对数函数是指
这里
对数函数的性质主要有
定义域是 
 值域是 
当 
 时单调递增，当 
 时单调递减。
过定点 
关于指数和对数的运算，在过去的文章里已经说得很详细。这次我主要想说两个问题，第一个是关于反函数。定义域为 
 的函数 
 具有反函数的条件是它是单射，也就是
在这个条件下，定义 
 的反函数为
特别地，连续函数具有反函数的充要条件是单调。这是很直观的结论，首先单调函数肯定是单射，其次如果区间上的连续函数不单调，那么它不是单射。
在平面直角坐标系中，若 
 有反函数，则图像
 和 
关于直线 
 对称。这一点可以理解为，反函数就是把 
 和 
 交换。
在高中我们着重指出的是，指数函数和对数函数
互为反函数。
第二个问题是关于幂函数、指数函数和对数函数的增长速率。
当 
 充分大时，幂函数 
 指数函数和对数函数 
 都是充分大的。但是我们可以看出它们的增长速率差别很大。
这里的增长速率的比较不能通过直接求差的方式观察，而是通过求比值。如果两个函数的比值当 
 充分大时接近一个正的常数，就说它们的增长速率是相等的。
幂函数 
 的增长速率随着 
 的增大而增大，据此定义幂函数 
 的增长速率是 
 这样我们就发现所有的多项式函数
的增长速率是 
另外我们发现指数函数的增长速率非常大，而对数函数的增长速率非常小。
事实上当 
 充分大时
总是充分大。这是Excel的计算结果
可以直观地考虑原因是当 
 充分大时，每当 
 再增大，指数函数的增量是幂函数的任意多倍，幂函数的增量是对数函数的任意多倍。这就说明
指数函数 
 的增长速率比任何幂函数都大，所以增长速率是 
对数函数 
 的增长速率比任何幂函数都小，所以增长速率是无穷小。

更多文章见微信【使用Python玩转数学】微信号：langhonglin0509
指数函数的反函数：
y = logax (a是常数，且a>0, a!=1)
叫做对数函数，它的定义域是区间(0，+∞)。
把指数函数y=a^x的x看作因变量，y看作自变量，就得到了一个新的函数，这个新的函数就是对数函数，指数函数称为对数函数的直接函数。
例1  绘制底为2的对数函数，观察图像的性质
# 导入sympy库
import sympy
from sympy import symbols,plot
# 定义对数函数
def log(y,x):
return sympy.log(x,y)
# 定义数学符号x,y
x=symbols('x')
y=symbols('y')
# 生成对数函数公式
flog = log(2,x)
# 绘制图形
plot(flog,(x,0.1,3))
代码解读
Sympy库提供了log(x,n)函数用于定义logn(x)函数，n是底数，x是自变量。
观察函数图像，图像位于Y轴的右侧，值域为(-∞，+∞)，与X轴交点为(1,0)，函数值随着x的增大而增大，当底数大于1时，函数单调增加，函数非奇非偶。
例2  绘制底为1/2的对数函数，观察图像的性质
修改例1的程序代码，将语句：
flog = log(2,x)
修改为：
flog = log(1/2,x)
运行程序，可得到底为1/2的函数图像。
观察函数图像，图像位于Y轴的右侧，值域为(-∞，+∞)，与X轴交点为(1,0)，函数值随着x的增大而减小，当底数大于0小于1时，函数单调减少，函数非奇非偶。
读者可以多次使用不同的底数来绘制对数函数图像，可以得到如下结论：
当底数a>1时，函数在区间(0，+∞)上单调增加，当底数0
例3  绘制底为自然常数e的对数函数
修改例1的程序代码，将语句：
flog = log(2,x)
修改为：
flog = log(sympy.E,x)
运行程序，可得到底为自然常数的的函数图像。
原本要在同一绘图区域绘制指数函数图像、其反函数对数函数图形，及两者图像的对称直线，但Sympy绘制的效果并不理想，为了适应指数函数的图像，Y轴负轴一侧被挤压，导致对数函数图像被拉伸，不能很好呈现指数函数和对数函数的对称效果。
绘制图像的代码如下：
# 导入sympy库
import sympy
from sympy import symbols,plot
# 定义对数函数
def log(y,x):
return sympy.log(x,y)
# 定义指数函数
def exp(y,x):
return y**x
# 定义数学符号x,y
x=symbols('x')
y=symbols('y')
# 生成对数函数公式
flog = log(sympy.E,x)
# 生成直线函数公式
fline = exp(x,1)
# 生成指数函数公式
fexp = exp(sympy.E,x)
plot((flog,(x,0.1,3)),(fline,(x,0.1,3)),(fexp,(x,0.1,3)))
Sympy库用于数值计算还是非常不错的，用于绘制函数图像确实有点小材大用了，后面将使用matplotlib绘制函数图像。
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指数函数的反函数：
y = logax (a是常数，且a>0, a!=1)
叫做对数函数，它的定义域是区间(0，+∞)。
把指数函数y=a^x的x看作因变量，y看作自变量，就得到了一个新的函数，这个新的函数就是对数函数，指数函数称为对数函数的直接函数。
例1  绘制底为2的对数函数，观察图像的性质
# 导入sympy库import sympyfrom sympy import symbols,plot# 定义对数函数def log(y,x):   return sympy.log(x,y)# 定义数学符号x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成对数函数公式flog = log(2,x)# 绘制图形plot(flog,(x,0.1,3))
代码解读
Sympy库提供了log(x,n)函数用于定义logn(x)函数，n是底数，x是自变量。
观察函数图像，图像位于Y轴的右侧，值域为(-∞，+∞)，与X轴交点为(1,0)，函数值随着x的增大而增大，当底数大于1时，函数单调增加，函数非奇非偶。
例2  绘制底为1/2的对数函数，观察图像的性质
修改例1的程序代码，将语句：
flog = log(2,x)
修改为：
flog = log(1/2,x)
运行程序，可得到底为1/2的函数图像。
观察函数图像，图像位于Y轴的右侧，值域为(-∞，+∞)，与X轴交点为(1,0)，函数值随着x的增大而减小，当底数大于0小于1时，函数单调减少，函数非奇非偶。
读者可以多次使用不同的底数来绘制对数函数图像，可以得到如下结论：
当底数a>1时，函数在区间(0，+∞)上单调增加，当底数0
例3  绘制底为自然常数e的对数函数
修改例1的程序代码，将语句：
flog = log(2,x)
修改为：
flog = log(sympy.E,x)
运行程序，可得到底为自然常数的的函数图像。
原本要在同一绘图区域绘制指数函数图像、其反函数对数函数图形，及两者图像的对称直线，但Sympy绘制的效果并不理想，为了适应指数函数的图像，Y轴负轴一侧被挤压，导致对数函数图像被拉伸，不能很好呈现指数函数和对数函数的对称效果。
 
 绘制图像的代码如下：
# 导入sympy库import sympyfrom sympy import symbols,plot# 定义对数函数def log(y,x):   return sympy.log(x,y)# 定义指数函数def exp(y,x):   return y**x  # 定义数学符号x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成对数函数公式flog = log(sympy.E,x)# 生成直线函数公式fline = exp(x,1)# 生成指数函数公式fexp = exp(sympy.E,x)plot((flog,(x,0.1,3)),(fline,(x,0.1,3)),(fexp,(x,0.1,3)))
Sympy库用于数值计算还是非常不错的，用于绘制函数图像确实有点小材大用了，后面将使用matplotlib绘制函数图像。—END—推荐课程
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对数函数图像增强
上一篇我们说到的图像线性增强是对于黑白图片整体像素值局限于某一区间的情况进行线性增强。但是有时候的图片显示效果不好并不是这个原因，而是一张图片中的大部分像素值都偏高或偏低，这样的图片整体看起来偏亮或偏暗，这时候利用线性增强所取得的效果或许并不好，甚至于无效（因为一张图片尽管整体偏暗，但是它的最大像素值能达到255，最小像素值能达到0），因此我们需要利用其它方法来进行色彩均衡。这里我们介绍一下利用log函数和幂函数的方法来均衡图像色彩。
首先我们写一个log函数表达式：Y=logaX。这里我们再结合一下log函数图像来直观的感受一下自变量X和因变量Y的关系。函数图像如下：

从该函数图像中我们可以得到以下几点信息：

1、	自变量变化△X时，设因变量变化△Y，其中△Y<△X；

2、	当底数a>1时，log函数为单调递增函数；

3、	当自变量X<1时，因变量Y为负数。

根据以上函数特征，我们知道利用log函数，可以根据底数a的不同，将X作为输入的像素值，Y作为目的像素值，对一张图像的低灰度进行不同程度的拉伸，对于一张图像的高灰度部分进行不同程度的压缩，但是结合图像特征，我们在编写程序时应当注意以下几点：

1、	因为当X的取值达到很大时，Y的值可能仍然很小，所以我们应当添加一个常数C，将log函数公式稍加变形为：Y=ClogaX；

2、	添加的常数C应当有一个原则，即当我们输入的X为输入图像中最大的像素值时，应当能够保证log函数运算后输出的像素值为255，因此我们的C=255/logaFMAX（其中FMAX为当前输入图像的最大像素值）；

3、	因为当log函数中的自变量小于1时，函数结果为负，为了防止这种情况出现，我们应当设定X=输入图像的像素值+1；

以上，图像log增强的原理已经讲解完毕，下面是代码实现过程，为了代码简洁性，因此我在代码中直接设定了log的底数a为2（实际上可根据不同情况自行设定，但是需要满足条件a>1）。

```java
public static BufferedImage image_Log(BufferedImage leftImage){
		int width = leftImage.getWidth();
		int height = leftImage.getHeight();
		int srcRGBs[] = leftImage.getRGB(0, 0, width, height, null, 0, width);
		int rgb[]=new int[3];
		BufferedImage destImage = new BufferedImage(width, height, BufferedImage.TYPE_INT_RGB);
		int fmin=0,fmax=0;
		for (int j = 0; j < height; j++) {
			for(int i=0; i<width; i++) {
				ImageUtil.decodeColor(srcRGBs[j*width+i],rgb);
				if(j==0&&i==0){
					fmin=rgb[1];
					fmax=rgb[2];
				}
				if (rgb[1]<fmin){
					fmin=rgb[1];
				}
				if (rgb[1]>fmax){
					fmax=rgb[1];
				}
			}
		}
		for (int j=0;j<height;j++) {
			for (int i = 0; i < width; i++) {
				ImageUtil.decodeColor(srcRGBs[j * width + i], rgb);
				rgb[0]=(int)(((255.0/Math.log(1+fmax))*Math.log(1+rgb[0])));//这里之所以这么乘,是为了保证最大值(不到255)能到达255
				rgb[1]=(int)(((255.0/Math.log(1+fmax))*Math.log(1+rgb[1])));
				rgb[2]=(int)(((255.0/Math.log(1+fmax))*Math.log(1+rgb[2])));
				destImage.setRGB(i,j, ImageUtil.encodeColor(rgb));
			}
		}
		return destImage;
	}


``
下面是实现效果图：

以上就是利用对数函数实现图像增强的具体实现，但是你用对数函数仍然有一定的局限性，如它的作用所提，它对于过亮的图像无法进行增强。因此，下篇我将介绍更为强大的伽马变换进行图像增强，他可以对于过亮或过暗的图像进行调节。
总代码包下载：https://download.csdn.net/download/yiyexy/12323645