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  • 2019_2020学年高中数学第三章指数函数和对数函数33.3指数函数图像和性质练习北师大版必修1
  • 能计算对数函数指数函数和幂函数的模拟计算机 在对数函数y=loga x(a>0,a≠1,x>0)中,自变量x因变量y之间是对数关系,就是a的y次方的计算结果是x。现代模拟电路中,可以使用集成运算放大器的对数计算电路...

    能计算对数函数、指数函数和幂函数的模拟计算机

    在对数函数y=loga x(a>0,a≠1,x>0)中,自变量x和因变量y之间是对数关系,就是a的y次方的计算结果是x。现代模拟电路中,可以使用集成运算放大器的对数计算电路,求解对数函数。电路下载网址,链接:https://pan.baidu.com/s/1ra5dI0cQKDRR5KCs1fIfqA

    提取码:ydd7 ,

    https://share.weiyun.com/lfaAK6sR

    ,对数函数计算电路电路如下图所示。

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    其中集成运算放大器的电路如下所示

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    计算lgx+lg(x-3)=1,可以先计算lgx,再计算lg(x-3),计算lg(x-3)时,先减法器计算x-3,就是用减法器将表示x的电压,和表示3的电压DC3V相减,再用对数计算电路计算对数lg(x-3),最后将lgx和lg(x-3)用加法器相加,用表示x的电源的电位器调节电位器使的x输出不断变化,用电压表测量lgx和lg(x-3)相加的结果是DC3v,电流是100mA,此时x输出得电压值就是方程的解。

    在上面电路中,DC1V,100mA表示数字1,DC,3V,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示,

    减法器电路如下所示

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    加法器电路如下所示。

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    表示x的电源的电路如下图所示

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    整个方程的电路原理图如下图所示

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    整个方程的计算电路如下图所示

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    本地图片,请重新上传计算y=√ log1/2 x -1可以先计算log1/2 x,用对数计算电路计算对数log1/2 x,最后将lgxlog1/2 x和1用减法器相减,再用开方电路将log1/2 x -1开方,用表示x的电源的电位器调节电位器使的x输出不断变化,用电压表测量log1/2 x和1相减的结果是y,电流是100mA,此时y输出得电压值就是方程的图像。

    可以调节对数电路的电位器,使对数函数的底数a发生改变,例如将上面的底数变为1/2。

    整个方程的电路原理图如下图所示

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    整个方程的计算电路如下图所示

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    计算y=log3 x,用对数计算电路计算对数log3x,用电压表测量log3 x的结果是y,电流是100mA,此时y输出得电压值就是方程的图像。

    可以增加对数电路的方式,使对数函数的底数a发生改变,例如上面电路使用3个对数计算电路来使底数变成3。

    整个方程的电路原理图如下图所示

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    整个方程的计算电路如下图所示

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    计算2logx25+log25x=1,可以先计算logx25,再计算log25x,计算log25x时,先用对数计算电路计算logx25,就是用对数计算电路将表示底数x的电压DCxV和表示指数25的电压DC25V做对数运算,再用乘法器将表示正数2的电压DC+2V和logx25相乘得2logx25,再用对数计算电路计算log25x,就是用对数计算电路将表示底数25的电压DC+25V和表示指数x的电压DCxV做对数运算,再用乘法器将表2logx25和log25x相加得2logx25+log25x,

    用表示x的电源的电位器调节电位器使的x输出的电压值不断变化,用电压表测量2logx25和log25x相加的结果是DC1v,电流是100mA,此时x输出得电压值就是方程的解。

    在上面电路中,DC1V,100mA表示数字1,DC,3V,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路的电源原理图如下所示

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    整个方程的电路原理图如下图所示

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    整个方程的计算电路如下图所示

    x

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    在指数函数y= a (a>0,a≠1,x∈R) 中,自变量x和因变量y之间是指数关系,就是a的x次方的计算结果是y。现代模拟电路中,可以使用集成运算放大器的指数计算电路,求解指数函数。由于指数值随着自变量x的增加,会变得很大,例如,6的2次方和3次方都很小,但是它的6次方,7次方就会变得很大,这就需要把相同几个指数电路连接到一起,组成一个放大电路,才能满足底数a增大指数变得很大的情况。

    指数函数计算电路电路如下图所示。

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    电压乘法器

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    电压减法器

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    电压加法器

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    电压除法器

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    电压开方电路

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    电压开立方电路

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    电压开五次方电路

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    集成运放电路

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    计算 5-4 , 可以先计算4 ,用指数计算电路计算4 ,就是用指数计算电路将表示底数4的电压DC+4V和表示指数x的电压DCxV做指数运算,再用减法器将表

    示正数5的电压DC+5V和4 相减得5-4 ,再用开平方电路电路计算 5-4 ,再用除

    法电路将表示正数1的电压DC+1V和 5-4 相除得 5-4 ,

    用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压值就是y的值,它随x的值变化而变化。

    在上面电路中,DC1V,100mA表示数字1,DC,3V,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    上面电路的原理图如下所示

    上面电路的电路图如下所示

    计算 y=3 , 可以先指数计算电路计算3 ,就是用指数计算电路将表示底数3的电压DC+3V和表示指数x的电压DCxV做指数运算。

    用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压值就是y的值,它随x的值变化而呈指数变化。

    在上面电路中,DC1V,100mA表示数字1,DC,3V,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路采用二级指数电路相互连接来增大指数值的方式来计算指数。

    上面电路的原理图如下所示。

    上面电路的电路图如下所示

    计算 y=56 , 可以先指数计算电路计算56 ,就是用指数计算电路将表示底数56的电压DC+56μV和表示指数x的电压DCxμV做指数运算。

    用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压值就是y的值,它随x的值变化而呈指数变化。

    在上面电路中,DC1μV,100mA表示数字1,DC,3μV,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路采用多级指数计算电路,同相比例放大电路,差分跨导放大电路,乘法电路增大指数值的方式来计算指数,因为56的4次方,5次方的值很大,所以电路中用DC1μV表示数字1,用DC10μV表示数字10,例如56的5次方是550731776,当x是+5uV,a是+56uV时,指数计算电路最后的输出是540V,最后输出这个指数值是一个近似值。

    上面电路的原理图如下所示

    上面电路的电路图如下所示

    计算 y=138 , 可以先指数计算电路计算138 ,就是用指数计算电路将表示底数138的电压DC+138μV和表示指数x的电压DCxμV做指数运算。

    用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压值就是y的值,它随x的值变化而呈指数变化。

    在上面电路中,DC1μV,100mA表示数字1,DC,3μV,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路首先将DCXμV,DC138μV经过电压除法器进行除法运算,得到一个斜率变化的直线函数。再将上面的信号经过3级集成运放放大。最后经过指数函数发生器,将信号变为指数函数输出。例如计算138,首先将DC138μV,DC8μV进行除法运算,算出它们之间的比值17.25μV。再将这个比值经过同相放大器放大后,再经过指数发生电路,变成指数计算结果,再利用电压比较器,当结果大于1V,即计算结果大于1000时,结果减去1000,再进行指数电路计算。再将这个比值经过同相放大器放大后,再经过指数发生电路,变成指数计算结果,再利用电压比较器,当结果大于10V,即计算结果大于10000时,结果减去10000,再进行指数电路计算。再将这个比值经过同相放大器放大后,再经过指数发生电路,变成指数计算结果,再利用电压比较器,当结果大于100V,即计算结果大于100000时,结果减去100000,再进行指数电路计算。再将这个比值经过同相放大器放大后,再经过指数发生电路,变成指数计算结果,再利用电压比较器,当结果大于1000V,即计算结果大于1000000时,结果减去1000000,再进行指数电路计算。

    上面电路的原理图如下所示

    上面电路的电路图如下所示

    计算 y=5 , 可以先指数计算电路计算5 ,就是用指数计算电路将表示底数3的电压DC+3μV和表示指数x的电压DCxμV做指数运算。

    用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压值就是y的值,它随x的值变化而呈指数变化。

    在上面电路中,DC1μV,100mA表示数字1,DC,3μV,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路采用三级指数电路相互连接来增大指数值的方式来计算指数。

    上面电路的原理图如下所示。

    上面电路的电路图如下所示

    计算 7 = 343 方程的解 ,先给方程左右两边同减上 343 ,方程变为

    7 - 343 =0

    这时用指数计算电路计算 7 ,就是用指数计算电路将表示底数7的电压DC+7μV和表示

    指数x的电压DCxμV做指数运算。然后用开方五次方电路计算 7 。

    再用指数计算电路计算 343 ,就是用指数计算电路将表示底数343的电压DC+343μV

    和表示指数x的电压DCxμV做指数运算。然后用开方电路计算 343 。

    最后用减法器将 7 减去 343 。

    最后用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压随x的值变化而呈指数变化,当这个电压值是0时,X输出得电压值就是方程的根。

    开五次方电路由三个开平方电路依次相连组成,调节电位器可以将三个开平方电路变成一个开五次方电路。它得到的计算结果是一个近似值。

    在上面电路中,DC1μV,100mA表示数字1,DC,3μV,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路采用三级指数电路相互连接来增大指数值的方式来计算指数。

    上面电路的原理图如下所示。

    上面电路的电路图如下所示。

    计算 5 = 25 方程的解 ,先给方程左右两边同减上 25 ,方程变为

    5 - 25 =0

    这时用指数计算电路计算 5 ,就是用指数计算电路将表示底数5的电压DC+5μV和表示

    指数x的电压DCxμV做指数运算。然后用开方电路计算 5 。

    再用指数计算电路计算 25 ,就是用指数计算电路将表示底数25的电压DC+25μV

    和表示指数x的电压DCxμV做指数运算。然后用开方电路计算 25 。

    最后用减法器将 5 减去 25 。

    最后用电压表测量电路最后输出的电压,这个电压随x的值变化而呈指数变化,当这个电压值是0时,X输出得电压值就是方程的根。

    开三次方电路由二个开平方电路依次相连组成,调节电位器可以将二个开平方电路变成一个开三次方电路。它得到的计算结果是一个近似值。

    在上面电路中,DC1μV,100mA表示数字1,DC,3μV,100mA表示数字3,就是电压值是多少,它代表的数字就是多少。x用不断变化,电压值不确定来表示。

    电路采用三级指数电路相互连接来增大指数值的方式来计算指数。

    上面电路的原理图如下所示。

    上面电路的电路图如下所示。

    在幂函数y=x (a∈R)其中a为常数,自变量x和因变量y之间是幂函数关系,就是x的a次方的计算结果是y。现代模拟电路中,可以使用集成运算放大器的幂函数计算电路,

    求解幂函数。用乘法器和开方电路,可以实现任何幂函数,例如,x 可以用乘法器将

    x和x相乘,再用乘法器将x 和x相乘。x 可以用乘法器将

    x和x相乘,得x ,再用2个开方电路组成的开立方电路把x 开立方,得x .

    计算f(x)= x + 3x , 可以先计算x ,可以用乘法器将

    x和x相乘,得x ,再用2个开方电路组成的开立方电路把x 开立方,得x .

    再用乘法器将x 和3相乘, 得3x ,再用加法器将x和3x 相加,得到最后的电压输出f(x)。

    用表示x的电源的电位器调节电位器使的x输出不断变化,此时f(x)输出得电压值就是方程的图像。还可以示波器替代电压表测量f(x)的值,用绘图仪替代电压表,可以描绘出函数的图像。

    整个方程的电路原理图如下图所示。

    上面电路的电路图如下所示。

    计算f(x)= 2x + x , 可以先计算x , 可以用乘法器将

    x和x相乘,得x ,可以用乘法器将x 和x 相乘,得x , v,再用1除以x

    得x ,再用乘法器将2和x 相乘得2x , 再用开方电路将x开方得x ,

    再用1除以x 得x 。再用加法器将2x 和x 相加,得f(x) ,

    用表示x的电源的电位器调节电位器使的x输出不断变化,此时f(x)输出得电压值就是方程的图像。还可以示波器替代电压表测量f(x)的值,用绘图仪替代电压表,可以描绘出函数的图像。

    1.绘图仪探针由铜针组成安装在X轴,Y轴的轨道上,X轴受电磁铁A,电磁铁B的磁场作用,在X轴移动,Y轴在电磁铁C,电磁铁D的磁场作用下,在Y轴移动。2.绘图探针接通有DC24V,100ma电流,它和DC24V电源之间有电阻10K,它在X轴磁场和Y轴磁场的作用下沿X轴或Y轴移动,在下平面上绘制出f(x)做Y轴和x做X轴的平面坐标图像。3,电磁铁A,电磁铁B上面接上DC xV,100mA,电源,当X值增大时,它的磁场增大,当X值减小时,它的磁场减小。4,电磁铁C,电磁铁D上面接上DC f(x)V,100mA,电源,当f(x)值增大时,它的磁场增大,当f(x)值减小时,它的磁场减小。5,绘图铜针在X轴上面的移动量由方程式的x的数值决定,绘图铜针在Y轴上面的移动量由方程式的f(x)的数值决定。6.绘图仪绘图针绘制的是x轴是函数x值,Y轴是函数f(x)的平面图像。7.绘图仪铜制绘图针末端有墨水,它在白纸上面可以绘制线条,随着绘图针的移动,就会在白纸上面绘制出函数的图像。

    整个方程的电路原理图如下图所示。

    上面电路的电路图如下所示。

    绘图仪电磁铁驱动放大电路如下图所示

    电源电路

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  • 2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数4.2.2指数函数图象和性质课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册20210225199
  • 2019_2020学年高中数学第三章指数函数和对数函数55.3对数函数图像和性质练习北师大版必修1
  • 2021年新教材高中数学第4章指数函数对数函数第4节对数函数2对数函数图像和性质试题PDF新人教A版必修1
  • 2021年新教材高中数学第4章指数函数对数函数第2节指数函数2指数函数图像和性质试题PDF新人教A版必修1
  • 那个教授说,对数函数与其反函数的交点可以有三个。 当时特别难以置信,直到他用工具画出图来。 后来我回去也证明了一下,但是图像一直很难构造。 今天回顾一下证明过程,并利用几何画板python作出图像。 多年...

    高二的时候,听过一次讲座。那个教授说,对数函数与其反函数的交点可以有三个。

    当时特别难以置信,直到他用工具画出图来。

    后来我回去也证明了一下,但是图像一直很难构造。

    今天回顾一下证明过程,并利用几何画板和python作出图像。

    多年夙愿,在此纪念。

    简单证明

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    相关图像

    • 图①
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    • 图②
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    • 图③

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    • 图④
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    • 图⑤
      在这里插入图片描述

    • 图⑥
      在这里插入图片描述

    作图代码

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import math
    a=math.pow(math.e,-math.e)
    x=np.linspace(0.02,1.5,1000)
    y=x
    y1=[math.log(i,a) for i in x]
    y2=[math.pow(a,i) for i in x]
    y3=-x+2/math.e
    plt.plot(x,y3)
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,y1,linestyle='--')
    plt.plot(x,y2,color='red',linewidth=1.0,linestyle='--')
    
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    ax=plt.gca()
    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    # 定义x轴和y轴的位置
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
    plt.axis('equal')
    
    p1=plt.scatter(1/math.e,1/math.e,marker='.',color='k',s=50)
    
    plt.show()
    
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  • Chapter9:指数函数和对数函数4.指数函数对数函数4.1 指数函数回顾4.2 对数函数回顾4.3 指数函数对数函数互为反函数4.4 对数法则 4.指数函数对数函数 4.1 指数函数回顾 底数指数底数^{指数}底数指数 4.2 ...

    Chapter9:指数函数、对数函数、双曲函数

    9.指数函数、对数函数、双曲函数

    9.1 基础知识

    9.1.1 指数函数回顾

    底 数 指 数 底数^{指数}


    9.1.2 对数函数回顾

    y = 2 x = 8 y=2^x=8 y=2x=8
    x = l o g 2 ( y ) = l o g 2 ( 8 ) = 3 x=log_2(y)=log_2(8)=3 x=log2(y)=log2(8)=3 代表着将2提升3个幂次才能得到8

    l o g b ( y ) log_b(y) logb(y)是为了得到 y y y 必须将底数 b b b 提升某个(对数的结果)幂次

    b l o g b ( y ) = y b^{log_b(y)}=y blogb(y)=y

    要求必须 b > 1 , y > 0 b \gt 1,y \gt 0 b>1y>0
    如果 b < 0 b \lt 0 b<0 ,例如 y = b x = ( − 1 ) 1 2 = − 1 < 0 y=b^x=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1} \lt 0 y=bx=(1)21=1 <0
    如果 b = 0 b=0 b=0,例如 0 x 0^x 0x(无意义)

    如果 b = 1 b=1 b=1 ,例如: y = 1 x = 1 y=1^x=1 y=1x=1,x取任何值都成立,无价值

    0 < b < 1 0 \lt b \lt 1 0<b<1,例如: y = ( 1 2 ) x = 2 − x y=(\frac{1}{2})^x=2^{-x} y=(21)x=2x l o g 1 2 ( y ) = − l o g 2 ( y ) log_{\frac{1}{2}}(y)=-log_2(y) log21(y)=log2(y)

    l o g b ( y ) log_b(y) logb(y) 不可能将 b b b 提升为几次幂而得到一个负数或0,于是 y y y 不可能是负数或0

    9.1.3 指数函数与对数函数互为反函数

    f ( g ( x ) ) = x f(g(x))=x f(g(x))=x b l o g b ( x ) = x b^{log_b(x)}=x blogb(x)=x
    g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x l o g b ( b x ) = x log_b(b^x)=x logb(bx)=x

    9.1.4 对数法则

    所有不同底数的对数函数其实互为常数倍

    l o g b ( x ) = K l o g c ( x ) log_b(x)=Klog_c(x) logb(x)=Klogc(x) ,其中 K = 1 l o g c ( b ) K=\frac{1}{log_c(b)} K=logc(b)1

    y = l o g c ( x ) y=log_c(x) y=logc(x)图像垂直拉伸K倍得到 y = l o g b ( x ) y=log_b(x) y=logb(x)

    证明:乘积的对数是对数的和

    证明:对数将指数移至对数之前

    证明换底法则

    9.2 e的定义

    9.2.1 有关复利的问题

    银行A:利息年利率 12 % 12\% 12%一年计一次复利,意味着每一年财富增加 12 % 12\% 12%
    假设今年你存入 100 100 100元,今年年底会得到 100 + 100 ∗ 0.12 = 100 ∗ ( 1 + 0.12 ) = 112 100+100*0.12=100*(1+0.12)= 112 100+1000.12=100(1+0.12)=112

    银行B:利息年利率 12 % 12\% 12%一年计两次复利,每次以 12 % / 2 = 6 % 12\%/2=6\% 12%/2=6% 计算
    假设今年你存入 100 100 100元,半年后得到 100 + 100 ∗ 0.06 = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) = 106 100+100*0.06=100*(1+0.06)=106 100+1000.06=100(1+0.06)=106
    后半年的初始存款为 106 106 106,年底得到 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) ∗ ( 1 + 0.06 ) = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) 2 = 112.36 100*(1+0.06)*(1+0.06)=100*(1+0.06)^2 =112.36 100(1+0.06)(1+0.06)=100(1+0.06)2=112.36

    综上,一年中复利次数越多,年底财富增值越多,但会不会存在一个上限??

    9.2.2 问题的答案

    本金1元,年利率 r r r,一年中复利 n n n 次(每次利率为 r n \frac{r}{n} nr),年底财富增长为
    ( 1 + r n ) n (1+\frac{r}{n})^n (1+nr)n
    本金A元,年利率 r r r,一年中复利 n n n 次(每次利率为 r n \frac{r}{n} nr), t t t 年后的财富为
    A ( 1 + r n ) n t A(1+\frac{r}{n})^{nt} A(1+nr)nt

    当年利率 r = 1 r=1 r=1

    9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容


    x = 1 x=1 x=1
    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e nlim(1+n1)n=e
    lim ⁡ h → ∞ ( 1 + h ) 1 h = e \lim_{h\rightarrow \infty}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e hlim(1+h)h1=e

    对数法则

    9.3 对数函数和指数函数求导

    指数函数和对数函数求导的例子
    例1:

    例2:

    导数相同意味着原函数图像相同,将 y = l n ( x ) y=ln(x) y=ln(x) 图像向上移动即可得到 y = l n ( 8 x ) y=ln(8x) y=ln(8x)

    例3:

    9.4 求解指数函数或对数函数的极限

    9.4.1 涉及 e 的定义的极限

    例1:

    例2:

    9.4.2 指数函数在 0 附近的行为

    例1:

    例2:

    例3:
    当虚拟变量本身在分母上时,极限可能是一个伪装的导数

    9.4.3 对数函数在 1 附近的行为

    当虚拟变量本身在分母上时,极限可能是一个伪装的导数

    9.4.4 指数函数在 ∞ \infty − ∞ -\infty 附近的行为


    例子:

    指数函数增长迅速:
    不管 n n n 有多大
    e x e^x ex 趋于无穷大的速度比 x x x 任意正次幂都要迅速

    分母趋于无穷大的速度比分子趋于无穷大的速度迅速

    例如:

    9.4.5 对数函数在 ∞ \infty 附近的行为

    不能取任何负数的对数,因此没有必要研究对数函数在 − ∞ -\infty 附近的行为

    对数函数增长缓慢:
    不管 a a a 有多小
    l n ( x ) ln(x) ln(x) 趋于无穷大的速度比 x x x 的任意正次幂都要慢

    分子趋于无穷大的速度比分母趋于无穷大的速度

    例1:

    例2:
    t t t 替换 -x 这一技巧可将指数函数在 − ∞ -\infty 附近的行为转换为在 + ∞ +\infty + 附近的行为

    e x e^x ex − ∞ -\infty 附近的行为,但通过设 t = − x t=-x t=x,我们可以将情形转换为 + ∞ +\infty +
    x → − ∞ x\rightarrow-\infty x 时,有 t → + ∞ t\rightarrow+\infty t+

    9.4.6 对数函数在 0 0 0 附近的行为

    l n ( 0 ) ln(0) ln(0)无意义

    对数函数在 0 附近向下增长缓慢:
    不管 a a a 有多小

    例子:
    1 t \frac{1}{t} t1 替换 x 这一技巧可将对数函数在 0 附近的行为转换为在 ∞ \infty 附近的行为

    9.5 取对数求导法

    何种情况下使用取对数求导法

    取对数求导法的过程

    例子:

    x a x^a xa 的导数

    9.6 指数增长和指数衰变

    9.6.1 指数增长

    t t t 为时间(如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年)
    P 0 P_0 P0 是时间 t = 0 t=0 t=0 时的总数(如羊群)
    k k k 为增长常数, k k k 越大种群繁殖越快

    9.6.2 指数衰变

    t t t 为时间(如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年)
    P 0 P_0 P0 是原始数量 (如: t = 0 t=0 t=0 时原子的数量)
    − k -k k 是衰变常数

    9.7 双曲函数(实际上是伪装的指数函数)

    9.7.0 双曲函数定义


    双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的(例如图中阴影部分面积 α 2 \frac{\alpha}{2} 2α

    双曲函数的前缀 ar 代表 area (面积,即以上定义的面积)

    双曲函数中的 x x x 其实是双曲角 α \alpha α (大小为上述定义阴影部分面积的 2 2 2 倍)
    x 2 − y 2 = 1 c o s h 2 ( α ) − s i n h 2 ( α ) = 1 y = s i n h ( α ) y = c o s h ( α ) . . . x^2-y^2=1 \\ cosh^2(\alpha)-sinh^2(\alpha)=1\\ y=sinh(\alpha)\\ y=cosh(\alpha)\\ ... x2y2=1cosh2(α)sinh2(α)=1y=sinh(α)y=cosh(α)...
    为了与三角函数在形式上统一,将双曲角 α \alpha α 换个名称 x x x
    c o s h 2 ( x ) − s i n h 2 ( x ) = 1 y = s i n h ( x ) y = c o s h ( x ) . . . cosh^2(x)-sinh^2(x)=1\\ y=sinh(x)\\ y=cosh(x)\\ ... cosh2(x)sinh2(x)=1y=sinh(x)y=cosh(x)...

    9.7.1 双曲余弦函数(Hyperbolic COSine,cosh)

    9.7.2 双曲正弦函数(Hyperbolic SINe,sinh)


    9.7.3 双曲正切函数(Hyperbolic TANgent,tanh)

    t a n h ( x ) = s i n h ( x ) c o s h ( x ) = e x − e − x e x + e − x tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+exexex

    9.7.4 双曲余切函数(Hyperbolic COTangent,coth)

    c o t h ( x ) = 1 t a n h ( x ) = e x + e − x e x − e − x coth(x)=\frac{1}{tanh(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} coth(x)=tanh(x)1=exexex+ex

    9.7.5 双曲正割函数(Hyperbolic SECant,sech)

    s e c h ( x ) = 1 c o s h ( x ) = 2 e x + e − x sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}} sech(x)=cosh(x)1=ex+ex2

    9.7.6 双曲余割函数(Hyperbolic CoSeCant,csch)

    c s c h ( x ) = 1 s i n h ( x ) = 2 e x − e − x csch(x)=\frac{1}{sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}} csch(x)=sinh(x)1=exex2

    9.7.7 双曲函数与三角函数的关系


    三角函数

    双曲函数

    9.7.8 双曲函数恒等式

    9.7.9 双曲函数加法公式

    9.7.10 双曲函数减法公式

    9.7.11 双曲函数二倍角公式

    9.7.11 双曲函数三倍角公式

    9.7.12 双曲函数半角公式

    9.7.13 双曲函数导数关系

    9.7.14 双曲函数导数关系

    9.7.15 双曲函数级数表示

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    常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数

    常数函数

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    幂函数

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    指数函数

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    对数函数

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    三角函数

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    反三角函数

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    复合函数

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