正态分布

函数形式：y=normpdf(x,mu,sigma)

x - x轴数据，如 x=-10:0.01:10; 注意正态分布，正负对称！

mu - 均值，默认为0；

sigma - 标准差，默认为1；

 

实例

x=-10:0.01:10;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y);



 

对数正态分布

函数形式：y=lognpdf(x,mu,sigma)

x - x轴数据，如 x=0:0.01:10;

mu - 均值，默认为0；

sigma - 标准差，默认为1；

 

实例：

x=0:0.01:10;y=lognpdf(x,0,1);plot(x,y);

中文名称：正态分布
英文名称：normal distribution
定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。
正态分布(normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution)，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
Zipf分布
有一个基本定律，就是大家常说对于内容的访问遵循80/20原则，也就是20%的内容，会占有80%的访问量。
Zipf分布与其类似。
这是一个定性的原则，定量来说，内容访问近似符合Zipf定律(Zipf's law), 这个定律是美国语言学家Zipf发现的，他在1932年研究英文单词的出现频率时，发现如果把单词频率从高到低的次序排列，每个单词出现频率和它的符号访问排名存在简单反比关系：
这里 r 表示一个单词的出现频率的排名，P(r)表示排名为r的单词的出现频率.
(单词频率分布中 C约等于0.1, a约等于1)
 后人将这个分布称为齐夫分布，这个分布是一个统计型的经验规律，描述了这样一个定理：只有少数英文单词经常被使用，大部分的单词很少被使用。这个定理也在很多分布里面得到了验证，比如人们的收入，互联网的网站数量和访问比例，互联网内容和访问比例(其他分>布两个常数有所不同,a越大，分布越密集,对于VOD来说某些时候符合双zipf分布)。
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(来自维基百科)
齐夫定律可以表述为：在自然语言的语料库里，一个单词出现的频率与它在频率表里的排名成反比。所以，频率最高的单词出现的频率大约是出现频率第二位的单词的2倍，而出现频率第二位的单词则是出现频率第四位的单词的2倍。这个定律被作为任何与power law probability distributions有关的事物的参考。
理论
这个“定律”是哈佛大学的语言学家George Kingsley Zipf(IPA[zɪf])1949年发表的。
比如，在 Brown 语料库中，“the”是最常见的单词，它在这个语料库中出现了大约7%(100万单词中出现69971次)。正如齐夫定律中所描述的一样，出现次数为第二位的单词“of”占了整个语料库中的3.5%(36411次)，之后的是“and”(28852次)。仅仅135个字汇就占了Brown 语料库的一半。
齐夫定律是一个实验定律，而非理论定律。齐夫分布可以在很多现象中被观察到。齐夫分布的在现实中的起因是一个争论的焦点。 齐夫定律很容易用点阵图观察，坐标为log(排名)和log(频率)。比如，“the”用上述表述可以描述为x = log(1), y = log(69971)的点。如果所有的点接近一条直线，那么它就遵循齐夫定律。
最简单的齐夫定律的例子是“1/f function”。给出一组齐夫分布的频率，按照从最常见到非常见排列，第二常见的频率是最常见频率的出现次数的½，第三常见的频率是最常见的频率的1/3，第n常见的频率是最常见频率出现次数的1/n。然而，这并不精确，因为所有的项必须出现一个整数次数，一个单词不可能出现2.5次。然而，在一个广域范围内并且做出适当的近似，许多自然现象都符合齐夫定律。
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zipf law ：在给定的语料中，对于任意一个term，其频度(freq)的排名(rank)和freq的乘积大致是一个常数。
It is known that the number of incoming links to pages on the Web follows a Zipfian distribution. That is, a small number of Web pages have an extremely large number of links pointing to them, while a majority of pages have only a small number of incoming links.
Zipf定律是文献计量学的重要定律之一，它和罗特卡定律、布拉德福定律一起被并称为文献计量学的三大定律。
对于CDN的内容管理，也近似符合Zipf 定律，就是大家常说对于内容的访问遵循80/20原则，也就是20%的内容，会占有80%的访问量。
zipf law
这里 r 表示一个单词的出现频率的排名，P(r)表示排名为r的单词的出现频率.
(单词频率分布中 C约等于0.1, a约等于1)
后人将这个分布称为zipf distribution，中文名称为齐普夫分布或Zeta 分布。这是一个离散事件分布，广泛应用于语言学，保险学，网络模拟，以及对稀疏事件的建模中。
它表明在英语单词中,只有极少数的词被经常使用,而绝大多数词很少被使用。实际上,包括汉语在内的许多国家的语言都有这种特点。这个定律后来在很多领域得到了同样的验证，包括网站的访问者数量、城镇的大小和每个国家公司的数量。。这个定理也在很多分布里面得到了验证，比如人们的收入，互联网的网站数量和访问比例，互联网内容和访问比例(其他分布两个常数有所不同,a越大，分布越密集,对于VOD来说某些时候符合双zipf分布)。
比起枯燥的公式，图表更具有说服力，下面是用三百个严格符合zipf 分布的数据点描绘成的图，其中横轴表示排名，纵轴表示访问的频率，分别使用线性坐标和对数坐标表示：
zipf distribution
可以看到对数坐标下是一条完美的直线。
偏态分布(Skewed distribution)
频数分布有正态分布和偏态分布之分。正态分布是指多数频数集中在中央位置，两端的频数分布大致对称。
偏态分布是指频数分布不对称，集中位置偏向一侧。若集中位置偏向数值小的一侧，称为正偏态分布；集中位置偏向数值大的一侧，称为负偏态分布。
如果频数分布的高峰向左偏移，长尾向右侧延伸称为正偏态分布，也称右偏态分布；同样的，如果频数分布的高峰向右偏移，长尾向左延伸则成为负偏态分布，也称左偏态分布。
峰左移，右偏，正偏
峰右移，左偏，负偏
偏态分布只有满足一定的条件(如样本例数够大等)才可以看做近似正态分布。
与正态分布相对而言，偏态分布有两个特点：
一是左右不对称(即所谓偏态)；
二是当样本增大时，其均数趋向正态分布。

	

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统计也是数学中必不可缺少的一环，今天我们来了解一下统计中常用的正态分布吧！
定义内容
正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution)，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量服从一个位置参数、尺度参数的概率分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的数学期望值或期望值等于位置参数，决定了分布的位置；其方差的开平方或标准差等于尺度参数，决定了分布的幅度。
主要特点
⒈估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
⒉制定参考值范围：
⑴正态分布法 适用于服从正态(或近似正态)分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
⑵百分位数法 常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
⒊质量控制：为了控制实验中的测量(或实验)误差，常以 作为上、下警戒值，以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量(或实验)误差服从正态分布。
⒋正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
影响地位
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
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编辑：杨坪
审核：张媛  王天慈  李倩  王源铭

这块儿我是真的没听说过，所以直接抄了维基百科，维基万岁！



概率密度函数

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X)为对数正态分布；同样，如果Y是对数正态分布，则 ln(Y)为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 x>0，对数正态分布的概率密度函数为: 
f(x;μ,σ)=1xσ2π−−√e−(lnx−μ)2/2σ2


其中 μ 与 σ分别是变量对数的平均值与标准差。 

推导过程：概率微分不变性。 

一个正的随机变量 x是对数正态分布，当且仅当x是正态分布。那么： 
N(lnx;μ,σ)=1σ2π−−√exp[−(lnx−μ)22σ2].


利用概率微分不变性，有 
N(lnx)dlnx=N(lnx)dlnxdxdx=N(lnx)dxx=lnN(x)dx,
, 

其中， 
lnN(x;μ,σ)=1xσ2π−−√exp[−(lnx−μ)22σ2],  x>0


是对数正态分布函数。

期望和方差:

期望为 
E(X)=eμ+σ2/2


方差为 
var(X)=(eσ2−1)e2μ+σ2.


给定期望值与方差，也可以用这个关系求μ与 σ: 
μ=ln(E(X))−12ln(1+var(X)E(X)2),

σ2=ln(1+var(X)E(X)2).


注意：已知变换后的数据的统计特征可以反过来推导出原始数据的统计特征，不存在数据信息的损失（可以看到对数转换后变量的均值可以直接由样本数据的均值得到，但不进行变化却需要由样本均值方差两方面去推断得到），也可以发现对数正态分布实际上是对数据进行了对数变化，从而变成了正态分布，这样更加方便的得到了相关的统计学变量。



局部期望

随机变量 X在阈值k上的局部期望定义为 
g(k)=∫∞k(x−k)f(x)dx


其中f(x)是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为 
g(k)=exp(μ+σ2/2)Φ(−ln(k)+μ+σ2σ)−kΦ(−ln(k)+μσ)


其中 Φ 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。



相关分布（与高斯分布的关系）



如果 Y=ln(X)Y=ln(X) 与X∼Log-N(μ,σ2)，则 Y∼N(μ,σ2)是正态分布。



如果Xm∼Log-N(μ,σ2m), m=1...n¯¯¯¯¯¯¯是有同样 μ 参数、而 σ 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 Y=∏m=1nXm，则 Y 也是对数正态分布变量： Y∼Log-N(nμ,∑m=1nσ2m)。

这是因为在高斯分布求和的分布性质。



在股票中的应用

对数正态分布一般被用来描述增长率。比如股票指数，假设今天标普从2000点涨到了2020，相比于n年前的某一天它从100点涨到101点，虽然今天上涨了20点，远高于另一天上涨的1点，但这两天的上涨率是相同的(1%)。 

至于为什么要取对数log(x2/x1)，而不是直接用x2/x1，看一眼对数曲线就明白了。(x1,x2分别表示第一天和第二天的股指)。 

它有几个很好的性质： 

1.假如增长率不变，那么log(1)=0，位于正态分布的中央  

2.log(1/a) = -log(a)，也就是说股票在一段时间内涨到两倍和跌一半的概率是一样的 

3.x为正(股指永远不会为负值)，y值能取正无穷到负无穷。