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    作者:李狗嗨
    链接:https://www.zhihu.com/question/26097157/answer/265975884
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。
     

    数学的基本运算可分为三个等级。第一级为加、减运算,虽然加减法的概念在公元前20世纪的古埃及数学家艾哈迈斯(Ahmes)的纸草书中就有体现,但今天的加号“+”和减号“-”,最早有史料记载的,是在15世纪末的德国人的手稿中,现保存于德国德累斯顿(Dresden)图书馆[1]

    后来,人们发现在遇到“连加”或“连减”时,加减法的效率很低,于是就发明了第二级运算——乘法和除法以及与此对应的乘号和除号。在西方,“×”被称为“圣安德鲁斜十字(St. Andrew’s Cross)”。安德鲁是耶稣的12门徒之一,由于其被钉死在斜十字架上,因此,斜十字架也成为圣安德鲁斜十字。现代意义上的“×”号最先出自于1631年英国数学家奥特雷德(William Oughtred)的《数学之钥》中。

    1698年,莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)[2]在其给瑞士数学家雅各比·伯努利(Jacob Bernoulli)的信件中首次使用“·”表示乘法,以此来避免乘号“×”和字母“X”的混淆。不过,后来在向量代数中,用“·”表示“数量积”或“内积”,而“×”则表示“向量积”或“外积”,这就算是另一种区分方法了。

     

    Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) (图片来源: Wikipedia)

     

    今天用的除号“÷”称为“雷恩记号”。它是瑞士数学家雷恩(Rahn)在其1659年出版的一本代数书中首先使用,在1688年,这本书被译成英文,这个符号也随之通用起来。

    但人们还不满足,因为人们遇到了“连乘”和“连除”,即“乘方”。而且,乘方有两种逆运算,分别是“开方”和“对数”。这是第三级运算与加减乘除的不同之处。

    法国数学家笛卡尔(Descartes)在1637年定义了现代乘方符号,即在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。1732年卢贝(Loubere)首次使用根号来表示开方,并逐渐流行起来。

    “开方”的诞生似乎顺理成章,但是乘方的另一种逆运算——“对数”,就有些“难产”了。

    斯蒂菲尔(Michael Stifel)[3]是德国德国哥尼斯堡大学的数学讲师,1544年,他写了一本书叫《整数的算术》,在这本书中他应用“一一对应”的方法几乎造就了一座数学丰碑。

     

    Michael Stifel (1487-1567) (图片来源: Wikipedia)

    斯蒂菲尔在书中写道:“关于整数的这些奇妙性质,可以写成整本整本的书!”下面就是他书中列出的两列数字:

     

     

    可以看出,上一列其实就是通项公式为 [公式] 的等比数列( [公式] 为整数),他称其为“原数”;下一列则是一个由整数构成的等差数列,他称其为“代表数”,德语是Exponent,也可译为“代言人”。

    他发现,两个“原数”相乘等于“代表数”相加后得到的“代表数”所对应的“原数”“原数”相除等于“代表数”相减后得到的“代表数”所对应的“原数”。即,利用这两列数可以把较为复杂的乘除法变成较为简单的加减法。

    其实,在我们看来,这个结论没有什么神奇之处,因为所谓的“代表数”其实就是“原数”以2为底的对数。但是在当时,这种计算方法思想是开创性的。

    不过遗憾的是,在斯蒂菲尔的那个年代还没有分数指数的概念,因此在处理指数不是整数时遇到了巨大的阻力,最后,他放弃了对这种计算方法的进一步研究,而只是停留在了整数上。不过,斯蒂菲尔也并非全然无功,他的前驱性工作,成为纳皮尔发明对数的“巨人肩膀”。

    约翰·纳皮尔(John Napier)[4]是苏格兰数学家、物理学家兼天文学家。1614年,其在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》中提出了对数的概念。

     

    John Napier (1550-1617) (图片来源: Wikipedia)

    "看起来在数学实践中,最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方,计算起来特别费事又伤脑筋,于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。"

    --约翰·纳皮尔,《奇妙的对数定律说明书》[5]

    作为数学家、物理学家兼天文学家,他在计算各种行星轨道数据时,也被浩瀚的计算量所折磨,因此很痛恨这些乏味的重复性工作。为了解决这一问题,他用了20年的时间,进行了数百万次的计算,发明了对数和对数表,听起来很矛盾,一个不想做重复工作的人结果做了20年重复性工作。但是,他的努力确实为后人减少了大量的重复性工作,大大减少了数学家、天文学家的计算量,由此可见,这在天文学界算得上是一项伟大的发明了,看看名人们对其的评价就能看出其重要性[6]

    对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立是17世纪数学的三大成就。

    ——恩格斯

    对数的发现,因其节省劳力而延长了天文学家的寿命。

    ——拉普拉斯

    给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。

    ——伽利略

    对数使得手算变得简单而且快多了,也因此为后来许多科学进步开启了大门。那么如何理解对数?一个直观的解释是:对数指的是到达某一数量所需要的时间。这里先介绍自然对数。即以 [公式] 为底的对数。

     

    例如,有一个土豪投资的项目正好满足年利率为100%的连续复利。但是这个土豪小学文化,数学水平也就加减乘除,假设你是这个项目的负责人,想劝说土豪再多投资,如果跟他说什么连续复利、什么100%、什么指数增长,土豪听不懂啊,你再这么说下去感觉在欺负人啊!土豪就发话了:“别整那些没用的,你就告诉我,我的钱啥时候能涨到10倍,100倍,1000倍?”你有些发懵了,一般人不怎么问啊,不都是问一年后是多少,两年后是多少之类的吗?所以这里的问题就是知道时间求数量的逆向问题——知道数量求时间。土豪就是土豪,有的是钱,他只想从翻倍时间的长短来判断哪项投资赚得快。因此,这里就要用到对数,在这样一个年利率为100%的连续复利增长模型下,如果你想得涨到你本金10倍,你需要等待的时间其实就是 [公式] 年,到100倍所需时间就是 [公式] 年,到1000倍所需时间就是 [公式] 年。

    [公式] [公式]

    [公式][公式] 好像是孪生一对, [公式] 表示单位数量经过x个单位时间增长后的数量(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。那么在单位时间增长率为50%的连续复利情况下,增长4年和单位时间增长率为100%的连续复利情况下增长2年是一样的。因为 [公式] 。所以,可以看出,不管利率是多少,通用的连续复利模型 [公式] 都可以描述。

    [公式] 表示单位数量增长到 [公式] 个单位数量所需要的时间(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。 [公式] 正好与 [公式] 相反, [公式] 表示输入时间得到数量, [公式] 表示输入数量计算达到这么多数量所需时间。

     

    自然对数的计算

    有人可能会觉得对数这种算法很奇怪,不知道为什么它能够将乘法转变为加法,把除法转化为减法,但如果掌握其“数学内涵”的话,就好理解了。

    先看 [公式] ,它是多少呢?我们都知道答案是0,因为其数学内涵是:单位数量增长到单位数量的1倍时所需要的时间,因为现在就已经是现在数量的1倍了,所以无需再给予时间让它增长了。

    那么,如果是分数呢?例如,得到现在数量的1/2需要多久。我们知道ln(2)表示在单位时间增长率为100%的连续复利情况下翻倍所需要的时间。那我们取反,就得到了退回现在的一半所需要的时间(如果是等待所花费的时间为正,如果是“时光倒流”的话,时间则为负,是不是很直观?!)。因此 [公式]

    那么能不能对负数取对数呢?答案是否定的,因为一个给定的数量不能增长为一个负数也无法退回成为一个负数,再怎么等待下去或者再怎么“时光倒流”,这种情况也不可能发生,所以没有定义。

     

    为了增长到30倍,我们可以等ln(30)个单位时间,也可以先等增长3倍所需要的时间ln(3)再等个增长10倍所需要的时间ln(10),效果是一样的。因为在增长率不变的连续复利情况下,给定一个初始值,那么增长到初始值的x倍所需要的时间是一定的,与初始值的大小并没有任何关系。即 [公式]

    那么 [公式] 呢,意味着计算增长到现在的5倍所需时间减去以5倍为基数退回到其1/3所需时间。所以有 [公式]

    相乘增长量=时间相加

    相除增长量=时间相减

    但是对于增长率不是100% 的连续复利模型呢?

    其实同样适用。

    例如 [公式] 可以看为是在单位时间利率100%连续复利情况下变为原来的30倍所需要的时间为3.4个单位时间。

    由于 [公式] = [公式][公式]

    当我们计算单位时间利率为5%,增长到30倍所需时间时。其实只要保证 [公式] 即可。即 [公式] ,所以 [公式]

    72法则

    这是一种快捷算法,因为实际中银行的利率不可能是100% ,但是我们经常想知道本金到底什么时候能够翻倍。而对于利率为100% 的连续复利,如果要翻倍就需要ln(2)=0.693个单位时间。

    那么对于小利率呢,为了方便计算现将利率乘以100,但注意是百分数。那么0.693也要乘以100,等于69.3。

    [公式] ,可知 [公式]

    但是69.3并不太好分,所以我们取一个相近的,72,因为其可以被2、3、4、6、8整除。因此,翻倍所需时间大约是 [公式] ,这就是“72”法则。当然,如果想计算增长到3倍的话那就是“110”法则了。

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  • 除法: 取模:模拟人工竖式,被除数-除数10^n倍数,n即商所在位 取余:如上 阶乘: 求阶乘位数:lg(N!) = [lg(N*(N-1)*(N-2)*...*3*2*1)]+1= [lgN+lg(N-1)+lg(N-2)+...+lg3+lg2+lg1]+1 求阶乘:进位,一个个...

    1.大数运算

    (整型或浮点型)大数加减乘除、阶乘
    以下,都为人工竖式思路
    加法:模拟人工竖式,标记进位
    减法:先判断大的,模拟人工竖式,标记借位
    乘法:模拟竖式,从低位向高位乘,再进行各位的加法及进位
    除法:
    取模:模拟人工竖式,被除数-除数的10^n的倍数,n即商的所在位
    取余:如上
    阶乘:
    求阶乘位数:lg(N!) = [lg(N*(N-1)*(N-2)*...*3*2*1)]+1= [lgN+lg(N-1)+lg(N-2)+...+lg3+lg2+lg1]+1
    求阶乘:进位,一个个相乘,a[]标记每一位的结果,若有进位,a[]数组对应位置相加
    注意:
    若为浮点数计算,要先找到小数点位置进行小数点对齐
    常见大数运算方法还有分治法等,分治法把数字分成一块一块的,然后再进行整合

    2.二维数组二分查找

    该排序的二维数组a[m][n]特点为每行数据是有序的,每列数据是有序的
    思路为:从左下角第一个数开始查找,若更大,则向上查找,若更小,则向右查找,最大时间复杂度,也只是O(m+n)

    3.1TB数据如何使用32GB内存排序

    采用外排序:

    1. 1TB分为40块,每块25GB,留一些系统空间
    2. 25GB读入内存,进行内部排序(如:快排)
    3. 把排好的数据存回磁盘
    4. 循环排序40块
    5. 从40块分别读取25GB/40入内存
    6. 40路合并,并将合并结合临时存储于2GB基于内存内存的输出缓冲区,写满2GB时,写入磁盘上最终文件,并清空输出缓冲区

    4.找出海量数据中最大的k个数

    1. 小根堆
      建一个大小为k的小根堆,遍历数据,前k个数先建堆,之后每当后面有数比k大,则替换根节点并调整堆
    2. 分治法
      将数据分块,每块找到最大的k个数,再继续分块找新块的最大的k个数,重复步骤即可

    5.如何让快排稳定

    1. 设置双标志位,不在乎空间的话,把原数组的元素包装一下,变成(元素,下标)的形式,比较时若元素相等,比较下标,排序完成后拆开就好了
    2. 可以用另外一个和待排序一样长度的辅助数组。对待排序数组两次扫描,第一次从下标0到len把比tmp小的依次从左到右一直放到辅助数组里。然后第二次扫描待排序数组从下标len到0,把大于等于tmp的依次从右到左放到辅助数组里。最后拷贝辅助数组到原数组,这样应该就是稳定的partition了。当然第一次扫描需要记录mid的位置,而且选择比较的tmp也要数组的第一个也就是low下标的数

    6.找到有序数组中唯一相加为0的一对数

    和快排的思路有些类似,快排比较的是两个数的大小,这个则是比较两个数绝对值,若绝对值大的,基准位置向左或向右移动

    7.找到1-100中不存在于数组a[99]的数

    给一个临时变量,依次异或1-100,再去异或数组元素,最终得到的结果即为不存在的数

    8.链表相关问题

    1. 快慢指针法:给定一个快指针fast=fast->next->next,一个慢指针low=low->nest
      解决问题:
      找链表中是否有环:
      如果有环,则一定会相遇
      找链表中间节点:
      若fast->nest为NULL,则low所在位置即中间节点
      找倒数第k个节点:
      设有两个指针 low,fast,fast 先走 k - 1 步,再使两个指针同时走,当 fast -> next 指向空时,返回 low即倒数第 k 个结点
    2. cur,prev,next指针法:也叫三指针法,cur、prev指向链表头部,next指向头部的next
      解决问题:
      反转链表:
      给定三个指针 n1,n2,n3,n1 指向头节点,n2 指向头-> next,n3 指向头-> next -> next ,使 next 指向 prev ,即 n2 -> next = n1,n3 始终向后移动,直到 n3 指向空,即 n1 和 n2 改变指针所指方向, n3 为指针方向改变的位置
      删除重复节点:
      给三个指针 cur,next,prev,cur 指向第一个结点,若后移过程与 next 相等,删除 next 后 cur 再后移,直至 cur 与 next 不相等时,删除 cur ,cur 后移,prev 后移,next 后移,重新链接 prev 和新 cur,若后移过程中,cur 与 next 不相等,next、cur、prev 后移
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  • 用中国科学技术大学数学系七八年级学生史丰收创造的快速计算,可以进行任意位数的加、减、、乘方、开方、分数、三角函数、对数的运算,快速、准确。算法是从高位数算起。史丰收总结了二十九句口诀,用来表示...

    用中国科学技术大学数学系七八年级学生史丰收创造的快速计算法,可以进
    行任意位数的加、减、乘、除、乘方、开方、分数、三角函数、对数的运算,快
    速、准确。算法是从高位数算起。史丰收总结了二十九句口诀,用来表示一位数
    乘多位数的进位规律,掌握了这些口诀和一些具体法则,就能进行快速运算。
      二十九句口诀如下:
      乘数为2时,口诀为:满5进1;
      乘数为3时,口诀为:超3进1,超6进2;
      乘数为4时,口诀为:满25进1,满50进2,满75进3;
      乘数为5时,口诀为:满2进1,满4进2,满6进3,满8进4;
      乘数为6时,口诀为:超16进1,超3进2,满5进3,超6进4,超8
    3进5;
      乘数为7时,口诀是:超142857进1,超285714进2,超42
    8571进3,超571428进4,超714285进5,超857142进
    6;
      乘数为8时,口诀是:满125进1,满25进2,满375进3,满5进
    4,满625进5,满75进6,满875进7;
      乘数为9时,口诀为:超1进1,超2进2,……超8进8;
      口诀中所说的“满”是“大于”或“等于”的意思。“超”是“大于”的意
    思。数字上面有一点的,代表循环小数,如“3”,读做“循环3”,也就是小
    数“3”的不断重复。“6”读做“循环6”,也就是小数“6”的不断重复。
    ……
      计算时,乘数是几就按几的进位规律进行运算,运算法则是:被乘数首位前
    补“0”,从高位起逐位相乘,按“本个”加“后进”,满“10”只取和的个
    位数的方法进行计算。“本个”就是九九表中的个位数,“后进”就是后位的进
    位数。
      运用口诀进行计算的举例:
      33867×3=?
      首先在被乘数首位补“0”,就变成:033867乘以3。
      运算方法如下:
      033867乘以3,得积101601。
      积的第一位“1”是这样算得的:0乘以3得0(“0”是“本个”),被
     乘数0的后位数338超3故进1(“1”是“后进”);“本个”“0”加
    “后进”“1”等于1,所以积的第一位是“1”。
      积的第二位“0”这样算:3乘以3得9(“9”是“本个”),后位38
    超3故进1(“1”是“后进”),9加1等于10(满10只取和的个位数),
    所以积的第二位是“0”。
      积的第三位“1”这样算:3乘以3得9(“本个”),后位8超6故进2
    (“后进”),9加2等于11(取个位“1”),所以是“1”。
      积的第四位“6”这样算:8乘以3得24(这里“24”后面的“4”是
    “本个”),后位67超6故进2(“后进”),4加2等于6,所以是“6”。
      积的第五位“0”这样算:6乘以3得18(“18”后面的“8”是“本
    个”),后位7超6进2(“后进”),8加2等于10(取个位0),所以是
    “0”。
      积的末位“1”这样算:7乘以3得21,个位是1,后位不进,所以是“
    1”。
      不同的乘数用不同的进位规律进行计算,运算方法同上例乘数为3的方法同
    样。运算速度随运算技巧的不断熟练而逐步加快。

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  • hdu 3666 THE MATRIX PROBLEM

    千次阅读 2011-03-17 20:46:00
    差分约束,取对数乘除法转化成加减法!另外,spfa队列判负环,某点进入队列次数上界可以取sqrt(1.0*N)或者总所有点入队次数为2×N

    题目意思就是是否存在ai,bj,使得l<=cij*(ai/bj)<=u (1<=i<=n,1<=j<=m)成立

    首先,把cij除到两边:l'<=ai/bj<=u',如果差分约束的话,应该是ai-bj的形式,于是可以取对数

    log(l')<=log(ai)-log(bj)<=log(u')

     

    把log(ai)和log(bj)看成两个点ai和bj,化成求最短路的形式:dis[ai]-dis[bj]<=log(u'),dis[bj]-dis[ai]<=-log(l')

    然后判负环就行,深搜和广搜都可以

     

    注意的是,如果spfa队列判负环:

    (1)不必判断某个点入队次数大于N,只要判断是否大于sqrt(1.0*N)

    (2)或者所有点的入队次数大于T*N,即存在负环,一般T取2

    N为所有点的个数

     

    代码:

    spfa队列版本

     

     

    spfa深搜版本

     

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  • db与放大倍数之间关系

    千次阅读 2017-05-22 11:29:29
    实质是因为:对数运算把乘除法,表示成了加减法!这样分析更直观! 比如:你的增益从 100倍 变化到 10倍,你怎么能 画图 直观表示这是缩小10倍变化?  要是用对数的话,直接用减小的DB 数可以精确作图,在对数坐标...
  • 使用除法和模数 使用右移和模数 使用BigDecimal 使用除法和加倍 是2幂 使用循环 使用递归 使用对数 使用位 译成英文(例如1会返回“ 1”) 到二进制字符串 使用除法和模数 使用右移和模数 使用BigDecimal 加成
  • 常见指数运算如下:2、对数在数学中,对数是对求幂逆运算,正如除法是乘法倒数,反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字(基数)指数。 在简单情况下,乘数中的对数计数因子。更...
  • 算法中常用数学公式

    千次阅读 2018-11-14 11:29:06
    1、指数 指数是幂运算aⁿ(a≠0)中一个参数,a为底数,n...在数学中,对数是对求幂逆运算,正如除法是乘法倒数,反之亦然。 这意味着一个数字的对数是必须产生另一个固定数字(基数)指数。 在简单情况下...
  • 考虑到非线性函数不能直接拆分,首先提出一组基本转换协议,实现加性副本和性副本安全转换,经过少量调用,可以安全计算幂函数、比较、指数、对数除法等底层函数。由于数据传递和计算特点,协议可以扩展至数组...
  • np.add减 np.subtract np.multiply除 np.divide地板除法 np.floor_divide次幂运算 np.power二维数组基本运算两个数组基本运算三角函数np.sinnp.cosnp.tannp.arcsinnp.arccosnp.arctan指数和对数np.exp()np.exp...
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    用小数表示大数方法:使用加法和减法代替乘法和除法,称作对数。在射频中,其一,对数是两个值比值;其二,该比值单位是分贝dbDb定义是:10*log(输出功率/输入功率)放大器输出信号是输入信号100倍,那么...
  • 1.3算法案例最新.ppt

    2020-09-12 17:35:38
    先用两个公有质因数连续去除一直到所得商是互质数为止然后把所有除数连起来 知识要点 辗转相除欧几里得算法 所谓辗转相除就是对于给定两个数用较大数除以较小数若余数不为零则将余数和较小数...
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    算术运算符:乘法:-----*:乘法 -----.*:点乘除法:-----/:左除 -----./:点除 -----\:...除则是矩阵的除法A/B=A*B^(-1),即B逆矩阵)^:幂sqrt:开方(根号)exp:自然对数e幂,格式exp(a) 自然对数e...
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    教程01目录变量基本运算适用于向量常用函数矩阵快捷其他 变量 变量就是保存数字、公式等载体...乘除法:直接键入x^yor x/y 然后回车 取对数:log默认底数为e,log(x)然后回车;目前已知被定义了底数只有2和...
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  • 数据类型: +加 -减 * m/n除法(结果是整数+小数) m//n整数除法(结果是商的整数部分) ...数字常数π,自然对数的低e 判断浮点数a,b相等式子:a-b<0.00000000001 不能直接a==b进行比较 逻辑运算符:and与 or
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  • 题目请戳这里 题目大意:给一个n*m矩阵,求是否存在这样两个序列:a1,a2。...乘除法可以通过取对数转换为加减法。然后就可以得到约束关系: 对于矩阵元素cij,有log(L) <= log(cij) + ai ...
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    将乘法转换成除法防止溢出 a/(b*c)=a/b/c 13.排序要求不高时可以用C++STL模板函数sort(),stable_sort() int a[n]={...}; sort(a,a+n); bool cmp(int m,int n) { return m>n; } sort(a,a+n,cmp); 14....
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    2009-08-08 22:36:50
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    2009-07-28 22:13:02
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空空如也

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对数的乘除法