BG：在box-cox变换中，当λ = 0时即为对数变换。
当所分析变量的标准差相对于均值而言比较大时，这种变换特别有用。对数据作对数变换常常起到降低数据波动性和减少不对称性的作用。。这一变换也能有效消除异方差性
library(MASS)
library(openxlsx)
data= read.xlsx("data104.xlsx",sheet = 1) #导入数据
attach(data)
op
plot(size,effort)            #图4-4(a)
plot(log(size),log(effort))  #图4-4(b)
#绘制频率分布直方图
hist(effort) #图4-5(a)
hist(size)   #图4-5(b)
effor 和 size 这两个变量的频率分布图表明，它们并不满足正态分布。为了接近正态分布，必须变换这些变量(通过频率分布图判断变量是否满足正态分布)
1.先进行基本的线性回归，利用得到的模型进行box-cox变换
lm1=lm(effort~size+t14)  #拟合线性回归模型
summary(lm1)
#绘制残差图进行残差分析
plot(fitted(lm1),resid(lm1),cex=1.2,pch=21,col="red",bg="orange",xlab="Fitted value",ylab="Residuals")
boxcox(lm1,lambda=seq(0,1,by=0.1))  #进行box-cox变换
从残差图可以看到误差项不满足Gauss-Markov假设。
右图的Box-Cox变换建议问哦们λ可以取在[0.05,0.6]范围内，对投入工作量(effort) 取对数有一定的可信度(λ=0 几乎落在置信域内)
进行对数变换
lm2=lm(log(effort)~size+t14)
summary(lm2)
#绘制残差图
plot(fitted(lm2),resid(lm2),cex=1.2,pch=21,col="red",bg="orange",xlab="Fitted value",ylab="Residuals")
书上的结果时残差范围大致在[-25,40]内，不满足Gauss-Markov假设
与书上结果不符，上图参擦汗图表示这个模型是可行的。
2.试图拟合 effort 与 log(size)，t14 的回归方程。
lm3=lm(effort~log(size)+t14)
summary(lm3)
#绘制残差图
plot(fitted(lm3),resid(lm3),cex=1.2,pch=21,col="red",bg="orange",xlab="Fitted value",ylab="Residuals")
#box-cox变换求λ
boxcox(lm3,lambda=seq(0,1,by=0.1))
根据右图，Box-Cox变换建议我们取 λ=0
建立如下方程 ln(effort) = β0 + β1ln(size) + β2 t14 + e
lm4=lm(log(effort)~log(size)+t14) #进行线性回归
summary(lm4)
#绘制残差图
plot(fitted(lm4),resid(lm4),cex=1.2,pch=21,col="red",bg="orange",xlab="Fitted value",ylab="Residuals")
#进行box-cox变换
boxcox(lm4,lambda=seq(0,1,by=0.1))
因为λ=1 包含在box-cox图像所示的置信域内，说明不进行变换也是ok的
而且通过残差分析，可以看出这个模型是合理的。

对数线性模型
看到上面的交叉单元格，以及单元格内的频数数据，你是否很快就会联想到可以使用卡方检验来分析分类变量A和分类变量B的相关关系？上面这个表只有一个行变量和一个列变量，因此使用卡方检验非常方便快捷，但是当涉及的分类变量很多，例如研究4个以上分类变量之间的相关关系时，卡方检验就不够用了，因为它不可以同时对多个分类变量之间的相关关系给出一个综合评价，也不可以在控制其它变量作用的同时对变量的效应做出估计，而对数线性模型可以解决卡方检验不能解决的这些问题，它可以一次性给出多个分类变量之间的两两相关关系。
前面提到对数线性模型与混合线性模型有相同的地方，都是围绕分类变量展开的，因此首先回顾混合线性模型，可以参考下面的表格，混合线性模型表格中的数据不是频数数据，而是连续型数据，可以理解成某项血液指标：
在混合线性模型中，将每个单元格内血液指标y的变异看作是病症类型(A)变量，治疗效果(B)变量、病症类型(A)和治疗效果(B)交互作用、随机误差共同影响的总和。如果将每个单元格中的数据换成频数，例如，总共调查了180名患者，这些患者的人数(频数)分布情况如下：
如果要研究病症类型与治疗效果是否相关，也就是研究病症类型是否影响到治疗效率，如果两者无关，可以发现一般类型和特殊类型的治疗效果人数比例是基本相同的，反映到对数线性模型中，就是研究交互作用项是否等于零。从对数线性模型可以看出，对数线性模型除了能够解决分类变量(因素)之间是否相关的问题，还能够分析分类变量对频数的独立影响，也就是分类变量对频数的主效应。
对数线性模型VS方差分析模型
前面介绍对数线性模型的分析逻辑是以方差分析模型(一般线性模型)为基础，由此可见它们的作用是类似的，都能够分析每个变量的主效应及变量之间的交互效应。对数线性模型与方差分析模型的差异为：方差分析模型的因变量是连续性变量，对数据的分布要求为正态性和方差齐性；对数线性模型主要研究多个分类变量之间的独立性和相关性，对数线性模型一般不分因变量和自变量，只分析各分类变量对交叉单元格内频数的影响，通常频数服从多项式分布。
对数线性模型VS逻辑回归模型
通过前面的介绍，大家可以发现很多对数线性模型能够分析的问题其实用逻辑回归模型也能够进行分析。对数线性模型主要研究多个分类变量之间的独立性与相关性，而逻辑回归模型的因变量也是分类变量，如果自变量也是分类变量，那么就和对数线性模型的效果相同了。
差别在于，一般对数线性模型通常将频数数据做自然对数变换(ln)，而逻辑回归对频数的处理是做常用对数变换(lg)；此外，对数线性模型不用区分因变量和自变量，而逻辑回归则需要明确因变量和自变量。因此对数线性模型与逻辑回归两种方法之间存在着非常密切的联系，两者的分析结果是等价的。对数线性模型的应用不如逻辑回归普遍，主要原因是如果考虑的分类变量太多，对数线性模型过于复杂。
SPSS的对数线性模块
SPSS的对数线性菜单总共提供了三个子菜单：常规、分对数和选择模型；这三个子菜单的分析过程都应用对数线性模型的基本原理，但在拟和方法和结果输出上有不同。常规菜单在分析中只考虑变量之间是否相关，不考虑它们之间的因果关系，不过分析者可以在最后的结果解释中加入经验解释。
分对数菜单；有些情况，分析者已经明白变量之间的因果关系，此时继续用常规模型就无法利用因果信息，这样就会增添很多结果解释的工作量。这种情况适合使用分对数菜单。
选择模型菜单；在建立模型之前，分析者往往会收集很多变量信息，但是那些变量之间相关，那些变量不相关，那些变量应该纳入模型，那些变量应该剔除，除了根据经验进行选择以外，很难取舍。选择模型菜单能够对变量进行筛选，帮助分析者筛选出有用的变量，这样就能使原本复杂的模型简化，排除一些变量的影响。
总结一下
以上这些内容的介绍，我们通过方差分析模型引出对数线性模型。大家可以根据这个规律理解清楚对数线性模型的分析逻辑。在SPSS中，根据数据情况的不同，应该选择合适的菜单进行分析，接下来，我们会分别制作文章，详解介绍。

用R语言进行数据分析：常规和广义线性模型
线性模型
对于常规的多重模型(multiple model)拟合，最基本的函数是lm()。 下面是调用它的方式的一种改进版：
>fitted.model
例如
> fm2 
将会拟合 y 对 x1 和 x2 的多重回归模型(和一个隐式的截距项)。
一个重要的(技术上可选)参数是data = production。它指定任何构建这个模型的参数首先必须来自数据框production。这里不需要考虑数据框production是否被绑定在搜索路径中。
广义线性模型
广义线性建模是线性模型在研究响应值的非正态分布以及非线性模型的简洁直接的线性转化 时的一种发展。 广义线性模型 是基于下面一系列 假设前提的：
有一个响应变量 y和一系列有趣的刺激变量(stimulus variable) x_1, x_2,…。 这些刺激变量决定响应变量的最终分布。
刺激变量仅仅通过一个线性函数影响响应值y 的分布。 该线性函数称为线性预测器(linear predictor)，常常写成
eta = beta_1 x_1 + beta_2 x_2 +...+ beta_p x_p,
因此 x_i 当且仅当 beta_i 等于0时对 y 的分布没有影响。
y 分布的形式为
f_Y(y; mu, phi)
= exp((A/phi) * (y lambda(mu) - gamma(lambda(mu))) + tau(y, phi))
其中 phi 是度量参数(scale parameter)(可能已知)，对所有观测 恒定；A 是一个先验的权重，假定知道但是 可能随观测不同有所不同；mu是 y 的均值。 也就是说假定 y 的分布是由 均值和一个可能的度量参数决定的。
均值 mu 是线性预测器的平滑可逆函数(smooth invertible function)：
mu = m(eta),    eta = m^{-1}(mu) = ell(mu)
该可逆函数 ell() 称为关联函数(link function)。
这些假定比较宽松，足以包括统计实践中大多数有用的统计模型， 但也足够严谨，使得可以发展计算和推论中一致的方法( 至少可以近似一致)。 读者如果想了解这方面最新的进展，可以 参考 McCullagh & Nelder (1989) 或者 Dobson (1990)。
族
R 提供了一系列广义线性建模工具，从类型上来说包括gaussian,二项式,poisson,反 gaussian和gamma模型的响应变量分布以及 在响应变量分布没有明确给定时的逆似然(quasi-likelihood)模型。 在后者，方差函数(variance function) 可以认为是均值的函数，但是在另外一些情况下， 该函数可以由响应变量的分布得到。
每一种响应分布允许各种关联函数将均值和线性预测器关联起来。 这些自动关联函数如 下表所示：
Family name
Link functions
binomial
logit,probit,log,cloglog
gaussian
identity,log,inverse
Gamma
identity,inverse,log
inverse.aussian
1/mu^2,identity,inverse,log
poisson
identity,log,sqrt
quasi
logit,probit,cloglog,identity,inverse,log,1/mu^2,sqrt
这些用于模型构建过程中的响应分布，关联函数和各种 其他必要的信息统称为 广义线性模型的族(family)。
glm()函数
既然响应的分布仅仅通过单一的一个线性函数依赖于 刺激变量，那么用于线性模型的机制同样 可以用于指定一个广义模型的线性部分。 但是族必须以一种不同的方式指定。
R 用于广义线性回归的函数是glm()， 它的使用形式为
>fitted.model
和lm()相比，唯一的一个新特性就是描述族的参数family.generator。 它是产生函数和表达式列表的函数名字。这些函数 用于定义和控制模型的构建与计算过程。 尽管开始看起来有点复杂， 但它们非常容易 使用。
这些名字是标准的。程序给定的族生成器可以参见Families列表中 的“族名”。当选择一个关联函数时， 该关联函数名和族名可以同时在括弧里面作为 参数设定。在拟(quasi) 家族里面，方差函数也是以这种方式设定。
一些例子可能会使这个过程更清楚。
gaussian族
命令
> fm 
和下面的命令结果一致。
> fm 
但是效率上，前者差一点。注意，gaussian 族没有相关参数， 因此它不提供关联函数的。 如一个问题需要用非标准关联函数的 gaussian 族， 那么只能采用我们后面讨论的拟族。
二项式族
考虑 Silvey (1970) 提供的一个小的例子。
在 Kalythos 的 Aegean 岛上，男性居民常常患有 一种先天的眼科疾病，并且随着年龄的增长而变的愈显著。 现在搜集了各种年龄段岛上男性居民的样本，同时记录了盲眼的数目。 数据显示如下：
年龄:
20
35
45
55
70
No. 检测:
50
50
50
50
50
No. 盲眼:
6
17
26
37
44
我们想知道的是这些数据是否吻合 logistic 和 probit 模型， 并且分别估计各个模型的 LD50，也就是一个男性居民盲眼的概率 为50%时候的年龄。
如果 y 和 n 是年龄为 x 时的盲眼数目和检测 样本数目，两种模型的形式都为 y ~ B(n, F(beta_0 + beta_1 x))， 其中在 probit 模型中， F(z) = Phi(z) 是标准的正态分布函数，而在 logit 模型 (默认)中， F(z) = e^z/(1+e^z)。 这两种模型中， LD50 = – beta_0/beta_1 ，即分布函数的参数为0时 所在的点。
第一步是把数据转换成数据框。
> kalythos 
y = c(6,17,26,37,44))
在glm()拟合二项式模型时，响应变量 有三种可能性：
如果响应变量是向量， 则假定操作二元(binary) 数据，因此要求是0/1向量。
如果响应变量是双列矩阵，则假定第一列 为试验成功的次数第二列 为试验失败的次数。
如果响应变量是因子，则第一水平作为失败 (0) 考虑而其他的作为`成功'(1) 考虑。
我们采用的是第二种惯例。我们在数据框中 增加了一个矩阵：
> kalythos$Ymat 
为了拟合这些模型，我们采用
> fmp 
> fml 
既然 logit 的关联函数是默认的，因此我们可以在第二条命令中省略该参数。 为了查看拟合结果，我们使用
> summary(fmp)
> summary(fml)
两种模型都拟合的很好。为了计算 LD50，我们可以 利用一个简单的函数：
> ld50 
> ldp 
从这些数据中得到的年龄分别是43.663年和 43.601年。
Poisson 模型
在 Poisson 族中，默认的关联函数是log。在实际操作中， 这一族常常用于拟合计数资料的 Poisson 对数线性模型。 这些计数资料的实际分布往往符合二项式分布。 这是一个非常重要而又庞大的话题，我们不想在这里深入展开。 它构成了非-gaussian 广义模型内容 的很大一部分。
有时候，实践中产生的 Poisson 数据在对数或者平方根 转化后可当作正态数据处理。 作为后者的另一种选择是，一个 Poisson 广义线性模型可以通过下面的例子 拟合：
> fmod 
data = worm.counts)
拟似然模型
对于所有的族，响应变量的方差依赖于均值并且拥有 作为系数(multiplier)的尺度参数。 方差对均值的依赖方式是响应分布的一个特性； 例如对于poisson分布 Var(y) = mu。
对于拟似然估计和推断，我们不是设定精确的响应分布而是 设定关联函数和方差函数的形式。因为关联函数和方差函数都依赖于均值。 既然拟似然估计 和 gaussian 分布使用的技术非常相似， 因此这一族顺带提供了一种用非标准关联函数或者方差函数 拟合gaussian模型的 方法。
例如，考虑非线性回归的拟合 y = theta_1 z_1 / (z_2 – theta_2) + e 同样还可以写成 y = 1 / (beta_1 x_1 + beta_2 x_2) + e 其中 x_1 = z_2/z_1, x_2 = -1/x_1, beta_1 = 1/theta_1, and beta_2 = theta_2/theta_1。 假如有适合的数据框，我们可以如下 进行非线性拟合
> nlfit 
family = quasi(link=inverse, variance=constant),
data = biochem)
完     谢谢观看

原文链接：
拓端数据科技 / Welcome to tecdat​tecdat.cn
广义线性模型（GLM） 是通过连接函数,把自变量线性组合和因变量的概率分布连起来,该概率分布可以是高斯分布、二项分布、多项式分布、泊松分布、伽马分布、指数分布。连接函数有：
平方根连接（用于泊松模型）
考虑一些均值μ和方差σ2的随机变量Y。利用泰勒展开式
假使
，考虑平方根变换g（y）=  sqrt {y} g（y）= y，则第二个等式变为
因此，通过平方根变换，我们具有方差稳定性，可以将其解释为一定的同调性。
伯努利模型的对数函数
假设变量是泊松变量，
先前的模型看起来像是伯努利回归分析，其中H作为链接函数， mathbb {P}
因此，现在假设代替观察N，我们观察到Y = 1（N> 0）。在那种情况下，运行带有对数链接函数的伯努利回归，首先与对原始数据运行泊松回归，然后在我们的二进制变量零和非零上使用。让我们先生成一些模拟数据，比较从标准逻辑回归得到的eλx和px

regPois = glm(Y~.,data=base,family=poisson(link="log"))

regBinom = glm((Y==0)~.,data=base,family=binomial(link="probit"))
如果px 是从Bernoulli回归中获得的，并且具有连接功能，该怎么办？

plot(prob,1-exp(-lambda),xlim=0:1,ylim=0:1)

abline(a=0,b=1,lty=2,col="red")
拟合很好，现在，如果我们对婚姻出轨数据集，由雷·费尔，在1978年出版的  期刊政治经济学  （含563个观察，九个变量）进行建模：

prob = predict(regBinom, type="response")

plot(prob,exp(-lambda),xlim=0:1,ylim=0:1)

abline(a=0,b=1,lty=2,col="red")
在这种情况下，这两种模型结果是非常不同的。第二个模型也是

plot(prob,1-exp(-lambda),xlim=0:1,ylim=0:1)

abline(a=0,b=1,lty=2,col="red")
我们如何解释呢？是因为泊松模型不好吗？我们在这里运行零膨胀模型进行比较，

summary(regZIP)

Count model coefficients (poisson with log link):

             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    

(Intercept) -0.002274   0.048413  -0.047    0.963    

X1           1.019814   0.026186  38.945   <2e-16 ***

X2           1.004814   0.024172  41.570   <2e-16 *** 

Zero-inflation model coefficients (binomial with logit link): 

            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  

(Intercept) -4.90190    2.07846  -2.358   0.0184 *

X1          -2.00227    0.86897  -2.304   0.0212 *

X2          -0.01545    0.96121  -0.016   0.9872  

---

Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
由于零的膨胀，我们在这里拒绝了泊松分布的假设，可以使用对数连接来检查泊松分布是否是一个好的模型。