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    最近闲暇时间很多,正好也可以收集整理一些之前学习的资料,还有自己的一些经验供大家参考。这一次我将使用简单的语言,使用实例的方式展示对数正态分布在数学建模比赛中的应用。

    正态分布物理意义

    我们先从正态分布的物理意义说起,虽然大家可能都知其公式,但是对其物理意义并没非常深刻的理解。简而言之,正态分布的物理意义是——“正态分布是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成的”。其中常常在书中拿来被举例的就是著名的高尔顿板:

    对于每一个下落的小球来说,每一次撞到钉子,都有0.5的概率去左边,0.5的概率去右边。而在下落时有会撞到很多钉子;钉子与钉子之间也没有任何关系。所以最后的下落的整体趋势呈现出正态分布。

    对数正态分布

    但是现实往往是复杂的,这体现在许多事情都有蛛丝马迹的联系。以国家的GDP为例,各个国家的GDP种类与许多因素(元误差)相关,比如人口数量、科技水平、平均受教育程度、拥有资源(自然资源与人文资源)、所处的地理位置等等因素。

    但是这些造成GDP差异的因素之间存在千丝万缕的关系。譬如说科技水平高的地区,相对更重视教育,所以平均人口素质较高;平均人口素质高了之后又可能会提升资源利用率,也可以创作出新的资源(这里只如文学作品,电影等等,可以参考文明6电影工厂加繁荣加旅游业绩);有了更多的资源又能进一步提升平均素质。总的来说这些因素间呈现相互促进的关系。

    而一旦这些元误差(因素)相互促进,那么最后的结果就会呈现对数正态分布,而且吊车尾越长说明元误差间的相互作用更大,下面以世界银行统计的各个国家2018年的GDP(这一年统计的相对比较全面)为例具体说明:

    可以看到有统计数据的244个国家与地区中,GDP较小的后220个国家几乎一直贴地,并看不出来符合何种统计分布

    可以看到有统计数据的244个国家与地区中,GDP较小的后220个国家几乎一直贴地,并看不出来符合何种统计分布。

    对GDP取对数后看,已经很符合正态分布了

    后面吊车尾太长了,画不下QRZ

    可以看出有正态分布的味了

    当然各个国家GDP的分布波动很厉害,这也是社会学统计的正常现象,如果用理想实验来说明最后的拟合效果会好很多。

    对数正态分布试用范围

    对数正态分布比较常见在社会学分析之中。判断应该使用正态分布还是对数正态分布只需把握最关键的一个标准,即:如果导致这个数据产生差异的元误差是相互独立或者近似独立的,那么使用正态分布;如果元误差之间是相互作用的,则使用对数正态分布。

     

     

     

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    根据故障数据求威布尔分布参数步骤

    根据众多文献研究,设备故障数据大多服从指数分布、威布尔分布或对数正态分布。其中威布尔分布较为常用,本文主要介绍威布尔分布的简单应用,并根据某设备故障数据为例简单介绍威布尔分布参数的计算方法。
    参考文献11参考文献22

    1.双参数威布尔分布的概率密度函数、概率分布函数、可靠度函数:

    概率密度函数、概率分布函数、可靠度函数

    2.预处理故障数据

    将故障数据按时间排序,假设设备失效时间间隔为以下时间:11.1 、23.5、58.4……则将此时间从小到大排序。并计算中位秩。中位秩的计算公式如下:
    中位秩公式
    其中i表示第几个数据,n表示一共多少数据,例如下图所示例子中共43个故障时间点,即n=43,下图所示例子中F(t1)=(1-0.3)/(43+0.4)=0.016129。示例:
    在这里插入图片描述
    以ti为横坐标,中位秩为纵坐标,画图(在威布尔概率纸上画),从威布尔概率图上可以大致看出,绝大多数数据点分布在直线的周边,
    可以认为该样本服从威布尔分布。示例如下:
    在这里插入图片描述

    3.参数估计的简单原理

    上文已经介绍过威布尔分布的概率分布函数为:
    在这里插入图片描述
    则根据此公式可进行如下推导转化:
    在这里插入图片描述
    因此,若看成线性函数y=Bx+A的话,A和B分别等于:
    在这里插入图片描述

    因此可通过回归直线的,求出参数 A 与 B,从而求出两个参数。

    3.参数估计的具体方法

    将数据进行处理,根据上述推导, xi 和 yi 的公式如下,其中 ti 表示故障数据中的时间,F(ti)表示中位秩:
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    A和B的估计求法公式为:
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    其中 lxx 、lyy 和 lxy 公式为:
    在这里插入图片描述

    根据方法,示例求解的各项数据结果如下:
    在这里插入图片描述
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    计算可得A和B结果为:
    在这里插入图片描述
    根据A和B 求出结果为:
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    4.相关性检验和模型检验

    在这里插入图片描述
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    1. 吕言. 基于多目标优化的核电站系统维修决策研究[D].清华大学,2016. ↩︎

    2. 徐慧. 动态不确定环境下流程制造企业设备维修计划研究[D].上海交通大学,2009. ↩︎

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  • 1 ,目的 : 得到数据的正态分布图 2 ,已知 : 高斯分布图 ( 误差分布图符合正态分布,也就是搞碎分布 ) 3 ,怎么样得到 : 将计算公式,带入到误差公式 4 ,参数解释 : exp :e ,自然对数 θ : 参数矩阵 sigma ...

    1 ,真实值函数推导 : 真实值正态曲线

    1. 定义 : 跟数据曲线很相似的函数
    2. 个人思考 :
      1 ,目的 : 得到数据的正态分布图
      2 ,已知 : 高斯分布图 ( 误差分布图符合正态分布,也就是搞碎分布 )
      3 ,怎么样得到 : 将计算公式,带入到误差公式
      4 ,参数解释 :
      exp :e ,自然对数
      θ : 参数矩阵
      sigma : 标准差
    3. 理论知识 :
    4. 思考结论 :
      在这里插入图片描述

    2 ,似然函数,意义 : 当前样本的概率

    1. 真实值函数 : 个体概率
    2. 似然函数 : 将样本中的每个值,带入到方程中,将每个样本的概率进行乘积
    3. 作用 : 为了求出最大似然函数,并且进一步求出 θ
    4. 最大似然函数 :
      1 ,目的 :让似然函数取到最大值
      2 ,取到最大值,又能如何 : 此时的 θ 就是最接近真实值的 θ
      3 ,求出了 θ : 真实值函数就出来了

    3 ,似然函数 :目的 ( 求 θ )

    1. 目的 : 求出 θ
    2. θ 是什么 : 线性方程组的参数矩阵
    3. 似然函数 : 求 θ

    4 ,对数似然,似然函数的计算 :( 对数求解 )

    1. 为什么用对数求解 :
      1 ,原因 : 他可以将乘法,转换成加法
      2 ,例如 : log(AB) = log(A) + log(B)
    2. 原函数函数 :
    3. 乘积,不容易求解,因此,采用对数求解

    5 ,最大似然函数 : 让这个值最大

    1. 最大似然函数展开式 :
    2. 目标 : 让这个式子去最大值
    3. 需要 : 如果想让整体最大,需要让后面被减数最小
    4. 被减数求值 :

    6 ,最小二乘法 :

    1. 目的 : 让这个式子的值最小,整体就会最大
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  • 目录1. 对数变换 log transformation2....它们的主要作用在于它能帮助稳定方差,始终保持分布接近于正态分布并使得数据与分布的平均值无关。 3. 取对数的意义 缩小数据的绝对数值,方便计算 取对数后,可

    1. 对数变换 log transformation

    对数变换是一种特殊的数据变换方式,它可以将一类理论上未解决的模型问题转化为已经解决的问题。

    2. 数据取对数的原因

    基于对数函数在其定义域内是单调递增函数。取对数后不会改变数据的相对关系。它们的主要作用在于它能帮助稳定方差,始终保持分布接近于正态分布并使得数据与分布的平均值无关。

    3. 取对数的意义

    • 缩小数据的绝对数值,方便计算
    • 取对数后,可以将乘法计算转换为加法计算
    • 某些情况下,在数据的整个值域中的不用区间的差异带来的影响不同
    • 取对数后,不会改变数据的性质和相关关系,但压缩了变量的尺度。

    4. 计算公式

    在这里插入图片描述
    Log变换倾向于拉伸那些落在较低的幅度范围内自变量值的范围,压缩或减少较高幅度范围内的自变量值的范围。从而使得倾斜分布尽可能的接近正态分布。
    参考链接:https://www.zhihu.com/question/22012482

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    千次阅读 2020-01-15 13:51:41
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  • 公式推导 11-22

    2019-11-22 16:59:05
    第一项 pfprβjjk′ξ(M)2αjk′\frac{p_fp_r\beta_{jjk'}\xi(M)^2}{\alpha_{jk'}}...β=zd−γ,z\beta=zd^{-\gamma},zβ=zd−γ,z是对数正态阴影分布,标准差是8dB,ddd是基站和用户设备的距离,服从均匀分布,且不...
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空空如也

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对数正态分布公式