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  • 对数运算性质(人教高中课标必修模块一精品教案).pdf
  • 对数的概念:一般地,如果那么数X叫做以a为底N的对数。...对数运算: 1、基本性质: (1)、1的对数是0: (2)、 对数恒等式: 2、运算法则: 设定a>0,M>0,N>0 (1)、 (2)、 (3)、 ...

    对数的概念:一般地,如果那么数X叫做以a为底N的对数。记做:,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。需要注意的是底数a的限制条件:

     

    对数的形式

    (1)、常用对数:以10为底的对数记做:

    (2)、自然对数:以无理数e=2.71828…为底数的对数简记为:

    (3)、一般对数:

     

    对数运算:

    1、基本性质:

       (1)、1的对数是0:

    (2)、  对数恒等式:

    2、运算法则:

       设定a>0,M>0,N>0

    (1)、

    (2)、

    (3)、

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  • 上次的文章介绍了指数运算、指数函数和幂函数,而这次介绍的对数函数可以视为是指数函数的逆运算对数的定义是 其中称 为底数,称 为真数。有些读者可以发现,对数和方根都可以视为乘方的逆运算: 为什么实数的加法...

    在上一个版本的教材,对数函数位于不等式的前面,可以说是让人第一次感受到高中数学难度的内容。说句题外话,很多对高中数学乃至数学整体的误解来源于此。

    上次的文章介绍了指数运算、指数函数和幂函数,而这次介绍的对数函数可以视为是指数函数的逆运算。对数的定义是

    其中称

    为底数,称
    为真数。有些读者可以发现,对数和方根都可以视为乘方的逆运算:

    为什么实数的加法和乘法只有一种逆运算,而乘方有两种?原因就是乘方不具备交换律:

    一般来说

    这就带来了两种不同的逆运算。

    关于指数运算,有以下重要的结论:

    由它们可以得到关于对数运算的一些结论。

    针对上面第一个公式,我们记

    于是计算

    针对第二个公式,

    利用简单的指数运算和对数运算性质可以得到:

    我们常用的两种对数运算是以

    为底和以
    为底的对数运算,这里
    是一个在很多场合都会自然出现的常数,这两种运算分别记为

    进一步地,我们证明换底公式:

    换底公式的最直接意义在于,我们可以把任何底数的对数运算换成特定底数的对数运算。

    利用换底公式,可以进一步得出结论:

    它们的本质都是

    除此之外,我想说明一下发明对数运算的动机。

    除了建立指数运算的逆运算这一点,我们还经常发现一些比较复杂的运算,也就是底数和指数均带有其它运算的运算。这时我们可以取对数:

    这样就把复杂的指数运算变换成了乘法运算。很容易通过对数的定义证明这种变换的正确性。

    现在,我们就已经在理论上解决了所有复杂的指数运算和对数运算的问题。举几个实例,它们分别利用了对数的定义、对数运算的性质和取对数运算:

    (2014年全国高中数学联赛第1题)若

    满足

    记已知等式的值为

    于是

    (2016年全国高中数学联赛第3题)若

    满足

    于是

    (2019年全国高中数学联赛第1题)若

    满足

    取对数得到

    于是

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  • 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的...

    最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.

    1.对数的概念

    如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

    2.对数的性质、换底公式与运算性质

    (1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).

    (2)对数的运算法则

    如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

    ①loga(MN)=logaM+logaN;

    ②loga=logaM-logaN;

    ③logaMn=nlogaM(n∈R);

    ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).

    (3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).

    3.对数函数及其性质

    (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

    4.反函数

    指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.

    [微点提醒]

    1.换底公式的两个重要结论

    (1)logab=;(2)logambn=logab.

    其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.

    2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

    3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.

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  • 对数运算

    2018-11-25 10:49:00
    学生在对数运算中的难点分析: 一、不理解对数,不会用对数公式或错用对数公式 ①对数\(log_23\)和指数幂\(2^3\)一样,也就是个实数而已,所以其也会有加减乘除乘方开方等运算; 比如\(2^{2+log_23}=2^2\cdot 2^{log...

    学生在对数运算中的难点分析:

    一、不理解对数,不会用对数公式或错用对数公式

    ①对数\(log_23\)和指数幂\(2^3\)一样,也就是个实数而已,所以其也会有加减乘除乘方开方等运算;

    比如\(2^{2+log_23}=2^2\cdot 2^{log_23}=4\cdot 3=12\)

    ②准确记忆对数的运算公式和法则,

    【相关复习】指数幂的运算
    正整数指数幂:$\underbrace{{a\times a\times \cdots\times a}}_{n个}=a^n(n\in N)$;
    负整数指数幂:$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}$;$a^0=1(a\neq 0)$;
    正分数指数幂:$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$;负分数指数幂:$a^{-\frac{m}{n}}=\cfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$;
    $\{整数\}\cup\{分数\}=\{有理数\}$;$\{有理数\}\cup\{无理数\}=\{实数\}$,
    指数的运算法则:($m,n\in R$),注意:字母$a、b$的内涵;
    公式:$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$;$(a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}$;$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$;
    注意逆用:$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$;$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$;$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$;

    \(a^b=N(指数式)\Longleftrightarrow b=log_aN(对数式)\)

    对数的性质:\(log_a1=0\)\(log_aa=1\)

    对数的运算法则:\(log_aMN=log_aM+log_aN\)

    \(log_a\cfrac{M}{N}=log_aM-log_aN\)\(log_aM^n=nlog_aM\)

    对数恒等式:\(a^{log_aN}=N\)

    对数换底公式:\(log_ab=\cfrac{log_cb}{log_ca}(a>0,a\neq 1;c>0,c\neq 1;b>0)\)

    常用公式1:\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_cd= log_ad\)\(log_ab\cdot log_bc\cdot log_ca= log_aa=1\)

    \(log_ab\cdot log_ba=1\)\(lne=1\)\(lg2+lg5=lg10=1\)

    常用公式2:\(log_{a^m}{b^n}=\cfrac{n}{m}log_ab(m,n\in R,a>0,a\neq 1,b>0)\)

    ③正用、逆用、变用公式;

    \(log_aM+log_aN=log_aMN\)\(log_aM-log_aN=log_a\cfrac{M}{N}\)

    \(nlog_aM=log_aM^n\)\(\cfrac{n}{m}log_ab=log_{a^m}{b^n}\)

    ④错用公式:\(log_a(M+N)=log_aM+log_aN\)\(log_a(M\cdot N)=log_aM\cdot log_aN\)

    二、知道对数的公式和运算法则,但不会灵活运用,对公式中的字母的内涵不理解;

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例1}\)化简\((log_24)^{log_23}=3\)\(log_2^{\;\;log_216}=log_24=2\)

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例2}\) 化简\(log_225\cdot log_34\cdot log_59=8\);提示:换底公式

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例3}\)化简\(lg^32+lg^35+3lg2lg5\)

    分析:原式\(=(lg2+lg5)(lg^22-lg2lg5+lg^25)+3lg2lg5\)

    \(=lg^22-lg2lg5+lg^25+3lg2lg5\)

    \(=lg^22+2lg2lg5+lg^25=(lg2+lg5)^2=1\)

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例4}\)\((log_43+log_83)(log_32+log_92)\)

    法1:原式\(=(\cfrac{1}{2}log_23+\cfrac{1}{3}log_23)(log_32+\cfrac{1}{2}log_32)\)

    \(=(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3})\cdot log_23\cdot (1+\cfrac{1}{2})log_32=\cfrac{5}{4}\)

    法2:原式\(=(\cfrac{1}{log_34}+\cfrac{1}{log_38})(\cfrac{1}{log_23}+\cfrac{1}{log_29})\)

    \(=(\cfrac{1}{2log_32}+\cfrac{1}{3log_32})(\cfrac{1}{log_23}+\cfrac{1}{2log_23})\)

    \(=\cfrac{5}{6log_32}\cdot \cfrac{3}{2log_23}=\cfrac{5}{4}\)

    三、只会单独运用单个的对数公式,不会组合应用几个对数公式;

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例1}\):计算\(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}\)

    分析:本题目分三个步骤完成:

    第一步,先计算\(5\)的指数位置的对数的真数的值,

    \(lg^22+lg\cfrac{5}{2}=(lg2)^2-lg2+lg5\)

    \(=lg2(lg2-1)+lg5=-lg2lg5+lg5\)

    \(=lg5(1-lg2)=(lg5)^2\)

    这样,原题目就转化为\(5^{log_{25}(lg5)^2}\)

    第二步,再计算\(5\)的指数位置的对数的值,

    \(log_{25}(lg5)^2=log_{5^2}(lg5)^2=\cfrac{2}{2}\cdot log_5lg5=log_5lg5\)

    这样,原题目再次转化为\(5^{log_5lg5}\)

    第三步,利用对数恒等式求值,

    \(5^{log_5lg5}=lg5\)

    \(5^{log_{25}(lg^22+lg\frac{5}{2})}=lg5\)

    四、涉及指数、对数的综合运算

    \(2^{-log_23}=2^{log_2(3^{-1})}=3^{-1}=\cfrac{1}{3}\)

    \(4^{\frac{1}{2}log_210}=(4^{\frac{1}{2}})^{log_210}=2^{log_210}=10\)

    \(7^{-log_7\frac{1}{2}}=(\cfrac{1}{2})^{-1}=2\)

    \(4^{\frac{1}{2}+log_210}=4^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{log_210}=2\cdot 2^{log_2{10}^2}=200\)

    \(\cfrac{1}{2}lg\cfrac{32}{49}-\cfrac{4}{3}lg\sqrt{8}+lg\sqrt{245}\)

    \(=\cfrac{1}{2}(lg32-lg49)-\cfrac{4}{3}lg8^{\frac{1}{2}}+lg245^{\frac{1}{2}}\)

    \(=\cfrac{1}{2}(lg2^5-lg7^2)-\cfrac{4}{3}\cdot \cfrac{1}{2}lg2^3+\cfrac{1}{2}lg(49\times5)\)

    \(=\cfrac{1}{2}(5lg2-2lg7)-\cfrac{2}{3}\times 3lg2+\cfrac{1}{2}(2lg7+lg5)\)

    \(=\cfrac{5}{2}lg2-lg7-2lg2+\cfrac{1}{2}lg5+lg7\)

    \(=\cfrac{1}{2}lg2+\cfrac{1}{2}lg5\)

    \(=\cfrac{1}{2}(lg2+lg5)=\cfrac{1}{2}\)

    五、不懂对数运算的策略

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例1}\)求值:\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}\)

    分析:设\(5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}=x\),两边同时取对数,

    得到\(lgx=lg[5^{lg30}\cdot (\cfrac{1}{3})^{lg0.5}]\)

    \(lgx=lg30\cdot lg5+lg0.5\cdot lg\cfrac{1}{3}\)

    \(lgx =(lg3+1)\cdot lg5+(-lg2)\cdot (-lg3)\)

    \(lgx=lg3\cdot lg5+lg5+lg2\cdot lg3\)

    \(lgx=lg3(lg2+lg5)+lg5\)

    \(lgx=lg3+lg5=lg15\)

    \(x=15\)

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例2}\)求值:\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

    原式=\(log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

    \(=\cfrac{1}{2}\cdot 2 log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})}\)

    \(=\cfrac{1}{2}log_2^\;{(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}})^2}=\cfrac{1}{2}\)

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例3}\)已知\(a,b>0\),且满足\(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)\),求\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)的值;

    分析:引入正数因子\(k\)

    \(2+log_2a=3+log_3b=log_6(a+b)=k(k>0)\)

    则由\(2+log_2a=log_24a=k\)

    得到\(4a=2^k\),即\(a=\cfrac{2^k}{2^2}=2^{k-2}\)

    \(3+log_3b=log_327b=k\)

    得到\(27b=3^k\),即\(b=\cfrac{3^k}{3^3}=3^{k-3}\)

    \(log_6(a+b)=k\)

    得到\(a+b=6^k\)

    \(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}\)

    \(=\cfrac{6^k}{2^{k-2}\cdot 3^{k-3}}\)

    \(=\cfrac{2^k\cdot 3^k}{2^k\cdot 2^{-2}\cdot 3^k\cdot 3^{-3}}\)

    \(=\cfrac{1}{2^{-2}\cdot 3^{-3}}\)

    \(=2^2\cdot 3^3=108\)

    六、虽然能做出对数题目,但不能理解题目的训练意图;

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例1}\)\(lgx\)\(lgy\)\(lgz\)\(lg(x+y)\)\(lg(x-y)(x>y>0)\)表达下列对数式;

    \(lg(xyz)=lgx+lgy+lgz\)

    \(lg(x^2y^2z^{-3})=2lgx+2lgy-3lgz\)

    \(lg\cfrac{xy}{x^2-y^2}=lgx+lgy-lg(x+y)-lg(x-y)\)

    \(lg[\cfrac{y}{x(x-y)}]^3=3lgy-lgx-lg(x-y)\)

    Cnblogs_LT02.bmp\(\fbox{例2}\)解对数方程:\(log_2(9^{x-1}-5)=log_2(3^{x-1}-2)+2\)

    分析:要使得原方程成立,必须先满足条件\(9^{x-1}-5>0①\)\(3^{x-1}-2>0②\)

    在此前提下,原方程等价于\(log_2(9^{x-1}-5)=log_24(3^{x-1}-2)\);

    \(9^{x-1}-5=4(3^{x-1}-2)\)

    \(9^{x-1}-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)

    \((3^{x-1})^2-4\cdot 3^{x-1}+3=0\)

    \(3^{x-1}=1\),或者\(3^{x-1}=3\)

    \(3^{x-1}=1\), 即\(3^{x-1}=3^0\),解得\(x=1\)

    \(3^{x-1}=3\), 即\(3^{x-1}=3^1\),解得\(x=2\)

    验证:将\(x=1\)\(x=2\)代入①②两式,舍去\(x=1\),保留\(x=2\)

    故方程的根为\(x=2\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10014816.html

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    1. 定义若ab=N(a>0且a≠1)a^b=N(a>0且a\neq 1),则称bb为以aa为底NN的对数,记作logNa=b\log_a^N=b,aa叫做对数的底数,NN叫做真数。注意:①aa的取值范围 ②表示底数、指数、幂的关系的三种形式 e.g. 底数为2,...
  • 相关数学知识一:取模运算性质 a乘b的结果对p取模等于a对p取模的结果乘b对p取模的结果再整体取模于p,详见下图 证明过程如下: 相关数学知识二:快速幂运算 以求a的b次方为例,由于要乘b次a,此时的...
  • 运行时间具有对数性质的几种算法 对分查找算法 给定一个整数 X 和整数 A0A0A_{0}, A1A1A_{1}, A2A2A_{2}……, AN−1AN−1A_{N-1},后者已经预先排序并在内存中,求使得 AiAiA_{i}=X 的下标 i ;如果 X 不在...
  • 矩阵运算的基本性质

    2021-09-06 16:55:46
    定义矩阵A,B,C,其运算满足以下基本性质 1. 乘法结合律 A(BC)=(AB)C 2. 乘法左分配律 (A+B)C=AC+BC 3. 乘法右分配律 C(A+B)=CA+CB 4. 对数乘的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB) 5. 矩阵转置 (AB)T=BTAT\left( AB \right)^T=...

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