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  • 五边形中心点
    2021-04-17 09:00:59
    import java.util.Scanner;
    import java.lang.Math;
    
    public class HomeWork {
    	public static void main(String[] args) {
    		double area;
    		double s;
    		Scanner input = new Scanner(System.in);
    		System.out.print("Enter the length from the center to a vertex:");
    		double r = input.nextDouble();
    		s=2*r*Math.sin(Math.PI/5);
    		area=(5*Math.pow(s,2))/(4*Math.tan(Math.PI/5));
    		System.out.printf("The area of the pentagon is %.2f",area);
    		input.close();
    	}
    }
    
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  • *4.7(顶点坐标)假设一个正五边形中心位于(0,0),其中一个位于0位置。编写程序,提示用户输入正五边形外接圆的半径,显示p1到p5为5个坐标,保留两位小数题目题目概述运行示例破题代码 题目 题目概述 *4.7...

    *4.7(顶点坐标)假设一个正五边形的中心位于(0,0),其中一个点位于0点位置。编写程序,提示用户输入正五边形外接圆的半径,显示p1到p5为5个坐标,保留两位小数

    题目

    题目概述

    *4.7(顶点坐标)假设一个正五边形的中心位于(0,0),其中一个点位于0点位置。编写程序,提示用户输入正五边形外接圆的半径,显示p1到p5的5个坐标,保留两位小数

    运行示例

    Enter the radius of the bounding circle: 100.52
    The coordinates of five points on the pentagon are
    (95.60, 31.06)
    (0.00, 100.52)
    (-95.60, 31.06)
    (-58.08, -81.32)
    (59.08, -81.32)

    破题

    题目翻译槽点很多,没图根本理解不了
    翻译一下题目:
    有一个正五边形中心在原点,这个五边形有个外接圆,五边形的五个顶点在圆上(其中一个顶点p2在原点0点方向,p2左边是p3、右边是p1)
    然后要通过console控制台输入的值(外接圆半径),求出5个点的坐标

    代码

    import java.util.Scanner;
    
    public class Test4_7 {
        public static void main(String[] args) {
            // 获取半径
            Scanner input = new Scanner(System.in);
            System.out.println("Enter the radius of the bounding circle: ");
            double r = input.nextDouble();
    
            // 求顶点到x轴夹角的几个特殊值
            double angle18 = Math.toRadians(90 - 360 / 5);
            double angle54 = Math.toRadians((2 * 360) / 5 - 90);
    
            // 求出5个顶点的x、y坐标
            System.out.println(r * Math.cos(angle54)+"   "+ r * Math.sin(angle54));
            double xp1 = r * Math.cos(angle18), yp1 = r * Math.sin(angle18);
            double xp2 = 0, yp2 = r;
            double xp3 = -r * Math.cos(angle18), yp3 = r * Math.sin(angle18);
            double xp4 = -r * Math.cos(angle54), yp4 = -r * Math.sin(angle54);
            double xp5 = r * Math.cos(angle54), yp5 = -r * Math.sin(angle54);
    
            // 输出数据
            System.out.println("The coordinates of five points on the pentagon are");
            System.out.printf("(%.2f, %.2f)", xp1, yp1);
            System.out.printf("\n(%.2f, %.2f)", xp2, yp2);
            System.out.printf("\n(%.2f, %.2f)", xp3, yp3);
            System.out.printf("\n(%.2f, %.2f)", xp4, yp4);
            System.out.printf("\n(%.2f, %.2f)", xp5, yp5);
        }
    }
    
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  • 首先看看效果图:这里写图片描述先简要说一下这里需要涉及到的知识:高中基本的三角函数 Sin,Cos。参考的文章:这里为了尊重上面这篇文章的作者,需要说明一下,下面的代码有部分是参考上面这篇文章的。这里我...

    首先看看效果图:

    9fb0572970f575e73e3f83a92d711d6e.png

    这里写图片描述

    先简要说一下这里需要涉及到的知识点:

    高中基本的三角函数 Sin,Cos。

    参考的文章:

    这里为了尊重上面这篇文章的作者,需要说明一下,下面的代码有部分是参考上面这篇文章的。这里我学习之后有了自己的理解。做了一点小改动,然后以自己的思路来捋一捋。希望我的文字对你更有帮助,哈哈。 (Pentagon --五边形)

    绘制思路:

    计算三个五边形的五个顶点的坐标,用 path 连接起来并绘制

    计算要显示的数据的五个顶点的坐标,用 path 连接起来并绘制

    绘制五条射线

    计算图标和标题的坐标位置,并绘制

    绘制中间的分数

    第一步:绘制三个五边形和红色五边形

    6b00a92bfd10

    这里写图片描述

    初始化成员变量

    private int dataCount = 5;//多边形维度

    private float radian = (float) (Math.PI * 2 / dataCount);//每个维度的角度

    private float radius;//一条星射线的长度,即是发散的五条线白线

    private int centerX;//中心坐标 Y

    private int centerY;//中心坐标 X

    private String[] titles = {"履约能力", "信用历史", "人脉关系", "行为偏好", "身份特质"};//标题

    private int[] icos = {R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher};//五个维度的图标

    private float[] data = {170, 180, 100, 170, 150};//五个维度的数据值

    private float maxValue = 190;//每个维度的最大值

    private Paint mPaintText;//绘制文字的画笔

    private int radarMargin = 40;//

    private int mAlpha;//白色五边形的透明度

    private Path mPentagonPath;//记录白色五边形的路径

    private Paint mPentagonPaint;//绘制白色五边形的画笔

    private Path mDataPath;//记录红色五边形的路径

    private Paint mDataPaint;//绘制红色五边形的画笔

    构造方法中初始化的数据

    private void init() {

    mPentagonPaint = new Paint();//初始化白色五边形的画笔

    mPentagonPaint.setAntiAlias(true);//

    mPentagonPaint.setStrokeWidth(5);//

    mPentagonPaint.setColor(Color.WHITE);//

    mPentagonPaint.setStyle(Paint.Style.FILL_AND_STROKE);//

    mDataPaint = new Paint();//初始化红色五边形的画笔

    mDataPaint.setAntiAlias(true);//

    mDataPaint.setStrokeWidth(10);//

    mDataPaint.setColor(Color.RED);//

    mDataPaint.setAlpha(150);//

    mDataPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE);//

    mPaintText = new Paint();//初始化文字画笔

    mPaintText.setAntiAlias(true);//

    mPaintText.setTextSize(50);//

    mPaintText.setColor(Color.WHITE);//

    mPaintText.setStyle(Paint.Style.FILL);//

    mPentagonPath = new Path();//初始化白色五边形路径

    mDataPath = new Path();//初始化红色五边形路径

    radius = 80;//星射线的初始值,也是最小的五边形的一条星射线的长度(后期会递增)

    mAlpha = 150;//白色五边形的透明度(后期后递减)

    }

    初始化数据之后是通过 radius 的长度来计算五边形五个顶点的坐标值,后期通过改变 radius 的值,来达到计算三个白色五边形的五个顶点的值。这里给出一张图,帮助理解。通过图中的两个红色三角形就可以求出顶点的坐标了。

    6b00a92bfd10

    这里写图片描述

    **右上角的顶点为第一个点,顺时针计算,position 依次是 0,1,2,3,4 **

    public Point getPoint(int position) {

    return getPoint(position, 0, 1);

    }

    // 参数:position:顶点的位置,radarMargin:边距,percent:星射线长度的百分比,用于计算红色五边形的顶点

    public Point getPoint(int position, int radarMargin, float percent) {//以五边形的中心点为坐标原点

    int x = 0;

    int y = 0;

    switch (position) {

    case 0://第一象限,右上角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX + (radius + radarMargin) * Math.sin(radian) * percent);

    y = (int) (centerY - (radius + radarMargin) * Math.cos(radian) * percent);

    break;

    case 1://第四象限,右下角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX + (radius + radarMargin) * Math.sin(radian / 2) * percent);

    y = (int) (centerY + (radius + radarMargin) * Math.cos(radian / 2) * percent);

    break;

    case 2://第三象限,左下角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX - (radius + radarMargin) * Math.sin(radian / 2) * percent);

    y = (int) (centerY + (radius + radarMargin) * Math.cos(radian / 2) * percent);

    break;

    case 3://第二象限,左上角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX - (radius + radarMargin) * Math.sin(radian) * percent);

    y = (int) (centerY - (radius + radarMargin) * Math.cos(radian) * percent);

    break;

    case 4:// Y 轴正方向顶点的计算

    x = centerX;

    y = (int) (centerY - (radius + radarMargin) * percent);

    break;

    }

    return new Point(x, y);

    }

    基础工作都做足了,那么就进行五边形的绘制了

    private void drawPentagon(Canvas canvas) {

    for (int j = 0; j < 3; j++) {//绘制三层白色五边形

    radius += 70;//每一层五边形的星射线增加 70 的长度

    mAlpha -= 30;//每一层五边形的透明度减少 30

    mPentagonPaint.setAlpha(mAlpha);

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {//绘制一层

    if (i == 0) {

    mPentagonPath.moveTo(getPoint(i).x, getPoint(i).y);

    } else {

    mPentagonPath.lineTo(getPoint(i).x, getPoint(i).y);

    }

    }

    mPentagonPath.close();

    canvas.drawPath(mPentagonPath, mPentagonPaint);

    }

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {//绘制红色五边形

    float percent = data[i] / maxValue;//数据值与最大值的百分比

    if (i == 0) {

    mDataPath.moveTo(getPoint(i, 0, percent).x, getPoint(i, 0, percent).y);//通过百分比计算出红色顶点的位置

    } else {

    mDataPath.lineTo(getPoint(i, 0, percent).x, getPoint(i, 0, percent).y);

    }

    }

    mDataPath.close();

    canvas.drawPath(mDataPath, mDataPaint);

    }

    第二步:绘制五条星射线

    先来看看这一步的效果图:

    6b00a92bfd10

    这里写图片描述

    绘制好五边形之后 radius 的值已经为最大五边形的星射线的长度了。

    private void drawFiveLine(Canvas canvas) {

    mPentagonPaint.setColor(Color.WHITE);//设置颜色为白色

    mPentagonPaint.setStrokeWidth(2);//设置宽度为2

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {

    canvas.drawLine(centerX, centerY, getPoint(i).x, getPoint(i).y, mPentagonPaint);//绘制

    }

    }

    第三步:绘制五个标题

    先来看看这一步的效果图:

    6b00a92bfd10

    这里写图片描述

    在这一步,相对难一点的就是坐标的计算了。第一个顶点的坐标经过添加 radarMargin 值之后就可以直接使用了,其他顶点还需要经过计算得到。这里其实就是要计算每一个 Title 文字左下角的坐标。那么计算坐标的代码是这样的:

    private void drawTitle(Canvas canvas) {

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {

    int x = getPoint(i, radarMargin, 1).x;//获取添加 radarMargin 值之后的 X 坐标的指

    int y = getPoint(i, radarMargin, 1).y;//获取添加 radarMargin 值之后的 Y 坐标的指

    Bitmap bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), icos[i]);

    int iconHeight = bitmap.getHeight();

    int titleWidth = (int) mPaintText.measureText(titles[i]);

    switch (i) {

    case 1://说明一下为什么是 iconHeight / 2 ,主要是因为这样会比较好看

    y += iconHeight / 2;

    break;

    case 2:

    x -= titleWidth;

    y += iconHeight / 2;

    break;

    case 3:

    x -= titleWidth;

    break;

    case 4:

    x -= titleWidth / 2;

    break;

    }

    canvas.drawText(titles[i], x, y, mPaintText);

    }

    }

    第四步:绘制图标

    先来看看这一步的效果:

    6b00a92bfd10

    这里写图片描述

    这一步也是要进行坐标的计算,主要的计算出放置图标左上角的坐标值。这里还是相对简单一点,不需要用到三角函数。

    private void drawIcon(Canvas canvas) {

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {

    int x = getPoint(i, radarMargin, 1).x;//获取添加 radarMargin 值之后的 X 坐标的指

    int y = getPoint(i, radarMargin, 1).y;//获取添加 radarMargin 值之后的 Y 坐标的指

    Bitmap bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), icos[i]);

    int iconHeight = bitmap.getHeight();

    int iconWidth = bitmap.getWidth();

    int titleWidth = (int) mPaintText.measureText(titles[i]);

    switch (i) {

    case 0:

    x += (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 1:

    x += (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight / 2 + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 2:

    x -= titleWidth - (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight / 2 + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 3:

    x -= titleWidth - (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 4:

    x -= (iconHeight / 2);

    y -= (iconHeight + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    }

    canvas.drawBitmap(bitmap, x, y, mPaintText);

    }

    }

    第五步:绘制中心点的分数

    这一步完成之后就可以得到最终效果了,就是图一的效果:

    9fb0572970f575e73e3f83a92d711d6e.png

    这里写图片描述

    文字的坐标是中心点,那么计算出文字的宽度和高度就可以居中显示文字了。

    private void drawScore(Canvas canvas) {

    mPaintText.setColor(getResources().getColor(R.color.colorAccent));

    int score = 0;

    for (int i = 0; i < data.length; i++) {//累加分数值

    score += data[i];

    }

    String str_score = String.valueOf(score);

    Paint.FontMetrics fm = mPaintText.getFontMetrics();//用于计算文字的高度

    canvas.drawText(str_score, centerX - mPaintText.measureText(str_score) / 2, (centerY + (int) Math.ceil(fm.descent - fm.ascent) / 2), mPaintText);

    }

    总结

    一步步下来,对自定义 view 也有了进一步的了解。感觉需要更多的练习才能完全 hold 住。如果文中有什么知识点是错误的或者更好的实现方法,请及时联系我进行修改,以免误导别人。谢谢。那么完整的代码是这样的。

    /**

    * Created by zone on 2017/4/9.

    */

    public class PentagonView extends View {

    private int dataCount = 5;//多边形维度,这里是五边形

    private float radian = (float) (Math.PI * 2 / dataCount);//每个维度的角度

    private float radius;//一条星射线的长度,即是发散的五条线白线

    private int centerX;//中心坐标 Y

    private int centerY;//中心坐标 X

    private String[] titles = {"履约能力", "信用历史", "人脉关系", "行为偏好", "身份特质"};//标题

    private int[] icos = {R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher, R.mipmap.ic_launcher};//五个维度的图标

    private float[] data = {170, 180, 100, 170, 150};//五个维度的数据值

    private float maxValue = 190;//每个维度的最大值

    private Paint mPaintText;//绘制文字的画笔

    private int radarMargin = 40;//

    private int mAlpha;//白色五边形的透明度

    private Path mPentagonPath;//记录白色五边形的路径

    private Paint mPentagonPaint;//绘制白色五边形的画笔

    private Path mDataPath;//记录红色五边形的路径

    private Paint mDataPaint;//绘制红色五边形的画笔

    public PentagonView(Context context) {

    super(context);

    init();

    }

    public PentagonView(Context context, AttributeSet attrs) {

    super(context, attrs);

    init();

    }

    public PentagonView(Context context, AttributeSet attrs, int defStyleAttr) {

    super(context, attrs, defStyleAttr);

    init();

    }

    @RequiresApi(api = Build.VERSION_CODES.LOLLIPOP)

    public PentagonView(Context context, AttributeSet attrs, int defStyleAttr, int defStyleRes) {

    super(context, attrs, defStyleAttr, defStyleRes);

    init();

    }

    private void init() {

    mPentagonPaint = new Paint();//初始化白色五边形的画笔

    mPentagonPaint.setAntiAlias(true);//

    mPentagonPaint.setStrokeWidth(5);//

    mPentagonPaint.setColor(Color.WHITE);//

    mPentagonPaint.setStyle(Paint.Style.FILL_AND_STROKE);//

    mDataPaint = new Paint();//初始化红色五边形的画笔

    mDataPaint.setAntiAlias(true);//

    mDataPaint.setStrokeWidth(10);//

    mDataPaint.setColor(Color.RED);//

    mDataPaint.setAlpha(150);//

    mDataPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE);//

    mPaintText = new Paint();//初始化文字画笔

    mPaintText.setAntiAlias(true);//

    mPaintText.setTextSize(50);//

    mPaintText.setColor(Color.WHITE);//

    mPaintText.setStyle(Paint.Style.FILL);//

    mPentagonPath = new Path();//初始化白色五边形路径

    mDataPath = new Path();//初始化红色五边形路径

    radius = 80;//星射线的初始值,也是最小的五边形的一条星射线的长度(后期会递增)

    mAlpha = 150;//白色五边形的透明度(后期后递减)

    }

    @Override

    protected void onDraw(Canvas canvas) {

    super.onDraw(canvas);

    canvas.drawColor(getResources().getColor(R.color.colorAccent));

    centerX = getWidth() / 2;

    centerY = getHeight() / 2;

    drawPentagon(canvas);//绘制白色五边形和红色五边形

    drawFiveLine(canvas);//绘制五条星射线

    drawTitle(canvas);//绘制五个标题

    drawIcon(canvas);//绘制五个图标

    drawScore(canvas);//绘制中间的分数

    }

    private void drawPentagon(Canvas canvas) {

    for (int j = 0; j < 3; j++) {//绘制三层白色五边形

    radius += 70;//每一层五边形的星射线增加 70 的长度

    mAlpha -= 30;//每一层五边形的透明度减少 30

    mPentagonPaint.setAlpha(mAlpha);

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {//绘制一层

    if (i == 0) {

    mPentagonPath.moveTo(getPoint(i).x, getPoint(i).y);

    } else {

    mPentagonPath.lineTo(getPoint(i).x, getPoint(i).y);

    }

    }

    mPentagonPath.close();

    canvas.drawPath(mPentagonPath, mPentagonPaint);

    }

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {//绘制红色五边形

    float percent = data[i] / maxValue;//数据值与最大值的百分比

    if (i == 0) {

    mDataPath.moveTo(getPoint(i, 0, percent).x, getPoint(i, 0, percent).y);//通过百分比计算出红色顶点的位置

    } else {

    mDataPath.lineTo(getPoint(i, 0, percent).x, getPoint(i, 0, percent).y);

    }

    }

    mDataPath.close();

    canvas.drawPath(mDataPath, mDataPaint);

    }

    private void drawFiveLine(Canvas canvas) {

    mPentagonPaint.setColor(Color.WHITE);//设置颜色为白色

    mPentagonPaint.setStrokeWidth(2);//设置宽度为2

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {

    canvas.drawLine(centerX, centerY, getPoint(i).x, getPoint(i).y, mPentagonPaint);//绘制

    }

    }

    private void drawIcon(Canvas canvas) {

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {

    int x = getPoint(i, radarMargin, 1).x;//获取添加 radarMargin 值之后的 X 坐标的指

    int y = getPoint(i, radarMargin, 1).y;//获取添加 radarMargin 值之后的 Y 坐标的指

    Bitmap bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), icos[i]);

    int iconHeight = bitmap.getHeight();

    int iconWidth = bitmap.getWidth();

    int titleWidth = (int) mPaintText.measureText(titles[i]);

    switch (i) {

    case 0:

    x += (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 1:

    x += (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight / 2 + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 2:

    x -= titleWidth - (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight / 2 + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 3:

    x -= titleWidth - (titleWidth - iconWidth) / 2;

    y -= (iconHeight + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    case 4:

    x -= (iconHeight / 2);

    y -= (iconHeight + getTextHeight(titles[i]));

    break;

    }

    canvas.drawBitmap(bitmap, x, y, mPaintText);

    }

    }

    private int getTextHeight(String text) {

    Paint.FontMetrics fm = mPaintText.getFontMetrics();

    return (int) Math.ceil(fm.descent - fm.ascent);

    }

    private void drawTitle(Canvas canvas) {

    for (int i = 0; i < dataCount; i++) {

    int x = getPoint(i, radarMargin, 1).x;//获取添加 radarMargin 值之后的 X 坐标的指

    int y = getPoint(i, radarMargin, 1).y;//获取添加 radarMargin 值之后的 Y 坐标的指

    Bitmap bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), icos[i]);

    int iconHeight = bitmap.getHeight();

    int titleWidth = (int) mPaintText.measureText(titles[i]);

    switch (i) {

    case 1://说明一下为什么是 iconHeight / 2 ,主要是因为这样会比较好看

    y += iconHeight / 2;

    break;

    case 2:

    x -= titleWidth;

    y += iconHeight / 2;

    break;

    case 3:

    x -= titleWidth;

    break;

    case 4:

    x -= titleWidth / 2;

    break;

    }

    canvas.drawText(titles[i], x, y, mPaintText);

    }

    }

    private void drawScore(Canvas canvas) {

    mPaintText.setColor(getResources().getColor(R.color.colorAccent));

    int score = 0;

    for (int i = 0; i < data.length; i++) {//累加分数值

    score += data[i];

    }

    String str_score = String.valueOf(score);

    Paint.FontMetrics fm = mPaintText.getFontMetrics();//用于计算文字的高度

    canvas.drawText(str_score, centerX - mPaintText.measureText(str_score) / 2, (centerY + (int) Math.ceil(fm.descent - fm.ascent) / 2), mPaintText);

    }

    public Point getPoint(int position) {

    return getPoint(position, 0, 1);

    }

    // 右上角的顶点为第一个点,顺时针计算,position 依次是 0,1,2,3,4

    // 参数:position:顶点的位置,radarMargin:边距,percent:星射线长度的百分比,用于计算红色五边形的顶点

    public Point getPoint(int position, int radarMargin, float percent) {//以五边形的中心点为坐标原点

    int x = 0;

    int y = 0;

    switch (position) {

    case 0://第一象限,右上角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX + (radius + radarMargin) * Math.sin(radian) * percent);

    y = (int) (centerY - (radius + radarMargin) * Math.cos(radian) * percent);

    break;

    case 1://第四象限,右下角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX + (radius + radarMargin) * Math.sin(radian / 2) * percent);

    y = (int) (centerY + (radius + radarMargin) * Math.cos(radian / 2) * percent);

    break;

    case 2://第三象限,左下角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX - (radius + radarMargin) * Math.sin(radian / 2) * percent);

    y = (int) (centerY + (radius + radarMargin) * Math.cos(radian / 2) * percent);

    break;

    case 3://第二象限,左上角顶点的坐标计算

    x = (int) (centerX - (radius + radarMargin) * Math.sin(radian) * percent);

    y = (int) (centerY - (radius + radarMargin) * Math.cos(radian) * percent);

    break;

    case 4:// Y 轴正方向顶点的计算

    x = centerX;

    y = (int) (centerY - (radius + radarMargin) * percent);

    break;

    }

    return new Point(x, y);

    }

    }

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  • 五边形尺规画法的理论探索

    千次阅读 2020-12-24 12:46:56
    原标题:正五边形尺规画法的理论探索数学教学研究本公众号内容均由邵勇本人独创,可以转发,但转载则需获得邵勇本人的授权。每周推送两到三篇内容上有分量的数学文章,但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完,...

    原标题:正五边形尺规画法的理论探索

    数学教学研究本公众号内容均由邵勇本人独创,可以转发,但转载则需获得邵勇本人的授权。每周推送两到三篇内容上有分量的数学文章,但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完,轻松学数学。

    用尺规作图法,在已知一边的情况下画一个正五边形,这在之前的文章中讲过,比较容易。今天我们是用尺规作图法画圆内接正五边形,我们是不知道边长的(需要计算才能得到,文中也会讲到)。不失一般性,我们在单位圆内进行。并且,为了与单位根的概念一致,我们选取单位圆上最右侧的一点为正五边形的一个顶点。然后,我们需要确定其他四个顶点的位置,其实,只需确定与第一个顶点(位于点(1,0)处)相邻的一个顶点即可。

    我们作互相垂直的两条直径:一条水平,一条竖直。我们让水平直径的右端点(下图中的点B)为所求作的正五边形的一个顶点。

    假设正五边形已经作出,如下图所示。则它的五个顶点到中心的连线把圆周角五等分,每个角都是72°。过与B相邻的顶点C作AB的垂线,交AB于点D。则三角形ACD为直角三角形,其中角ACD=18°。因为是单位圆,所以AC=1。所以,AD的长度就是sin18°。我们试着把sin18°求出来。

    我们至少有两种求AD的方法。我先采用三角的方法(用复数的方法最后讲)。过程如下:

    我们得到了AD=sin18°的根式表达式。所以,反过来,我们就可以根据这个值,作出到竖直直径距离为这个值的直线,它与单位圆的交点(在点B同侧的)就是所求作的正五边形的顶点。

    上式结果中包括5的平方根,而一个正整数的平方根是可以通过尺规作图法画出来的。所以,我们可以说,sin18°是可以画出来的。具体如何画出根号5,只需让一个直角三角形的两条直角边分别为1和2,则斜边即为根号5。于是,用根号5减去1,所得线段取一半,再取一半的一半,就得到sin18°。最后在AB上量取AD等于这个值,得到点D。

    上面的讨论从理论上解决了作圆内接正五边形是可以用尺规作图实现的。下面给出一种简洁的作图步骤,它可以快速得到点D。并且我将证明这种作图步骤是正确的。如下图所示,取半径AF的中点E,连接EB。作角AEB的平分线ED,点D为平分线与AB的交点。这个点D即为所求。然后过点D作AB的垂线,交单位圆于点C。则点C即为所求的正五边形的顶点。

    下面来证明这样作出来的AD的长度为

    如下图所示。过点D作EB的垂线BG,G为垂足。于是,AD=DG。我们只需证明DG等于

    即可。

    下面看一下图中已知的一些线段的长度:AB=1,AE=1/2,

    也就是说,图中已经出现了

    而三角形DGB与三角形AEB相似。所以,DG : GB = AE : AB。所以可以得到

    于是就证明了D点就是所求。

    下面再介绍一种作图方法,这种方法是杜德尼发明的,它不是去确定如上面所说的某个顶点,而是确定出单位圆内接正五边形的边长,然后再用圆规确定出顶点位置。具体来说,仍然是取FA的中点E。然后以点E为圆心,以EB为半径作圆,与AH交于点K,则KB的长度即为单位圆内接正五边形的边长。下图中,BC=KB。点C即为正五边形的顶点。下面我们来证明BC的长度就是正五边形边的长度。

    假设正五边形已经作出。如最初的那幅图所示(下图)。其中角BAC等于72°。过点A作BC的垂线AH,H为垂足。

    在直角三角形ACH中,AC=1,∠CAH=36°,所以,我们可以求出BC的一半CH。它等于sin36°。我们用三角公式求它的值。

    所以

    这就是单位圆内接正五边形的边长。下面我们证明刚才我们作出的KB的长度也等于这个长度,这样一来我们的画法才能是正确的。如下图所示。

    在上图中的直角三角形ABK中,

    确实,KB等于单位圆内接正五边形的边长。证毕。

    上述杜德尼的方法在很多书上都有介绍,而第一种作对角线的方法却不常见。我最早看到这个作法时,也不明白为什么对角线与AB的交点一下子就到位了。原来作对角线后,AD的长度正好是正五边形顶点C的横坐标(如果放在直角坐标系中看待),我认为这个方法比杜德尼的方法简洁。后来我又了解到高斯曾用单位根的方法求出了这个值(AD的长度)。下面简要叙述一下他的方法。

    他是在复平面上来讨论的。也是假设正五边形已作出,如上图所示。把上图中点C用复数表示为r=x+yi,那么如果能求出x就可以了。其他四个顶点按逆时针,分别为

    这五个复数就是方程

    的五个根,我们叫它们为五次单位根。这些单位根不多不少只五个,且它们的模都为1。这五个单位根所表示的点把单位圆五等分。其中有一个根位于正实轴上。这五个单位根之间有一个关系,即

    下面来求x。设

    则有

    所以,由韦达定理,A和B是二次方程

    的两个实根。所以,可以求出

    所以求出

    x就是顶点C处的复数r=x+yi的实部,也就是AD的长度。于是,反过来,我们便可以在实轴上作出点D使AD等于x。再过点D作实轴的垂线,与单位圆的交点就是正五边形的一个顶点。

    本讲涉及内容很多,全是干货。请慢慢地、仔细地阅读和思考,相信会对您学习数学有所帮助的。

    最后介绍两本小书,如下图。注意到没有,书名中都是《...谈起》,但这两个“起”字竟然不一样,那个”封口”的写法我也确实在其他地方见到过,不能算错,但碰巧我同时在看这两本书,无意中发现它们的不同。哈哈,很有趣!两本书的内容都是相当的好。很薄的两本小书,但内容一点儿都不”薄“ !

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