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    Chapter9:指数函数、对数函数、双曲函数

    9.指数函数、对数函数、双曲函数

    9.1 基础知识

    9.1.1 指数函数回顾

    底 数 指数 底数^{指数} 指数


    9.1.2 对数函数回顾

    y = 2 x = 8 y=2^x=8 y=2x=8
    x = l o g 2 ( y ) = l o g 2 ( 8 ) = 3 x=log_2(y)=log_2(8)=3 x=log2(y)=log2(8)=3 代表着将2提升3个幂次才能得到8

    l o g b ( y ) log_b(y) logb(y)是为了得到 y y y 必须将底数 b b b 提升某个(对数的结果)幂次

    b l o g b ( y ) = y b^{log_b(y)}=y blogb(y)=y

    要求必须 b > 1 , y > 0 b \gt 1,y \gt 0 b>1y>0
    如果 b < 0 b \lt 0 b<0 ,例如 y = b x = ( − 1 ) 1 2 = − 1 < 0 y=b^x=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1} \lt 0 y=bx=(1)21=1 <0
    如果 b = 0 b=0 b=0,例如 0 x 0^x 0x(无意义)

    如果 b = 1 b=1 b=1 ,例如: y = 1 x = 1 y=1^x=1 y=1x=1,x取任何值都成立,无价值

    0 < b < 1 0 \lt b \lt 1 0<b<1,例如: y = ( 1 2 ) x = 2 − x y=(\frac{1}{2})^x=2^{-x} y=(21)x=2x l o g 1 2 ( y ) = − l o g 2 ( y ) log_{\frac{1}{2}}(y)=-log_2(y) log21(y)=log2(y)

    l o g b ( y ) log_b(y) logb(y) 不可能将 b b b 提升为几次幂而得到一个负数或0,于是 y y y 不可能是负数或0

    9.1.3 指数函数与对数函数互为反函数

    f ( g ( x ) ) = x f(g(x))=x f(g(x))=x b l o g b ( x ) = x b^{log_b(x)}=x blogb(x)=x
    g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x l o g b ( b x ) = x log_b(b^x)=x logb(bx)=x

    9.1.4 对数法则

    所有不同底数的对数函数其实互为常数倍

    l o g b ( x ) = K l o g c ( x ) log_b(x)=Klog_c(x) logb(x)=Klogc(x) ,其中 K = 1 l o g c ( b ) K=\frac{1}{log_c(b)} K=logc(b)1

    y = l o g c ( x ) y=log_c(x) y=logc(x)图像垂直拉伸K倍得到 y = l o g b ( x ) y=log_b(x) y=logb(x)

    证明:乘积的对数是对数的和

    证明:对数将指数移至对数之前

    证明换底法则

    9.2 e的定义

    9.2.1 有关复利的问题

    银行A:利息年利率 12 % 12\% 12%一年计一次复利,意味着每一年财富增加 12 % 12\% 12%
    假设今年你存入 100 100 100元,今年年底会得到 100 + 100 ∗ 0.12 = 100 ∗ ( 1 + 0.12 ) = 112 100+100*0.12=100*(1+0.12)= 112 100+1000.12=100(1+0.12)=112

    银行B:利息年利率 12 % 12\% 12%一年计两次复利,每次以 12 % / 2 = 6 % 12\%/2=6\% 12%/2=6% 计算
    假设今年你存入 100 100 100元,半年后得到 100 + 100 ∗ 0.06 = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) = 106 100+100*0.06=100*(1+0.06)=106 100+1000.06=100(1+0.06)=106
    后半年的初始存款为 106 106 106,年底得到 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) ∗ ( 1 + 0.06 ) = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) 2 = 112.36 100*(1+0.06)*(1+0.06)=100*(1+0.06)^2 =112.36 100(1+0.06)(1+0.06)=100(1+0.06)2=112.36

    综上,一年中复利次数越多,年底财富增值越多,但会不会存在一个上限??

    9.2.2 问题的答案

    本金1元,年利率 r r r,一年中复利 n n n 次(每次利率为 r n \frac{r}{n} nr),年底财富增长为
    ( 1 + r n ) n (1+\frac{r}{n})^n (1+nr)n
    本金A元,年利率 r r r,一年中复利 n n n 次(每次利率为 r n \frac{r}{n} nr), t t t 年后的财富为
    A ( 1 + r n ) n t A(1+\frac{r}{n})^{nt} A(1+nr)nt

    当年利率 r = 1 r=1 r=1

    9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容


    x = 1 x=1 x=1
    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e nlim(1+n1)n=e
    lim ⁡ h → ∞ ( 1 + h ) 1 h = e \lim_{h\rightarrow \infty}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e hlim(1+h)h1=e

    对数法则

    9.3 对数函数和指数函数求导

    指数函数和对数函数求导的例子
    例1:

    例2:

    导数相同意味着原函数图像相同,将 y = l n ( x ) y=ln(x) y=ln(x) 图像向上移动即可得到 y = l n ( 8 x ) y=ln(8x) y=ln(8x)

    例3:

    9.4 求解指数函数或对数函数的极限

    9.4.1 涉及 e 的定义的极限

    例1:

    例2:

    9.4.2 指数函数在 0 附近的行为

    例1:

    例2:

    例3:
    当虚拟变量本身在分母上时,极限可能是一个伪装的导数

    9.4.3 对数函数在 1 附近的行为

    当虚拟变量本身在分母上时,极限可能是一个伪装的导数

    9.4.4 指数函数在 ∞ \infty − ∞ -\infty 附近的行为


    例子:

    指数函数增长迅速:
    不管 n n n 有多大
    e x e^x ex 趋于无穷大的速度比 x x x 任意正次幂都要迅速

    分母趋于无穷大的速度比分子趋于无穷大的速度迅速

    例如:

    9.4.5 对数函数在 ∞ \infty 附近的行为

    不能取任何负数的对数,因此没有必要研究对数函数在 − ∞ -\infty 附近的行为

    对数函数增长缓慢:
    不管 a a a 有多小
    l n ( x ) ln(x) ln(x) 趋于无穷大的速度比 x x x 的任意正次幂都要慢

    分子趋于无穷大的速度比分母趋于无穷大的速度

    例1:

    例2:
    t t t 替换 -x 这一技巧可将指数函数在 − ∞ -\infty 附近的行为转换为在 + ∞ +\infty + 附近的行为

    e x e^x ex − ∞ -\infty 附近的行为,但通过设 t = − x t=-x t=x,我们可以将情形转换为 + ∞ +\infty +
    x → − ∞ x\rightarrow-\infty x 时,有 t → + ∞ t\rightarrow+\infty t+

    9.4.6 对数函数在 0 0 0 附近的行为

    l n ( 0 ) ln(0) ln(0)无意义

    对数函数在 0 附近向下增长缓慢:
    不管 a a a 有多小

    例子:
    1 t \frac{1}{t} t1 替换 x 这一技巧可将对数函数在 0 附近的行为转换为在 ∞ \infty 附近的行为

    9.5 取对数求导法

    何种情况下使用取对数求导法

    取对数求导法的过程

    例子:

    x a x^a xa 的导数

    9.6 指数增长和指数衰变

    9.6.1 指数增长

    t t t 为时间(如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年)
    P 0 P_0 P0 是时间 t = 0 t=0 t=0 时的总数(如羊群)
    k k k 为增长常数, k k k 越大种群繁殖越快

    9.6.2 指数衰变

    t t t 为时间(如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年)
    P 0 P_0 P0 是原始数量 (如: t = 0 t=0 t=0 时原子的数量)
    − k -k k 是衰变常数

    9.7 双曲函数(实际上是伪装的指数函数)

    9.7.0 双曲函数定义


    双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的(例如图中阴影部分面积 α 2 \frac{\alpha}{2} 2α

    双曲函数的前缀 ar 代表 area (面积,即以上定义的面积)

    双曲函数中的 x x x 其实是双曲角 α \alpha α (大小为上述定义阴影部分面积的 2 2 2 倍)
    x 2 − y 2 = 1 c o s h 2 ( α ) − s i n h 2 ( α ) = 1 y = s i n h ( α ) y = c o s h ( α ) . . . x^2-y^2=1 \\ cosh^2(\alpha)-sinh^2(\alpha)=1\\ y=sinh(\alpha)\\ y=cosh(\alpha)\\ ... x2y2=1cosh2(α)sinh2(α)=1y=sinh(α)y=cosh(α)...
    为了与三角函数在形式上统一,将双曲角 α \alpha α 换个名称 x x x
    c o s h 2 ( x ) − s i n h 2 ( x ) = 1 y = s i n h ( x ) y = c o s h ( x ) . . . cosh^2(x)-sinh^2(x)=1\\ y=sinh(x)\\ y=cosh(x)\\ ... cosh2(x)sinh2(x)=1y=sinh(x)y=cosh(x)...

    9.7.1 双曲余弦函数(Hyperbolic COSine,cosh)

    9.7.2 双曲正弦函数(Hyperbolic SINe,sinh)


    9.7.3 双曲正切函数(Hyperbolic TANgent,tanh)

    t a n h ( x ) = s i n h ( x ) c o s h ( x ) = e x − e − x e x + e − x tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+exexex

    9.7.4 双曲余切函数(Hyperbolic COTangent,coth)

    c o t h ( x ) = 1 t a n h ( x ) = e x + e − x e x − e − x coth(x)=\frac{1}{tanh(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} coth(x)=tanh(x)1=exexex+ex

    9.7.5 双曲正割函数(Hyperbolic SECant,sech)

    s e c h ( x ) = 1 c o s h ( x ) = 2 e x + e − x sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}} sech(x)=cosh(x)1=ex+ex2

    9.7.6 双曲余割函数(Hyperbolic CoSeCant,csch)

    c s c h ( x ) = 1 s i n h ( x ) = 2 e x − e − x csch(x)=\frac{1}{sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}} csch(x)=sinh(x)1=exex2

    9.7.7 双曲函数与三角函数的关系


    三角函数

    双曲函数

    9.7.8 双曲函数恒等式

    9.7.9 双曲函数加法公式

    9.7.10 双曲函数减法公式

    9.7.11 双曲函数二倍角公式

    9.7.11 双曲函数三倍角公式

    9.7.12 双曲函数半角公式

    9.7.13 双曲函数导数关系

    9.7.14 双曲函数导数关系

    9.7.15 双曲函数级数表示

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  • 对数函数及运算

    千次阅读 2018-01-29 18:36:58
    一般地,对数函数以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。 对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义: 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为...
    一般地,对数函数以 真数)为 自变量,指数为 因变量,底数为 常量的函数。
    对数函数是6类 基本初等函数之一。其中 对数的定义:
    如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log aN,读作以a为底N的 对数,其中a叫做对数的 底数,N叫做 真数
    一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以 真数)为 自变量,指数为 因变量,底数为 常量的函数,叫对数函数。
    其中x是自变量,函数的 定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是 指数函数反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
    log”是 拉丁文logarithm(对数)的缩写。

    实际应用
    实数 域中,真数式子没 根号 那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数), 底数 则要大于0且不为1。
    对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义: log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切 实数(比如log 11也可以等于2,3,4,5,等等)】
    通常我们将以10为底的对数叫 常用对数(common logarithm),并把log 10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以 无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的 对数称为 自然对数 (natural logarithm),并且把 logeN 记为 In N。根据对数的定义,可以得到对数与 指数间的关系:
    当a>0,a≠1时,a X=N
       
    X= logaN。(N>0)
    指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
    实数范围内, 负数没有对数;
     
    ,log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。
    有理和无理指数
    如果
       
    是正整数,
       
    表示等于
       
       
    个因子的加减:
    但是,如果是
       
    不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数
       
    (参见 )。类似的,对数函数可以定义于任何 正实数。对于不等于1的每个正 底数
       
    ,有一个对数函数和一个 指数函数,它们互为反函数。
    对数可以简化 乘法运算为 加法,除法为 减法幂运算乘法,根运算为 除法。所以,在发明 电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
    复对数
    复对数计算公式
    复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。
    历史
    16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]   。
    德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《 整数算术》中,写出了两个 数列,左边是 等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。
    欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之 ),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。
    纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」, 化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求 球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的 对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳
    对数的图像 对数的图像
    皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:
    Nap.㏒x=10㏑(107/x)
    由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。
    瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了 对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。
    英国的 布里格斯在1624年创造了常用对数。
    1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。
    对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家 伽利略(1564-1642)说:「给我时间, 空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家 拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
    最早传入我国的对数著作是《比例 对数》,它是由波兰的 穆尼斯(1611-1656)和我国的 薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫 真数,0.3010叫做 假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用 假数对数」。
    当今中学数学教科书是先讲「 指数」,后以 反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《 对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《 无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是 指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。

    函数性质

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    定义域 求解:对数函数y=log ax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型 复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意 底数大于0且不等于1,如求函数y=log x(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1
    和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}
    值域 实数集R,显然对数函数无界;
    定点 对数函数的函数图像恒过定点(1,0);
    单调性 a>1时,在定义域上为单调增函数;
    0<a<1时,在 定义域上为单调减函数;
    对称性:无
    最值:无
    零点:x=1
    注意: 负数和0没有对数
    两句经典话: 底真同对数正,底真异对数负。解释如下:
    也就是说:若y=log ab (其中a>0,a≠1,b>0)
    当0<a<1, 0<b<1时,y=log ab>0;
    当a>1, b>1时,y=log ab>0;
    当0<a<1, b>1时,y=log ab<0;
    当a>1, 0<b<1时,y=log ab<0。

    公式推导

    编辑
    e的定义:
    设a>0,a≠1
    方法一:
    指数函数 指数函数
    特殊地,当
       
    时,
       
    方法二:
       
    ,两边取对数ln y=xln a
    两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a
    特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。
    eº=1

    运算性质

    编辑
    一般地,如果a(a>0
    对数函数化简问题 对数函数化简问题
    ,且a≠1)的b次 等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,其中a叫做对数的 底数,N叫做 真数
    底数则要>0且≠1 真数>0
    并且,在比较两个函数值时:
    如果 底数一样, 真数越大, 函数值越大。(a>1时)
    如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0<a<1时)
    当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

    和差

    换底公式

    推导:设
    所以
    两边取对数,则有
    又因为
    所以

    指系

    还原

    互换

    倒数

    链式

    表达方式

    编辑
    (1)常用对数:lg(b)=log 10b(10为底数)
    (2)自然对数:ln(b)=log eb(e为底数)
    e为 无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828

    与指数的关系

    编辑
    同底的对数函数与 指数函数互为反函数。
    当a>0且a≠1时,a x=N
       
    x=㏒ aN。
    关于y=x 对称
    对数函数的一般形式为 y=㏒ ax,它实际上就是指数函数的 反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴、当0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴。
    可以看到,对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于 直线y=x的 对称图形,因为它们互为 反函数
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  • 2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠...

    最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型;4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.

    1.对数的概念

    如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

    2.对数的性质、换底公式与运算性质

    (1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).

    (2)对数的运算法则

    如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

    ①loga(MN)=logaM+logaN;

    ②loga=logaM-logaN;

    ③logaMn=nlogaM(n∈R);

    ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).

    (3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).

    3.对数函数及其性质

    (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

    4.反函数

    指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.

    [微点提醒]

    1.换底公式的两个重要结论

    (1)logab=;(2)logambn=logab.

    其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.

    2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

    3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.

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