也许这些公司喜欢它们的巨额保险单。五大巨头从外面看气派十足,但在内部,它们可能担心自己落于人后或者监管加严。反垄断机构对它们的敌意越来越大。仅仅在五年前,Facebook和谷歌在从桌面向移动设备转移时,还不是那么一帆风顺。这两家公司对广告依赖很深,广告在它们销售额中占到了85%。苹果的健康状况取决于最新款的iPhone,亚马逊的利润空间微薄,而微软的利润也没有什么长进。

    如果收益确实像预期的那样飙升,那么五大科技巨头可能就会大举收购媒体、汽车或硬件企业,对业务进行多元化。但是它们可能也担心利润未必像华尔街现在预期的那么高。无论如何,对于这张让硅谷在晚上能安心入睡的3300亿美元“安全毯”,投资者都应该多加留意。



    本文转自d1net(转载)

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