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  • 目录0引言1、函数名2、示例2.1正态分布随机数2.2偏正态分布2.3对数正态分布写在最后的话 0引言 最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的...

    0引言

    最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的最初的一种定义。在平时做模型做随机模拟的时候的需要产生随机数来检验自己模型估计的有效性,我们可以通过各种分层表示用已知的分布去近似,也可以通过筛法使用均匀分布去生成、也可以用MCMC去采样。但是最为一个专业的统计软件——R语言肯定是有内置函数或者内置包去做的。大家感兴趣原理的也可以自行打开R函数查看。
    本文的主要目的是介绍R语言内部的产生下面分布的随机数的函数。
    – 一元正态分布随机数
    – 一元偏正态分布随机数
    – 一元对数正态随机数
    – 多元正态分布随机数
    – 多元偏正态分布随机数
    – 多元对数正态随机数

    1、函数名

    对于熟悉R语言的人只有函数名字和包名即可,下面列出具体名字。

    维度分布函数
    一维度正态分布rnormstats
    一维度偏正态分布rsnsn
    一维度对数正态rlnormstats
    多维度正态分布mvrnormMASS
    多维度偏正态分布rmsnsn
    多维度对数正态mvlognormalMethylCapSig

    但是对于很多R小白的科研大佬来说只有一个名字是比较浪费时间的,下面给出具体案例。

    2、示例

    先把该安装的包岸上并且载入,后面有备注大家按需安装载入。

    install.packages("MethylCapSig")  # 多元对数正态包
    install.packages("MASS")  # 多元正态分布包
    install.packages("sn")  # 偏态数据包
    library(MASS)
    library(sn)
    library(MethylCapSig)
    

    2.1正态分布随机数

    这块介绍如何生成一元和多元的正态分布随机数。生成正态分布的随机数的函数是rnorm,多元正态随机数用mvrnorm

    #生成n个均值0标准差1的正态随机数
    > n = 10
    > rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
     [1]  0.6035027 -0.9081701  1.5303255  0.3761588 -1.6406858 -1.5728766
     [7] -1.6586157  0.8287051  1.7688131  1.1472097
    
    mvrnorm(n = 1, mu, Sigma, tol = 1e-6, empirical = FALSE, EISPACK = FALSE)
    # 生成均值为mu,协方差矩阵为Sigma的10次观测的多元正态随机数
    > mu <- rep(0, 2)
    > mu
    [1] 0 0
    > Sigma <- matrix(c(5,1,1,2),2,2)
    > Sigma
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    > mvrnorm(n, mu, Sigma)
                [,1]       [,2]
     [1,]  0.3458454  0.3552218
     [2,] -4.9145503 -2.2932391
     [3,]  2.3285543  1.7957570
     [4,]  2.6422543  1.4493042
     [5,] -2.0447422 -0.5195390
     [6,] -0.5682730 -0.1557601
     [7,] -0.0560933  0.6941458
     [8,]  3.5873361  2.1324344
     [9,] -0.3522617 -1.0535145
    [10,]  1.9490186 -1.7155158
    

    2.2偏正态分布

    这块介绍如何生成一元和多元的偏正态分布随机数。生成偏正态分布的随机数的函数是rsn,多元正态用rmsn

    rsn(n=1, xi=0, omega=1, alpha=0, tau=0,  dp=NULL)
    # 生成10个位置参数为5,标准差为2,偏度为5的一元偏正态分布
    > n = 10
    > rsn(n, 5, 2, 5)
     [1] 6.366628 4.622272 4.973537 5.716082 6.438601 7.489781 5.034990 5.762948
     [9] 9.547775 8.470482
    attr(,"family")
    [1] "SN"
    attr(,"parameters")
    [1] 5 2 5 0
    
    rmsn(n=1, xi=rep(0,length(alpha)), Omega, alpha,  tau=0, dp=NULL)
    # 生成多元偏态分布,均值向量xi,协方差矩阵,偏度向量 alpha
    > xi <- c(0, 0)
    > xi
    [1] 0 0
    > Omega <- matrix(c(5,1,1,2),2,2)
    > Omega
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    > alpha <- c(2,-2)
    > alpha
    [1]  2 -2
    > rmsn(10, xi, Omega, alpha)
                 [,1]       [,2]
     [1,] -0.65320266  0.6861521
     [2,]  1.37481687 -0.1659318
     [3,]  3.14522100  0.4529551
     [4,] -0.07057607 -0.6608571
     [5,] -2.68493331 -2.9035422
     [6,]  2.19216656  0.7597699
     [7,]  1.50244323  0.7730602
     [8,] -1.81347772 -1.4717120
     [9,] -0.56875748 -0.8176260
    [10,]  0.88476306 -0.3663496
    attr(,"family")
    [1] "SN"
    attr(,"parameters")
    attr(,"parameters")$xi
    [1] 0 0
    
    attr(,"parameters")$Omega
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    
    attr(,"parameters")$alpha
    [1]  2 -2
    
    attr(,"parameters")$tau
    [1] 0
    

    2.3对数正态分布

    这块介绍如何生成一元和多元的对数正态分布随机数。生成对数正态分布的随机数的函数是rlnorm,多元对数正态用mvlognormal

    生成10个对数均值为0,对数标准差为1的对数随机数。
    > n = 10
    > rlnorm(n, meanlog = 0, sdlog = 1)
     [1] 1.5638173 0.7085567 0.9552697 0.7990129 0.3913724 2.3829746 2.7009141
     [8] 2.3251721 4.7090633 0.5284348
    
    mvlognormal(n, Mu, Sigma, R)
    # 生成10个 5维度的多元对数正态分布
    > n = 10
    > p = 5
    > Mu = runif(p, 0, 1)
    > mvlognormal(n, Mu, Sigma = rep(2, p), R = toeplitz(0.5^(0:(p-1))))
                [,1]       [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
     [1,] 0.19001058 1.03046394 0.96453695 0.82259809 0.15816013
     [2,] 0.17443047 0.06155735 0.37621382 0.33498919 0.27119953
     [3,] 0.34553546 0.28509934 0.29120016 0.04141813 0.22553617
     [4,] 0.11498941 0.35994614 0.23380755 0.15672124 0.04621199
     [5,] 0.32452033 0.11553876 0.55283657 0.26637357 0.11062302
     [6,] 0.04953786 0.16264098 1.75032911 6.34862167 1.38340544
     [7,] 0.32886451 0.30378793 0.02375825 0.02375620 0.89213319
     [8,] 0.16846539 0.03653899 0.11298382 0.22751003 0.09530435
     [9,] 0.07762988 0.31748557 0.05862739 0.03529833 0.12301490
    [10,] 0.18367711 2.58261427 0.03078996 0.01153906 0.07951331
    > 
    

    写在最后的话

    希望可以帮助大家学习R语言。水平有限发现错误还望及时评论区指正,您的意见和批评是我不断前进的动力。

    展开全文
  • Log-normal distribution对数正态分布

    万次阅读 2019-09-27 19:41:58
    不知道这个东西是不是只会用这一次,反正搞清楚了,就留下来吧。 参考文献:... ... 在概率论中,对数正态分布是一种连续概率分布,其随机变量的对数服从正态分布...

    不知道这个东西是不是只会用这一次,反正搞清楚了,就留下来吧。

    参考文献:https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

           https://blog.csdn.net/Eric2016_Lv/article/details/53286434

    在概率论中,对数正态分布是一种连续概率分布,其随机变量的对数服从正态分布。

                  

              对数正态分布图

    wiki原话:

    A log-normal process is the statistical realization of the multiplicative product of many independent random variables, each of which is positive. This is justified by considering the central limit theorem in the log domain. The log-normal distribution is the maximum entropy probability distribution for a random variate X for which the mean and variance of ln(X) are specified.

    The log-normal distribution is important in the description of natural phenomena. This follows, because many natural growth processes are driven by the accumulation of many small percentage changes. These become additive on a log scale. If the effect of any one change is negligible, the central limit theorem says that the distribution of their sum is more nearly normal than that of the summands. When back-transformed onto the original scale, it makes the distribution of sizes approximately log-normal (though if the standard deviation is sufficiently small, the normal distribution can be an adequate approximation).

    If the rate of accumulation of these small changes does not vary over time, growth becomes independent of size. Even if that's not true, the size distributions at any age of things that grow over time tends to be log-normal.

    我的理解是:从统计学角度理解对数正态分布是这样的,在自然界有很多事物有增长速度很慢,甚至可以忽略不计(small percentage changes),但是其效果是对整个事物的影响,即每次增长都是对前面增长的乘积运算,但如果我们把他放入对数域,则可以放大他们的增长效果。

    假设:x1,x2,...,xk表示第i个单位时间的单位增长率,则x1,x2,...xk大于等于0,令zi=log(xi)表示xi的对数

    显然有:

    因为x1,x2,...xk独立同分布,显然z1,z2...zk也是独立同分布,则根据中心极限定理(当样本量足够大时,样本均值的分布(变量和的分布)慢慢变成正态分布)有:

       

    这也就符合上面wiki第一段的意思了吧。其中一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积(虽然他不是自然界的)。

    对数正态分布的概率密度函数为: 

     

    期望值和方差分别为:

    其中,μσ分别是变量对数的平均值和标准差。 而对于参数μσ可以用极大使然估计来求解:

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/SsoZhNO-1/p/9857836.html

    展开全文
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  • 下面是4种分布的matlab程序,包含正态分布,均匀分布, 对数正态分布,extreme type 1。 1.对正态(高斯)分布的变量进行拉丁超立方采样 参考:https://blog.csdn.net/chichuhe/article/details/89...

    对LHS介绍的可以参考:https://blog.csdn.net/Together_CZ/article/details/90076271
    下面是4种分布的matlab程序,包含正态分布,均匀分布, 对数正态分布,extreme type 1。
    1.对正态(高斯)分布的变量进行拉丁超立方采样
    参考:https://blog.csdn.net/chichuhe/article/details/89890720#commentsedit
    原文还有均匀分布的LHS采样程序。

    % 对正态(高斯)分布的变量进行拉丁超立方采样
    % 效果不好,可以多运行几次
    clc;clear;close all
    %设置均值和方差,采样点数
    Mu=[3.6e7;3.6e7]; %均值
    Sigma=[3.6e6,3.6e6]; %方差
    N = 30; % 样本点数目
    D = size(Mu,1); % 维数
    Covariance_Matrix = zeros(D,D);
    for i = 1:D
        Covariance_Matrix(i,i) = Sigma(i)^2;
    end
     
    UB = Mu + 3*Sigma;
    LB = Mu - 3*Sigma; % 取值范围
     
    X = lhsnorm(Mu, Covariance_Matrix, N);
    %  X = lhsnorm(Mu, Sigma, N);
    figure(1)
    plot(X(:,1),X(:,2),'*');grid on
    title('正态分布的LHS采样')
    

    2.对数正态分布的LHS采样

    clc;close all; clearvars;
    %   对数正态分布的参数设置
        m=20;dist=[3,3];mu=[3.6e7,1.98e8];sigma=[3.6e6,9.9e6];lowb=[mu-3*sigma];upb=[mu+3*sigma];
    
    n=length(mu);
    if length(dist)~=n|length(sigma)~=n|length(lowb)~=n|length(upb)~=n
        error('dist,mu,sigma,lowb,upb must have the same length');
    end
    rvcom=[];
    for j=1:n
        rv=[];
    if dist(j)==3  %对数正态分布
        p_low(j)=logncdf(lowb(j),mu(j),sigma(j));
        p_up(j)=logncdf(upb(j),mu(j),sigma(j));
        p_bound(j)=p_up(j)-p_low(j);
        p_subbound(j)=p_bound(j)./(m-1);
          for i=0:m-1
            rv=[rv;logninv(p_low(j)+i.*p_subbound(j),mu(j),sigma(j))];
          end
    elseif dist(j)==4 %for extreme type 1
        p_low(j)=evcdf(lowb(j),mu(j),sigma(j));
        p_up(j)=evcdf(upb(j),mu(j),sigma(j));
        p_bound(j)=p_up(j)-p_low(j);
        p_subbound(j)=p_bound(j)./(m-1);
        for i=0:m-1
           rv=[rv;evinv(p_low(j)+i.*p_subbound(j),mu(j),sigma(j))];
        end
    end
    rvcom=[rvcom rv];
    end
    S=[];
    for i=1:n
        S=[S randsample(rvcom(:,i),m)];
    end
    if n==2
      figure
      plot(S(:,1),S(:,2),'r*');grid on
      title('对数正态分布的LHS采样')
    elseif n==3
      figure
      plot3(S(:,1),S(:,2),S(:,3),'lc.');grid on
    end
    

    将上述程序中的distvia变量参数改为4即是extreme type 1分布的LHS采样。
    有问题欢迎交流哈~

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  • 次我将使用简单的语言,使用实例的方式展示对数正态分布在数学建模比赛中的应用。 正态分布物理意义 我们先从正态分布的物理意义说起,虽然大家可能都知其公式,但是对其物理意义并没非常深刻的理解。简而言之...

    最近闲暇时间很多,正好也可以收集整理一些之前学习的资料,还有自己的一些经验供大家参考。这一次我将使用简单的语言,使用实例的方式展示对数正态分布在数学建模比赛中的应用。

    正态分布物理意义

    我们先从正态分布的物理意义说起,虽然大家可能都知其公式,但是对其物理意义并没非常深刻的理解。简而言之,正态分布的物理意义是——“正态分布是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成的”。其中常常在书中拿来被举例的就是著名的高尔顿板:

    对于每一个下落的小球来说,每一次撞到钉子,都有0.5的概率去左边,0.5的概率去右边。而在下落时有会撞到很多钉子;钉子与钉子之间也没有任何关系。所以最后的下落的整体趋势呈现出正态分布。

    对数正态分布

    但是现实往往是复杂的,这体现在许多事情都有蛛丝马迹的联系。以国家的GDP为例,各个国家的GDP种类与许多因素(元误差)相关,比如人口数量、科技水平、平均受教育程度、拥有资源(自然资源与人文资源)、所处的地理位置等等因素。

    但是这些造成GDP差异的因素之间存在千丝万缕的关系。譬如说科技水平高的地区,相对更重视教育,所以平均人口素质较高;平均人口素质高了之后又可能会提升资源利用率,也可以创作出新的资源(这里只如文学作品,电影等等,可以参考文明6电影工厂加繁荣加旅游业绩);有了更多的资源又能进一步提升平均素质。总的来说这些因素间呈现相互促进的关系。

    而一旦这些元误差(因素)相互促进,那么最后的结果就会呈现对数正态分布,而且吊车尾越长说明元误差间的相互作用更大,下面以世界银行统计的各个国家2018年的GDP(这一年统计的相对比较全面)为例具体说明:

    可以看到有统计数据的244个国家与地区中,GDP较小的后220个国家几乎一直贴地,并看不出来符合何种统计分布

    可以看到有统计数据的244个国家与地区中,GDP较小的后220个国家几乎一直贴地,并看不出来符合何种统计分布。

    对GDP取对数后看,已经很符合正态分布了

    后面吊车尾太长了,画不下QRZ

    可以看出有正态分布的味了

    当然各个国家GDP的分布波动很厉害,这也是社会学统计的正常现象,如果用理想实验来说明最后的拟合效果会好很多。

    对数正态分布试用范围

    对数正态分布比较常见在社会学分析之中。判断应该使用正态分布还是对数正态分布只需把握最关键的一个标准,即:如果导致这个数据产生差异的元误差是相互独立或者近似独立的,那么使用正态分布;如果元误差之间是相互作用的,则使用对数正态分布。

     

     

     

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  • 正态分布 高斯分布(数学)

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空空如也

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对数正态分布是一种分布