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  • 对数函数

    2021-01-20 11:19:31
    两边取a为底对数,即 logay=logaaxlog_ay=log_a a^xloga​y=loga​ax 得到 logay=xlog_ay=xloga​y=x【后面运算法则会证明等式右边】,只是习惯上,我们喜欢用x来表示自变量,y表示因变量,而用什么字母符号来...
  • 0,且a≠1,x(0, +∞))叫做对数函数,也就是说幂(真数)自变量,指数因变量,底数常量的函数,叫对数函数。 指数的定义: 一般地,y=函数(a常数且a>0,a≠1)叫做指数函数,的函数定义域是 R 。 ...

    对数的定义:

    一般地,函数y=loga^{x}(a>0,且a≠1,x\epsilon(0, +∞))叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

    指数的定义:

    一般地,y=a^{x}函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,的函数定义域是 R 。

    幂函数的定义:

    一般地,y=x^{a}(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。

    对数函数和指数函数的关系:

    当a>0且a≠1时,y=loga^{x}  \Leftrightarrow  x=a^{y}

    指数函数和幂函数的关系:

    指数函数以指数为自变量,底数为常数;幂函数以底数为自变量,指数为常数。

    指数运算法则如下:

    a^{0}=1(a属于R,a=0)(a属于R,a不等于0);

    a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}(a属于R,a不等于0,n属于N);

    a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^{n}}(a大于0,m,n属于N,m>1);

    对数运算法则如下:

     

     

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  • 对数函数运算

    千次阅读 2018-01-29 18:36:58
    一般地,对数函数以幂(真数)自变量,指数因变量,底数常量的函数。 对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义: 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做a为底N的对数,记作x=logaN,读作a...
    一般地,对数函数以 真数)为 自变量,指数为 因变量,底数为 常量的函数。
    对数函数是6类 基本初等函数之一。其中 对数的定义:
    如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log aN,读作以a为底N的 对数,其中a叫做对数的 底数,N叫做 真数
    一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以 真数)为 自变量,指数为 因变量,底数为 常量的函数,叫对数函数。
    其中x是自变量,函数的 定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是 指数函数反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
    log”是 拉丁文logarithm(对数)的缩写。

    实际应用
    实数 域中,真数式子没 根号 那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数), 底数 则要大于0且不为1。
    对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义: log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切 实数(比如log 11也可以等于2,3,4,5,等等)】
    通常我们将以10为底的对数叫 常用对数(common logarithm),并把log 10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以 无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的 对数称为 自然对数 (natural logarithm),并且把 logeN 记为 In N。根据对数的定义,可以得到对数与 指数间的关系:
    当a>0,a≠1时,a X=N
       
    X= logaN。(N>0)
    指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
    实数范围内, 负数没有对数;
     
    ,log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。
    有理和无理指数
    如果
       
    是正整数,
       
    表示等于
       
       
    个因子的加减:
    但是,如果是
       
    不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数
       
    (参见 )。类似的,对数函数可以定义于任何 正实数。对于不等于1的每个正 底数
       
    ,有一个对数函数和一个 指数函数,它们互为反函数。
    对数可以简化 乘法运算为 加法,除法为 减法幂运算乘法,根运算为 除法。所以,在发明 电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
    复对数
    复对数计算公式
    复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。
    历史
    16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]   。
    德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《 整数算术》中,写出了两个 数列,左边是 等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。
    欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之 ),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。
    纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」, 化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求 球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的 对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳
    对数的图像 对数的图像
    皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:
    Nap.㏒x=10㏑(107/x)
    由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。
    瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了 对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。
    英国的 布里格斯在1624年创造了常用对数。
    1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。
    对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家 伽利略(1564-1642)说:「给我时间, 空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家 拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
    最早传入我国的对数著作是《比例 对数》,它是由波兰的 穆尼斯(1611-1656)和我国的 薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫 真数,0.3010叫做 假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用 假数对数」。
    当今中学数学教科书是先讲「 指数」,后以 反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《 对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《 无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是 指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。

    函数性质

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    定义域 求解:对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型 复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意 底数大于0且不等于1,如求函数y=log x(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1
    和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
    值域 实数集R,显然对数函数无界;
    定点 对数函数的函数图像恒过定点(1,0);
    单调性 a>1时,在定义域上为单调增函数;
    0<a<1时,在 定义域上为单调减函数;
    对称性:无
    最值:无
    零点:x=1
    注意: 负数和0没有对数
    两句经典话: 底真同对数正,底真异对数负。解释如下:
    也就是说:若y=log ab (其中a>0,a≠1,b>0)
    当0<a<1, 0<b<1时,y=log ab>0;
    当a>1, b>1时,y=log ab>0;
    当0<a<1, b>1时,y=log ab<0;
    当a>1, 0<b<1时,y=log ab<0。

    公式推导

    编辑
    e的定义:
    设a>0,a≠1
    方法一:
    指数函数 指数函数
    特殊地,当
       
    时,
       
    方法二:
       
    ,两边取对数ln y=xln a
    两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a
    特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
    eº=1

    运算性质

    编辑
    一般地,如果a(a>0
    对数函数化简问题 对数函数化简问题
    ,且a≠1)的b次 等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,其中a叫做对数的 底数,N叫做 真数
    底数则要>0且≠1 真数>0
    并且,在比较两个函数值时:
    如果 底数一样, 真数越大, 函数值越大。(a>1时)
    如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0<a<1时)
    当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

    和差

    换底公式

    推导:设
    所以
    两边取对数,则有
    又因为
    所以

    指系

    还原

    互换

    倒数

    链式

    表达方式

    编辑
    (1)常用对数:lg(b)=log 10b(10为底数)
    (2)自然对数:ln(b)=log eb(e为底数)
    e为 无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828

    与指数的关系

    编辑
    同底的对数函数与 指数函数互为反函数。
    当a>0且a≠1时,a x=N
       
    x=㏒ aN。
    关于y=x 对称
    对数函数的一般形式为 y=㏒ ax,它实际上就是指数函数的 反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴、当0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴。
    可以看到,对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于 直线y=x的 对称图形,因为它们互为 反函数
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  • 对数函数基本运算

    千次阅读 2019-09-14 20:54:18
    基本性质: 推导: ... 因为,代入则,即。... MN=M×N,由基本性质1(换掉M和N) 由指数的性质,又因为指数函数是单调函数,所以 3. 与(2)类似处理 M/N=M÷N,由基本性质1(...

    基本性质:

    1.  
    2.  
    3.  
    4.  

    推导:

    1. 因为  ,代入则  ,即  。
    2. MN=M×N,由基本性质1(换掉M和N)

      由指数的性质,又因为指数函数单调函数,所以

            

        3. 与(2)类似处理 M/N=M÷N,由基本性质1(换掉M和N)

            

            由指数的性质

            

            又因为指数函数是单调函数,所以

            

        4. 与(2)类似处理

            由基本性质1(换掉M)

            

            由指数的性质

            

            又因为指数函数是单调函数,所以

            

            由基本性质2(展开

              ,如图所示)

            对数基本性质4推导过程对数基本性质4推导过程

            基本性质4推广

            

            推导如下: 由换底公式(见下面)[

              是  ,e称作自然对数的底]

            换底公式的推导: 设 ,则,其中  得:

             ,由基本性质4可得

             ,再由换底公式

             

    参考:https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F

    转载于:https://my.oschina.net/u/4120502/blog/3088943

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对数函数以e为底的运算