今天看数据结构里面的时间复杂度的时候，有看到 O(logn)。 
 
对数的定义
 
如果 
 
 
，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作
 
 
。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。
 
 
特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
 
 
称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
 
 
零没有对数。 [2] 
 
 
在实数范围内，负数无对数。 [3]  在虚数范围内，负数是有对数的。
 
 
 
相关的教学视频：戳这里

对数器在无法进行数据校验的情况下起着极为重要的作用，尤其是数据量大的时候。这里使用简单的冒泡排序进行演示
/**
	冒泡排序
	并使用对数器进行校验
	对数器的概念和使用
	0）有一个你想要测的方法a，
	1）实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b，
	2）实现一个随机样本产生器
	3）实现比对的方法
	4）把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。
	5）如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出错
	6）当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经正确。
 */
import java.util.Arrays;
public class C01_BubbleSort {
	public static void bubbleSort(int arr[]){
		if(arr==null || arr.length<2){
			return ;
		}
		
		//冒泡排序，第一个和第二个比较、交换，第二个和第三个比较、交换。。。得到最值在最后一个
		//然后同样的做法得到第二个最值。。。
		//时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)
		for (int i = arr.length-1; i > 0; i--) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				if(arr[j]>arr[j+1]){
					swap(arr, j, j+1);
				}
			}
		}
	}
	///对数器及其他方法//
	//一个一定对的排序方法(比如系统的或者简单的容易实现的)
	public static void systemSort(int arr[]){
		Arrays.sort(arr);
	}
	
	//位运算交换数组的两个数
	public static void swap(int[] arr,int i,int j){
		arr[i] = arr[i]^arr[j];
		arr[j] = arr[i]^arr[j];
		arr[i] = arr[i]^arr[j]; 
	}
	//打印数组
	public static void printArr(int[] arr){
		for (int i : arr) {
			System.out.print(i+" ");
		}
		System.out.println();
	}
	//产生测试数据
	public static int[] testData(int len,int val){
		int arr[] = new int[len];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (int) ((val+1)*Math.random()-(val+1)*Math.random());
		}
		return arr;
	}
	//判断两个数组是否相等
	public static boolean isEqual(int arr1[] ,int arr2[]){
		if(arr1==null||arr2==null || arr1.length==0||arr2.length==0 || arr1.length!=arr2.length){
			return false;
		}
		for (int i = 0; i < arr2.length; i++) {
			if(arr1[i]!=arr2[i]){
				return false;
			}
		}
		return true;
	}
	public static void main(String[] args) {
		int len = 10;//测试数组长度
		int val = 100;//测试数据范围
		int times = 500000;//测试数据量
		boolean isOK = true;
		for (int i = 0; i < times; i++) {
			int arr[] = testData(len, val);
			int arr1[] = Arrays.copyOf(arr, len);
			int arr2[] = Arrays.copyOf(arr, len);
			bubbleSort(arr1);
			systemSort(arr2);
			if( ! isEqual(arr1, arr2)){
				printArr(arr1);
				printArr(arr2);
				isOK = false;
				break;
			}
		}
		System.out.println(isOK);
	}
}

透视一个数学概念，目前看需要从三个层面：数学史、数学概念、数学意义。
 
学校教育，不教数学史，不教其实际意义，只教概念，完全是混蛋无赖做法。
 
 
对数的发展史
 
 
对数之前是等差、等比数列。
 
15世纪，法国数学家N.Chuquet(1445-1488)在其《算学三部》中给出双数列的对应关系。
 
1 2 4 8 16 32 64 128 ... # 数列一：等比数列
0 1 2 3 4  5  6   7 ...  # 数列二：等差数列
 
等比数列中的乘除关系，对应等差数列中的加减关系
 
例如 2 * 8 = 16 对应 1 + 3 = 4
 
16世纪，德国数学家M.stifel(1487-1567)明确提出等比数列的乘、除、乘方、开方四种运算法则，但当时没有指数概念，并未产生实际物理推动意义
1614年，苏格兰数学家J.Napier(1550-1617)出版《奇妙的对数定理说明书》，对数概念正式诞生
随后，伦敦数学家H.Briggs(1561-1630)建议改进Napier的对数，使1的对数为0,10的对数为1。出版更简便的常用对数表。
17世纪，R.Descartes(1596-1650)发明幂的记号，指数概念顺势诞生。
17世纪末，对数可以定义为幂指数，被发现。
随后，L.Euler(1707-1783)深刻揭示了指数与对数之间的密切联系，并创用了$Lo{g}_{a}N$这一记号。
 
 
对数的概念
 
 
古巴比伦复利问题，年息20%，几年后本金能变成2。
 
$1.2^x=2$，$x=?$
 
J.Napier之前，世人没有办法表示x的结果，J.Napier将其称为’logarithm’(这个词源自希腊文logos（比）和arithmos（数）组合而成．后来，数学家又把它简化成符号“log”).
 
因此，x便有了新的表示方法：
 
$x=lo{g}_{1.2}2$
 
推广到一般情况，就有了对数的定义：
 
 
 
若$a^b=N$（a > 0, a != 1），则数$b$叫做以$a$为底$N$ 的对数，记作
 $$b={\log }_{a}N$$
 其中$a$为底数，$N$为真数，读做以$a$为底$N$的对数
 
 
 
对数的意义
 
 
对数的发明是计算的革命，法国数学家与天文学家P.S.Laplace(1749-1827)：“对数倍增了天文学家的寿命，因为省时省力”。
 
数学家们感慨：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头痛、更阻碍计算者的了．这不仅浪费时间，而且容易出错”。
 
没有计算器的时代，天文学家要计算一个空间距离，需要耗费巨大的时间，因为都是大数（光速：299792.468Km/s，一年秒数31,536,000 s）。
 
对数的出现，让大数的乘、除工作转变为小数据的加、减工作，极大降低计算能耗。
 
 
对数坐标系
 
 
 
对数坐标系是将数轴进行强力缩放，一亿左右经对数缩放后也不过是8，这样在常规坐标系下巨大数据就可以在对数坐标系中简单表示，最典型的的应用就是天文学中绘图，如果按常规比例，怎么画太阳到地图、水星、金星等行星到一张图中？有了对数坐标系就很简单。
 
将大数实现小额化、归一化。这就是对数坐标系的价值。也是对数，最重要的意义。
 
 
参考
 
 
钟萍,汪晓勤. 对数概念:从历史到课堂[J]. 中学数学月刊,2015(5):50-53.
知乎-如何理解对数
 
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 2019-03-18 16:34:32写于上海

简介
 
一般地，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
 
对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：
 
如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
 
一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
 
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
 
在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。
 
对数函数
 
对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】
 
通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
 
当a>0，a≠1时，aX=N
 
 
 X=logaN。（N>0）
 
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
 
在实数范围内，负数和零没有对数；
 
  ，log以a为底1的对数为0（a为常数） 恒过点（1，0）。
 
有理和无理指数
 
如果  是正整数，   表示等于  的
 
 个因子的加减:
 
加减
 
但是，如果是   不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数  （参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数   ，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。
 
对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
 
复对数
 
复对数计算公式
 
复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。
 
 
 
产生历史
 
编辑
 
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]  。
 
德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
 
欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
 
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳
 
对数的图像
 
皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：
 
Nap．㏒x=10㏑（107/x）
 
由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
 
瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
 
英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。
 
1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
 
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
 
最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫真数，0.3010叫做假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用假数为对数」。
 
我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。
 
当今中学数学教科书是先讲「指数」，后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。
 
 
函数性质
 
编辑
 
定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
 
和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
 
值域：实数集R，显然对数函数无界；
 
定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
 
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；
 
0<a<1时，在定义域上为单调减函数；
 
奇偶性：非奇非偶函数
 
周期性：不是周期函数
 
对称性：无
 
最值：无
 
零点：x=1
 
注意：负数和0没有对数。
 
两句经典话：底真同对数正，底真异对数负。解释如下：
 
也就是说：若y=logab （其中a>0，a≠1，b>0）
 
当0<a<1， 0<b<1时，y=logab>0;
 
当a>1， b>1时，y=logab>0;
 
当0<a<1， b>1时，y=logab<0;
 
当a>1， 0<b<1时，y=logab<0。
 
 
公式推导
 
编辑
 
e的定义：
 
 
设a>0，a≠1
 
方法一： 
 
指数函数
 
 
 
 
 
 
 
特殊地，当   时，
 
    。
 
方法二：
 
设  ，两边取对数ln y=xln a
 
 
 
两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
 
特殊地，当a=e时，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xln e=e^x。
 
eº=1
 
 
运算性质
 
编辑
 
 
性质
 
一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
 
底数则要>0且≠1 真数>0
 
并且，在比较两个函数值时：
 
如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）
 
如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）
 
当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：
 
对数函数化简问题
 
 
和差
 
和差
 
 
换底公式
 
换底公式
 
推导：设
 
换底公式
 
所以
 
换底公式
 
两边取对数，则有
 
换底公式
 
即
 
换底公式
 
又因为
 
换底公式
 
所以
 
换底公式
 
 
指系
 
指系
 
 
互换
 
互换
 
 
倒数
 
倒数
 
 
链式
 
链式 [2]
 
 
表达方式
 
编辑
 
（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。
 
（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。
 
e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828。
 
 
与指数的关系
 
编辑
 
同底的对数函数与指数函数互为反函数。
 
当a>0且a≠1时，ax=N
 
 
 x=㏒aN。
 
关于y=x对称。
 
对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
 
可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反