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  • 【摘要】对数函数,特别是对数复合函数的定义域以及值域,由于它牵涉的知识点比较多,在中学数学教学中占有相当重要的地位,笔者根据平时教学经验的积累,总结了一些关于对数函数定义域和值域的问题,与同行切磋。...

    【摘要】对数函数,特别是对数复合函数的定义域以及值域,由于它牵涉的知识点比较多,在中学数学教学中占有相当重要的地位,笔者根据平时教学经验的积累,总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题,与同行切磋。

    【关键词】定义域;值域;对数函数

    一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则

    设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数,则有如下判别法则:

    (1)当a>1,函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加,没有最大值,也没有最小值,函数值域为(-∞,+∞);在定义域[x1,x2](00,a≠1)是对数复合函数,其中中间变量u=g(x)叫内函数,y=logag(x)叫外函数,则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0},在这个定义域内,先确定内函数u=g(x)的值域,然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值,从而得到对数复合函数的值域。

    (1)当a>1,如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞),没有最大值,也没有最小值,则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加,没有最值,值域为(-∞,+∞);如果u=g(x)在取值[u1,u2]单调增加,则对数复合函数在[u1,u2]也单调增加,有最小值y1=logau1=logag(x1),有最大值y2=logau2=logag(x2),这时,复合对数函数的值域为[y1,y2];如果u=g(x)在[u1,u2]单调减少,则对数复合函数在[u1,u2]也单调减少,有最大值y1=logau1=logag(x1),有最小值y2=logau2=logag(x2),这时,复合对数函数的值域为[y2,y1]。

    (2)当0  例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。

    解 要使函数有意义,则需x2+2x+5>0。

    ∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-160,

    故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。

    ∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞),y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4,

    ∴函数u=x2+2x+5,当x=-1时,有最小值y0=4。

    即函数u=x2+2x+5的值域是[4,+∞)。

    ∴函数y=log2u在[4,+∞)是单调增函数,且当u=4时,y=log24=2,故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是[2,+∞)。

    例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。

    解 设u=-x2+4x-3是内函数,

    要使函数有意义,则需-x2+4x-3>0,

    解之得1  故函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域是[1,3]。

    x0=-42×(-1)=2∈[1,3],

    y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。

    ∴内函数u=-x2+4x-3在x0=2时,有最大值u=1,当x=1或者x=3时,有最小值u=0。

    ∴内函数u=-x2+4x-3的值域是[0,1],函数值单调增加,

    ∴对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少,但当u=1时,y=log12u=0,当u=0时,y→-∞。

    故对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0]。

    例3 求函数y=lgx+1x-1的定义域与值域。

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  • 对数函数定义域、值域、定点

    千次阅读 2021-02-12 01:08:10
    对数函数定义域、值域、定点》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对数函数定义域、值域、定点(8页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、对数函数定义域、值域与定点,4)当 时, (4)当 时, 当 时, 当 时,4)当...

    《对数函数的定义域、值域、定点》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对数函数的定义域、值域、定点(8页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、对数函数的定义域、值域与定点,4)当 时, (4)当 时, 当 时, 当 时,4)当 时, (4) 当 时 当 时, 当 时,5)单调递增,5) 单调递减,5) 单调递增,5) 单调递减,底数互为倒数的两指数函数图像关于y轴对称,底数互为倒数的两对数函数图像关于x轴对称,在第一象限内,越靠近x轴底数越大,在第一象限内,越靠近y轴底数越小,探究一:定义域问题,例一:求下列函数的定义域, 1) 2) 3) 4) 5) 6,归纳总结:求函数定义域时应注意几点问题,1)若函数解析式中含有分母,则分母不能为0,2)若函数解析式中含有偶次根式,要注意偶次根式下非负,3)0的0次幂和0的负指数次幂没有意义,。

    2、4)若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于0,底数大于0且不等于1,求函数的定义域其实质就是解不等式或者不等式组的过程,探究二:对数类函数的值域问题,例1:求 定义在 上的值域,例2:已知 , 在区间 上的最大值比 最小值大 1,求a值,例3:求 函数的值域,例4:求 定义在 的值域,探究3:函数过定点的问题,例1:函数 的图像过定点___________________,例2:函数 的图像过定点_____________, 过定 点____________? 的呢,归纳总结,1.求函数的定义域的实质就是解不等式或不等式组,2.求对数类函数的值域问题要注意真数位置大于0,3.函数过定点,即无论参数的值如何变化,函数图像均过其点,作业,设函数 1) 求a,b的值; 2) 求f(x)在1,2上的最大值。

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  • 高考数学复习,这6道题全懂了,求对数函数定义域和值域再不作难了。求对数函数定义域,相对来说比较简单,主要考虑的是真数必须大于0。求对数函数的值域要难不少,对数函数的最大特点是:要么是增函数,要么是减...

    高考数学复习,这6道题全懂了,求对数函数的定义域和值域再不作难了。求对数函数的定义域,相对来说比较简单,主要考虑的是真数必须大于0。

    求对数函数的值域要难不少,对数函数的最大特点是:要么是增函数,要么是减函数,也就是说,对数函数是单调函数,求值域的一般步骤是先确定真数的取值范围,然后根据单调性或者图像求出函数值的取值范围,即值域。

    第1题

    首先,x是真数,所有x必须大于0,见①;其次1/3为底的对数也是真数,所以它也必须大于0,见②;然后解这两个不等式,并求交集。其中不等式②的解法一定要熟悉,下面列出了两种解法,解法一,就是把0用真数为1的同底对数来表示,然后根据1/3为底的对数单调递减来求x的范围,这种解法是常规解法;我更愿意使用解法二,即最后一行给出的推荐解法。

    第2题

    首先x+1是真数,故应令其大于0,见①;对数在根号内,又是分母,所以对数必须大于0,解对数不等式即可求出x的范围。从本题的计算过程可以看出,如果对数计算熟练的话,第一步即①是可以省去的。

    第3题

    求对数函数的值域,一般分两步。第一步:求出真数的取值范围,如下①;第二步:根据对数函数的图像或者单调性求出值域,现在是把整个真数部分u看成自变量来求值域,容易得出当真数u∈[1,+∞)时,函数值f(u)∈(-∞,0],这就是要求的值域。

    第4题

    解:和上题一样分两步。第一步:求真数x+1的取值范围为(0,+∞),这里解释一下,有学生可能会有疑问,x+1不是可以取任意实数吗?本来确实如此,但它正好位于对数的真数部分,所以它只能取大于0的实数;第二步:根据对数的图像或者单调性求值域,容易得到值域为(-∞, +∞)。

    更快的解法:f(x)的图像是由1/3为底,x为真数的对数函数图像沿x轴平移得到的,平移前后值域是不会变化的,所以值域为(-∞, +∞)。

    第5题

    因为x-2可以取大于0的一切实数,所以本来①式可以取任意实数,但它处于对数的真数部分,所有和x-2一样,取值范围应为(0,+∞),得出了真数的取值范围,根据图像即可求出值域。

    第6题

    请认真体会本题和上题的不同之处。从这几道题可以看出,求对数的值域,最主要的工作是确定出真数的取值范围,理解了这一点,求对数的值域问题再也难不住你。

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  • 对数函数值域为R的意义

    千次阅读 2021-01-14 06:42:08
    Q 提问: 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,求实数a的取值...A 回答: 问题要求的是“对数函数的值域为R时,a的取值范围”,而你求的是“对数函数定义域为R时,a的取值范围”,这是两码事,所以...

    Q 提问: 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,求实数a的取值范围”,我的解法是:因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0,所以a>0,Δ=4-4a<0,解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里?

    A 回答: 问题要求的是“对数函数的值域为R时,a的取值范围”,而你求的是“对数函数的定义域为R时,a的取值范围”,这是两码事,所以你的解法当然有错.

    先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

    因为在对数函数中要求真数恒大于0,函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R,说明当x取任意值时,g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,即真数ax2+2x+1恒大于0.

    要强调的是,真数ax2+2x+1恒大于0时,意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交,g(x)不可能取到所有正数,所以此时真数必定不能取到所有正数值.

    下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

    若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

    若a>0,Δ=4-4a<0,则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点,g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞,-上为增函数,在-,+∞上为减函数,所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-,即 f(x)存在最大值,这说明它的值域不为R.

    Q 提问: 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,求实数a的取值范围”,我的解法是:因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0,所以a>0,Δ=4-4a<0,解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里?

    A 回答: 问题要求的是“对数函数的值域为R时,a的取值范围”,而你求的是“对数函数的定义域为R时,a的取值范围”,这是两码事,所以你的解法当然有错.

    先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

    因为在对数函数中要求真数恒大于0,函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R,说明当x取任意值时,g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,即真数ax2+2x+1恒大于0.

    要强调的是,真数ax2+2x+1恒大于0时,意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交,g(x)不可能取到所有正数,所以此时真数必定不能取到所有正数值.

    下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

    若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

    若a>0,Δ=4-4a<0,则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点,g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞,-上为增函数,在-,+∞上为减函数,所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-,即 f(x)存在最大值,这说明它的值域不为R.

    Q 提问: 对于问题“若函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,求实数a的取值范围”,我的解法是:因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0,所以a>0,Δ=4-4a<0,解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里?

    A 回答: 问题要求的是“对数函数的值域为R时,a的取值范围”,而你求的是“对数函数的定义域为R时,a的取值范围”,这是两码事,所以你的解法当然有错.

    先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

    因为在对数函数中要求真数恒大于0,函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的定义域为R,说明当x取任意值时,g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,即真数ax2+2x+1恒大于0.

    要强调的是,真数ax2+2x+1恒大于0时,意味着函数g(x)=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交,g(x)不可能取到所有正数,所以此时真数必定不能取到所有正数值.

    下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

    若要使对数函数f(x)=log0.5(ax2+2x+1)的值域为R,真数ax2+2x+1对应的函数g(x)=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

    若a>0,Δ=4-4a<0,则g(x)=ax2+2x+1>0恒成立,二次函数g(x)的图象开口向上且与x轴无交点,g(x)能取到的最小正数值为g(x)min=g-=1-. 因为f(x)=log0.5(ax2+2x+1)在-∞,-上为增函数,在-,+∞上为减函数,所以f(x)max=log0.5g(x)min=log0.5g-,即 f(x)存在最大值,这说明它的值域不为R.

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对数函数定义域是什么