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  • 正态分布 函数形式:y=normpdf(x,mu,sigma) x - x轴数据,如 x=-10:0.01:10;...对数正态分布 函数形式:y=lognpdf(x,mu,sigma) x - x轴数据,如 x=0:0.01:10; mu - 均值,默认为0; sigma - 标准差,默认为1;..

    正态分布

    函数形式:y=normpdf(x,mu,sigma)

    x - x轴数据,如 x=-10:0.01:10; 注意正态分布,正负对称!

    mu - 均值,默认为0;

    sigma - 标准差,默认为1;

     

    实例

    x=-10:0.01:10;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y);

     


    对数正态分布

    函数形式:y=lognpdf(x,mu,sigma)

    x - x轴数据,如 x=0:0.01:10;

    mu - 均值,默认为0;

    sigma - 标准差,默认为1;

     

    实例:

    x=0:0.01:10;y=lognpdf(x,0,1);plot(x,y);

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  • 一、正态分布的特征:图1为英国生物统计学家高尔顿专门设计用来演示正态分布曲线及其特征的实验模型,通常称为高尔顿板(Galton Board)。高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子,钉子之间的距离彼此相等,呈...

    一、正态分布的特征:

    图1为英国生物统计学家高尔顿专门设计用来演示正态分布曲线及其特征的实验模型,通常称为高尔顿板(Galton Board)。

    高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子,钉子之间的距离彼此相等,呈三角形排列,上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间。

    当小球从最上方的入口落下时,小球每次碰到钉子后向左、右两个方向落下的概率各为50%,直到最后落入底部的一个格子内。把大量小球逐个从入口处放下,只要高尔顿板的面积足够大、钉子数量足够多,落在格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高、两边低的钟形曲线。

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    图1 高尔顿板正态分布实验

    从高尔顿板实验结果可以看出,正态分布具有如下特点:

    (1)对称性。落在原点左、右两侧的小球数量大致相等。

    (2)集中性。大多数小球落在原点附近的格子内,高峰位于正中央的格子。

    如果按照时间顺序依次画出每个小球落到底部的横向位移

    ,则会得到图2所示的白噪声函数图像。

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    图2 高尔顿板小球位移

    二、股票价格日收益率:

    图3为上证指数1998年-2020年的日收益率曲线,可以看出,上证指数的日收益率与图2所示的高尔顿板小球位移曲线相似,下一时刻收益率和小球位移的方向及大小是完全随机的,均可用白噪声时间函数进行描述。

    将不同时刻的上证指数日收益率作为样本点进行统计分析,其均值为0.0002,标准差

    =0.02,最大波动幅度为±0.09。上证指数的日收益率分布曲线是一条中间高,两端逐渐下降且完全对称的正态分布曲线(实际分布有尖峰厚尾现象),并具有如下的正态分布特征:

    (1)对称性。绝对值相等的正、负收益率出现的次数大致相等。

    (2)集中性。大多数收益率位于均值附近,收益率分布曲线的高峰位于正中央。

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    图3 上证指数收益率(日)

    三、几何布朗运动模型

    Working、Kendall、Osborne、Samuelson和 Fama等人的实证研究结果也均表明:股票价格的短期收益率为白噪声序列

    时刻的股票价格,则股票价格
    区间的收益率可表示为

    式中

    为服从
    正态分布的白噪声时间函数,
    为白噪声函数的标准差,
    的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

    式(1)也可表示为布朗运动形式

    式中

    为标准布朗运动随机过程
    的一条样本轨道,
    的一阶差分
    为服从(0,1)正态分布的白噪声函数。

    式(1)和式(2)是众多学者通过对股票市场长期观察和实证研究得到的经验模型,式中的

    均为时间函数,或随机过程中的样本轨道。

    Samuelson将式(2)中的

    假设为随机变量
    ,同时增加了线性漂移项,建立了著名的
    几何布朗运动模型

    式中

    为漂移率,是指单位时间内股票价格收益率均值的变化值,
    为股票价格日收益率的标准差,称为波动率。

    由式(3),可以求出对数股票价格

    的数学期望和方差分别

    表明股票价格的对数

    服从方差为
    的正态分布,或股票价格服从对数正态分布。

    根据正态分布的对称性和集中性特征,对数股票价格

    应具有如下特征:

    (1)对称性。对数股票价格

    在均值
    两侧出现的次数大致相等。

    (2)集中性。大多数对数股票价格

    位于均值
    附近,
    分布曲线的高峰位于

    观察实际股票价格的对数,完全不符合正态分布的对称性和集中性。

    事实上,式(3)的随机变量模型是描述大量样本轨道空间统计特性的数学模型,“股票价格服从对数正态分布”指的是大量样本轨道位置在任意时刻均服从正态分布的性质。

    图4给出了式(3)几何布朗运动模型描述的1000条样本轨道,这1000条样本轨道在

    时刻的取值服从方差为
    的正态分布,显然具有正态分布的对称性和集中性特征。而实际观察到的对数股票价格
    只是其中的一条样本轨道,不具有正态分布的对称性和集中性。

    e4bd7defd4e7443fb0cbf87f275ab614.png
    图4 几何布朗运动随机过程

    四、股票价格波动范围

    图5为道琼斯工业平均指数的对数价格曲线,100多年来始终在固定宽度的线性通道范围内波动运行。股票价格可预测性证明从式(1)的时间函数模型出发,从理论上也证明了对数股票价格在线性通道内运行的结论。

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    图5 道琼斯工业平均指数

    如果股票价格服从对数正态分布,则

    时刻对数股票价格
    的方差为
    ,表明
    范围内波动的概率为99.73%,这表明对数股票价格
    的波动范围会随时间
    的平方根不断增大,与图4几何布朗运动样本轨道的扩散范围一致,与实际对数股票价格在固定宽度的线性通道内运行的事实完全不符。因此,
    实际股票价格的波动范围与几何布朗运动模型的波动范围完全不同。

    五、波动率的本质含义

    期权定价理论首先假设股票价格服从对数正态分布,然后将(3)几何布朗运动模型的参数

    定义为波动率,并用
    来度量股票价格
    的波动程度。

    (1)标准差是用来度量随机变量样本总体偏离均值程度的数字特征。

    (2)波动率

    实质上是图3所示股票价格
    日收益率的标准差,反映了股票价格在某一区间的日收益率偏离均值的程度。

    (3)方差

    是度量图4所示
    (大量样本轨道)偏离均值程度的统计参数,不能用来度量一条样本轨道的波动程度。

    六、结论

    股票价格服从对数正态分布的结论是基于股票价格为随机变量的假设推导出来的,《为什么股票价格不是随机变量?》和《反证法证明股票价格不是随机变量》两篇文章已分别用随机过程的定义和反证法证明了股票价格不是随机变量,而是非平稳随机过程的一条样本轨道,因此,股票价格不服从对数正态分布

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  • 最近遇到了一个联合对数正态分布的相关系数的问题,搜遍全网无果,索性自己动手。...取对数之后我们会得到二维对数正态分布概率密度函数。只写了第一象限的函数表达式,其他地方都是0。 f(x,y)=12π1−ρxy2σxσyx

    最近遇到了一个联合对数正态分布的相关系数的问题,搜遍全网无果,索性自己动手。本文借鉴了这个知乎回答

    首先我们有二维正态分布:
    X,YBVN(μx,μy,σx2,σy2,ρxy)X,Y\sim \mathbf{BVN}(\mu_x,\mu_y,\sigma_x^2,\sigma_y^2,\rho_{xy})

    取对数之后我们会得到二维对数正态分布的概率密度函数。只写了第一象限的函数表达式,其他地方都是0。
    f(x,y)=12π1ρxy2σxσyxyexp[12(1ρxy2)((lnxμx)2σx22ρxy(lnxμx)(lnyμy)σxσy+(lnyμy)2σy2)]f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho_{xy}^2}\sigma_x\sigma_y xy}\exp \left[\frac{-1}{2(1 - \rho_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-\frac{2\rho_{xy}(\ln x-\mu_x)(\ln y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(\ln y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)\right]

    引用链接里有边缘分布(一维情况下)的期望和方差的推导过程,这里只写结论:
    E(X)=exp(μx+σx22)D(X)=exp(2μx+σx2)(exp(σx2)1)E(X)=\exp(\mu_x+\frac{\sigma_x^2}{2}) \\ D(X)=\exp(2\mu_x+\sigma_x^2)(\exp(\sigma_x^2)-1)

    接下来想算相关系数。首先我们有相关系数的公式:
    ρ=COV(X,Y)D(X)D(Y)=E(XY)E(X)E(Y)D(X)D(Y)\rho=\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}

    关键一步是计算E(XY)E(XY)
    E(XY)=++xyf(x,y)dxdyE(XY) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)\mathbf{d}x\mathbf{d}y

    代入f(x,y)f(x,y)
    E(XY)=0+0+12π1ρxy2σxσyexp[12(1ρxy2)((lnxμx)2σx22ρxy(lnxμx)(lnyμy)σxσy+(lnyμy)2σy2)]dxdyE(XY) = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho_{xy}^2}\sigma_x\sigma_y}\exp \left[\frac{-1}{2(1 - \rho_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-\frac{2\rho_{xy}(\ln x-\mu_x)(\ln y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(\ln y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)\right]\mathbf{d}x\mathbf{d}y

    作变换(下面做了三步变换,只是处于计算直觉上的方便,其实完全可以只用一步。)
    tx=ln(x)μx2(1ρxy2)σx,ty=ln(y)μy2(1ρxy2)σyt_x=\frac{\ln(x)-\mu_x}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x},\quad t_y=\frac{\ln(y)-\mu_y}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_y}

    逆变换及其微分(由于对称只写x)
    x=e2(1ρxy2)σxtx+μx,dx=2(1ρxy2)σxe2(1ρxy2)σxtx+μxdtxx=e^{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x+\mu_x},\quad \mathbf{d}x=\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_xe^{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x+\mu_x}\mathbf{d}t_x

    代入E(XY)E(XY)得(节省空间不写积分上下限了)
    E(XY)=1πexp[(tx22ρxytxty+ty2)+2(1ρxy2)σxtx+2(1ρxy2)σyty+μx+μy]dtxdtyE(XY) = \frac{1}{\pi}\iint \exp \left[-\left( t_x^2-2\rho_{xy}t_xt_y+t_y^2\right)+\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x+\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_y t_y+\mu_x+\mu_y\right]\mathbf{d}t_x\mathbf{d}t_y

    提出含μ\mu的常数项后,考虑指数上的二元多项式tx22ρxytxty+ty22(1ρxy2)σxtx2(1ρxy2)σytyt_x^2-2\rho_{xy}t_xt_y+t_y^2-\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_x t_x-\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}\sigma_y t_y

    利用沿轴平移来消掉一次项(步骤略,直接写变换)
    u=txρxyσy+σx2(1ρxy2),v=tyρxyσx+σy2(1ρxy2)u=t_x-\frac{\rho_{xy}\sigma_y+\sigma_x}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}},\quad v=t_y-\frac{\rho_{xy}\sigma_x+\sigma_y}{\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}}

    原多项式变成了u22ρxyuv+v212(σx2+2ρxyσxσy+σy2)u^2-2\rho_{xy}uv+v^2-\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2)

    提出原积分中的常数项,我们得到
    E(XY)=1πexp(μx+μy+12(σx2+2ρxyσxσy+σy2))exp[u2+2ρxyuvv2]dudvE(XY) = \frac{1}{\pi}\exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2))\iint \exp \left[-u^2+2\rho_{xy}uv-v^2\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v

    再对uuvv做一个伸缩变换,把积分函数配成正态分布形式
    u=2(1ρxy2)u,v=2(1ρxy2)vu'=\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}u,\quad v'=\sqrt{2(1-\rho_{xy}^2)}v

    于是得到
    E(XY)=exp(μx+μy+12(σx2+2ρxyσxσy+σy2))12π(1ρxy2)exp[12(1ρxy2)(u22ρxyuv+v2)]dudvE(XY) =\exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2)) \frac{1}{2\pi(1-\rho_{xy}^2)}\iint \exp \left[\frac{-1}{2(1-\rho_{xy}^2)}(u^2-2\rho_{xy}uv+v^2)\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v

    指数项右边是一个正态分布概率密度的积分,因此等于1,于是得到了一个很简单的形式
    E(XY)=exp(μx+μy+12(σx2+2ρxyσxσy+σy2))E(XY) = \exp(\mu_x+\mu_y+\frac{1}{2}(\sigma_x^2+2\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2))

    然后我们把E(XY)E(XY)E(X)E(X)E(Y)E(Y)D(X)D(X)D(Y)D(Y)代入相关系数公式化简得

    ρ=exp(ρxyσxσy)1(exp(σx2)1)(exp(σy2)1)\rho=\frac{\exp \left(\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y \right)-1}{\sqrt{(\exp(\sigma_x^2)-1)(\exp(\sigma_y^2)-1)}}

    但是这个相关系数的结果有个很奇怪的性质,困扰了我一天,那就是当σxσy\sigma_x\neq \sigma_y的时候ρ\rho取不到[1,1][-1,1],我用数字帝国画了个σx=1σy=2\sigma_x=1,\sigma_y=2时的草图,长这样:相关系数图像
    然后就怀疑我哪里做错了,后来想着还是拿matlab数值计算一下。代码如下:

    rho = 0.99;
    sigma_x = 2;
    sigma_y = 1;
    mu_x = 1;
    mu_y = 1;
    %ff = @(x,y)(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));原始函数
    fexy = @(x, y)(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2)));
    exy = integral2(fexy,0,inf,0,inf,'Method','iterated','AbsTol',0,'RelTol',1e-10);
    exey = exp(mu_x+mu_y+sigma_x^2/2+sigma_y^2/2);
    corr = (exy-exey)/(exey*sqrt((exp(sigma_x^2)-1)*(exp(sigma_y^2)-1)));
    

    结果是0.6505,和图像相符,也就是说二维对数正态分布的相关系数取值范围确实不总是[1,1][-1,1]
    再附一个画二维正态和二维对数正态概率分布的代码:

    X1=[0.01:0.01:3];
    Y1=[0.01:0.01:3];
    [x,y]=meshgrid(X1,Y1);
    rho = 0.5;
    sigma_x = 1;
    sigma_y = 1;
    mu_x = 1;
    mu_y = 1;
    BVLN=(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));
    BVN=(exp(-((((x-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(x-mu_x).*(y-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((y-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2)));
    subplot(1,2,1);surf(x,y,BVLN);
    subplot(1,2,2);surf(x,y,BVN);
    

    画出来是这种感觉:
    分布图
    断断续续算了四天(主要是开始时不知道如何做变换),算的心态爆炸,给个免费的赞再走吧。

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