正态分布
 
函数形式：y=normpdf(x,mu,sigma)
 
x - x轴数据，如 x=-10:0.01:10; 注意正态分布，正负对称！
 
mu - 均值，默认为0；
 
sigma - 标准差，默认为1；
 
 
 
实例
 
x=-10:0.01:10;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y);
 
 
 
 

对数正态分布
 
函数形式：y=lognpdf(x,mu,sigma)
 
x - x轴数据，如 x=0:0.01:10;
 
mu - 均值，默认为0；
 
sigma - 标准差，默认为1；
 
 
 
实例：
 
x=0:0.01:10;y=lognpdf(x,0,1);plot(x,y);
 

最近遇到了一个联合对数正态分布的相关系数的问题，搜遍全网无果，索性自己动手。本文借鉴了这个知乎回答
 
首先我们有二维正态分布：
 $$X,Y\sim \mathbf{B}\mathbf{V}\mathbf{N}({\mu }_x,{\mu }_y,{\sigma }_x^2,{\sigma }_y^2,{\rho }_{xy})$$
 
取对数之后我们会得到二维对数正态分布的概率密度函数。只写了第一象限的函数表达式，其他地方都是0。
 $$f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-{\rho }_{xy}^2}{\sigma }_x{\sigma }_{y}xy}\exp \left[\frac{-1}{2(1-{\rho }_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-{\mu }_x{)}^2}{{\sigma }_x^2}-\frac{2{\rho }_{xy}(\ln x-{\mu }_x)(\ln y-{\mu }_y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}+\frac{(\ln y-{\mu }_y{)}^2}{{\sigma }_y^2}\right)\right]$$
 
引用链接里有边缘分布（一维情况下）的期望和方差的推导过程，这里只写结论：
 $$\begin{gathered} E(X)=\exp ({\mu }_x+\frac{{\sigma }_x^2}{2}) \\ D(X)=\exp (2{\mu }_x+{\sigma }_x^2)(\exp ({\sigma }_x^2)-1) \end{gathered}$$
 
接下来想算相关系数。首先我们有相关系数的公式：
 $$\rho =\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$
 
关键一步是计算$E(XY)$
 $$E(XY)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }xyf(x,y)\mathbf{d}x\mathbf{d}y$$
 
代入$f(x,y)$
 $$E(XY)={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{2\pi \sqrt{1-{\rho }_{xy}^2}{\sigma }_x{\sigma }_y}\exp \left[\frac{-1}{2(1-{\rho }_{xy}^2)}\left(\frac{(\ln x-{\mu }_x{)}^2}{{\sigma }_x^2}-\frac{2{\rho }_{xy}(\ln x-{\mu }_x)(\ln y-{\mu }_y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}+\frac{(\ln y-{\mu }_y{)}^2}{{\sigma }_y^2}\right)\right]\mathbf{d}x\mathbf{d}y$$
 
作变换（下面做了三步变换，只是处于计算直觉上的方便，其实完全可以只用一步。）
 $$t_x=\frac{\ln (x)-{\mu }_x}{\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_x},t_y=\frac{\ln (y)-{\mu }_y}{\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_y}$$
 
逆变换及其微分（由于对称只写x）
 $$x=e^{\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_x{t}_x+{\mu }_x},\mathbf{d}x=\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_x{e}^{\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_x{t}_x+{\mu }_x}\mathbf{d}{t}_x$$
 
代入$E(XY)$得（节省空间不写积分上下限了）
 $$E(XY)=\frac{1}{\pi }\iint \exp \left[-\left(t_x^2-2{\rho }_{xy}{t}_x{t}_y+t_y^2\right)+\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_x{t}_x+\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_y{t}_y+{\mu }_x+{\mu }_y\right]\mathbf{d}{t}_x\mathbf{d}{t}_y$$
 
提出含$\mu$的常数项后，考虑指数上的二元多项式$t_x^2-2{\rho }_{xy}{t}_x{t}_y+t_y^2-\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_x{t}_x-\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}{\sigma }_y{t}_y$
 
利用沿轴平移来消掉一次项（步骤略，直接写变换）
 $$u=t_x-\frac{{\rho }_{xy}{\sigma }_y+{\sigma }_x}{\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}},v=t_y-\frac{{\rho }_{xy}{\sigma }_x+{\sigma }_y}{\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}}$$
 
原多项式变成了$u^2-2{\rho }_{xy}uv+v^2-\frac{1}{2}({\sigma }_x^2+2{\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y^2)$
 
提出原积分中的常数项，我们得到
 $$E(XY)=\frac{1}{\pi }\exp ({\mu }_x+{\mu }_y+\frac{1}{2}({\sigma }_x^2+2{\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y^2))\iint \exp \left[-u^2+2{\rho }_{xy}uv-v^2\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v$$
 
再对$u$，$v$做一个伸缩变换，把积分函数配成正态分布形式
 $$u^{\prime }=\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}u,v^{\prime }=\sqrt{2(1-{\rho }_{xy}^2)}v$$
 
于是得到
 $$E(XY)=\exp ({\mu }_x+{\mu }_y+\frac{1}{2}({\sigma }_x^2+2{\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y^2))\frac{1}{2\pi (1-{\rho }_{xy}^2)}\iint \exp \left[\frac{-1}{2(1-{\rho }_{xy}^2)}(u^2-2{\rho }_{xy}uv+v^2)\right]\mathbf{d}u\mathbf{d}v$$
 
指数项右边是一个正态分布概率密度的积分，因此等于1，于是得到了一个很简单的形式
 $$E(XY)=\exp ({\mu }_x+{\mu }_y+\frac{1}{2}({\sigma }_x^2+2{\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y+{\sigma }_y^2))$$
 
然后我们把$E(XY)$，$E(X)$，$E(Y)$，$D(X)$，$D(Y)$代入相关系数公式化简得
 
$$\rho =\frac{\exp \left({\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y\right)-1}{\sqrt{(\exp ({\sigma }_x^2)-1)(\exp ({\sigma }_y^2)-1)}}$$
 
但是这个相关系数的结果有个很奇怪的性质，困扰了我一天，那就是当${\sigma }_x\ne {\sigma }_y$的时候$\rho$取不到$[-1,1]$，我用数字帝国画了个${\sigma }_x=1，{\sigma }_y=2$时的草图，长这样：
 然后就怀疑我哪里做错了，后来想着还是拿matlab数值计算一下。代码如下：
 
rho = 0.99;
sigma_x = 2;
sigma_y = 1;
mu_x = 1;
mu_y = 1;
%ff = @(x,y)(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));原始函数
fexy = @(x, y)(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2)));
exy = integral2(fexy,0,inf,0,inf,'Method','iterated','AbsTol',0,'RelTol',1e-10);
exey = exp(mu_x+mu_y+sigma_x^2/2+sigma_y^2/2);
corr = (exy-exey)/(exey*sqrt((exp(sigma_x^2)-1)*(exp(sigma_y^2)-1)));
 
结果是0.6505，和图像相符，也就是说二维对数正态分布的相关系数取值范围确实不总是$[-1,1]$。
 再附一个画二维正态和二维对数正态概率分布的代码：
 
X1=[0.01:0.01:3];
Y1=[0.01:0.01:3];
[x,y]=meshgrid(X1,Y1);
rho = 0.5;
sigma_x = 1;
sigma_y = 1;
mu_x = 1;
mu_y = 1;
BVLN=(exp(-((((log(x)-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(log(x)-mu_x).*(log(y)-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((log(y)-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2).*x.*y));
BVN=(exp(-((((x-mu_x).^2./sigma_x.^2)-(2.*rho.*(x-mu_x).*(y-mu_y)./(sigma_x.*sigma_y))+((y-mu_y).^2)./sigma_y.^2)./(2.*(1-rho.^2))))./(2*sigma_x*sigma_y.*pi.*sqrt(1-rho.^2)));
subplot(1,2,1);surf(x,y,BVLN);
subplot(1,2,2);surf(x,y,BVN);
 
画出来是这种感觉：
 
 断断续续算了四天（主要是开始时不知道如何做变换），算的心态爆炸，给个免费的赞再走吧。

目录
 
1. 均匀分布
 
2. 正态分布
 
概率密度曲线
 
标准正态分布
 
设置均值，方差 
 
3. 对数正态分布
 

1. 均匀分布
 
函数形式： x=rand(n,m)
 
n - 行数
m - 列数
生成在0到1之间，满足均匀分布的随机数！
实例
 
 
2. 正态分布
 
概率密度曲线
 
 
标准正态分布
 
函数形式  x=randn(n,m)
 
n - 行数
m - 列数
生成均值为0，方差为1的标准正态分布
实例
 
 
设置均值，方差 
 
函数形式： 
 
  - 均值
 - 标准差
a - 行数
b - 列数
生成一个均值为，标准差为的正态分布随机数
实例：x=normrnd(3,10,[10,1])
 
 
 
 
3. 对数正态分布
 
函数形式 x=lognrnd(mu,sigma,a,b)
 
mu - 对数值的均值（mean of logarithmic values）；mu = log((m^2)/sqrt(v+m^2)); （m - 均值，v - 方差）
sigma - 对数值的标准差（standard deviation of logarithmic values）；sigma = sqrt(log(v/(m^2)+1))
a - 行数
b - 列数
实例
 
 
 

用python拟合对数正态分布使用的是scipy.stats.lognorm这个包，这个包的使用看官方文档就行，但是其中有一个很迷的地方，网上也有人提到了这个很迷的地方：关于scipy对数正态分布的误区，然后Stack Overflow里也有人给出了解释Stack Overflow大佬的解释说明，，其实Stack Overflow和官网都有解释，可能是我的英语还是太差了吧，导致始终觉得需要看好久才能理解，所以这里来记录下这个漏洞以及我给出的例子。官网链接还是必须的，不管其他人写的多清楚，看下官网总没错。
 Stack Overflow中的解释说明：
 
 
1. 参数的解释
 
下图是官网的说明，首先对数正态分布的概率密度函数就看下面的就行了。要调用这个包的概率密度函数的参数主要是有如下几个lognorm.pdf(x, s, loc, scale)，下面就说明下各个参数的含义：
 x也就是自变量，是一个list或series啥的都可以，返回的是每个x处的对数正态分布的概率密度函数。s是形状参数，loc是一个参数，你的数据都会被加上loc，以便使得0成为数据范围的下确界，对方差没有影响。因为对数正态分布嘛，取了对数的，一般都是(0,无穷)。scale类似于标准差，但不是。听我下面的说明。
 
 我们假设一个一维的数组x，这个一维的数组x的分布是对数正态分布。那么要得到这个一维数组x的概率密度函数就可以使用lognorm.pdf(x, s, loc, scale)，其中的x可以输入该数组，也可以输入一个自己设置的，比如x1=np.linspace(0,3,200)，因为这个是参数估计，所以只要得到参数值，其实就已经确定分布了，这个x就没用了，任何一个一维数组都可以给出对应位置的概率密度值。那么如何根据x得到lognorm.pdf(x, s, loc, scale)中的参数呢？下面一个一个参数来说明：
 
s：s=np.std(np.log(x))，也就是先对x求log，得到正态分布的数组，然后对这个正态分布的数组求标准差，这个标准差就是s。
loc设置为0就可以，用默认值就行，不用去设置。如果源数据有偏移可以设置下loc。这个参数我简单尝试试验了下，但不确定，若有问题，大佬可以指正，谢谢。
scale：scale=math.exp(np.mean(np.log(x)))，也就是说先对x求log，得到正态分布的一维数组，然后对正态分布的x求均值，然后exp（得到的均值）就是scale了。
 这里贴上Stack Overflow上的一个例子。
 
import math
from scipy import stats

# standard deviation of normal distribution
sigma = 0.859455801705594
# mean of normal distribution
mu = 0.418749176686875
# hopefully, total is the value where you need the cdf
total = 37

frozen_lognorm = stats.lognorm(s=sigma, scale=math.exp(mu))
frozen_lognorm.cdf(total) # use whatever function and value you need here
 
下面有个老兄也吐槽scipy的这个参数非人类，哈哈，贴上给大家一乐。
 
 
2. 我写的例子，证明上述说明
 
为了方便我就放图了，反正也很简单，大家看看就完了，我感觉也不必去自己跑了。
 
 
 
 
 
 
代码如下：
 
# 生成正态分布的一维数组
import numpy as np
ser1 = np.random.normal(1, 2, 10000)
print(np.mean(ser1), " ", np.var(ser1))

#生成对数正态分布的一群点
ser2 = np.exp(ser1)
print(ser2)

print(ser1)

print("符合对数正态分布一维数组的均值和标准差",np.mean(ser2),np.var(ser2))

# 验证对数正态分布的均值和方差
mu = math.exp(1+2)
sig2 = (math.exp(4)-1)*math.exp(2*1+4)
print("均值{0},方差{1}".format(mu , sig2))
### 验证成功，方差因为比较大，有一定差异，但是相对误差还是不大的。

### 使用lognorm这个函数取输出理论的均值和标准差，
### 可以看到和我们计算出的理论值完全一样。
### 这既证明理论值是正确的，也证明我们对这个函数的参数的说明是正确的。
mu = lognorm.mean( s=2 , scale=math.exp(1))
sig2 = lognorm.var( s=2 , scale=math.exp(1))
print("均值{0},方差{1}".format(mu , sig2))

# 绘制对数正态分布概率密度函数图形
x=np.linspace(0,50,20000)
plt.plot(x,lognorm.pdf(x=x , s=2 , scale=math.exp(1)))
plt.show()


# 对loc这个参数进行一些试验，以简单了解loc这个参数的含义
mu = lognorm.mean( s=2 , loc = 4,scale=math.exp(1))
sig2 = lognorm.var( s=2 ,loc =  4, scale=math.exp(1))
print("均值{0},方差{1}".format(mu , sig2))

# 对loc这个参数进行一些试验，以简单了解loc这个参数的含义
mu = lognorm.mean( s=2 , loc = -4,scale=math.exp(1))
sig2 = lognorm.var( s=2 ,loc =  -4, scale=math.exp(1))
print("均值{0},方差{1}".format(mu , sig2))

mu = lognorm.mean( s=2 , scale=math.exp(1))
sig2 = lognorm.var( s=2 , scale=math.exp(1))
print("均值{0},方差{1}".format(mu , sig2))
 
 
结束啦