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第一级为加、减运算,“连加”或“连减”时发明了第二级运算——乘法和除法,“连乘”和“连除”,即“乘方...
2020-05-04 14:13:55作者:李狗嗨 ...来源:知乎 著作权归作者所有。...第一级为加、减运算,虽然加减法的概念在公元前20世纪的古埃及数学家艾哈迈斯(Ahmes)的纸草书中就有体现,但今天的加号“+”和减号“-”,最早有史...作者:李狗嗨
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数学的基本运算可分为三个等级。第一级为加、减运算,虽然加减法的概念在公元前20世纪的古埃及数学家艾哈迈斯(Ahmes)的纸草书中就有体现,但今天的加号“+”和减号“-”,最早有史料记载的,是在15世纪末的德国人的手稿中,现保存于德国德累斯顿(Dresden)图书馆[1]。
后来,人们发现在遇到“连加”或“连减”时,加减法的效率很低,于是就发明了第二级运算——乘法和除法以及与此对应的乘号和除号。在西方,“×”被称为“圣安德鲁斜十字(St. Andrew’s Cross)”。安德鲁是耶稣的12门徒之一,由于其被钉死在斜十字架上,因此,斜十字架也成为圣安德鲁斜十字。现代意义上的“×”号最先出自于1631年英国数学家奥特雷德(William Oughtred)的《数学之钥》中。
1698年,莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)[2]在其给瑞士数学家雅各比·伯努利(Jacob Bernoulli)的信件中首次使用“·”表示乘法,以此来避免乘号“×”和字母“X”的混淆。不过,后来在向量代数中,用“·”表示“数量积”或“内积”,而“×”则表示“向量积”或“外积”,这就算是另一种区分方法了。
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) (图片来源: Wikipedia)
今天用的除号“÷”称为“雷恩记号”。它是瑞士数学家雷恩(Rahn)在其1659年出版的一本代数书中首先使用,在1688年,这本书被译成英文,这个符号也随之通用起来。
但人们还不满足,因为人们遇到了“连乘”和“连除”,即“乘方”。而且,乘方有两种逆运算,分别是“开方”和“对数”。这是第三级运算与加减乘除的不同之处。
法国数学家笛卡尔(Descartes)在1637年定义了现代乘方符号,即在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。1732年卢贝(Loubere)首次使用根号来表示开方,并逐渐流行起来。
“开方”的诞生似乎顺理成章,但是乘方的另一种逆运算——“对数”,就有些“难产”了。
斯蒂菲尔(Michael Stifel)[3]是德国德国哥尼斯堡大学的数学讲师,1544年,他写了一本书叫《整数的算术》,在这本书中他应用“一一对应”的方法几乎造就了一座数学丰碑。
Michael Stifel (1487-1567) (图片来源: Wikipedia)
斯蒂菲尔在书中写道:“关于整数的这些奇妙性质,可以写成整本整本的书!”下面就是他书中列出的两列数字:
可以看出,上一列其实就是通项公式为
的等比数列(
为整数),他称其为“原数”;下一列则是一个由整数构成的等差数列,他称其为“代表数”,德语是Exponent,也可译为“代言人”。
他发现,两个“原数”相乘等于“代表数”相加后得到的“代表数”所对应的“原数”;“原数”相除等于“代表数”相减后得到的“代表数”所对应的“原数”。即,利用这两列数可以把较为复杂的乘除法变成较为简单的加减法。
其实,在我们看来,这个结论没有什么神奇之处,因为所谓的“代表数”其实就是“原数”以2为底的对数。但是在当时,这种计算方法思想是开创性的。
不过遗憾的是,在斯蒂菲尔的那个年代还没有分数指数的概念,因此在处理指数不是整数时遇到了巨大的阻力,最后,他放弃了对这种计算方法的进一步研究,而只是停留在了整数上。不过,斯蒂菲尔也并非全然无功,他的前驱性工作,成为纳皮尔发明对数的“巨人肩膀”。
约翰·纳皮尔(John Napier)[4]是苏格兰数学家、物理学家兼天文学家。1614年,其在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》中提出了对数的概念。
John Napier (1550-1617) (图片来源: Wikipedia)
"看起来在数学实践中,最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方,计算起来特别费事又伤脑筋,于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。"
--约翰·纳皮尔,《奇妙的对数定律说明书》[5]
作为数学家、物理学家兼天文学家,他在计算各种行星轨道数据时,也被浩瀚的计算量所折磨,因此很痛恨这些乏味的重复性工作。为了解决这一问题,他用了20年的时间,进行了数百万次的计算,发明了对数和对数表,听起来很矛盾,一个不想做重复工作的人结果做了20年重复性工作。但是,他的努力确实为后人减少了大量的重复性工作,大大减少了数学家、天文学家的计算量,由此可见,这在天文学界算得上是一项伟大的发明了,看看名人们对其的评价就能看出其重要性[6]。
“对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立是17世纪数学的三大成就。”
——恩格斯
“对数的发现,因其节省劳力而延长了天文学家的寿命。”
——拉普拉斯
“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”
——伽利略
对数使得手算变得简单而且快多了,也因此为后来许多科学进步开启了大门。那么如何理解对数?一个直观的解释是:对数指的是到达某一数量所需要的时间。这里先介绍自然对数。即以
为底的对数。
例如,有一个土豪投资的项目正好满足年利率为100%的连续复利。但是这个土豪小学文化,数学水平也就加减乘除,假设你是这个项目的负责人,想劝说土豪再多投资,如果跟他说什么连续复利、什么100%、什么指数增长,土豪听不懂啊,你再这么说下去感觉在欺负人啊!土豪就发话了:“别整那些没用的,你就告诉我,我的钱啥时候能涨到10倍,100倍,1000倍?”你有些发懵了,一般人不怎么问啊,不都是问一年后是多少,两年后是多少之类的吗?所以这里的问题就是知道时间求数量的逆向问题——知道数量求时间。土豪就是土豪,有的是钱,他只想从翻倍时间的长短来判断哪项投资赚得快。因此,这里就要用到对数,在这样一个年利率为100%的连续复利增长模型下,如果你想得涨到你本金10倍,你需要等待的时间其实就是
年,到100倍所需时间就是
年,到1000倍所需时间就是
年。
与
和
好像是孪生一对,
表示单位数量经过x个单位时间增长后的数量(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。那么在单位时间增长率为50%的连续复利情况下,增长4年和单位时间增长率为100%的连续复利情况下增长2年是一样的。因为
。所以,可以看出,不管利率是多少,通用的连续复利模型
都可以描述。
表示单位数量增长到
个单位数量所需要的时间(在单位时间增长率为100%的连续复利情况下)。
正好与
相反,
表示输入时间得到数量,
表示输入数量计算达到这么多数量所需时间。
自然对数的计算
有人可能会觉得对数这种算法很奇怪,不知道为什么它能够将乘法转变为加法,把除法转化为减法,但如果掌握其“数学内涵”的话,就好理解了。
先看
,它是多少呢?我们都知道答案是0,因为其数学内涵是:单位数量增长到单位数量的1倍时所需要的时间,因为现在就已经是现在数量的1倍了,所以无需再给予时间让它增长了。
那么,如果是分数呢?例如,得到现在数量的1/2需要多久。我们知道ln(2)表示在单位时间增长率为100%的连续复利情况下翻倍所需要的时间。那我们取反,就得到了退回现在的一半所需要的时间(如果是等待所花费的时间为正,如果是“时光倒流”的话,时间则为负,是不是很直观?!)。因此
那么能不能对负数取对数呢?答案是否定的,因为一个给定的数量不能增长为一个负数也无法退回成为一个负数,再怎么等待下去或者再怎么“时光倒流”,这种情况也不可能发生,所以没有定义。
为了增长到30倍,我们可以等ln(30)个单位时间,也可以先等增长3倍所需要的时间ln(3)再等个增长10倍所需要的时间ln(10),效果是一样的。因为在增长率不变的连续复利情况下,给定一个初始值,那么增长到初始值的x倍所需要的时间是一定的,与初始值的大小并没有任何关系。即
。
那么
呢,意味着计算增长到现在的5倍所需时间减去以5倍为基数退回到其1/3所需时间。所以有
。
相乘增长量=时间相加
相除增长量=时间相减
但是对于增长率不是100% 的连续复利模型呢?
其实同样适用。
例如
可以看为是在单位时间利率100%连续复利情况下变为原来的30倍所需要的时间为3.4个单位时间。
由于
=
即
当我们计算单位时间利率为5%,增长到30倍所需时间时。其实只要保证
即可。即
,所以
72法则
这是一种快捷算法,因为实际中银行的利率不可能是100% ,但是我们经常想知道本金到底什么时候能够翻倍。而对于利率为100% 的连续复利,如果要翻倍就需要ln(2)=0.693个单位时间。
那么对于小利率呢,为了方便计算现将利率乘以100,但注意是百分数。那么0.693也要乘以100,等于69.3。
由
,可知
但是69.3并不太好分,所以我们取一个相近的,72,因为其可以被2、3、4、6、8整除。因此,翻倍所需时间大约是
,这就是“72”法则。当然,如果想计算增长到3倍的话那就是“110”法则了。
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算法思路题总结(大数运算+找最大的k个数+1TB数用32GB内存排序+快排稳定+找到有序数组相加为0的一对数+链表...
2020-10-26 23:09:16除法: 取模:模拟人工竖式,被除数-除数的10^n的倍数,n即商的所在位 取余:如上 阶乘: 求阶乘位数:lg(N!) = [lg(N*(N-1)*(N-2)*...*3*2*1)]+1= [lgN+lg(N-1)+lg(N-2)+...+lg3+lg2+lg1]+1 求阶乘:进位,一个个...1.大数运算
(整型或浮点型)大数加减乘除、阶乘
以下,都为人工竖式思路
加法:模拟人工竖式,标记进位
减法:先判断大的,模拟人工竖式,标记借位
乘法:模拟竖式,从低位向高位乘,再进行各位的加法及进位
除法:
取模:模拟人工竖式,被除数-除数的10^n的倍数,n即商的所在位
取余:如上
阶乘:
求阶乘位数:lg(N!) = [lg(N*(N-1)*(N-2)*...*3*2*1)]+1= [lgN+lg(N-1)+lg(N-2)+...+lg3+lg2+lg1]+1
求阶乘:进位,一个个相乘,a[]标记每一位的结果,若有进位,a[]数组对应位置相加
注意:
若为浮点数计算,要先找到小数点位置进行小数点对齐
常见大数运算方法还有分治法等,分治法把数字分成一块一块的,然后再进行整合2.二维数组二分查找
该排序的二维数组a[m][n]特点为每行数据是有序的,每列数据是有序的
思路为:从左下角第一个数开始查找,若更大,则向上查找,若更小,则向右查找,最大时间复杂度,也只是O(m+n)3.1TB数据如何使用32GB内存排序
采用外排序:
- 1TB分为40块,每块25GB,留一些系统空间
- 25GB读入内存,进行内部排序(如:快排)
- 把排好的数据存回磁盘
- 循环排序40块
- 从40块分别读取25GB/40入内存
- 40路合并,并将合并结合临时存储于2GB基于内存内存的输出缓冲区,写满2GB时,写入磁盘上最终文件,并清空输出缓冲区
4.找出海量数据中最大的k个数
- 小根堆
建一个大小为k的小根堆,遍历数据,前k个数先建堆,之后每当后面有数比k大,则替换根节点并调整堆 - 分治法
将数据分块,每块找到最大的k个数,再继续分块找新块的最大的k个数,重复步骤即可
5.如何让快排稳定
- 设置双标志位,不在乎空间的话,把原数组的元素包装一下,变成(元素,下标)的形式,比较时若元素相等,比较下标,排序完成后拆开就好了
- 可以用另外一个和待排序一样长度的辅助数组。对待排序数组两次扫描,第一次从下标0到len把比tmp小的依次从左到右一直放到辅助数组里。然后第二次扫描待排序数组从下标len到0,把大于等于tmp的依次从右到左放到辅助数组里。最后拷贝辅助数组到原数组,这样应该就是稳定的partition了。当然第一次扫描需要记录mid的位置,而且选择比较的tmp也要数组的第一个也就是low下标的数
6.找到有序数组中唯一相加为0的一对数
和快排的思路有些类似,快排比较的是两个数的大小,这个则是比较两个数绝对值,若绝对值大的,基准位置向左或向右移动
7.找到1-100中不存在于数组a[99]的数
给一个临时变量,依次异或1-100,再去异或数组元素,最终得到的结果即为不存在的数
8.链表相关问题
- 快慢指针法:给定一个快指针fast=fast->next->next,一个慢指针low=low->nest
解决问题:
找链表中是否有环:
如果有环,则一定会相遇
找链表中间节点:
若fast->nest为NULL,则low所在位置即中间节点
找倒数第k个节点:
设有两个指针 low,fast,fast 先走 k - 1 步,再使两个指针同时走,当 fast -> next 指向空时,返回 low即倒数第 k 个结点 - cur,prev,next指针法:也叫三指针法,cur、prev指向链表头部,next指向头部的next
解决问题:
反转链表:
给定三个指针 n1,n2,n3,n1 指向头节点,n2 指向头-> next,n3 指向头-> next -> next ,使 next 指向 prev ,即 n2 -> next = n1,n3 始终向后移动,直到 n3 指向空,即 n1 和 n2 改变指针所指方向, n3 为指针方向改变的位置
删除重复节点:
给三个指针 cur,next,prev,cur 指向第一个结点,若后移过程与 next 相等,删除 next 后 cur 再后移,直至 cur 与 next 不相等时,删除 cur ,cur 后移,prev 后移,next 后移,重新链接 prev 和新 cur,若后移过程中,cur 与 next 不相等,next、cur、prev 后移
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摘 :史丰收快速计算法的口诀及其简单应用方法(部分)
2009-08-06 22:35:00用中国科学技术大学数学系七八年级学生史丰收创造的快速计算法,可以进行任意位数的加、减、乘、除、乘方、开方、分数、三角函数、对数的运算,快速、准确。算法是从高位数算起。史丰收总结了二十九句口诀,用来表示...用中国科学技术大学数学系七八年级学生史丰收创造的快速计算法,可以进
行任意位数的加、减、乘、除、乘方、开方、分数、三角函数、对数的运算,快
速、准确。算法是从高位数算起。史丰收总结了二十九句口诀,用来表示一位数
乘多位数的进位规律,掌握了这些口诀和一些具体法则,就能进行快速运算。
二十九句口诀如下:
乘数为2时,口诀为:满5进1;
乘数为3时,口诀为:超3进1,超6进2;
乘数为4时,口诀为:满25进1,满50进2,满75进3;
乘数为5时,口诀为:满2进1,满4进2,满6进3,满8进4;
乘数为6时,口诀为:超16进1,超3进2,满5进3,超6进4,超8
3进5;
乘数为7时,口诀是:超142857进1,超285714进2,超42
8571进3,超571428进4,超714285进5,超857142进
6;
乘数为8时,口诀是:满125进1,满25进2,满375进3,满5进
4,满625进5,满75进6,满875进7;
乘数为9时,口诀为:超1进1,超2进2,……超8进8;
口诀中所说的“满”是“大于”或“等于”的意思。“超”是“大于”的意
思。数字上面有一点的,代表循环小数,如“3”,读做“循环3”,也就是小
数“3”的不断重复。“6”读做“循环6”,也就是小数“6”的不断重复。
……
计算时,乘数是几就按几的进位规律进行运算,运算法则是:被乘数首位前
补“0”,从高位起逐位相乘,按“本个”加“后进”,满“10”只取和的个
位数的方法进行计算。“本个”就是九九表中的个位数,“后进”就是后位的进
位数。
运用口诀进行计算的举例:
33867×3=?
首先在被乘数首位补“0”,就变成:033867乘以3。
运算方法如下:
033867乘以3,得积101601。
积的第一位“1”是这样算得的:0乘以3得0(“0”是“本个”),被
乘数0的后位数338超3故进1(“1”是“后进”);“本个”“0”加
“后进”“1”等于1,所以积的第一位是“1”。
积的第二位“0”这样算:3乘以3得9(“9”是“本个”),后位38
超3故进1(“1”是“后进”),9加1等于10(满10只取和的个位数),
所以积的第二位是“0”。
积的第三位“1”这样算:3乘以3得9(“本个”),后位8超6故进2
(“后进”),9加2等于11(取个位“1”),所以是“1”。
积的第四位“6”这样算:8乘以3得24(这里“24”后面的“4”是
“本个”),后位67超6故进2(“后进”),4加2等于6,所以是“6”。
积的第五位“0”这样算:6乘以3得18(“18”后面的“8”是“本
个”),后位7超6进2(“后进”),8加2等于10(取个位0),所以是
“0”。
积的末位“1”这样算:7乘以3得21,个位是1,后位不进,所以是“
1”。
不同的乘数用不同的进位规律进行计算,运算方法同上例乘数为3的方法同
样。运算速度随运算技巧的不断熟练而逐步加快。 -
hdu 3666 THE MATRIX PROBLEM
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首先,把cij除到两边:l'<=ai/bj<=u',如果差分约束的话,应该是ai-bj的形式,于是可以取对数
log(l')<=log(ai)-log(bj)<=log(u')
把log(ai)和log(bj)看成两个点ai和bj,化成求最短路的形式:dis[ai]-dis[bj]<=log(u'),dis[bj]-dis[ai]<=-log(l')
然后判负环就行,深搜和广搜都可以
注意的是,如果spfa队列判负环:
(1)不必判断某个点入队次数大于N,只要判断是否大于sqrt(1.0*N)
(2)或者所有点的入队次数大于T*N,即存在负环,一般T取2
N为所有点的个数
代码:
spfa队列版本
spfa深搜版本
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2020-09-28 16:29:16尽量少用三角函数、除法、开方、求幂、取对数运算 如:1.0/2.0∗3.0/4.0∗5.0=(1.0∗3.0∗5.0)/(2.0∗4.0)1.0/2.0*3.0/4.0*5.0 = (1.0*3.0*5.0)/(2.0*4.0)1.0/2.0∗3.0/4.0∗5.0=(1.0∗3.0∗5.0)/(2.0∗4.0) 在不... -
易算器(好用的表达式、公式计算器)V1.21
2012-04-10 07:49:18最重要的一点:从本版开始本软件全部功能完全免费使用。 【一 概述】 易算数学公式计算器 ... 科学计数法,中间的'e'表示阶数,如12e-3为0.012,而12e3为12000 5 鼠标中键最小化到托盘,WIN+C唤醒。 -
VBSCRIPT中文手册
2010-11-12 10:13:06Exp 函数 返回 e (自然对数的底)的多少次方。 自乘运算符 (^) 指数函数,幂为自变量。 False 关键字,其值为零。 FileSystemObject 对象 提供对计算机文件系统的访问。 Filter 函数 根据指定的筛选条件,返回... -
vb Script参考文档
2009-07-28 22:13:02Exp 函数 返回 e (自然对数的底)的多少次方。 自乘运算符 (^) 指数函数,幂为自变量。 False 关键字,其值为零。 FileSystemObject 对象 提供对计算机文件系统的访问。 Filter 函数 根据指定的筛选条件,返回...