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  • 如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath366,备注:知乎 每日一题呆哥解析:这一个函数和复合函数的综合问题首先我们先把原函数的值域求出来 先直接求导:导数不容易判断单调性,我们再继续求导...

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    如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath366,备注:知乎 每日一题

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    呆哥解析:这是一个函数和复合函数的综合问题

    首先我们先把原函数的值域求出来

    先直接求导:

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    导数不容易判断单调性,我们再继续求导:

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    二阶导函数我们就没必要再导下去了,这里是可以放缩的。我们先来回顾一下常用的两个放缩:

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    我们就对二阶导函数采取放缩,判断它的正负:

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    为什么这样放缩呢?

    这里我们来讲一下两个原则

    1.指对不能留。也就是说,要放缩,必须优先考虑放掉指数函数和对数函数!

    2.对勾用均值。也就是说,出现了一个函数加另一个函数的倒数这种组合,我们优先考虑用均值不等式放缩掉它。这样放缩的提醒一般是:含有对数函数,这样定义域就大于0

    回到正题,放缩完后,我们发现,二阶导函数是恒正的!

    这样就可以判断导函数是递增的

    接下来就需要观察了,:1为导函数零点,这个就没有什么技巧了,纯粹看自己平时眼力的锻炼!所以把1代回原函数得到最小值:

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    那么值域相同是什么意思呢?这里为大家剖析下它的意思:

    1.原函数在小于1的时候递减,在大于1的时候递增,这个是已知的条件,说明原函数有极小值

    2.那么我们就知道,复合函数必须要有极小值且和原函数相同,并且还要没有最大值,也就是说上限是无穷大,这样才可以保证值域相同

    3.复合函数的极小值点可以不和原函数相同

    那么这句话的意思翻译过来就是:

    f(x)=1有解!

    为什么呢?因为极小值点是1,如果有解的话,

    f(f(x))就是可以分段的了,分段了才能出现极小值!

    这个是复合函数出现极值的重要前提

    举个例子,比如下面这个图像:

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    这时候,我们可以发现:

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    而复合函数在有极值情况下,极值大小是不会变的,改变的只是:极小值点

    所以答案就出来了:a>=-1/6

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    明日预告:

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  • 数学思维数学思维也就是人们通常所指的数学思维能力,即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。...后者便大多数曝光的所谓geek,比如什么Nash之类的。当然也有两种能力的结合体。通过对数...
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    数学思维

    数学思维也就是人们通常所指的数学思维能力,即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。比如转化与划归,从一般到特殊、特殊到一般,函数/映射的思想,等等。一般来说数学能力强的人,基本体现在两种能力上,一是联想力,二是数字敏感度。前者能够把两个看似不相关的问题联系在一起,这其中又以构造能力最让人折服;后者便是大多数曝光的所谓geek,比如什么Nash之类的。当然也有两种能力的结合体。

    通过对数学思维的培养,在遇到问题时,会擅长概括提炼问题,从多方面开辟思维点,从已知因素中发现新的线索,能够根据条件的变化改变思考方向,探究问题与现实之间的联系,在思维上摆脱“框题型、对套路”的僵化模式,激发创造性火花。并且在问题得到解决后会检验问题是否真正得到解决,发现推理过程中存在的矛盾、运算错误等问题。

    了解了什么是数学思维以及数学思维的重要性,那么要怎么培养孩子们的数学思维呢?

    思维定势

    人类思维的特点是定势,思维定势早在人生六七岁的孩童时期就已经形成,所以要想在未来改变思维的定势特点几乎是不可能的。既然不能轻易改变,那么我们可以利用它的定势来管理我们的压力。把不利的一种定势改变为新的一种有利的定势。人在压力情况下的思维特点是只想消极的信息,如此人就会越想越苦闷,越想越想不开,进入到思想的死胡同,爱做牛角尖,心理压力就会越来越大,直至整个人的崩溃。

    典型举例

    以下是对数函数简单的定义域考查题型

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    逆向考虑“R”

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    典型举例

    以下是对数函数简单的值域考查题型

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    逆向考虑“R”

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    逆向思维

    逆向思维,也称求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于"反其道而思之",让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。

    当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时,而你却独自朝相反的方向思索,这样的思维方式就叫逆向思维。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实,对于某些问题,尤其是一些特殊问题,从结论往回推,倒过来思考,从求解回到已知条件,反过去想或许会使问题简单化。

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  • 一·问题简述:在数学中,双曲函数与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一样的一类基本初等函数,它包括双曲正弦函数sinhx,双曲余弦函数coshx,双曲正切函数tanhx等。双曲函数一类在工程中应用广泛的函数...

    一·问题简述:在数学中,双曲函数是与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一样的一类基本初等函数,它包括双曲正弦函数sinhx,双曲余弦函数coshx,双曲正切函数tanhx等。

    双曲函数是一类在工程中应用广泛的函数。双曲函数的定义域时实数,其自变量的值叫做双曲角。双曲函数的反函数称之为反双曲函数。

    双曲函数与三角函数的关系,可以通过复指数进行联系,借助复数的三角形式得到,而指数函数与复数的关系则可以通过欧拉公式给出。

    尽管双曲函数不是高中数学学习和研究的对象,但是双曲函数却时常成为高考数学的命题背景,许多高考试题都能找到双曲函数的影子。因此,了解双曲函数的相关性质,对解答相关试题大有裨益。

    二·双曲函数的定义:

    双曲函数与三角函数有许多类似的地方,双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割等,下面仅就前三者进行阐述。

    三·双曲函数的图象与性质:

    四·双曲函数恒等式:

    五·双曲函数的导数、不定积分与级数:

    六·双曲函数在高考中的应用:

    1·考查函数的图象:

    【评注】

    本题选取双曲正切函数的倒数,即双曲余切函数作为研究对象,借助函数的图象,考查双曲函数的定义域、值域,以及单调性等知识点。

    2·考查函数的奇偶性:

    【评注】

    本题考查函数的奇偶性,借助函数的奇偶性的相关结论来求参数的值,其中对数函数正是双曲正弦的反函数。

    3·考查导数的综合应用:

    【评注】

    本题正是一道全面研究双曲函数的高考试题,涉及双曲正弦函数与双曲余弦函数,考查函数的解析式、奇偶性、单调性、值域等知识点,有一定的难度。

    以上,祝你好运。

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  • 01.函数是什么02.区间03.具体函数定义域04.抽象函数定义域05.判断是否为同一函数06.求函数值07.用换元法求函数解析式08.二次函数的值域09.换元法转化为二次函数求值域10.分式函数的值域11.映射的概念(新高考已...

    01.函数是什么

    02.区间

    03.具体函数的定义域

    04.抽象函数的定义域

    05.判断是否为同一函数

    06.求函数值

    07.用换元法求函数解析式

    08.二次函数的值域

    09.换元法转化为二次函数求值域

    10.分式函数的值域

    11.映射的概念 (新高考已删除,供拓展)

    12.映射的个数

    13.二次比二次型函数的值域

    14.函数的表示方法

    15.分段函数

    16.分段函数求值

    17分段函数的值域(上)

    18.具体函数图象的平移

    19.抽象函数图象的平移

    20.函数图象关于x轴对称

    21.单调性的概念

    22.定义法证明函数单调性

    23.一次、反比例函数的单调性

    24.二次函数的单调性

    25.复合函数的概念

    26.简单复合函数的单调性

    27.单调性的加减性质

    28.对勾函数的单调性

    29.分式函数的单调性

    30.抽象函数的单调性

    31.单调性与不等式

    32.结合函数方程的函数单调性综合题高中数学 

    33.奇偶性的概念

    34.奇偶性的运算性质

    35.判断较复杂函数的奇偶性

    36.判断分段函数的奇偶性

    37.由函数奇偶性求函数值

    38.由函数奇偶性求解析式

    39.判断抽象函数的奇偶性

    40.根据奇偶性求参数值

    41.函数的周期性

    42.根式

    43.指数的扩充

    44.指数运算律

    45.指数函数的概念

    46.指数函数图象的定点问题

    47.指数函数的图象识别

    48.根据底数判断单调性

    49.指数函数图象关系的识别

    50.指数函数的图象变换

    51.用图象解指数型方程的根

    52.用性质分析指数型方程

    53.用单调性解方程与不等式

    54.用中间量比较数的大小

    55.用中间量比较数的大小(2)

    56.和a^x有关的函数值域

    57.换元法求指数型函数值域

    58.利用单调性求指数型函数值域

    59:.a^f(x)的单调区间

    60.已知奇偶性求参数值

    61.对数的定义

    62.底数和真数的范围

    63.对数运算律(上)

    64.对数运算律(下)

    65.对数式之间的表示

    67.对数函数的概念

    68.对数函数的图象性质

    69.对数函数图象的定点问题

    70.对数函数的图象和单调性

    71.对数函数图象关系的识别

    72.用单调性解对数方程和不等式

    73.底数大小的分类讨论

    74.用单调性比较对数的大小

    75.中间量法比较对数的大小

    76.对数类具体函数的定义域

    77.对数类具体函数的值域

    78.由定义域和值域求参数

    79.log_af(x)的单调区间

    80.对数函数的图象变换

    81.函数lg(x-1分之1+x)的性质

    82.函数lg(x-1分之1+x)性质的应用

    83.lg(根号(x^2+1)±x)的性质

    84.lg(根号(x^2+1)+x)性质应用

    85.根据奇偶性求参数值(2)

    86.换元法解指对方程

    87.指对关系

    88.反函数存在性的判断

    89.反函数的求法

    90.巧用对称性求参数值

    91.幂函数的定义

    92.根据图象上的点求解析式

    93.常见幂函数的图象

    94.幂指数对定义域的影响

    95.幂指数对单调性的影响

    96.幂函数图象之间的关系

    97.幂指数对奇偶性的影响

    98.含参多项式的奇偶性

    99.利用幂函数性质求最值

    100.奇偶性与单调性综合

    101.一般幂函数图象的画法

    102.函数凹凸性的特征

    103.二分法求指对幂方程

    104.利用函数图象求方程解的个数

    105.找函数隐含规律求值

    106.判断函数大致图象

    107.根据图象解不等式或参数范围

    109.奇偶性与单调性的综合应用

    110.根据奇偶性列方程组求解析式

    111.分段函数求值(2)

    112.函数求值(2)

    113.由函数的奇偶性求函数值(2)

    114.判断是否为同一函数(2)

    115.抽象函数的定义域(2)

    116.用换元法求函数解析式(2)

    117.和指对幂有关的零点个数问题

    118.构造方程组求解析式或求值

    119.函数零点的概念

    120.零点存在原理及应用

    121.零点存在原理逆应用

    122.零点存在原理辨析

    123.二分法求方程根的近似解

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