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  • 求一个次数不高于四次的多项式P(x),使它满足p(0)=f(0)=0,p(1)=f(1)=1,p’(0)=f‘(0)=1,…,并求其余项表达式(设f(x)存在五阶导数) 这是博主自己写的答案,如有错误,请多多包涵。

    求一个次数不高于四次的多项式P(x),使它满足p(0)=f(0)=0,p(1)=f(1)=1,p’(0)=f‘(0)=1,…,并求其余项表达式(设f(x)存在五阶导数)

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  • 一组个函数乘积的高阶导数公式及其行列式表示,谭福锦,谭聪,研究了个函数乘积的高阶导数,得到一组相应的导数公式,推广了已有文献的相关结果。同时,本文把代数学中的行列式知识应用于分
  • 这些减小的起点是十维和十一维超重力作用,并补充了从II类弦振幅中推断出的已知八阶导数校正。 确定校正后的背景解,并讨论紧凑空间的Kähler结构和形场背景的波动。 得出的结论是,如果包括某些附加的形域的十维和...
  • 具体而言,我们分别研究了维AdS黑洞和孤子背景下高阶导数校正项αRF2对麦克斯韦复数矢量模型(MCV)的影响。 在黑洞背景下,改善的校正参数α会提高临界温度,从而增强导体/超导体的相变。 同时,随着RF2校正的...
  • 本文是对显函数高阶导数求导的方法总结,以及对部分其他函数表达形式二阶导求法的总结。

    高阶导数

    1.高阶导数的运算公式

    公式1(线性运算):设f(x)f(x)g(x)g(x)都是nn阶可导的,则[c1f(x)+c2g(x)](n)=c1f(n)(x)+c2g(n)(x)[c_1f(x)+c_2g(x)]^{(n)}=c_1f^{(n)}(x)+c_2g^{(n)}(x)

    公式2(乘法运算,Leibniz):设f(x)f(x)g(x)g(x)都是nn阶可导的,则
    [f(x)g(x)](n)=k=0nCnkf(nk)(x)g(k)(x). [f(x)\cdot g(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^n {\rm C}_n^kf^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).
    证明:用数学归纳法。

    n=1n=1时,显然[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),满足公式的形式。

    如果n=mn=m时Leibniz公式成立,即[f(x)g(x)](m)=k=0mCmkf(mk)(x)g(k)(x)[f(x)g(x)]^{(m)}=\sum\limits_{k=0}^m {\rm C}_m^k f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x),则
    [f(x)g(x)](m+1)={[f(x)g(x)](m)}=(k=0mCmkf(mk)(x)g(k)(x))=k=0mCmk[f(mk+1)(x)g(k)(x)+f(mk)(x)g(k+1)(x)]=k=0mCmkf(mk+1)(x)g(k)(x)+k=0mCmkf(mk)(x)g(k+1)(x)=f(m+1)(x)g(x)+k=1mCmkf(mk+1)(x)g(k)(x)+k=0m1Cmkf(mk)(x)g(k+1)(x)+f(x)g(m+1)(x)=f(m+1)(x)g(x)+k=1m(Cmk+Cmk1)f(mk+1)(x)g(k)(x)+f(x)g(m+1)(x)=f(m+1)(x)g(x)+k=1mCm+1kf[(m+1)k](x)g(k)(x)+f(x)g(m+1)(x)=k=0m+1Cm+1kf[(m+1)k](x)g(k). \begin{aligned} &\left[f(x)g(x)\right]^{(m+1)}\\ =&\left\{[f(x)g(x)]^{(m)}\right\}'\\ =&\left(\sum_{k=0}^m{\rm C}_m^kf^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x) \right)'\\ =&\sum_{k=0}^m{\rm C}_m^k[f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)]\\ =&\sum_{k=0}^m {\rm C}_m^kf^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+\sum_{k=0}^m{\rm C}_m^kf^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)\\ =&f^{(m+1)}(x)g(x)+\sum_{k=1}^m{\rm C}_m^kf^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+\sum_{k=0}^{m-1}{\rm C}_m^kf^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)+f(x)g^{(m+1)}(x)\\ =&f^{(m+1)}(x)g(x)+\sum_{k=1}^m({\rm C}_m^k+{\rm C}_m^{k-1})f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+f(x)g^{(m+1)}(x)\\ =&f^{(m+1)}(x)g(x)+\sum_{k=1}^m{\rm C}_{m+1}^kf^{[(m+1)-k]}(x)g^{(k)}(x)+f(x)g^{(m+1)}(x)\\ =&\sum_{k=0}^{m+1}{\rm C}_{m+1}^kf^{[(m+1)-k]}(x)g^{(k)}. \end{aligned}
    这就说明Leibniz公式对n=m+1n=m+1也成立。此处的关键证明步骤是对求和项系数的变换。

    2.其他形式的二阶导

    隐函数F(x,y)=0F(x,y)=0的二阶导,直接对F(x,y)=0F(x,y)=0两边求二阶导数然后整理即可。

    对于复合函数y=f(u),u=g(x)y=f(u),u=g(x),其二阶导求法如下:
    d2ydx2=ddx(dydx)=ddx(dydududx)=(ddxdydu)dudx+dyduddx(dudx)=(ddudydududx)dudx+dydud2udx2=d2ydu2(dudx)2+dydud2udx2. \begin{aligned} \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=&\frac{\rm d}{{\rm d}x}\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)\\ =&\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\cdot\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right)\\ =&\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\right)\cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\cdot\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}\right)\\ =&\left(\frac{{\rm d}}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\cdot\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} \right)\cdot\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}^2u}{{\rm d}x^2}\\ =&\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}u^2}\left(\frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}\right)^2+\frac{{\rm d}y}{{\rm d}u}\frac{{\rm d}^2u}{{\rm d}x^2}. \end{aligned}
    注意,对于复合函数,能用于最终结果的只有dnydun\dfrac{{\rm d}^ny}{{\rm d}u^n}dnudxn\dfrac{{\rm d}^nu}{{\rm d}x^n},而不能够包括其他的含导数项。

    对于参数方程函数x=φ(t),y=ψ(t)x=\varphi(t),y=\psi(t),由于dydx=ψ(t)φ(t)\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)},所以其二阶导相当于对以下参数方程求导:
    {x=φ(t),y=ψ(t)φ(t). \left\{ \begin{array}l x=\varphi(t),\\ y=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}. \end{array} \right.
    所以
    d2ydx2=ψ(t)φ(t)ψ(t)φ(t)[φ(t)]2φ(t)=ψ(t)φ(t)ψ(t)φ(t)[φ(t)]3. \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=\frac{\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^2}}{\varphi'(t)}=\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}.

    3.求高阶导数的方法

    (1)部分初等函数的高阶导数

    一、求y=axy=a^xnn阶导数。

    观察容易得出y(n)(x)=(lna)naxy^{(n)}(x)=(\ln a)^na^x,可以用归纳法证明。

    二、求y=sinxy=\sin xnn阶导数。

    观察容易得出y(n)(x)=sin(x+nπ2)y^{(n)}(x)=\sin (x+\frac{n\pi}2),下用归纳法证明。显然对于n=1n=1成立,如果对n=mn=m成立,则
    y(m+1)(x)=[y(m)]=cos(x+nπ2)=sin(x+nπ2+π2)=sin(x+(n+1)π2). y^{(m+1)}(x)=[y^{(m)}]'=\cos (x+\frac{n\pi}{2})=\sin (x+\frac{n\pi}{2}+\frac \pi2)=\sin (x+\frac{(n+1)\pi}2).
    所以结论是成立的。

    三、求y=cosxy=\cos xnn阶导数。

    观察容易得出y(n)(x)=cos(x+nπ2)y^{(n)}(x)=\cos(x+\frac{n\pi}2),可以用归纳法证明。

    四、求y=xay=x^ann阶导数。

    观察容易得出
    y(n)=a(a1)(an+1)xan. y^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)x^{a-n}.
    特别当aa为正整数时,必定有y(a)=Cy^{(a)}=C,所以y(a+1)=0y^{(a+1)}=0

    五、求y=lnxy=\ln xnn阶导数。

    由于y=x1y'=x^{-1},所以根据y=xay=x^a的导数可以得到
    y(n)=(x1)(n1)=(1)n1(n1)!xn. y^{(n)}=(x^{-1})^{(n-1)}=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot x^{-n}.

    (2)利用微分方程求高阶导数

    一、令y=arctanxy=\arctan x,求y(n)(0)y^{(n)}(0)

    由于
    y=11+x2,y=2x(1+x2)2, y'=\frac{1}{1+x^2},y''=\frac{-2x}{(1+x^2)^2},
    所以有
    (1+x2)y=1. (1+x^2)y'=1.
    对等式两边同时求nn阶导得
    (1+x2)y(n+1)+2nxy(n)+n(n1)y(n1)=0. (1+x^2)y^{(n+1)}+2nxy^{(n)}+n(n-1)y^{(n-1)}=0.
    代入x=0x=0,就得到y(n+1)(0)=n(n1)y(n1)(0)y^{(n+1)}(0)=-n(n-1)y^{(n-1)}(0),也就是y(n+2)(0)=n(n+1)y(n)y^{(n+2)}(0)=-n(n+1)y^{(n)}。由于y(0)=0,y(1)=1y(0)=0,y(1)=1,所以
    y(n)(0)={0,n;(1)n12(n1)!,n. y^{(n)}(0)=\left\{ \begin{array}l 0,&n为偶数;\\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}(n-1)!,&n为奇数. \end{array} \right.
    二、令y=arcsinxy=\arcsin x,求y(n)(0)y^{(n)}(0)

    由于
    y=(1x2)12,y=x(1x2)32. y'=(1-x^2)^{-\frac 12},y''=x(1-x^2)^{-\frac 32}.
    所以
    (1x2)yxy=0. (1-x^2)y''-xy'=0.
    两边同时求nn阶导,得到
    2(1x2)y(n+2)4nxy(n+1)2n(n1)y(n)xy(n+1)ny(n)=0. 2(1-x^2)y^{(n+2)}-4nxy^{(n+1)}-2n(n-1)y^{(n)}-xy^{(n+1)}-ny^{(n)}=0.
    两边同时代入x=0x=0,得到
    y(n+2)(0)=n2y(n)(0). y^{(n+2)}(0)=n^2y^{(n)}(0).
    由于y(0)=0,y(1)=1y^{(0)}=0,y^{(1)}=1,所以
    y(n)(0)={[(n2)!!]2,n;0,n. y^{(n)}(0)=\left\{ \begin{array}l [(n-2)!!]^2,&n为奇数;\\ 0,&n为偶数. \end{array} \right.

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  • 阶导数&微分1、导数1.1 例题—导数定义求导(important)1.2 单侧导数1.3 例题—判断是否可导2、函数的求导法则2.1 定理一 线性组合求导的传递性2.2 定理二 反函数的求导法则2.2.1 例题—利用反函数求导法则求导...

    0、博主高数相关章节目录

    高数第一章节——极限&无穷&连续与间断
    高数第二章节——导数&求导法则&高阶导数&微分
    高数第三章节——微分中值&洛必达&泰勒&单调性与凹凸性&作图&弧微分与曲率
    高数第四章节——不定积分&换元积分&分部积分
    高数第五章节——定积分&积分上限函数&牛顿——莱布尼兹公式&反常积分与广义积分
    高数第六章节——平面图形的面积&旋转体体积&平面截面体体积&平面曲线的弧长&定积分在物理学中的应用
    高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程
    高数竞赛必背重点(随时更)

    1、数列

    1、导数

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    1.1 例题—导数定义求导(important)

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    1.2 单侧导数

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    1.3 例题—判断是否可导

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    2、函数的求导法则

    2.1 定理一 线性组合求导的传递性

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    2.2 定理二 反函数的求导法则

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    2.2.1 例题—利用反函数求导法则求导

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    2.3 定理三 复合函数的求导法则|链导法则(important)

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    2.4 基本求导法则与导数公式(important)|汇总

    2.4.1 求导公式(important)

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    2.4.2 函数的线性组合、积、商的求导法则(important)

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    2.4.3 反函数的求导法则(important)

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    2.4.4 复合函数的求导法则

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    3、高阶导数

    二阶导数:d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}yy''f(2)(x)f^{(2)}(x)
    三阶导数:d3ydx3\frac{d^3y}{dx^3}yy''f(3)(x)f^{(3)}(x)
    四阶导数:d4ydx4\frac{d^4y}{dx^4}yy''f(4)(x)f^{(4)}(x)
    nn阶导数:dnydxn\frac{d^ny}{dx^n}yy''f(n)(x)f^{(n)}(x)

    3.1 例题—高阶导数化简

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    3.2 莱布尼兹公式(important)

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    3.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

    3.3.1 定义(important)

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    3.3.2 例题—隐函数求导法

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    隐函数求导:允许在yy'表达式中含有变量yy在这里插入图片描述

    3.4 例题—对数求导法

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    3.5 例题—参数方程求导法

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    4、函数的微分

    4.1 导数与微分的比较(importent)

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    导数是斜率,微分是yy的改变量

    4.2 微分定义

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    4.3 微分公式与运算法则

    dy=f(x)dxdy=f'(x)dx

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    4.3.1 求微分

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    4.3.2 例题—微分在生活中的应用(interesting)

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    4.3.3 例题—f(x+Δx)f(x0)+f(x0)Δxf(x+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)*\Delta x

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    4.3.4 例题—常用的一次近似公式:n1+x1+1nx^{n}\sqrt{1+x}\approx1+\frac{1}{n}x

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  • 通过对算子k ^ AF的特定选择,我们获得了Carroll-Field-Jackiw(CFJ)项的高阶导数形式,即12εκλμνAλDκ□Fμν,并带有违反洛伦兹的背景矢量Dκ。 此修改有待研究。 我们计算了该理论的传播因子,并从其极点...
  • 在这项工作中,我们使用N = 1 $$ \ mathcal... 我们表明,除了纯的铁电离子和玻色子术语外,还有混合了波子和铁电离子场的各种维和六维拓扑术语。 最后,我们使用这些结果在两个M2的有效动作中获得更高的派生拓扑项。
  • 二、高阶导数 grad_x =t.autograd.grad(y, x, create_graph=True) grad_grad_x = t.autograd.grad(grad_x[0],x) x = V(t.Tensor([5]), requires_grad=True) y = x ** 2 grad_x = t.autograd.grad(y, x, ...

    一、封装新的PyTorch函数

    继承Function类

    forward:输入Variable->中间计算Tensor->输出Variable

    backward:均使用Variable

    线性映射

    from torch.autograd import Function
    
    class MultiplyAdd(Function):                       # <----- 类需要继承Function类
                                                                
        @staticmethod                                  # <-----forward和backward都是静态方法
        def forward(ctx, w, x, b):                     # <-----ctx作为内部参数在前向反向传播中协调
            print('type in forward',type(x))
            ctx.save_for_backward(w,x)                 # <-----ctx保存参数
            output = w * x + b
            return output                              # <-----forward输入参数和backward输出参数必须一一对应
            
        @staticmethod                                  # <-----forward和backward都是静态方法
        def backward(ctx, grad_output):                # <-----ctx作为内部参数在前向反向传播中协调
            w,x = ctx.saved_variables                  # <-----ctx读取参数
            print('type in backward',type(x))
            grad_w = grad_output * x
            grad_x = grad_output * w
            grad_b = grad_output * 1
            return grad_w, grad_x, grad_b              # <-----backward输入参数和forward输出参数必须一一对应
    

     

    调用方法一

    类名.apply(参数)

    输出变量.backward()

    import torch as t
    from torch.autograd import Variable as V
    
    x = V(t.ones(1))
    w = V(t.rand(1), requires_grad = True)
    b = V(t.rand(1), requires_grad = True)
    print('开始前向传播')
    z=MultiplyAdd.apply(w, x, b)                       # <-----forward
    print('开始反向传播')
    z.backward() # 等效                                 # <-----backward
    
    # x不需要求导,中间过程还是会计算它的导数,但随后被清空
    print(x.grad, w.grad, b.grad)
    
    开始前向传播
    type in forward <class 'torch.FloatTensor'>
    开始反向传播
    type in backward <class 'torch.autograd.variable.Variable'>
    
    (None, 
    Variable containing: 1 [torch.FloatTensor of size 1],
    Variable containing: 1 [torch.FloatTensor of size 1])

     

    调用方法二

    类名.apply(参数)

    输出变量.grad_fn.apply()

    x = V(t.ones(1))
    w = V(t.rand(1), requires_grad = True)
    b = V(t.rand(1), requires_grad = True)
    print('开始前向传播')
    z=MultiplyAdd.apply(w,x,b)                         # <-----forward
    print('开始反向传播')
    
    # 调用MultiplyAdd.backward
    # 会自动输出grad_w, grad_x, grad_b
    z.grad_fn.apply(V(t.ones(1)))                      # <-----backward,在计算中间输出,buffer并未清空,所以x的梯度不是None
    
    开始前向传播
    type in forward <class 'torch.FloatTensor'>
    开始反向传播
    type in backward <class 'torch.autograd.variable.Variable'>
    
    (Variable containing:
      1
     [torch.FloatTensor of size 1], Variable containing:
      0.7655
     [torch.FloatTensor of size 1], Variable containing:
      1
     [torch.FloatTensor of size 1])

     

    之所以forward函数的输入是tensor,而backward函数的输入是variable,是为了实现高阶求导。backward函数的输入输出虽然是variable,但在实际使用时autograd.Function会将输入variable提取为tensor,并将计算结果的tensor封装成variable返回。在backward函数中,之所以也要对variable进行操作,是为了能够计算梯度的梯度(backward of backward)。下面举例说明,有关torch.autograd.grad的更详细使用请参照文档。

    二、高阶导数

    grad_x =t.autograd.grad(y, x, create_graph=True)

    grad_grad_x = t.autograd.grad(grad_x[0],x)

    x = V(t.Tensor([5]), requires_grad=True)
    y = x ** 2
    
    grad_x = t.autograd.grad(y, x, create_graph=True)
    print(grad_x) # dy/dx = 2 * x
    
    grad_grad_x = t.autograd.grad(grad_x[0],x)
    print(grad_grad_x) # 二阶导数 d(2x)/dx = 2
    
    (Variable containing:
      10
     [torch.FloatTensor of size 1],)
    (Variable containing:
      2
     [torch.FloatTensor of size 1],)

    三、梯度检查

    t.autograd.gradcheck(Sigmoid.apply, (test_input,), eps=1e-3)

    此外在实现了自己的Function之后,还可以使用gradcheck函数来检测实现是否正确。gradcheck通过数值逼近来计算梯度,可能具有一定的误差,通过控制eps的大小可以控制容忍的误差。

    class Sigmoid(Function):
                                                                 
        @staticmethod
        def forward(ctx, x): 
            output = 1 / (1 + t.exp(-x))
            ctx.save_for_backward(output)
            return output
            
        @staticmethod
        def backward(ctx, grad_output): 
            output,  = ctx.saved_variables
            grad_x = output * (1 - output) * grad_output
            return grad_x                            
    
    # 采用数值逼近方式检验计算梯度的公式对不对
    test_input = V(t.randn(3,4), requires_grad=True)
    t.autograd.gradcheck(Sigmoid.apply, (test_input,), eps=1e-3)
    
    True

     

    测试效率,

    def f_sigmoid(x):
        y = Sigmoid.apply(x)
        y.backward(t.ones(x.size()))
        
    def f_naive(x):
        y =  1/(1 + t.exp(-x))
        y.backward(t.ones(x.size()))
        
    def f_th(x):
        y = t.sigmoid(x)
        y.backward(t.ones(x.size()))
        
    x=V(t.randn(100, 100), requires_grad=True)
    %timeit -n 100 f_sigmoid(x)
    %timeit -n 100 f_naive(x)
    %timeit -n 100 f_th(x)
    

     实际测试结果,

    245 µs ± 70.1 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
    211 µs ± 23.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
    219 µs ± 36.6 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

    书中说的结果,

    100 loops, best of 3: 320 µs per loop
    100 loops, best of 3: 588 µs per loop
    100 loops, best of 3: 271 µs per loop

    很奇怪,我的结果竟然是:简单堆砌<官方封装<自己封装……不过还是引用一下书中的结论吧:

    显然f_sigmoid要比单纯利用autograd加减和乘方操作实现的函数快不少,因为f_sigmoid的backward优化了反向传播的过程。另外可以看出系统实现的buildin接口(t.sigmoid)更快。

     

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