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  • 高中数学基础-对数2.2.2对数函数图象及其性质(上)
    2020-04-15 21:40:46

    学习目标：

    1、对数函数的图像及其性质

      

    引入

      问题1： 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，

    类推，试写出1个这样的细胞分裂y次后，得到的细胞数x与y之间的关系式。

            x = 2^y

            y = log 2 x  (x>0)

       .  问题2：在上述对数式 y = log 2 x 中y是关于x的函数吗？为什么？如果是函数，

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  • Chapter9：指数函数、对数函数、双曲函数

     2021-10-05 14:54:17
    Chapter9：指数函数和对数函数4.指数函数与对数函数4.1 指数函数回顾4.2 对数函数回顾4.3 指数函数与对数函数互为反函数4.4 对数法则 4.指数函数与对数函数 4.1 指数函数回顾 底数指数底数^{指数}底数指数 4.2 ...

    Chapter9：指数函数、对数函数、双曲函数

    9.指数函数、对数函数、双曲函数

    9.1 基础知识

    9.1.1 指数函数回顾

    底 数 指 数 底数^{指数} 底数指数


    9.1.2 对数函数回顾

    y = 2 x = 8 y=2^x=8 y=2x=8
    x = l o g 2 ( y ) = l o g 2 ( 8 ) = 3 x=log_2(y)=log_2(8)=3 x=log2​(y)=log2​(8)=3 代表着将2提升3个幂次才能得到8

    l o g b ( y ) log_b(y) logb​(y)是为了得到 y y y 必须将底数 b b b 提升某个（对数的结果）幂次

    b l o g b ( y ) = y b^{log_b(y)}=y blogb​(y)=y

    要求必须 b > 1 ， y > 0 b \gt 1，y \gt 0 b>1，y>0
    如果 b < 0 b \lt 0 b<0 ，例如 y = b x = ( − 1 ) 1 2 = − 1 < 0 y=b^x=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1} \lt 0 y=bx=(−1)21​=−1 ​<0
    如果 b = 0 b=0 b=0，例如 0 x 0^x 0x（无意义）

    如果 b = 1 b=1 b=1 ，例如： y = 1 x = 1 y=1^x=1 y=1x=1，x取任何值都成立，无价值

    当 0 < b < 1 0 \lt b \lt 1 0<b<1，例如： y = ( 1 2 ) x = 2 − x y=(\frac{1}{2})^x=2^{-x} y=(21​)x=2−x， l o g 1 2 ( y ) = − l o g 2 ( y ) log_{\frac{1}{2}}(y)=-log_2(y) log21​​(y)=−log2​(y)

    l o g b ( y ) log_b(y) logb​(y) 不可能将 b b b 提升为几次幂而得到一个负数或0，于是 y y y 不可能是负数或0

    9.1.3 指数函数与对数函数互为反函数

    f ( g ( x ) ) = x f(g(x))=x f(g(x))=x 即 b l o g b ( x ) = x b^{log_b(x)}=x blogb​(x)=x
    g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x 即 l o g b ( b x ) = x log_b(b^x)=x logb​(bx)=x

    9.1.4 对数法则

    所有不同底数的对数函数其实互为常数倍

    l o g b ( x ) = K l o g c ( x ) log_b(x)=Klog_c(x) logb​(x)=Klogc​(x) ，其中 K = 1 l o g c ( b ) K=\frac{1}{log_c(b)} K=logc​(b)1​

    将 y = l o g c ( x ) y=log_c(x) y=logc​(x)图像垂直拉伸K倍得到 y = l o g b ( x ) y=log_b(x) y=logb​(x)

    证明：乘积的对数是对数的和

    证明：对数将指数移至对数之前

    证明换底法则

    9.2 e的定义

    9.2.1 有关复利的问题

    银行A：利息年利率 12 % 12\% 12%，一年计一次复利，意味着每一年财富增加 12 % 12\% 12%
    假设今年你存入 100 100 100元，今年年底会得到 100 + 100 ∗ 0.12 = 100 ∗ ( 1 + 0.12 ) = 112 100+100*0.12=100*(1+0.12)= 112 100+100∗0.12=100∗(1+0.12)=112

    银行B：利息年利率 12 % 12\% 12%，一年计两次复利，每次以 12 % / 2 = 6 % 12\%/2=6\% 12%/2=6% 计算
    假设今年你存入 100 100 100元，半年后得到 100 + 100 ∗ 0.06 = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) = 106 100+100*0.06=100*(1+0.06)=106 100+100∗0.06=100∗(1+0.06)=106
    后半年的初始存款为 106 106 106，年底得到 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) ∗ ( 1 + 0.06 ) = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) 2 = 112.36 100*(1+0.06)*(1+0.06)=100*(1+0.06)^2 =112.36 100∗(1+0.06)∗(1+0.06)=100∗(1+0.06)2=112.36

    综上，一年中复利次数越多，年底财富增值越多，但会不会存在一个上限？？

    9.2.2 问题的答案

    本金1元，年利率 r r r，一年中复利 n n n 次（每次利率为 r n \frac{r}{n} nr​），年底财富增长为
    ( 1 + r n ) n (1+\frac{r}{n})^n (1+nr​)n
    本金A元，年利率 r r r，一年中复利 n n n 次（每次利率为 r n \frac{r}{n} nr​）， t t t 年后的财富为
    A ( 1 + r n ) n t A(1+\frac{r}{n})^{nt} A(1+nr​)nt

    当年利率 r = 1 r=1 r=1 时

    9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容


    当 x = 1 x=1 x=1 时
    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e n→∞lim​(1+n1​)n=e
    lim ⁡ h → ∞ ( 1 + h ) 1 h = e \lim_{h\rightarrow \infty}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e h→∞lim​(1+h)h1​=e

    对数法则

    9.3 对数函数和指数函数求导

    指数函数和对数函数求导的例子
    例1：

    例2：

    导数相同意味着原函数图像相同，将 y = l n ( x ) y=ln(x) y=ln(x) 图像向上移动即可得到 y = l n ( 8 x ) y=ln(8x) y=ln(8x)

    例3：

    9.4 求解指数函数或对数函数的极限

    9.4.1 涉及 e 的定义的极限

    例1：

    例2：

    9.4.2 指数函数在 0 附近的行为

    例1：

    例2：

    例3：
    当虚拟变量本身在分母上时，极限可能是一个伪装的导数

    9.4.3 对数函数在 1 附近的行为

    当虚拟变量本身在分母上时，极限可能是一个伪装的导数

    9.4.4 指数函数在 ∞ \infty ∞ 或 − ∞ -\infty −∞ 附近的行为


    例子：

    指数函数增长迅速：
    不管 n n n 有多大
    e x e^x ex 趋于无穷大的速度比 x x x 任意正次幂都要迅速

    分母趋于无穷大的速度比分子趋于无穷大的速度迅速

    例如：

    9.4.5 对数函数在 ∞ \infty ∞ 附近的行为

    不能取任何负数的对数，因此没有必要研究对数函数在 − ∞ -\infty −∞ 附近的行为

    对数函数增长缓慢：
    不管 a a a 有多小
    l n ( x ) ln(x) ln(x) 趋于无穷大的速度比 x x x 的任意正次幂都要慢

    分子趋于无穷大的速度比分母趋于无穷大的速度慢

    例1：

    例2：
    用 t t t 替换 -x 这一技巧可将指数函数在 − ∞ -\infty −∞ 附近的行为转换为在 + ∞ +\infty +∞ 附近的行为

    e x e^x ex 在 − ∞ -\infty −∞ 附近的行为，但通过设 t = − x t=-x t=−x，我们可以将情形转换为 + ∞ +\infty +∞
    当 x → − ∞ x\rightarrow-\infty x→−∞ 时，有 t → + ∞ t\rightarrow+\infty t→+∞

    9.4.6 对数函数在 0 0 0 附近的行为

    l n ( 0 ) ln(0) ln(0)无意义

    对数函数在 0 附近向下增长缓慢：
    不管 a a a 有多小

    例子：
    用 1 t \frac{1}{t} t1​ 替换 x 这一技巧可将对数函数在 0 附近的行为转换为在 ∞ \infty ∞ 附近的行为

    9.5 取对数求导法

    何种情况下使用取对数求导法

    取对数求导法的过程

    例子：

    x a x^a xa 的导数

    9.6 指数增长和指数衰变

    9.6.1 指数增长

    t t t 为时间（如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年）
    P 0 P_0 P0​ 是时间 t = 0 t=0 t=0 时的总数（如羊群）
    k k k 为增长常数， k k k 越大种群繁殖越快

    9.6.2 指数衰变

    t t t 为时间（如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年）
    P 0 P_0 P0​ 是原始数量 (如： t = 0 t=0 t=0 时原子的数量)
    − k -k −k 是衰变常数

    9.7 双曲函数（实际上是伪装的指数函数）

    9.7.0 双曲函数定义


    双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的（例如图中阴影部分面积 α 2 \frac{\alpha}{2} 2α​）

    双曲函数的前缀 ar 代表 area (面积，即以上定义的面积)

    双曲函数中的 x x x 其实是双曲角 α \alpha α （大小为上述定义阴影部分面积的 2 2 2 倍）
    x 2 − y 2 = 1 c o s h 2 ( α ) − s i n h 2 ( α ) = 1 y = s i n h ( α ) y = c o s h ( α ) . . . x^2-y^2=1 \\ cosh^2(\alpha)-sinh^2(\alpha)=1\\ y=sinh(\alpha)\\ y=cosh(\alpha)\\ ... x2−y2=1cosh2(α)−sinh2(α)=1y=sinh(α)y=cosh(α)...
    为了与三角函数在形式上统一，将双曲角 α \alpha α 换个名称 x x x
    c o s h 2 ( x ) − s i n h 2 ( x ) = 1 y = s i n h ( x ) y = c o s h ( x ) . . . cosh^2(x)-sinh^2(x)=1\\ y=sinh(x)\\ y=cosh(x)\\ ... cosh2(x)−sinh2(x)=1y=sinh(x)y=cosh(x)...

    9.7.1 双曲余弦函数（Hyperbolic COSine，cosh）

    9.7.2 双曲正弦函数（Hyperbolic SINe，sinh）


    9.7.3 双曲正切函数（Hyperbolic TANgent，tanh）

    t a n h ( x ) = s i n h ( x ) c o s h ( x ) = e x − e − x e x + e − x tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} tanh(x)=cosh(x)sinh(x)​=ex+e−xex−e−x​

    9.7.4 双曲余切函数（Hyperbolic COTangent，coth）

    c o t h ( x ) = 1 t a n h ( x ) = e x + e − x e x − e − x coth(x)=\frac{1}{tanh(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} coth(x)=tanh(x)1​=ex−e−xex+e−x​

    9.7.5 双曲正割函数（Hyperbolic SECant，sech）

    s e c h ( x ) = 1 c o s h ( x ) = 2 e x + e − x sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}} sech(x)=cosh(x)1​=ex+e−x2​

    9.7.6 双曲余割函数（Hyperbolic CoSeCant，csch）

    c s c h ( x ) = 1 s i n h ( x ) = 2 e x − e − x csch(x)=\frac{1}{sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}} csch(x)=sinh(x)1​=ex−e−x2​

    9.7.7 双曲函数与三角函数的关系


    三角函数

    双曲函数

    9.7.8 双曲函数恒等式

    9.7.9 双曲函数加法公式

    9.7.10 双曲函数减法公式

    9.7.11 双曲函数二倍角公式

    9.7.11 双曲函数三倍角公式

    9.7.12 双曲函数半角公式

    9.7.13 双曲函数导数关系

    9.7.14 双曲函数导数关系

    9.7.15 双曲函数级数表示

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    指数函数 双曲函数 数学

  • 对数函数及运算

     千次阅读 2018-01-29 18:36:58
    一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。 对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义： 如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为...
    一般地，对数函数以 幂（ 真数）为 自变量，指数为 因变量，底数为 常量的函数。
    对数函数是6类 基本初等函数之一。其中 对数的定义：
    如果a x=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log aN，读作以a为底N的 对数，其中a叫做对数的 底数，N叫做 真数。
    一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以 幂（ 真数）为 自变量，指数为 因变量，底数为 常量的函数，叫对数函数。
    其中x是自变量，函数的 定义域是（0，+∞），即x>0。它实际上就是 指数函数的 反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
    “ log”是 拉丁文logarithm（对数）的缩写。

    实际应用
    在 实数 域中，真数式子没 根号 那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数）， 底数 则要大于0且不为1。
    对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义： log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切 实数（比如log 11也可以等于2，3，4，5，等等）】
    通常我们将以10为底的对数叫 常用对数（common logarithm),并把log 10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以 无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的 对数称为 自然对数 （natural logarithm)，并且把 logeN 记为 In N。根据对数的定义，可以得到对数与 指数间的关系：
    当a>0，a≠1时，a X=N
       
    X= logaN。（N>0）
    由 指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
    在 实数范围内， 负数和 零没有对数；
     
    ，log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点（1，0）。
    有理和无理指数
    如果
       
    是正整数,
       
    表示等于
       
    的
       
    个因子的加减:
    但是，如果是
       
    不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数
       
    （参见 幂）。类似的，对数函数可以定义于任何 正实数。对于不等于1的每个正 底数
       
    ，有一个对数函数和一个 指数函数，它们互为反函数。
    对数可以简化 乘法运算为 加法，除法为 减法， 幂运算为 乘法，根运算为 除法。所以，在发明 电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
    复对数
    复对数计算公式
    复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。
    历史
    16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]   。
    德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《 整数算术》中，写出了两个 数列，左边是 等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
    欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之 积（ 商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。
    纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」， 化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求 球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的 对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳
    对数的图像 对数的图像
    皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：
    Nap．㏒x=10㏑(107/x)
    由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。
    瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了 对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。
    英国的 布里格斯在1624年创造了常用对数。
    1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。
    对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家 伽利略（1564-1642）说：「给我时间， 空间和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家 拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
    最早传入我国的对数著作是《比例 与对数》，它是由波兰的 穆尼斯（1611-1656）和我国的 薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫 真数，0.3010叫做 假数，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 假数为 对数」。
    当今中学数学教科书是先讲「 指数」，后以 反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《 对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《 无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是 指数函数的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。

    函数性质

    编辑
    定义域 求解：对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型 复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意 底数大于0且不等于1，如求函数y=log x（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1
    和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
    值域 ： 实数集R，显然对数函数无界；
    定点 ：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；
    单调性 ：a>1时，在定义域上为单调增函数；
    0<a<1时，在 定义域上为单调减函数；
    奇偶性 ： 非奇非偶函数
    周期性 ：不是 周期函数
    对称性：无
    最值：无
    零点：x=1
    注意： 负数和0没有对数。
    两句经典话： 底真同对数正,底真异对数负。解释如下：
    也就是说：若y=log ab （其中a>0,a≠1，b>0）
    当0<a<1, 0<b<1时，y=log ab>0;
    当a>1, b>1时，y=log ab>0;
    当0<a<1, b>1时，y=log ab<0;
    当a>1, 0<b<1时，y=log ab<0。

    公式推导

    编辑
    e的定义：
    设a>0,a≠1
    方法一：
    指数函数 指数函数
    特殊地，当
       
    时，
       
    。
    方法二：
    设
       
    ，两边取对数ln y=xln a
    两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a
    特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
    eº=1

    运算性质

    编辑
    一般地，如果a（a>0
    对数函数化简问题 对数函数化简问题
    ，且a≠1）的b次 幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b，其中a叫做对数的 底数，N叫做 真数 。
    底数则要>0且≠1 真数>0
    并且，在比较两个函数值时：
    如果 底数一样， 真数越大， 函数值越大。（a>1时）
    如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）
    当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

    和差

    换底公式

    推导：设
    所以
    两边取对数，则有
    即
    又因为
    所以

    指系

    还原

    互换

    倒数

    链式

    表达方式

    编辑
    （1）常用对数：lg(b)=log 10b（10为底数）
    （2）自然对数：ln(b)=log eb（e为底数）
    e为 无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828

    与指数的关系

    编辑
    同底的对数函数与 指数函数互为反函数。
    当a>0且a≠1时，a x=N
       
    x=㏒ aN。
    关于y=x 对称。
    对数函数的一般形式为 y=㏒ ax，它实际上就是指数函数的 反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a y。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
    可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于 直线y=x的 对称图形，因为它们互为 反函数 。
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  • 数学函数图像知识大全，太实用了！建议收藏

     千次阅读 2021-07-27 01:53:19
    二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三...

    一、基本初等函数的图像

    1.一次函数

    156871739_1_20190320052136756性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减

    2.二次函数

    156871739_2_20190320052136803性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。

    3.反比例函数

    156871739_3_20190320052136849性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在 (-∞，0)，(0，∞)上单调。

    4.指数函数

    156871739_4_20190320052136912

    156871739_5_20190320052136959当0

    156871739_6_2019032005213721不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。

    5.对数函数

    156871739_7_2019032005213768当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的

    156871739_8_20190320052137162

    6.对勾函数

    156871739_9_20190320052137224对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。

    二、函数图像的变化

    156871739_10_20190320052137302

    注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！

    例如：画出函数y=ln|2-x|的图像

    通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看：

    通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。

    所以，我们可以得出：第一步，翻折变换；第二步，对称变换；第三步，平移变换。

    有的同学说，第一步是对称变换，也就是先在x上加负号，但是接下来的话，再进行翻折变换，就相当于在-x上加绝对值了，而这个并不是我们学过的规律，所以后面就无法进行变换了，这样也就错了。同学们一定要切记哈！

    当然，如果同学们能对这四种变换很熟悉的话，那就可以先对解析式进行变形，化为y=ln|x-2|，这样只经过两步变换即可了！下面是这个函数的图像，

    第一步：先画出函数y=lnx的图像

    156871739_11_20190320052137412

    第二步：进行翻折变换，得到函数y=ln|x|的图像

    156871739_12_20190320052137474

    第三步：进行对称变换，得到函数y=ln|-x|的图像

    156871739_13_20190320052137537

    第四步：进行对称变换，得到函数y=ln|2-x|的图像

    156871739_14_20190320052137599

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空空如也

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