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  • 复合函数、反函数指数函数对数函数对数的性质对数、指数函数指数、对数函数在描述日常生活中的增长问题有很大的帮助。本章学习它们的函数图像以及相关性质。复合函数、反函数复合函数是一种嵌套函数形式,即一个函数...
    • 复合函数、反函数
    • 指数函数
    • 对数函数
    • 对数的性质
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    对数、指数函数

    指数、对数函数在描述日常生活中的增长问题有很大的帮助。本章学习它们的函数图像以及相关性质。

    复合函数、反函数

    复合函数是一种嵌套函数形式,即一个函数的输出是另一个函数的输入,如:(f⊙g)(x)=f(g(x))。

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    定义域的x与值域y之间是一对一关系的函数,即一个y只有一个x值与之对应,称为一对一映射关系函数。判断方式:坐标系中任意画一条平行于x轴的直线,最多与函数图像相交于一点。

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    一对一关系函数

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    非一对一关系函数

    我们知道函数关系定义中每个x值有且仅有一个y值与其对应。一对一函数有如下映射关系

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    对应x与y相互只有一个值,即反函数形式也符合函数的关系定义

    如果y=f(x)存在反函数且(x,y)是函数f(x)上的点,那么(y,x)是其反函数上的点。这两个点是关于y=x对称的,如(1,3)与(3,1)

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    函数与其反函数关于y=x对称

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    函数的定义域是其反函数的值域,而函数的值域是反函数的定义域。

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    已知一个函数如何得到它的反函数呢?

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    最后需要验证一下是否互反

    指数函数

    指数函数的形式:a > 0 且 a ≠ 1

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    • a > 0:若a=-4时
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    x=1/2, f(1/2)不在实数域

    • a ≠ 1:因为1的x次方都等于1,f(x)是一个常数函数

    指数函数的图像:

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    底数分别为2、3的函数图像

    指数函数性质:

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    左图a>1,右图0

    前面是a为有理数的情况下讨论指数函数。在科学及经济等领域有一个很常用的无理数--e为基的指数函数。e的由来

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    n为非0自然数

    当n逐渐增大直至无穷大时,f(n)无限趋近于一个无理数

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    数学上将n→∞时,f(n)所趋近的无理数用e表示。e≈2.718281827,称它为自然常数。

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    自然指数函数

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    2

    对数函数

    根据指数函数的图像及其性质可知,它们是一对一的函数,所以指数函数一定存在反函数。那么它的反函数是什么呢?数学上用log(Logarithmic)来表示指数函数的反函数--对数函数。

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    a>0且a≠1, x>0

    对数函数的性质

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    指数函数与对数函数的图像关系

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    自然对数函数可以用f(x)=lnx表示,底数(基)为e。以10为底数(基)的对数函数用f(x)=logx表示。

    对数的性质

    a为实数,a的0次方等于1,a的1次方等于a。对应的对数

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    a>0且a≠1,x>0时

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    另外,乘除、幂的性质,换底公式

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  • 那个教授说,对数函数与其反函数的交点可以有三个。 当时特别难以置信,直到他用工具画出图来。 后来我回去也证明了一下,但是图像一直很难构造。 今天回顾一下证明过程,并利用几何画板python作出图像。 多年...

    高二的时候,听过一次讲座。那个教授说,对数函数与其反函数的交点可以有三个。

    当时特别难以置信,直到他用工具画出图来。

    后来我回去也证明了一下,但是图像一直很难构造。

    今天回顾一下证明过程,并利用几何画板和python作出图像。

    多年夙愿,在此纪念。

    简单证明

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    相关图像

    • 图①
      在这里插入图片描述

    • 图②
      在这里插入图片描述

    • 图③

    在这里插入图片描述

    • 图④
      在这里插入图片描述

    • 图⑤
      在这里插入图片描述

    • 图⑥
      在这里插入图片描述

    作图代码

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import math
    a=math.pow(math.e,-math.e)
    x=np.linspace(0.02,1.5,1000)
    y=x
    y1=[math.log(i,a) for i in x]
    y2=[math.pow(a,i) for i in x]
    y3=-x+2/math.e
    plt.plot(x,y3)
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,y1,linestyle='--')
    plt.plot(x,y2,color='red',linewidth=1.0,linestyle='--')
    
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    ax=plt.gca()
    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    # 定义x轴和y轴的位置
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
    plt.axis('equal')
    
    p1=plt.scatter(1/math.e,1/math.e,marker='.',color='k',s=50)
    
    plt.show()
    
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  • 掌握对数函数的概念、图像与性质.能运用对数函数的性质求函数的定义域值域;...2.通过探究函数图像把握指数函数对数函数的实质;学会利用观察、分析、类比归纳等方法探索问题,形成应用数形结合...

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    学习目标

    1.掌握对数函数的概念、图像与性质.能运用对数函数的性质求函数的定义域和值域;运用对数函数的单调性等性质解决常见问题.明确对数函数与指数函数互为反函数,能利用其相互关系研究解决问题;

    2.通过探究函数图像把握指数函数与对数函数的实质;学会利用观察、分析、类比归纳等方法探索问题,形成应用数形结合、类比联想、分类讨论、化归法等数学思想解决问题的能力;

    3.掌握对数函数的图像与单调性等性质的灵活运用,体验数形结合的思想方法与其它数学知识的综合运用.

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    本课视频约50分钟,请忽略片头的tx广告。

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    知识小结     

      1.节课的问题承载内容是对数函数的概念、图像和性质在解决问题的综合运用,在理解对数函数概念的基础上,掌握和运用对数函数的图像和性质是本节课的重点和难点

    2.利用对数函数研究问题中,常用到对数函数在定义域或者某区间的单调性,但由于对数函数的底数与1比较时单调性不一样,经常带来分类讨论数学思想方法的运用,在问题的转化中,运用了数学化归的思想。比如同底对数与指数的恒等转化,同底对数函数与指数函数互为反函数其图像关于直线y=x对称也是经常用到的知识点;

    3.在研究问题时,利用对数函数的图像也是需要重点把握的知识,体现数形结合的思想方法的运用.

     ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

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    余勇波高中数学微课居原创,请勿侵权。

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  • 应知应会(1)实数指数幂①指数幂与根式②实数指数幂及运算法则am×an=am+n(am)n=am×n(ab)m =am×bm(2)指数函数指数函数y=ax②指数函数图像值域:(0, ∞ )特殊点:图像过(0,1)点函数增减性:当a>1为增函数;...

    1.大纲要求

    92d92c19b40bf90c9540aac3483ffb64.png

    2.应知应会

    (1)实数指数幂

    ①指数幂与根式

    2dc5572a65564af27611dc4b3d29c707.png

     ②实数指数幂及运算法则

            am×an=am+n

            (am)n=am×n

            (ab)m =am×bm

    (2)指数函数

    ①指数函数

            y=ax

    ②指数函数的图像

            值域:(0, ∞ )

            特殊点:图像过(0,1)点

            函数增减性:当a>1为增函数;0

    (3)对数

    ①对数及性质

            ab = N 与 b=logaN 的对应关系。

            b=logaN  

            特殊情况:loga1=0;logaa=1;N>0(0和负数没有对数)

    ②常用对数(底为10)和自然对数(底为e)

            log10N记为lgN

            logeN记为lnN

    ③积、商、幂的对数

            lg(M×N)=lgM+lgN

            lg(M/N)=lgM-lgN

            lgMn =nlgM

    (4)对数函数

    ①对数函数

            y=logax

    ②对数函数的性质

            ◆函数的定义域为(0,+ ∞ ),值域为R;

            ◆当x=1时,y=0 ;

            ◆当a>1,函数为增函数;当0

    3.历届统考真题

    (1)客观题

    序号

    题干

    参考答案

    1

    计算4-1=()

      A.4 

      B.3 

      C.-4 

      D.1/4 

    D

    2

    右图是指数函数y=ax的图像,则a的取值范围是()。

      A.(1,+∞)

      B.(0,1)

      C.(-∞,0)

      D.  R

    d633ab90361ad0bf7ac44be2ead47604.png

    B

    3

    将32=9写成对数式是()

      A.log32=9

      B. log39=2

      C. log23=9

      D. log29=3

    B

    4

    函数y=log3x的图像必过点()。

      A. (0,0)

      B. (0,1)

      C. (1,0)

      D. (1,1)

    C

    5

    “以a为底x的对数等于y”记作()

      A. y=logax

      B. x=logay

      C. x=logya

      D. y=logxa

    A

    6

    下列运算中,正确的是()

    edb83dacf825a59889b16b3c6ff80574.png

    9a1360bd69b291c2be51667aec04412b.png

    C

    7

    函数y=log3x的大致图像为(  )

    60f8b9e48ca83714ec7c74b84c044bdb.png

    D

    8

    loga2=1,则a的值是(   )

    2

    (2)观题

    序号

    题干

    参考答案

    1

    计算81/3×(√2)2-(√13 -1)0+(lg5+lg2)

    原式=2×2 - 1 + lg10

    =4 - 1 + 1

    =4

    2

    计算:log22 + (π-1)0 + 3×3-1 

    原式=1+1+1

        =3

    3

    求值:1/9 × (-3)2 + 2÷(√5 - 1)0 - log39

    原式=(1/9)× 9 +2/1 – log332

        =1+2-2log33

        =3-2

        =1

    94149db4cbc8dc8264cfe9530d38513e.png

    凉山州职业技术学校北2校区

    b8dd2cbe924f62dfb1b2ebf439e42ccf.png

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  • 对数函数

    2020-10-31 11:41:36
    如果指数函数和对数函数的底数一致,那么两个图像是1.3象限对称,对数函数总是拉指数函数的后腿 性质: 定义域:(0,正无穷) 值域:y∈R 单调递增函数 2.1>a>0 图像 缓慢递减,该底数函数和对数函数底数一致...
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    千次阅读 2018-10-17 15:53:27
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    2019-04-28 11:03:00
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空空如也

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对数函数和指数函数图像