对数的定义：
一般地，函数y=log
（a>0，且a≠1,x
(0， +∞)）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
指数的定义：
一般地，y=
幂函数的定义：
一般地，y=
（a为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
对数函数和指数函数的关系：
当a>0且a≠1时，y=log
x=
指数函数和幂函数的关系：
指数函数以指数为自变量，底数为常数；幂函数以底数为自变量，指数为常数。
指数运算法则如下：
（a属于R,a不等于0）；
=
(a属于R,a不等于0，n属于N)；
=
(a大于0，m,n属于N，m>1);
对数运算法则如下：
实际应用对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切 实数（比如log 11也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫 常用对数（common logarithm),并把log 10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以 无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的 对数称为 自然对数 （natural logarithm)，并且把 logeN 记为 In N。根据对数的定义，可以得到对数与 指数间的关系：当a>0，a≠1时，a X=NX= logaN。（N>0）
由 指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：，log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点（1，0）。
有理和无理指数如果是正整数,
表示等于
的
个因子的加减:
但是，如果是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数
（参见 幂）。类似的，对数函数可以定义于任何 正实数。对于不等于1的每个正 底数
，有一个对数函数和一个 指数函数，它们互为反函数。
对数可以简化 乘法运算为 加法，除法为 减法， 幂运算为 乘法，根运算为 除法。所以，在发明 电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。复对数复对数计算公式复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。历史
德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《 整数算术》中，写出了两个 数列，左边是 等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」， 化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求 球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的 对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳 皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。英国的 布里格斯在1624年创造了常用对数。1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家 伽利略（1564-1642）说：「给我时间， 空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家 拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。最早传入我国的对数著作是《比例 与对数》，它是由波兰的 穆尼斯（1611-1656）和我国的 薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫 真数，0.3010叫做 假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 假数为 对数」。当今中学数学教科书是先讲「 指数」，后以 反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《 对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《 无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是 指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。定义域 求解：对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型 复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意 底数大于0且不等于1，如求函数y=log x（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}定点 ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；单调性 ：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在 定义域上为单调减函数；对称性：无最值：无零点：x=1注意： 负数和0没有对数。两句经典话： 底真同对数正,底真异对数负。解释如下：也就是说：若y=log ab （其中a>0,a≠1，b>0）当0<a<1, 0<b<1时，y=log ab>0;当a>1, b>1时，y=log ab>0;当0<a<1, b>1时，y=log ab<0;当a>1, 0<b<1时，y=log ab<0。e的定义：
设a>0,a≠1方法一：
特殊地，当时，
。
方法二：设，两边取对数ln y=xln a
两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。eº=1底数则要>0且≠1 真数>0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：和差
换底公式
推导：设所以两边取对数，则有即又因为所以指系
还原
互换
倒数
链式
（1）常用对数：lg(b)=log 10b（10为底数）（2）自然对数：ln(b)=log eb（e为底数）e为 无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828同底的对数函数与 指数函数互为反函数。当a>0且a≠1时，a x=Nx=㏒ aN。关于y=x 对称。对数函数的一般形式为 y=㏒ ax，它实际上就是指数函数的 反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。词条图册 更多图册
基本性质：
推导：
3. 与（2）类似处理 M/N=M÷N，由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
4. 与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
或
由基本性质2（展开
，如图所示）
对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
推导如下： 由换底公式（见下面）[
是
，e称作自然对数的底]
换底公式的推导： 设
，则
，其中
得：
，由基本性质4可得
，再由换底公式
参考：https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F
转载于:https://my.oschina.net/u/4120502/blog/3088943
，代入则 
，即 
。
，又因为
