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  • python中的对数正态分布
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    2020-12-18 06:44:32

    你说I have a sample data, the logarithm of which follows a normal distribution.

    假设data是包含样本的数组。使此数据适合

    使用scipy.stats.lognorm的对数正态分布,使用:s, loc, scale = stats.lognorm.fit(data, floc=0)

    假设mu和sigma是

    基本正态分布。得到这些值的估计值

    从该配合中,使用:estimated_mu = np.log(scale)

    estimated_sigma = s

    (这些是而不是的平均值和标准差的估计值

    data中的样本。有关公式,请参见wikipedia page

    对于对数正态分布的均值和方差,用mu和sigma表示。)

    要组合直方图和PDF,可以使用,例如import matplotlib.pyplot as plt.

    plt.hist(data, bins=50, normed=True, color='c', alpha=0.75)

    xmin = data.min()

    xmax = data.max()

    x = np.linspace(xmin, xmax, 100)

    pdf = stats.lognorm.pdf(x, s, scale=scale)

    plt.plot(x, pdf, 'k')

    如果想查看数据日志,可以执行以下操作

    下面。注意,使用了正态分布的PDF

    在这里。logdata = np.log(data)

    plt.hist(logdata, bins=40, normed=True, color='c', alpha=0.75)

    xmin = logdata.min()

    xmax = logdata.max()

    x = np.linspace(xmin, xmax, 100)

    pdf = stats.norm.pdf(x, loc=estimated_mu, scale=estimated_sigma)

    plt.plot(x, pdf, 'k')

    顺便说一下,与stats.lognorm匹配的另一种方法是匹配log(data)

    使用stats.norm.fit:logdata = np.log(data)

    estimated_mu, estimated_sigma = stats.norm.fit(logdata)

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    结果并不令人惊讶.对于具有大峰度的分布,样本方差的预期方差大致为mu4 / N,其中mu4是分布的第4个时刻.对于对数正态,mu4指数地取决于参数sigma ^ 2,这意味着对于足够大的sigma值,样本方差将相对于真实方差在整个地方.这正是你所观察到的.在你的例子中,mu4 / N~(coeffOfVar ^ 8)/ N~50 ^ 8 / 1e6~4e7.

    用于推导样本变量的预期方差.请参阅http://mathworld.wolfram.com/SampleVarianceDistribution.html.以下是一些代码,以更精确的方式说明这些想法.注意样本方差的方差和理论预期值的大值,即使coeffOfVar = 5.

    exp.var.of.samp.var

    (n-1)*((n-1)*mu4-(n-3)*mu2^2)/n^3

    }

    mu2.lnorm

    (exp(sigma^2)-1)*exp(2*mu+sigma^2)

    }

    mu4.lnorm

    mu2.lnorm(mu,sigma)^2*(exp(4*sigma^2)+2*exp(3*sigma^2)+3*exp(2*sigma^2)-3)

    }

    exp.var.lnorm.var

    exp.var.of.samp.var(n,mu2.lnorm(mu,sigma),mu4.lnorm(mu,sigma))

    }

    exp.var.norm.var

    exp.var.of.samp.var(n,sigma^2,3*sigma^4)

    }

    coeffOfVar

    mean

    sigma

    mu

    n

    m

    ## Get variance of sample variance for lognormal distribution:

    var.trial

    cat("samp. variance (mean of",m,"trials):",mean(var.trial),"\n")

    cat("theor. variance:",mu2.lnorm(mu,sigma),"\n")

    cat("variance of the sample var:",var(var.trial),"\n")

    cat("expected variance of the sample var:",exp.var.lnorm.var(n,mu,sigma),"\n")

    > samp. variance (mean of 10000 trials): 105.7192

    > theor. variance: 100

    > variance of the sample var: 350997.7

    > expected variance of the sample var: 494053.2

    ## Do this with normal distribution:

    var.trial

    cat("samp. variance (mean of",m,"trials):",mean(var.trial),"\n")

    cat("theor. variance:",sigma^2,"\n")

    cat("variance of the sample var:",var(var.trial),"\n")

    cat("expected variance of the sample var:",exp.var.norm.var(n,mu,sigma),"\n")

    > samp. variance (mean of 10000 trials): 3.257944

    > theor. variance: 3.258097

    > variance of the sample var: 0.002166131

    > expected variance of the sample var: 0.002122826

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    对数正态分布

     

    关于对数正态分布的几个关键点:

    • 当变化是由加和在一起的多个散点来源引起时,就会出现高斯分布。相反,变化是由于多个乘法的多个散点来源引起时, 出现对数正态分布;

    • 对数正态分布中的所有值均为正值。在对数正态分布中,不可能使用负值和零;

    • 对数正态分布在生物学中很常见;

    • 对数正态分布是不对称分布。许多值非常相似,而一小部分值要大得多。你可在下图左侧看到该结果;

     

    下载.jpeg

    • 在对数轴上绘图时,如上图右侧所示,分布是对称分布;

    • 如果你不知道对数正态分布,则可试图将上面示例中最高的四个值作为异常值进行删除,因为其看起来不属于总体分布。如果通过异常值检测算法(假设从高斯分布中抽样)来运行这些值,则可识别出异常值(上述示例中最高的四个值);

    • 如果你尝试使用t检验或方差分析比较平均值,可能会发现P值很高,置信区间很宽。T检验和方差分析假设这些值是从高斯分布中抽样。如果你尝试使用这些方法来比较从对数正态分布中抽样的数据集的平均值,就会失去统计检验力;

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  • Lognormal Distribution对数正态分布

    千次阅读 2020-12-28 22:49:08
    对数正态分布(logarithmic normal distribution)是指一个随机变量的对数服从正态分布,则该随机变量服从对数正态分布对数正态分布从短期来看,与正态分布非常接近。但长期来看,对数正态分布向上分布的数值更多...

    对数正态分布(logarithmic normal distribution)是指一个随机变量的对数服从正态分布,则该随机变量服从对数正态分布。对数正态分布从短期来看,与正态分布非常接近。但长期来看,对数正态分布向上分布的数值更多一些。

    有些量本身就是不对称的。例如,试想,人们完成某项特定任务需要的时间:因为每个人都是不同的,我们会得到一个分布。然而,所有的值都必然是正数(因为时间不可能为负数)。而且,我们还能预测到该分布可能的形状:有一个无人可及的最小时间,然后是少数一些非常快的“冠军”,接下来就是普通人的最具代表性的完成时间形成一个高峰,最后是尾部一长串的“掉队者”。显然,高斯分布不会很好地描述这样的分布,因为高斯分布中x可以定义为正值,也可定义为负值,它是对称的且尾部很短。[1]

    在很多应用中,特别是在可靠性和维修性方面,数据可能不符合正态分布。可是,随机变量的对数可能符合正态分布,对此情况称为对数正态分布。如果应用对数正态分布,在对数正态图纸上数据的图形将是一条直线。绘图的过程与其他分布是相同的。其分析的过程包括计算对数值的平均值和标准差,以及对最终结果取反对数。[2]

    对数正态分布与正态分布很类似,除了它的概率分布向右进行了移动。对数正态分布从短期来看,与正态分布非常接近。但长期来看,对数正态分布向上分布的数值更多一些。更准确地说,对数正态分布中,有更大向上波动的可能,更小向下波动的可能。[3]

    对数正态分布用于半导体器件的可靠性分析和某些种类的机械零件的疲劳寿命。其主要用途是在维修性分析中对修理时间数据进行确切的分析。

    已知对数正态分布的密度函数,就可以根据可靠度与不可靠度函数的定义计算出该分布的可靠度函数和不可靠度函数的表达式

    性质

    对数正态分布具有如下性质:

    (1)正态分布经指数变换后即为对数正态分布;对数正态分布经对数变换后即为正态分布。

    (2)γ,t是正实数,X是参数为(μ,σ)的对数正态分布,则

    仍是对数正态分布,参数为

    (3)对数正态总是右偏的。

    (4)对数正态分布的均值和方差是其参数(μ,σ)的增函数。

    (5)对给定的参数μ,当σ趋于零时,对数正态分布的均值趋于exp(μ),方差趋于零

    应用:股票

    对数正态分布(logarithmic normal distribution):一个随机变量的对数服从正态分布,则该随机变量服从对数正态分布。

    在分析测试中,特别是在痕量分析中,在不少情况下,测定值不遵循正态分布,而是遵循对数正态分布。

    在概率论与统计学中,对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是服从正态分布的随机变量,则 exp(X) 服从对数正态分布;同样,如果 Y 服从对数正态分布,则 ln(Y) 服从正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积,则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率,它可以看作是每天收益率的乘积。

    Some common distributions which are not directly related to the normal distribution

    are described briefly in the following:

    • Lognormal distribution: A normal distribution, plotted on an exponential scale.

    A logarithmic transformation of the data is often used to convert a strongly

    skewed distribution into a normal one.

    Normal distributions are the easiest ones to work with. In some circumstances a set

    of data with a positively skewed distribution can be transformed into a symmetric,

    normal distribution by taking logarithms. Taking logs of data with a skewed

    distribution will often give a distribution that is near to normal

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对数正态分布的均值

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