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  • 正态分布 函数形式:y=normpdf(x,mu,sigma) x - x轴数据,如 x=-10:0.01:10;...对数正态分布 函数形式:y=lognpdf(x,mu,sigma) x - x轴数据,如 x=0:0.01:10; mu - 均值,默认为0; sigma - 标准差,默认为1;..

    正态分布

    函数形式:y=normpdf(x,mu,sigma)

    x - x轴数据,如 x=-10:0.01:10; 注意正态分布,正负对称!

    mu - 均值,默认为0;

    sigma - 标准差,默认为1;

     

    实例

    x=-10:0.01:10;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y);

     


    对数正态分布

    函数形式:y=lognpdf(x,mu,sigma)

    x - x轴数据,如 x=0:0.01:10;

    mu - 均值,默认为0;

    sigma - 标准差,默认为1;

     

    实例:

    x=0:0.01:10;y=lognpdf(x,0,1);plot(x,y);

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  • 为了更准确地拟合图像的目标与背景的灰度级分布并分割出图像的目标部分,采用基于参数的阈值估计方法,提出了基于对数正态分布的粒子群EM混合算法,设计了对数正态分布参数的粒子群算法、EM算法和粒子群EM混合算法,给出...
  • R可视化绘制对数正态分布(Log Normal Distribution) 为了绘制R中对数正态分布的概率密度函数,我们可以使用以下函数: dlnorm(x, meanlog = 0, sdlog = 1)来创建概率密度函数。 curve(function, from = ...

    R可视化绘制对数正态分布(Log Normal Distribution)

     

    为了绘制R中对数正态分布的概率密度函数,我们可以使用以下函数:

    dlnorm(x, meanlog = 0, sdlog = 1)来创建概率密度函数。

    curve(function, from = NULL, to = NULL)来绘制概率密度函数。

    例如,下面的代码演示了如何绘制均值=0且标准差=1的对数正态分布的概率密度函数(在对数尺度上),其中绘图的x轴范围为0到10:

    curve(dlnorm(x, meanlog=0, sdlog=1), from=0, to=10)
    

    默认情况下,meanlog

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  • 对数正态lognormal分布图像

    万次阅读 2015-12-15 19:16:04
    在概率论与统计学中,对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是服从正态分布的随机变量,则 exp(X) 服从对数正态分布;同样,如果 Y 服从对数正态分布,则 ln(Y) 服从正态分布。 如果一...
    在概率论与统计学中, 对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果  X 是服从正态分布的随机变量,则 exp( X) 服从对数正态分布;同样,如果  Y 服从对数正态分布,则 ln( Y) 服从正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。
    设ξ服从对数正态分布,其密度函数为:
    对数正态分布的密度函数
    clc,clear,close all
    warning off
    feature jit off
    im = imread('coloredChips.png');
    Z1 = imnoise_lognormal(size(im,1),size(im,2),2,3);
    Z1 = uint8(Z1);   % 类型转换
    figure('color',[1,1,1]),
    im(:,:,1) = im(:,:,1) + Z1;  % R
    im(:,:,2) = im(:,:,2) + Z1;  % G
    im(:,:,3) = im(:,:,3) + Z1;  % B
    subplot(121); imshow(im);title('加对数正态分布噪声图像')
    subplot(122); imhist(Z1); title('加对数正态分布噪声图像直方图')
    

    function R = imnoise_lognormal(M, N, a,b)
    % input:
    %       对数正态lognormal分布,噪声的类型;
    %       M,N:输出噪声图像矩阵的大小
    %       a,b:各种噪声的分布参数
    % output:
    %       R: 输出的噪声图像矩阵,数据类型为double型
    % 设定默认值
       % 产生对数正态分布噪声
       if nargin <= 3
          a = 1; b = 0.25;
       end
       x = log(randn(M, N));
       R = a*exp(b*x);
    end


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  • 最近遇到了一个联合对数正态分布的相关系数的问题,搜遍全网无果,索性自己动手。本文借鉴了这个知乎回答 首先我们有二维正态分布: X,Y∼BVN(μx,μy,σx2,σy2,ρxy)X,Y\sim \mathbf{BVN}(\mu_x,\mu_y,\sigma_x^2,...

    最近遇到了一个联合对数正态分布的相关系数的问题,搜遍全网无果,索性自己动手。本文借鉴了这个知乎回答

    首先我们有二维正态分布:
    X , Y ∼ B V N ( μ x , μ y , σ x 2 , σ y 2 , ρ x y ) X,Y\sim \mathbf{BVN}(\mu_x,\mu_y,\sigma_x^2,\sigma_y^2,\rho_{xy}) X,YBVN(μx,μy,σx2,σy2,ρxy)

    取对数之后我们会得到二维对数正态分布的概率密度函数。只写了第一象限的函数表达式,其他地方都是0。
    f ( x , y ) = 1 2 π 1 − ρ x y 2 σ x σ y x y exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( ( ln ⁡ x − μ x ) 2 σ x 2 − 2 ρ x y ( ln ⁡ x − μ x ) ( ln ⁡ y − μ y ) σ x σ y + ( ln ⁡ y − μ y ) 2 σ y 2 ) ] f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho_{xy}^2}\sigma_x\sigma_y xy}\exp \left[\frac{-1}{2(1 - \rho_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-\frac{2\rho_{xy}(\ln x-\mu_x)(\ln y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(\ln y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)\right] f(x,y)=2π1ρxy2 σxσyxy1exp[2(1ρxy2)1(σx2(lnxμx)2σxσy2ρxy(lnxμx)(lnyμy)+σy2(lnyμy)2)]

    引用链接里有边缘分布(一维情况下)的期望和方差的推导过程,这里只写结论:
    E ( X ) = exp ⁡ ( μ x + σ x 2 2 ) D ( X ) = exp ⁡ ( 2 μ x + σ x 2 ) ( exp ⁡ ( σ x 2 ) − 1 ) E(X)=\exp(\mu_x+\frac{\sigma_x^2}{2}) \\ D(X)=\exp(2\mu_x+\sigma_x^2)(\exp(\sigma_x^2)-1) E(X)=exp(μx+2σx2)D(X)=exp(2μx+σx2)(exp(σx2)1)

    接下来想算相关系数。首先我们有相关系数的公式:
    ρ = C O V ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) D ( X ) D ( Y ) \rho=\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} ρ=D(X)D(Y) COV(X,Y)=D(X)D(Y) E(XY)E(X)E(Y)

    关键一步是计算 E ( X Y ) E(XY) E(XY)
    E ( X Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x y f ( x , y ) d x d y E(XY) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)\mathbf{d}x\mathbf{d}y E(XY)=++xyf(x,y)dxdy

    代入 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
    E ( X Y ) = ∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ 1 2 π 1 − ρ x y 2 σ x σ y exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( ( ln ⁡ x − μ x ) 2 σ x 2 − 2 ρ x y ( ln ⁡ x − μ x ) ( ln ⁡ y − μ y ) σ x σ y + ( ln ⁡ y − μ y ) 2 σ y 2 ) ] d x d y E(XY) = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho_{xy}^2}\sigma_x\sigma_y}\exp \left[\frac{-1}{2(1 - \rho_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-\frac{2\rho_{xy}(\ln x-\mu_x)(\ln y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(\ln y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)\right]\mathbf{d}x\mathbf{d}y E(XY)=0+0+2π1ρxy2 σxσy1exp[2(1ρxy2)1(σx2(lnxμx)2σxσy2ρxy(lnxμx)(lnyμy)+σy2(lnyμy)2)]dxdy

    作变换(下面做了三步变换,只是处于计算直觉上的方便,其实完全可以只用一步。)
    t x = ln ⁡ ( x ) − μ x 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ x , t y = ln ⁡ ( y ) − μ y 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ y t_x=\frac{\ln(x)-\mu_x}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x},\quad t_y=\frac{\ln(y)-\mu_y}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_y} tx=2(1ρxy2) σxln(x)μx,ty=2(1ρxy2) σyln(y)μy

    逆变换及其微分(由于对称只写x)
    x = e 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ x t x + μ x , d x = 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ x e 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ x t x + μ x d t x x=e^{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x+\mu_x},\quad \mathbf{d}x=\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_xe^{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x+\mu_x}\mathbf{d}t_x x=e2(1ρxy2) σxtx+μx,dx=2(1ρxy2) σxe2(1ρxy2) σxtx+μxdtx

    代入 E ( X Y ) E(XY) E(XY)得(节省空间不写积分上下限了)
    E ( X Y ) = 1 π ∬ exp ⁡ [ − ( t x 2 − 2 ρ x y t x t y + t y 2 ) + 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ x t x + 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ y t y + μ x + μ y ] d t x d t y E(XY) = \frac{1}{\pi}\iint \exp \left[-\left( t_x^2-2\rho_{xy}t_xt_y+t_y^2\right)+\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x+\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_y t_y+\mu_x+\mu_y\right]\mathbf{d}t_x\mathbf{d}t_y E(XY)=π1exp[(tx22ρxytxty+ty2)+2(1ρxy2) σxtx+2(1ρxy2) σyty+μx+μy]dtxdty

    提出含 μ \mu μ的常数项后,考虑指数上的二元多项式 t x 2 − 2 ρ x y t x t y + t y 2 − 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ x t x − 2 ( 1 − ρ x y 2 ) σ y t y t_x^2-2\rho_{xy}t_xt_y+t_y^2-\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x-\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_y t_y tx22ρxytxty+ty22(1ρxy2) σxtx2(1ρxy2) σyty

    利用沿轴平移来消掉一次项(步骤略,直接写变换)
    u = t x − ρ x y σ y + σ x 2 ( 1 − ρ x y 2 ) , v = t y − ρ x y σ x + σ y 2 ( 1 − ρ x y 2 ) u=t_x-\frac{\rho_{xy}\sigma_y+\sigma_x}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}},\quad v=t_y-\frac{\rho_{xy}\sigma_x+\sigma_y}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}} u=tx2(1ρxy2) ρxyσy+σx,v=ty2(1ρxy2) ρxyσx+σy

    原多项式变成了 u 2 − 2 ρ x y u v + v 2 − 1 2 ( σ x 2 + 2 ρ x y σ x σ y + σ y 2 ) u^2-2\rho_{xy}uv+v^2-\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2) u22ρxyuv+v221(σx2+2ρxyσxσy+σy2)

    提出原积分中的常数项,我们得到
    E ( X Y ) = 1 π exp ⁡ ( μ x + μ y + 1 2 ( σ x 2 + 2 ρ x y σ x σ y + σ y 2 ) ) ∬ exp ⁡ [ − u 2 + 2 ρ x y u v − v 2 ] d u d v E(XY) = \frac{1}{\pi}\exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2))\iint \exp \left[-u^2+2\rho_{xy}uv-v^2\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v E(XY)=π1exp(μx+μy+21(σx2+2ρxyσxσy+σy2))exp[u2+2ρxyuvv2]dudv

    再对 u u u v v v做一个伸缩变换,把积分函数配成正态分布形式
    u ′ = 2 ( 1 − ρ x y 2 ) u , v ′ = 2 ( 1 − ρ x y 2 ) v u'=\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}u,\quad v'=\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}v u=2(1ρxy2) u,v=2(1ρxy2) v

    于是得到
    E ( X Y ) = exp ⁡ ( μ x + μ y + 1 2 ( σ x 2 + 2 ρ x y σ x σ y + σ y 2 ) ) 1 2 π ( 1 − ρ x y 2 ) ∬ exp ⁡ [ − 1 2 ( 1 − ρ x y 2 ) ( u 2 − 2 ρ x y u v + v 2 ) ] d u d v E(XY) =\exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2)) \frac{1}{2\pi(1-\rho_{xy}^2)}\iint \exp \left[\frac{-1}{2(1-\rho_{xy}^2)}(u^2-2\rho_{xy}uv+v^2)\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v E(XY)=exp(μx+μy+21(σx2+2ρxyσxσy+σy2))2π(1ρxy2)1exp[2(1ρxy2)1(u22ρxyuv+v2)]dudv

    指数项右边是一个正态分布概率密度的积分,因此等于1,于是得到了一个很简单的形式
    E ( X Y ) = exp ⁡ ( μ x + μ y + 1 2 ( σ x 2 + 2 ρ x y σ x σ y + σ y 2 ) ) E(XY) = \exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2)) E(XY)=exp(μx+μy+21(σx2+2ρxyσxσy+σy2))

    然后我们把 E ( X Y ) E(XY) E(XY) E ( X ) E(X) E(X) E ( Y ) E(Y) E(Y) D ( X ) D(X) D(X) D ( Y ) D(Y) D(Y)代入相关系数公式化简得

    ρ = exp ⁡ ( ρ x y σ x σ y ) − 1 ( exp ⁡ ( σ x 2 ) − 1 ) ( exp ⁡ ( σ y 2 ) − 1 ) \rho=\frac{\exp \left(\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y \right)-1}{\sqrt{(\exp(\sigma_x^2)-1)(\exp(\sigma_y^2)-1)}} ρ=(exp(σx2)1)(exp(σy2)1) exp(ρxyσxσy)1

    但是这个相关系数的结果有个很奇怪的性质,困扰了我一天,那就是当 σ x ≠ σ y \sigma_x\neq \sigma_y σx=σy的时候 ρ \rho ρ取不到 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1],我用数字帝国画了个 σ x = 1 , σ y = 2 \sigma_x=1,\sigma_y=2 σx=1σy=2时的草图,长这样:相关系数图像
    然后就怀疑我哪里做错了,后来想着还是拿matlab数值计算一下。代码如下:

    rho = 0.99;
    sigma_x = 2;
    sigma_y = 1;
    mu_x = 1;
    mu_y = 1;
    %ff = @(x,y)(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));原始函数
    fexy = @(x, y)(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2)));
    exy = integral2(fexy,0,inf,0,inf,'Method','iterated','AbsTol',0,'RelTol',1e-10);
    exey = exp(mu_x+mu_y+sigma_x^2/2+sigma_y^2/2);
    corr = (exy-exey)/(exey*sqrt((exp(sigma_x^2)-1)*(exp(sigma_y^2)-1)));
    

    结果是0.6505,和图像相符,也就是说二维对数正态分布的相关系数取值范围确实不总是 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1]
    再附一个画二维正态和二维对数正态概率分布的代码:

    X1=[0.01:0.01:3];
    Y1=[0.01:0.01:3];
    [x,y]=meshgrid(X1,Y1);
    rho = 0.5;
    sigma_x = 1;
    sigma_y = 1;
    mu_x = 1;
    mu_y = 1;
    BVLN=(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));
    BVN=(exp(-((((x-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(x-mu_x).*(y-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((y-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2)));
    subplot(1,2,1);surf(x,y,BVLN);
    subplot(1,2,2);surf(x,y,BVN);
    

    画出来是这种感觉:
    分布图
    断断续续算了四天(主要是开始时不知道如何做变换),算的心态爆炸,给个免费的赞再走吧。

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空空如也

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