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  • 指数函数,幂函数,对数函数

    千次阅读 2019-09-14 15:19:25
    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数 指数函数 指数函数公式为,其函数增长性如下: 指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 在...

    指数函数,幂函数,对数函数为高等数学中的初等函数

    指数函数

    指数函数公式为y=a^{x},其函数增长性如下:

     指数函数的单调性是递增的,当x=0时,不管a为任何值,其值为1。当a大于1时,随着a越大,其函数值增长越快 

    在x>0部分,a>b其y值也是随着f_{a}(x)>f_{b}(x)

    在x<0部分 当a>b是,其f_{a}(x)<f_{b}(x)<1

    对数函数

    对数函数表达式为:y=log_{a}x,其函数图像为如下:

    当x等于1时 y为0,

    当x<1时,其y值小于0

    当x >1时,其值大于0

    对数函数为单调递增的,当a>1时,随着地鼠a越小,其函数增长值越快

    当x> 1时, a<b,f_{a}(x)>f_{b}(x)

    当x<1时, a<b ,f_{a}(x)<f_{b}(x)

     幂函数

    幂函数表达式为y=x^{n},其图像如图:

    对数函数为单调递增的,当n大于1时且x大于1时, n越大其函数值越大

    比较三个函数y=2^{x},y=x^{2},y=log_{2}x增长快慢

     

     y=log_{2}x增长最慢,幂函数y=x^{2}和指数函数y=2^{x}快慢交替进行

    在x(0.2)区间,幂函数比指函数增长较快

    在(4,+\propto)指数函数比幂函数增长较快

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  • 使用matplotlib画对数函数图像。

    需要注意的问题有:

    • matplotlib中没有可以直接调用的log函数,所以需要使用代码自己生成log数值

    1 代码

    from matplotlib import pyplot as plt
    import math
    import numpy as np
    
    # arange函数的含义是[start,end,step)
    x = np.arange(0.0000001,5,0.001) # 注意区间,因为logx中的x>0,所以这里的区间设置成[0.0000001,5)
    y = []
    for i in x:
        temp = math.log(i) # 使用math中的log函数生成对应x的值
        y.append(temp) # 放入到数组y中
    plt.plot(x,y)  # Plot some data on the axes.
    

    其中需要注意的地方都在注释中详细说明了。详细学习matplotlib的代码可以参考我的github

    2 图形

    在这里插入图片描述

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  • 在学习机器学习相关理论时,我们常常会会在公式中遇到指数函数和对数函数,但是很时候我们并不理解这些函数的的真正作用,这里结合几个机器学习中的公式来具体分析一下指数函数和对数函数的作用 指数函数 由上图...

    在学习机器学习相关理论时,我们常常会会在公式中遇到指数函数和对数函数,但是很时候我们并不理解这些函数的的真正作用,这里结合几个机器学习中的公式来具体分析一下指数函数和对数函数的作用

    指数函数

    在这里插入图片描述
    由上图可知:

    • 指数函数的自变量范围是(-∞,+∞),因变量范围是(0,+∞)
    • 当指数函数自变量范围在(-∞,0)时,因变量输出范围为(0,1)

    因此,在神经网络中我们可以用指数函数的这两个性质对数据进行(-∞,+∞)到(0,+∞)或者(-∞,0)到(0,1)的映射

    softmax函数就是一个使用指数函数将神经网络输出值转化为概率值的激活函数,softmax函数的公式如下:
    S i = e V i ∑ j e V j S_i = \frac{e^{V_i}}{\sum_j{e^{V_j}}} Si=jeVjeVi
    softmax首先使用指数函数讲每个输出节点的值映射到(0,+∞),然后计算每个节点对应值占总值的比例,然后输出。
    指数函数的图像如下图所示:

    softmax函数就是一个使用指数函数(ex,因为e>1,所以输出和输入是正相关)将神经网络输出值转化为概率值的激活函数,

    你可能说 relu 这种分段函数也能实现这种映射啊,但是通过relu的公式我们可以发现,当自变量范围小于零时,因变量统一为0,这无疑会损失神经网络输出的大量负值信息;relu函数图像和公式如下:
    在这里插入图片描述

    对数函数

    在这里插入图片描述

    指数函数也可以实现区间映射,但对数函数和指数函数互为反函数,因此对数函数和指数函数映射的区间正好相反;
    和由上图可知:

    • 对数函数函数的自变量范围是(0,+∞),因变量范围是(-∞,+∞)
    • 当对数函数自变量范围在(0,1)时,因变量输出范围为(-∞,0)

    因此,在神经网络中我们可以用对数函数的这两个性质对数据进行(0,+∞)到(-∞,+∞)或者(0,1)到(-∞,0)的映射

    跟熵(kl散度,交叉熵,熵)相关的公式中,大多包含对数函数;因为熵的输入是概率值,范围是[0,1],而熵值的范围是[0,+∞],因此需要使用上边总结的对数函数的第二条性质对概率值进行区间映射

    熵的公式如下:
    在这里插入图片描述
    想要了解 kl散度,交叉熵,熵 三者的关系请移步这篇博客->#本质上理解# 熵、交叉熵、KL散度的关系

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  • 对数函数图像增强 上一篇我们说到的图像线性增强是对于黑白图片整体像素值局限于某一区间的情况进行线性增强。但是有时候的图片显示效果不好并不是这个原因,而是一张图片中的大部分像素值都偏高或偏低,这样的图片...

    对数函数图像增强

    上一篇我们说到的图像线性增强是对于黑白图片整体像素值局限于某一区间的情况进行线性增强。但是有时候的图片显示效果不好并不是这个原因,而是一张图片中的大部分像素值都偏高或偏低,这样的图片整体看起来偏亮或偏暗,这时候利用线性增强所取得的效果或许并不好,甚至于无效(因为一张图片尽管整体偏暗,但是它的最大像素值能达到255,最小像素值能达到0),因此我们需要利用其它方法来进行色彩均衡。这里我们介绍一下利用log函数和幂函数的方法来均衡图像色彩。

    首先我们写一个log函数表达式:Y=logaX。这里我们再结合一下log函数图像来直观的感受一下自变量X和因变量Y的关系。函数图像如下:
    对数函数图像从该函数图像中我们可以得到以下几点信息:
    1、 自变量变化△X时,设因变量变化△Y,其中△Y<△X;
    2、 当底数a>1时,log函数为单调递增函数;
    3、 当自变量X<1时,因变量Y为负数。
    根据以上函数特征,我们知道利用log函数,可以根据底数a的不同,将X作为输入的像素值,Y作为目的像素值,对一张图像的低灰度进行不同程度的拉伸,对于一张图像的高灰度部分进行不同程度的压缩,但是结合图像特征,我们在编写程序时应当注意以下几点:
    1、 因为当X的取值达到很大时,Y的值可能仍然很小,所以我们应当添加一个常数C,将log函数公式稍加变形为:Y=ClogaX;
    2、 添加的常数C应当有一个原则,即当我们输入的X为输入图像中最大的像素值时,应当能够保证log函数运算后输出的像素值为255,因此我们的C=255/logaFMAX(其中FMAX为当前输入图像的最大像素值);
    3、 因为当log函数中的自变量小于1时,函数结果为负,为了防止这种情况出现,我们应当设定X=输入图像的像素值+1;
    以上,图像log增强的原理已经讲解完毕,下面是代码实现过程,为了代码简洁性,因此我在代码中直接设定了log的底数a为2(实际上可根据不同情况自行设定,但是需要满足条件a>1)。

    
    ```java
    public static BufferedImage image_Log(BufferedImage leftImage){
    		int width = leftImage.getWidth();
    		int height = leftImage.getHeight();
    		int srcRGBs[] = leftImage.getRGB(0, 0, width, height, null, 0, width);
    		int rgb[]=new int[3];
    		BufferedImage destImage = new BufferedImage(width, height, BufferedImage.TYPE_INT_RGB);
    		int fmin=0,fmax=0;
    		for (int j = 0; j < height; j++) {
    			for(int i=0; i<width; i++) {
    				ImageUtil.decodeColor(srcRGBs[j*width+i],rgb);
    				if(j==0&&i==0){
    					fmin=rgb[1];
    					fmax=rgb[2];
    				}
    				if (rgb[1]<fmin){
    					fmin=rgb[1];
    				}
    				if (rgb[1]>fmax){
    					fmax=rgb[1];
    				}
    			}
    		}
    		for (int j=0;j<height;j++) {
    			for (int i = 0; i < width; i++) {
    				ImageUtil.decodeColor(srcRGBs[j * width + i], rgb);
    				rgb[0]=(int)(((255.0/Math.log(1+fmax))*Math.log(1+rgb[0])));//这里之所以这么乘,是为了保证最大值(不到255)能到达255
    				rgb[1]=(int)(((255.0/Math.log(1+fmax))*Math.log(1+rgb[1])));
    				rgb[2]=(int)(((255.0/Math.log(1+fmax))*Math.log(1+rgb[2])));
    				destImage.setRGB(i,j, ImageUtil.encodeColor(rgb));
    			}
    		}
    		return destImage;
    	}
    
    

    ``

    下面是实现效果图:
    对数图像增强效果图以上就是利用对数函数实现图像增强的具体实现,但是你用对数函数仍然有一定的局限性,如它的作用所提,它对于过亮的图像无法进行增强。因此,下篇我将介绍更为强大的伽马变换进行图像增强,他可以对于过亮或过暗的图像进行调节。

    总代码包下载:https://download.csdn.net/download/yiyexy/12323645

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对数函数区间