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    今天看数据结构里面的时间复杂度的时候,有看到 O(logn)。 

    对数的定义

    如果 

    ,即ax次方等于Na>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作

    。其中,a叫做对数的底数N叫做真数x叫做“以a为底N对数”。

    1. 特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lg。

    2. 称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为ln。

    3. 零没有对数。 [2] 

    4. 实数范围内,负数无对数。 [3]  虚数范围内,负数是有对数的。

     

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    对数器在无法进行数据校验的情况下起着极为重要的作用,尤其是数据量大的时候。这里使用简单的冒泡排序进行演示

    /**
    	冒泡排序
    	并使用对数器进行校验
    	对数器的概念和使用
    	0)有一个你想要测的方法a,
    	1)实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b,
    	2)实现一个随机样本产生器
    	3)实现比对的方法
    	4)把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。
    	5)如果有一个样本使得比对出错,打印样本分析是哪个方法出错
    	6)当样本数量很多时比对测试依然正确,可以确定方法a已经正确。
     */
    import java.util.Arrays;
    public class C01_BubbleSort {
    	public static void bubbleSort(int arr[]){
    		if(arr==null || arr.length<2){
    			return ;
    		}
    		
    		//冒泡排序,第一个和第二个比较、交换,第二个和第三个比较、交换。。。得到最值在最后一个
    		//然后同样的做法得到第二个最值。。。
    		//时间复杂度O(N^2),额外空间复杂度O(1)
    		for (int i = arr.length-1; i > 0; i--) {
    			for (int j = 0; j < i; j++) {
    				if(arr[j]>arr[j+1]){
    					swap(arr, j, j+1);
    				}
    			}
    		}
    	}
    	///对数器及其他方法//
    	//一个一定对的排序方法(比如系统的或者简单的容易实现的)
    	public static void systemSort(int arr[]){
    		Arrays.sort(arr);
    	}
    	
    	//位运算交换数组的两个数
    	public static void swap(int[] arr,int i,int j){
    		arr[i] = arr[i]^arr[j];
    		arr[j] = arr[i]^arr[j];
    		arr[i] = arr[i]^arr[j]; 
    	}
    	//打印数组
    	public static void printArr(int[] arr){
    		for (int i : arr) {
    			System.out.print(i+" ");
    		}
    		System.out.println();
    	}
    	//产生测试数据
    	public static int[] testData(int len,int val){
    		int arr[] = new int[len];
    		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
    			arr[i] = (int) ((val+1)*Math.random()-(val+1)*Math.random());
    		}
    		return arr;
    	}
    	//判断两个数组是否相等
    	public static boolean isEqual(int arr1[] ,int arr2[]){
    		if(arr1==null||arr2==null || arr1.length==0||arr2.length==0 || arr1.length!=arr2.length){
    			return false;
    		}
    		for (int i = 0; i < arr2.length; i++) {
    			if(arr1[i]!=arr2[i]){
    				return false;
    			}
    		}
    		return true;
    	}
    	public static void main(String[] args) {
    		int len = 10;//测试数组长度
    		int val = 100;//测试数据范围
    		int times = 500000;//测试数据量
    		boolean isOK = true;
    		for (int i = 0; i < times; i++) {
    			int arr[] = testData(len, val);
    			int arr1[] = Arrays.copyOf(arr, len);
    			int arr2[] = Arrays.copyOf(arr, len);
    			bubbleSort(arr1);
    			systemSort(arr2);
    			if( ! isEqual(arr1, arr2)){
    				printArr(arr1);
    				printArr(arr2);
    				isOK = false;
    				break;
    			}
    		}
    		System.out.println(isOK);
    	}
    }
    

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    透视一个数学概念,目前看需要从三个层面:数学史、数学概念、数学意义。

    学校教育,不教数学史,不教其实际意义,只教概念,完全是混蛋无赖做法。

    • 对数的发展史

    对数之前是等差、等比数列。

    1. 15世纪,法国数学家N.Chuquet(1445-1488)在其《算学三部》中给出双数列的对应关系。
    1 2 4 8 16 32 64 128 ... # 数列一:等比数列
    0 1 2 3 4  5  6   7 ...  # 数列二:等差数列
    

    等比数列中的乘除关系,对应等差数列中的加减关系

    例如 2 * 8 = 16 对应 1 + 3 = 4

    1. 16世纪,德国数学家M.stifel(1487-1567)明确提出等比数列的乘、除、乘方、开方四种运算法则,但当时没有指数概念,并未产生实际物理推动意义
    2. 1614年,苏格兰数学家J.Napier(1550-1617)出版《奇妙的对数定理说明书》,对数概念正式诞生
    3. 随后,伦敦数学家H.Briggs(1561-1630)建议改进Napier的对数,使1的对数为0,10的对数为1。出版更简便的常用对数表
    4. 17世纪,R.Descartes(1596-1650)发明的记号,指数概念顺势诞生。
    5. 17世纪末,对数可以定义为幂指数,被发现。
    6. 随后,L.Euler(1707-1783)深刻揭示了指数与对数之间的密切联系,并创用了 L o g a N Log_aN LogaN这一记号。
    • 对数的概念

    古巴比伦复利问题,年息20%,几年后本金能变成2。

    1. 2 x = 2 1.2^x = 2 1.2x=2 x = ? x=? x=?

    J.Napier之前,世人没有办法表示x的结果,J.Napier将其称为’logarithm’(这个词源自希腊文logos(比)和arithmos(数)组合而成.后来,数学家又把它简化成符号“log”).

    因此,x便有了新的表示方法:

    x = l o g 1.2 2 x = log_{1.2}2 x=log1.22

    推广到一般情况,就有了对数的定义:

    a b = N a^b=N ab=N(a > 0, a != 1),则数 b b b叫做以 a a a为底 N N N 的对数,记作
    b = log ⁡ a N b = \log_aN b=logaN
    其中 a a a为底数, N N N为真数,读做以 a a a为底 N N N的对数

    • 对数的意义

    对数的发明是计算的革命,法国数学家与天文学家P.S.Laplace(1749-1827):“对数倍增了天文学家的寿命,因为省时省力”。

    数学家们感慨:“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了.这不仅浪费时间,而且容易出错”。

    没有计算器的时代,天文学家要计算一个空间距离,需要耗费巨大的时间,因为都是大数(光速:299792.468Km/s,一年秒数31,536,000 s)。

    对数的出现,让大数的乘、除工作转变为小数据的加、减工作,极大降低计算能耗。

    • 对数坐标系

    img

    对数坐标系是将数轴进行强力缩放,一亿左右经对数缩放后也不过是8,这样在常规坐标系下巨大数据就可以在对数坐标系中简单表示,最典型的的应用就是天文学中绘图,如果按常规比例,怎么画太阳到地图、水星、金星等行星到一张图中?有了对数坐标系就很简单。

    将大数实现小额化、归一化。这就是对数坐标系的价值。也是对数,最重要的意义。

    • 参考

    1. 钟萍,汪晓勤. 对数概念:从历史到课堂[J]. 中学数学月刊,2015(5):50-53.
    2. 知乎-如何理解对数

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    2019-03-18 16:34:32写于上海

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  • 对数函数

    万次阅读 2019-11-10 22:27:37
    0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量...

    简介

    一般地,对数函数是以真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。

    对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义:

    如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数

    一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

    其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

    实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。

    对数函数对数函数

    对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】

    通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:

    当a>0,a≠1时,aX=N

     X=logaN。(N>0)

    指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:

    实数范围内,负数没有对数;

      ,log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。

    有理和无理指数

    如果  是正整数,   表示等于  的

     个因子的加减:

    加减加减

    但是,如果是   不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数  (参见)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数   ,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。

    对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法幂运算乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

    复对数

    复对数计算公式

    复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。

    产生历史

    编辑

    16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]  。

    德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。

    欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。

    纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳

    对数的图像对数的图像

    皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:

    Nap.㏒x=10㏑(107/x)

    由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。

    瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。

    英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

    1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。

    对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

    最早传入我国的对数著作是《比例对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫真数,0.3010叫做假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用假数对数」。

    我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的捷法,著有《对数》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905)看到这些著作后,大为叹服。

    当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。

    函数性质

    编辑

    定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1

    和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

    值域实数集R,显然对数函数无界;

    定点对数函数的函数图像恒过定点(1,0);

    单调性a>1时,在定义域上为单调增函数;

    0<a<1时,在定义域上为单调减函数;

    奇偶性非奇非偶函数

    周期性不是周期函数

    对称性:无

    最值:无

    零点:x=1

    注意:负数和0没有对数

    两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

    也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

    当0<a<1, 0<b<1时,y=logab>0;

    当a>1, b>1时,y=logab>0;

    当0<a<1, b>1时,y=logab<0;

    当a>1, 0<b<1时,y=logab<0。

    公式推导

    编辑

    e的定义:

    设a>0,a≠1

    方法一: 

    指数函数指数函数

    特殊地,当   时,

        。

    方法二:

      ,两边取对数ln y=xln a

     

    两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a

    特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

    eº=1

    运算性质

    编辑

    性质

    一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数

    底数则要>0且≠1 真数>0

    并且,在比较两个函数值时:

    如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

    如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0<a<1时)

    当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

    对数函数化简问题对数函数化简问题

    和差

    和差和差

    换底公式

    换底公式换底公式

    推导:设

    换底公式换底公式

    所以

    换底公式换底公式

    两边取对数,则有

    换底公式换底公式

    换底公式换底公式

    又因为

    换底公式换底公式

    所以

    换底公式换底公式

    指系

    指系指系

    互换

    互换互换

    倒数

    倒数倒数

    链式

    链式链式 [2]

    表达方式

    编辑

    (1)常用对数:lg(b)=log10b(10为底数)。

    (2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)。

    e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828。

    与指数的关系

    编辑

    同底的对数函数与指数函数互为反函数。

    当a>0且a≠1时,ax=N

     x=㏒aN。

    关于y=x对称

    对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴、当0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴。

    可以看到,对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为

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