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  • 对数函数区间
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    2021-02-12 01:08:10

    《对数函数的定义域、值域、定点》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对数函数的定义域、值域、定点(8页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、对数函数的定义域、值域与定点,4)当 时, (4)当 时, 当 时, 当 时,4)当 时, (4) 当 时 当 时, 当 时,5)单调递增,5) 单调递减,5) 单调递增,5) 单调递减,底数互为倒数的两指数函数图像关于y轴对称,底数互为倒数的两对数函数图像关于x轴对称,在第一象限内,越靠近x轴底数越大,在第一象限内,越靠近y轴底数越小,探究一:定义域问题,例一:求下列函数的定义域, 1) 2) 3) 4) 5) 6,归纳总结:求函数定义域时应注意几点问题,1)若函数解析式中含有分母,则分母不能为0,2)若函数解析式中含有偶次根式,要注意偶次根式下非负,3)0的0次幂和0的负指数次幂没有意义,。

    2、4)若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于0,底数大于0且不等于1,求函数的定义域其实质就是解不等式或者不等式组的过程,探究二:对数类函数的值域问题,例1:求 定义在 上的值域,例2:已知 , 在区间 上的最大值比 最小值大 1,求a值,例3:求 函数的值域,例4:求 定义在 的值域,探究3:函数过定点的问题,例1:函数 的图像过定点___________________,例2:函数 的图像过定点_____________, 过定 点____________? 的呢,归纳总结,1.求函数的定义域的实质就是解不等式或不等式组,2.求对数类函数的值域问题要注意真数位置大于0,3.函数过定点,即无论参数的值如何变化,函数图像均过其点,作业,设函数 1) 求a,b的值; 2) 求f(x)在1,2上的最大值。

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  • 指数函数,幂函数,对数函数

    千次阅读 2021-07-15 17:17:06
    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数 指数函数 指数函数公式为y=a^{x},其函数增长性如下: 指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 ...

    摘自:https://zhikunhuo.blog.csdn.net/article/details/100828713

    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数

    指数函数
    指数函数公式为y=a^{x},其函数增长性如下:
    在这里插入图片描述
    指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快

    在x>0部分,a>b其y值也是随着f_{a}(x)>f_{b}(x)

    在x<0部分 当a>b是,其f_{a}(x)<f_{b}(x)<1

    对数函数
    对数函数表达式为:y=log_{a}x,其函数图像为如下:
    在这里插入图片描述
    当x等于1时 y为0,

    当x<1时,其y值小于0

    当x >1时,其值大于0

    对数函数为单调递增的,当a>1时,随着地鼠a越小,其函数增长值越快

    当x> 1时, a<b,f_{a}(x)>f_{b}(x)

    当x<1时, a<b ,f_{a}(x)<f_{b}(x)

    幂函数
    幂函数表达式为y=x^{n},其图像如图:

    在这里插入图片描述
    对数函数为单调递增的,当n大于1时且x大于1时, n越大其函数值越大

    比较三个函数y=2{x},y=x{2},y=log_{2}x增长快慢
    在这里插入图片描述
    y=log_{2}x增长最慢,幂函数y=x{2}和指数函数y=2{x}快慢交替进行

    在x(0.2)区间,幂函数比指函数增长较快

    在(4,+\propto)指数函数比幂函数增长较快

    展开全文
  • =1)叫做对数函数,它的定义域是区间(0,+∞)。把指数函数y=a^x的x看作因变量,y看作自变量,就得到了一个新的函数,这个新的函数就是对数函数,指数函数称为对数函数的直接函数。例1 绘制底为2的对数函数,观察图像...

    更多文章见微信【使用Python玩转数学】微信号:langhonglin0509

    指数函数的反函数:

    y = logax (a是常数,且a>0, a!=1)

    叫做对数函数,它的定义域是区间(0,+∞)。

    把指数函数y=a^x的x看作因变量,y看作自变量,就得到了一个新的函数,这个新的函数就是对数函数,指数函数称为对数函数的直接函数。

    例1 绘制底为2的对数函数,观察图像的性质

    # 导入sympy库

    import sympy

    from sympy import symbols,plot

    # 定义对数函数

    def log(y,x):

    return sympy.log(x,y)

    # 定义数学符号x,y

    x=symbols('x')

    y=symbols('y')

    # 生成对数函数公式

    flog = log(2,x)

    # 绘制图形

    plot(flog,(x,0.1,3))

    代码解读

    Sympy库提供了log(x,n)函数用于定义logn(x)函数,n是底数,x是自变量。

    观察函数图像,图像位于Y轴的右侧,值域为(-∞,+∞),与X轴交点为(1,0),函数值随着x的增大而增大,当底数大于1时,函数单调增加,函数非奇非偶。

    例2 绘制底为1/2的对数函数,观察图像的性质

    修改例1的程序代码,将语句:

    flog = log(2,x)

    修改为:

    flog = log(1/2,x)

    运行程序,可得到底为1/2的函数图像。

    观察函数图像,图像位于Y轴的右侧,值域为(-∞,+∞),与X轴交点为(1,0),函数值随着x的增大而减小,当底数大于0小于1时,函数单调减少,函数非奇非偶。

    读者可以多次使用不同的底数来绘制对数函数图像,可以得到如下结论:

    当底数a>1时,函数在区间(0,+∞)上单调增加,当底数0

    例3 绘制底为自然常数e的对数函数

    修改例1的程序代码,将语句:

    flog = log(2,x)

    修改为:

    flog = log(sympy.E,x)

    运行程序,可得到底为自然常数的的函数图像。

    原本要在同一绘图区域绘制指数函数图像、其反函数对数函数图形,及两者图像的对称直线,但Sympy绘制的效果并不理想,为了适应指数函数的图像,Y轴负轴一侧被挤压,导致对数函数图像被拉伸,不能很好呈现指数函数和对数函数的对称效果。

    绘制图像的代码如下:

    # 导入sympy库

    import sympy

    from sympy import symbols,plot

    # 定义对数函数

    def log(y,x):

    return sympy.log(x,y)

    # 定义指数函数

    def exp(y,x):

    return y**x

    # 定义数学符号x,y

    x=symbols('x')

    y=symbols('y')

    # 生成对数函数公式

    flog = log(sympy.E,x)

    # 生成直线函数公式

    fline = exp(x,1)

    # 生成指数函数公式

    fexp = exp(sympy.E,x)

    plot((flog,(x,0.1,3)),(fline,(x,0.1,3)),(fexp,(x,0.1,3)))

    Sympy库用于数值计算还是非常不错的,用于绘制函数图像确实有点小材大用了,后面将使用matplotlib绘制函数图像。

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  • 在学习机器学习相关理论时,我们常常会会在公式中遇到指数函数和对数函数,但是很时候我们并不理解这些函数的的真正作用,这里结合几个机器学习中的公式来具体分析一下指数函数和对数函数的作用 指数函数 由上图...

    在学习机器学习相关理论时,我们常常会会在公式中遇到指数函数和对数函数,但是很时候我们并不理解这些函数的的真正作用,这里结合几个机器学习中的公式来具体分析一下指数函数和对数函数的作用

    指数函数

    在这里插入图片描述
    由上图可知:

    • 指数函数的自变量范围是(-∞,+∞),因变量范围是(0,+∞)
    • 当指数函数自变量范围在(-∞,0)时,因变量输出范围为(0,1)

    因此,在神经网络中我们可以用指数函数的这两个性质对数据进行(-∞,+∞)到(0,+∞)或者(-∞,0)到(0,1)的映射

    softmax函数就是一个使用指数函数将神经网络输出值转化为概率值的激活函数,softmax函数的公式如下:
    S i = e V i ∑ j e V j S_i = \frac{e^{V_i}}{\sum_j{e^{V_j}}} Si=jeVjeVi
    softmax首先使用指数函数讲每个输出节点的值映射到(0,+∞),然后计算每个节点对应值占总值的比例,然后输出。
    指数函数的图像如下图所示:

    softmax函数就是一个使用指数函数(ex,因为e>1,所以输出和输入是正相关)将神经网络输出值转化为概率值的激活函数,

    你可能说 relu 这种分段函数也能实现这种映射啊,但是通过relu的公式我们可以发现,当自变量范围小于零时,因变量统一为0,这无疑会损失神经网络输出的大量负值信息;relu函数图像和公式如下:
    在这里插入图片描述

    对数函数

    在这里插入图片描述

    指数函数也可以实现区间映射,但对数函数和指数函数互为反函数,因此对数函数和指数函数映射的区间正好相反;
    和由上图可知:

    • 对数函数函数的自变量范围是(0,+∞),因变量范围是(-∞,+∞)
    • 当对数函数自变量范围在(0,1)时,因变量输出范围为(-∞,0)

    因此,在神经网络中我们可以用对数函数的这两个性质对数据进行(0,+∞)到(-∞,+∞)或者(0,1)到(-∞,0)的映射

    跟熵(kl散度,交叉熵,熵)相关的公式中,大多包含对数函数;因为熵的输入是概率值,范围是[0,1],而熵值的范围是[0,+∞],因此需要使用上边总结的对数函数的第二条性质对概率值进行区间映射

    熵的公式如下:
    在这里插入图片描述
    想要了解 kl散度,交叉熵,熵 三者的关系请移步这篇博客->#本质上理解# 熵、交叉熵、KL散度的关系

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